概率與統(tǒng)計(jì)（理）-2021年高考數(shù)學(xué)真題模擬試題

（11）概率與統(tǒng)計(jì)（理）一2021年高考數(shù)學(xué)真題模擬試題專(zhuān)項(xiàng)

匯編

1.【2021年全國(guó)甲卷（理），2]為了解某地農(nóng)村經(jīng)濟(jì)情況，對(duì)該地農(nóng)戶(hù)家庭年收入進(jìn)行抽樣調(diào)查,

A.該地農(nóng)戶(hù)家庭年收入低于4.5萬(wàn)元的農(nóng)戶(hù)比率估計(jì)為6%

B.該地農(nóng)戶(hù)家庭年收入不低于10.5萬(wàn)元的農(nóng)戶(hù)比率估計(jì)為10%

C.估計(jì)該地農(nóng)戶(hù)家庭年收入的平均值不超過(guò)6.5萬(wàn)元

D.估計(jì)該地有一半以上的農(nóng)戶(hù)，其家庭年收入介于4.5萬(wàn)元至8.5萬(wàn)元之間

2.【2021年安徽桐城模擬，5】某高校調(diào)查了400名大學(xué)生每周的自習(xí)時(shí)間（單位，小時(shí)）制成了如

圖所示的頻率分布直方圖，其中自習(xí)時(shí)間的范圍是[17.5,30],樣本數(shù)據(jù)分組[17.5,20）,[20,22.5）,

[22.5,25）,[25,27.5）,[27.5,30].則這400名大學(xué)生中每周的自習(xí)時(shí)間不少于20小時(shí)的人數(shù)是（）

3.【2021年新高考II卷，6】某物理量的測(cè)量結(jié)果服從正態(tài)分布N（10,〃），則下列結(jié)論中不正確的

是（）

A.o越小，該物理量一次測(cè)量結(jié)果落在（9.9,10.1）內(nèi)的概率越大

B.。越小，該物理量一次測(cè)量結(jié)果大于10的概率為0.5

C.。越小，該物理量一次測(cè)量結(jié)果大于10.01與小于9.99的概率相等

1).。越小，該物理量一次測(cè)量結(jié)果落在（9.9,10.2）內(nèi)的概率與落在（10,10.3）內(nèi)的概率相等

4.【2021年新高考I卷，8】有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6,從中有放回的隨

機(jī)取兩次，每次取1個(gè)球.甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1"，乙表示事件“第二次取出的

球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件”兩次取出的球的數(shù)字

之和是7"，貝！|（）

A.甲與丙相互獨(dú)立B.甲與丁相互獨(dú)立C.乙與丙相互獨(dú)立D.丙與丁相互獨(dú)立

5.[2021年全國(guó)乙卷（理），8]在區(qū)間（0,1）與（1,2）中各隨機(jī)取1個(gè)數(shù)，則兩數(shù)之和大于二的概率

4

為（）

23

A]B.—D

32c-i

6.【2021年全國(guó)甲卷（理），10】將4個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，則2個(gè)0不相鄰的概率為（）

ABC

4-1-15

7.[2021年安徽桐城模擬，14】在邊長(zhǎng)為6的正方形中有一封閉曲線(xiàn)圍成的陰影區(qū)域，從該正方

形區(qū)域內(nèi)任取一點(diǎn)，若該點(diǎn)落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率為14，則陰影區(qū)域的面積為.

8.【2021年上海卷，10】已知花博會(huì)有四個(gè)不同的場(chǎng)館A、B、C、D,甲、乙兩人每人選2個(gè)去參

觀，則他們的選擇中，恰有一個(gè)場(chǎng)館相同的概率為

9.【2021年浙江卷，15】袋中有4個(gè)紅球，m個(gè)黃球，n個(gè)綠球.現(xiàn)從中任取兩個(gè)球，記取出的紅

球數(shù)為g,若取出的兩個(gè)球都是紅球的概率為9，一紅一黃的概率為：，則=

63

10.【2021年全國(guó)乙卷（理），17】某廠研制了一種生產(chǎn)高精產(chǎn)品的設(shè)備，為檢驗(yàn)新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的

某項(xiàng)指標(biāo)有無(wú)提高，用一臺(tái)舊設(shè)備和一臺(tái)新設(shè)備各生產(chǎn)了10件產(chǎn)品，得到各件產(chǎn)品該項(xiàng)指標(biāo)數(shù)據(jù)

I22

（2）判斷新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備是否有顯著提高（如果亍-；22.『則

認(rèn)為新設(shè)備生產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高，否則不認(rèn)為有顯著提高).

11.【2021年全國(guó)甲卷(理)，17】甲、乙兩臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)同種產(chǎn)品，產(chǎn)品按質(zhì)量分為一級(jí)品和二級(jí)品,

為了比較兩臺(tái)機(jī)床產(chǎn)品的質(zhì)量，分別用兩臺(tái)機(jī)床各生產(chǎn)了200件產(chǎn)品，產(chǎn)品的質(zhì)量情況統(tǒng)計(jì)如表:

一級(jí)品二級(jí)品合計(jì)

甲機(jī)床15050200

乙機(jī)床12080200

合計(jì)270130400

(1)甲機(jī)床、乙機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級(jí)品的頻率分別是多少？

(2)能否有99%的把握認(rèn)為甲機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異？

n(ad—hc)~

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

12.【2021年新高考I卷，18】某學(xué)校組織“一帶一路”知識(shí)競(jìng)賽，有A,B兩類(lèi)問(wèn)題.每位參加比

賽的同學(xué)先在兩類(lèi)問(wèn)題中選擇一類(lèi)并從中隨機(jī)抽取一個(gè)問(wèn)題回答，若回答錯(cuò)誤則該同學(xué)比賽結(jié)束；

若回答正確則從另一類(lèi)問(wèn)題中再隨機(jī)抽取一個(gè)問(wèn)題回答，無(wú)論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束.A

類(lèi)問(wèn)題中的每個(gè)問(wèn)題回答正確得20分，否則得。分；B類(lèi)問(wèn)題中的每個(gè)問(wèn)題回答正確得80分，否

則得0分.

已知小明能正確回答A類(lèi)問(wèn)題的概率為0.8,能正確回答B(yǎng)類(lèi)問(wèn)題的概率為0.6,且能正確回答問(wèn)

題的概率與回答次序無(wú)關(guān).

(1)若小明先回答A類(lèi)問(wèn)題，記X為小明的累計(jì)得分，求X的分布列；

(2)為使累計(jì)得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類(lèi)問(wèn)題?并說(shuō)明理由.

13.【2021年北京卷，18】為加快新冠肺炎檢測(cè)效率，某檢測(cè)機(jī)構(gòu)采取“k合1檢測(cè)法”，即將k個(gè)

人的拭子樣本合并檢測(cè)，若為陰性，則可以確定所有樣本都是陰性的：若為陽(yáng)性，則還需要對(duì)本組

的每個(gè)人再做檢測(cè).現(xiàn)有100人，已知其中2人感染病毒.

(1)(i)若采用“10合1檢測(cè)法”，且兩名患者在同一組，求總檢測(cè)次數(shù)；

(ii)已知10人分成一組，分10組，兩名感染患者在同一組的概率為工，定義隨機(jī)變量X為總

11

檢測(cè)次數(shù)，求檢測(cè)次數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望￡(%).

(2)若采用“5合1檢測(cè)法”，檢測(cè)次數(shù)Y的期望為E(Y),試比較E(X)和E(Y)的大小(直接寫(xiě)出

結(jié)果).

14.【2021年安徽懷寧模擬，19】某新能源汽車(chē)制造公司，為鼓勵(lì)消費(fèi)者購(gòu)買(mǎi)其生產(chǎn)的特斯拉汽車(chē),

約定從今年元月開(kāi)始，凡購(gòu)買(mǎi)一輛該品牌汽車(chē)，在行駛?cè)旰?，公司將給予適當(dāng)金額的購(gòu)車(chē)補(bǔ)貼.

某調(diào)研機(jī)構(gòu)對(duì)已購(gòu)買(mǎi)該品牌汽車(chē)的消費(fèi)者，就購(gòu)車(chē)補(bǔ)貼金額的心理預(yù)期值進(jìn)行了抽樣調(diào)查，得其樣

本頻率分布直方圖如圖所示.

（1）估計(jì)已購(gòu)買(mǎi)該品牌汽車(chē)的消費(fèi)群體對(duì)購(gòu)車(chē)補(bǔ)貼金額的心理預(yù)期值的平均數(shù)和中位數(shù)（精確到

0.01）；

（2）統(tǒng)計(jì)今年以來(lái)元月~5月該品牌汽車(chē)的市場(chǎng)銷(xiāo)售量，得其頻數(shù)分布表如下

月份元月2月3月4月5月

銷(xiāo)售量（萬(wàn)輛）0.50.61.01.41.7

預(yù)測(cè)該品牌汽車(chē)在今年6月份的銷(xiāo)售量約為多少萬(wàn)輛？

附：對(duì)于一組樣本數(shù)據(jù)（公兇）,5,月）,…，（X,,,%），其回歸直線(xiàn)y=%+”的斜率和截距的最

力士--y）以％-nxy

小二乘估計(jì)值分別為5=上-------------=上-----------a=^-bi-

xnx

x）Xi~~

i=li=l

15.【2021年山西運(yùn)城模擬（理），19】袋中裝著標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5的小球各2個(gè)，從袋中任

取3個(gè)小球，按3個(gè)小球上最大數(shù)字的9倍計(jì)分，每個(gè)小球被取出的可能性都相等，用X表示取出

的3個(gè)小球上的最大數(shù)字.求：

（1）取出的3個(gè)小球上的數(shù)字互不相同的概率；

（2）隨機(jī)變量X的概率分布；

（3）計(jì)算介于20分到40分之間的概率.

答案以及解析

1.答案：C

解析：本題考查頻率分布直方圖、均值等統(tǒng)計(jì)圖表及統(tǒng)計(jì)量的基礎(chǔ)知識(shí).

選項(xiàng)正誤原因

AV由圖可知，組距是1,前2個(gè)小矩形的面積和是0.06

BV最后4個(gè)小矩形的面積和是0.10

可以求得平均值是

CX(3+12+13+14)x0.02+(4+11)x0.04+

(5+9+10)x0.10+6x0.14+(7+8)x0.20=7.68

DV4.5至8.5之間小矩形的面積和是0.64

2.答案：D

解析：由頻率分直方圖得：

這400名大學(xué)生中每周的自習(xí)時(shí)間不少于20小時(shí)的頻率為：1-0.02x2.5=0.95,

...這400名大學(xué)生中每周的自習(xí)時(shí)間不少于20小時(shí)的人數(shù)為：400x0.95=380.

故選D.

3.答案：D

解析：本題考查正態(tài)曲線(xiàn)的特點(diǎn).根據(jù)正態(tài)曲線(xiàn)可直接得出B項(xiàng)，C項(xiàng)正確；b越小，則正態(tài)曲

線(xiàn)越“瘦高”，該物理量一次測(cè)量結(jié)果落在（9.9,10.1）內(nèi)的概率越大，A項(xiàng)正確；同理，落在（9.9』0.2）

內(nèi)的概率大于落在（10,10.3）內(nèi)的概率，D項(xiàng)錯(cuò)誤.

4.答案：B

解析：本題考查獨(dú)立事件的概念.由于有放回的取球，則P（甲）=L尸（乙）=LP（丙）=』，

6636

尸（丁）=Lp（甲丙）=0,尸（甲?。?_!_,「（乙丙）=_!_,尸（丙丁）=（）,其中p（甲）。（?。?尸（甲?。?，

63636

故甲與丁相互獨(dú)立.

5.答案:B

解析：本題考查簡(jiǎn)單的線(xiàn)性規(guī)劃及其應(yīng)用、幾何概型的概率問(wèn)題.由題目條件設(shè)xe（0,1）,ye（1,2）,

lx1--x—X—

且x+y>N,則作出對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖所示，可知所求的概率為P=-----244=4.

-41x132

解析：本題考查古典概型、組合數(shù).所有的排法是C：=15,不相鄰的排法是C；=10,故所求概率

汨102

153

7.答案：16

解析：設(shè)陰影部分的面積為S,結(jié)合幾何概型公式可得：解得：5=16.

6x69

故答案為：16.

8.答案：-

3

解析：根據(jù)題意，則甲乙每人去博物館的選擇均為C：種，甲乙僅有一個(gè)館相同，則概率為

C；c；.c；二.故本題正確答案為2.

33

9.答案：1；-

9

解析：本題考查計(jì)數(shù)原理、古典概率、期望.所有取出兩個(gè)球的方法是取出的兩個(gè)球都是

紅球的方法是C：=6,取出的兩個(gè)球是一紅一黃的方法是C：C：=4..由已知可得=L,

C切+〃+46

?一=』，解得帆=3,〃=2,所以帆-〃=1.取出紅球數(shù)&的取值是0,1,2,概率分別是與=?,

3C；18

=q=1.則EC)=0*9+lx3+2x1=

C；9C；6,18969

10.答案：(1)由題中的數(shù)據(jù)，可得

x=Y-x(9.8+10.3+10.0+10.2+9.9+9.8+10.0+10.1+10.2+9.7)=10.0,

-1

y=--x(10.1+10.4+10.1+10.0+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5)=10.3,

S：=-^x[(9.8-10.0)2+(10.3-10.0)2+(10.0-10.0)2+(10.2-10.0)2+(9.9-10.0)2+

(9.8-10.0)2+(10.0-10.0)2+(10.1-10.0)2+(10.2-10.0)2+(9.7-10.0)2]=0.036,

s；=-^X[(10.1-10.3)2+(10.4-10.3)2+(10.1-10.3)2+(10.0-10.3)2+(10.1-10.3)2+(10.3-10.3)2+

(10.6-10.3)2+(10.5-10.3)2+(10.4-10.3)2+(10.5-10.3)2]=0.04.

(2)5-7=10.3-10.0=0.3,

=^0.036+0.04=2^576?0.174,

VioVio

所以y-x>2忖+S；

V10

故新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高.

11.答案：（1）根據(jù)題表中數(shù)據(jù)知，甲機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級(jí)品的頻率是空=0.75,乙機(jī)床生產(chǎn)

200

的產(chǎn)品中一級(jí)品的頻率是上=0.6.

200

2

(2)根據(jù)題表中的數(shù)據(jù)可得K=^xQSOxgO-50x120)2=400^10256

270x130x200x20039

因?yàn)?0.256>6.635,所以有99%的把握認(rèn)為甲機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異.

12.答案：(1)X的所有可能取值為0,20,100.

p(X=0)=l-0.8=0.2,

P(X=20)=0.8x(l-0.6)=0.32,

P(X=100)=0.8X0.6=0.48,

所以X的分布列為

X020100

P0.20.320.48

(2)假設(shè)先答B(yǎng)類(lèi)問(wèn)題，記Y為小明的累計(jì)得分,

則Y的所有可能取值為0,80,100.

p(y=0)=1-0.6=0.4,

p(y=80)=0.6x(l-0.8)=0.12,

P(y=100)=0.6x0.8=0.48,

所以Y的分布列為

Y080100

P0.40.120.48

所以E(y)=Ox0.4+80x0.12+100x0.48=57.6,

由(1)可知E(X)=0x0.2+20*0.32+100x0.48=54.4.

因?yàn)镋(y)>E(X),

所以為使累計(jì)得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答B(yǎng)類(lèi)問(wèn)題.

13.答案：(1)(i)共測(cè)兩輪，第一輪100人分10組，故測(cè)了10次，第二輪，對(duì)兩名患者所在組

每個(gè)人都進(jìn)行檢測(cè)一次，共10次，故總檢測(cè)次數(shù)為10+10=20次；

(ii)由(i)知，兩名感染患者在同一組時(shí)，共需測(cè)20次.

若兩名患者不在一組，需要測(cè)10+10+10=30次.

故X可取值為：20,30.

則P(X=20)=\,P(X=30)=l-\=#,

則X的分布列為:

X2030

110

p

TT77

故E(X)=20x'+30xW=型迎=型.

111111]1

(2)E(X)vE(Y).

14.答案：(1)因?yàn)橹狈綀D的組距為1,則各組頻率即為相應(yīng)小矩形的高，所以平均數(shù)的估計(jì)

<^x=1.5xO.l+2.5xO.3+3.5xO.3+4.5xO.15+5.5xO.l+6.5xO.O5=3.5^^-

因?yàn)?.1+0.3<0.5<0.1+0.3+0.3，則中位數(shù)在區(qū)間(3,4)內(nèi).設(shè)中位數(shù)為3+x，

則(M+03+0.3x=0.5,得了=,。0.33,所以中位數(shù)的估計(jì)值為3.33萬(wàn)元?

3

(2)記a==1,2,3,4,5)，?=0.5,y2=0.6?y3=1.0?y4=1.4>%=1.7,

由散點(diǎn)圖可知，5組樣本數(shù)據(jù)呈線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系.因?yàn)椋?3，7=1.04,

乞x*=0.5+1.2+3+5.6+8.5=18.8儲(chǔ)?=1+4+9+16+25=55，

J=Ii=l

則其絲