第04講 空間向量及其運算（七大題型）（教師版）-2024年高中數學新高二暑期銜接講義

第04講空間向量及其運算【題型歸納目錄】題型一：空間向量的有關概念及線性運算題型二：共線向量定理的應用題型三：共面向量及應用題型四：空間向量的數量積題型五：利用空間向量的數量積求兩向量的夾角題型六：利用空間向量的數量積求線段的長度題型七：利用空間向量的數量積證垂直【知識點梳理】知識點一：空間向量的有關概念1、空間向量(1)定義：在空間，具有大小和方向的量叫做空間向量．(2)長度或模：空間向量的大小．(3)表示方法：①幾何表示法：空間向量用有向線段表示；②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起點是A，終點是B，也可記作：eq\o(AB,\s\up8(→))，其模記為|a|或|eq\o(AB,\s\up8(→))|.知識點詮釋：(1)空間中點的一個平移就是一個向量；(2)數學中討論的向量與向量的起點無關，只與大小和方向有關，只要不改變大小和方向，空間向量可在空間內任意平移，故我們稱之為自由向量。2、幾類常見的空間向量名稱方向模記法零向量任意00單位向量任意1相反向量相反相等a的相反向量：－aeq\o(AB,\s\up8(→))的相反向量：eq\o(BA,\s\up8(→))相等向量相同相等a＝b知識點二：空間向量的線性運算(1)向量的加法、減法空間向量的運算加法eq\o(OB,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(OC,\s\up8(→))＝a＋b減法eq\o(CA,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))－eq\o(OC,\s\up8(→))＝a－b加法運算律①交換律：a＋b＝b＋a②結合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)(2)空間向量的數乘運算①定義：實數λ與空間向量a的乘積λa仍然是一個向量，稱為向量的數乘運算．當λ>0時，λa與向量a方向相同；當λ<0時，λa與向量a方向相反；當λ＝0時，λa＝0；λa的長度是a的長度的|λ|倍．②運算律結合律：λ(μa)＝μ(λa)＝(λμ)a.分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.知識點詮釋：(1)空間向量的運算是平面向量運算的延展，空間向量的加法運算仍然滿足平行四邊形法則和三角形法則．而且滿足交換律、結合律，這樣就可以自由結合運算，可以將向量合并；(2)向量的減法運算是向量加法運算的逆運算，滿足三角形法則．(3)空間向量加法的運算的小技巧：①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起點指向末尾向量的終點的向量，即：因此，求空間若干向量之和時，可通過平移使它們轉化為首尾相接的向量；②首尾相接的若干向量若構成一個封閉圖形，則它們的和為零向量，即：；知識點三：共線問題共線向量(1)定義：表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量．(2)方向向量：在直線l上取非零向量a，與向量a平行的非零向量稱為直線l的方向向量．規(guī)定：零向量與任意向量平行，即對任意向量a，都有0∥a.(3)共線向量定理：對于空間任意兩個向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實數λ使a＝λb.(4)如圖，O是直線l上一點，在直線l上取非零向量a，則對于直線l上任意一點P，由數乘向量定義及向量共線的充要條件可知，存在實數λ，使得eq\o(OP,\s\up8(→))＝λa.知識點詮釋：此定理可分解為以下兩個命題：(1)存在唯一實數，使得；(2)存在唯一實數，使得，則．注意：不可丟掉，否則實數就不唯一．(3)共線向量定理的用途：①判定兩條直線平行；(進而證線面平行)②證明三點共線。注意：證明平行時，先從兩直線上取有向線段表示兩個向量，然后利用向量的線性運算證明向量共線，進而可以得到線線平行，這是證明平行問題的一種重要方法。證明三點共線問題，通常不用圖形，直接利用向量的線性運算即可，但一定要注意所表示的向量必須有一個公共點。知識點四：向量共面問題共面向量(1)定義：平行于同一個平面的向量叫做共面向量．(2)共面向量定理：若兩個向量a，b不共線，則向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序實數對(x，y)，使p＝xa＋yb.(3)空間一點P位于平面ABC內的充要條件：存在有序實數對(x，y),使eq\o(AP,\s\up8(→))＝xeq\o(AB,\s\up8(→))＋yeq\o(AC,\s\up8(→))或對空間任意一點O，有eq\o(OP,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋xeq\o(AB,\s\up8(→))＋yeq\o(AC,\s\up8(→)).(4)共面向量定理的用途：①證明四點共面②線面平行(進而證面面平行)。知識點五：空間向量數量積的運算空間向量的數量積(1)定義：已知兩個非零向量a，b，則|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的數量積，記作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．規(guī)定：零向量與任何向量的數量積為0.(2)常用結論(a，b為非零向量)①a⊥b?a·b＝0.②a·a＝|a||a|cos〈a，a〉＝|a|2.③cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|).(3)數量積的運算律數乘向量與數量積的結合律(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)交換律a·b＝b·a分配律a·(b＋c)＝a·b＋a·c知識點詮釋：(1)由于空間任意兩個向量都可以轉化為共面向量，所以空間兩個向量的夾角的定義和取值范圍、兩個向量垂直的定義和表示符號及向量的模的概念和表示符號等，都與平面向量相同．(2)兩向量的數量積，其結果是數而非向量，它的值為兩向量的模與兩向量夾角的余弦的乘積，其符號由夾角的余弦值決定．(3)兩個向量的數量積是兩向量的點乘，與以前學過的向量之間的乘法是有區(qū)別的，在書寫時一定要將它們區(qū)別開來，不可混淆．知識點六：利用數量積證明空間垂直關系當a⊥b時，a·b＝0.知識點七：夾角問題1、定義：已知兩個非零向量、，在空間任取一點D，作，則∠AOB叫做向量與的夾角，記作，如下圖。根據空間兩個向量數量積的定義：，那么空間兩個向量、的夾角的余弦。知識點詮釋：(1)規(guī)定:(2)特別地，如果，那么與同向；如果，那么與反向;如果,那么與垂直,記作。2、利用空間向量求異面直線所成的角異面直線所成的角可以通過選取直線的方向向量，計算兩個方向向量的夾角得到。在求異面直線所成的角時，應注意異面直線所成的角與向量夾角的區(qū)別：如果兩向量夾角為銳角或直角，則異面直線所成的角等于兩向量的夾角；如果兩向的夾角為鈍角，則異面直線所成的角為兩向量的夾角的補角。知識點八：空間向量的長度1、定義：在空間兩個向量的數量積中，特別地，所以向量的模：將其推廣：；。2、利用向量求線段的長度。將所求線段用向量表示，轉化為求向量的模的問題。一般可以先選好基底，用基向量表示所求向量，然后利用來求解?！镜淅}】題型一：空間向量的有關概念及線性運算例1．(2023·高二課時練習)在平行六面體中，與向量相等的向量共有(

)A．1個 B．2個C．3個 D．4個【答案】C【解析】由圖，與向量大小相等，方向相同的向量有共3個.故選：C例2．(2023·山東濟南·高二?？计谥?下列關于空間向量的說法中正確的是(

)A．方向相反的兩個向量是相反向量B．空間中任意兩個單位向量必相等C．若向量滿足，則D．相等向量其方向必相同【答案】D【解析】相反向量指的是長度相等，方向相反的向量，故A錯誤；單位向量指的是模為1的向量，方向未定，故B錯誤；向量不能比較大小，故C錯誤；相等向量其方向必相同，故D正確；故選：D.例3．(2023·山西·高二校聯考期中)下列關于空間向量的說法中錯誤的是(

)A．零向量與任意向量平行B．任意兩個空間向量一定共面C．零向量是任意向量的方向向量D．方向相同且模相等的兩個向量是相等向量【答案】C【解析】由已知，選項A，零向量方向是任意的，所以零向量任意向量平行，該選項正確；選項B，平面由兩個不平行的向量確定，任意兩個向量可通過平移形成相交，故一定可以確定一個平面，該選項正確；選項C，在直線上取非零向量，把與向量平行的非零向量稱為直線的方向向量，該選項錯誤；選項D，方向相同且模相等的兩個向量是相等向量，該選項正確.故選：C.例4．(2023·山東濱州·高二統(tǒng)考期末)如圖，在四面體OABC中，，，．點M在OA上，且滿足，N為BC的中點，則(

)

A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖，連接，

是的中點，，，，．故選：．例5．(2023·貴州銅仁·高二統(tǒng)考期末)如圖，在三棱錐中，點，分別是，的中點，是的中點，設，，，用，，表示，則(

)

A． B． C． D．【答案】A【解析】因為是的中點，，分別是，的中點，所以.故選：A例6．(2023·江蘇淮安·高二淮陰中學校聯考階段練習)四面體中，，是的中點，是的中點，設，，，則(

)A． B．C． D．【答案】C【解析】因為，所以，因為Q是的中點，所以，因為M為PQ的中點，所以，故選：C.題型二：共線向量定理的應用例7．(2023·高二課時練習)已知空間向量，，且，，，則一定共線的三點是()A． B． C． D．【答案】C【解析】，又與過同一點B，∴A、B、D三點共線．故選：C．例8．(2023·吉林松原·高二吉林油田高級中學?？计谥?若，E為空間中不在直線CD上的任意一點，則直線AB與平面CDE的位置關系是(

)A．相交 B．平行 C．在平面內 D．平行或在平面內【答案】D【解析】因，則有直線AB與直線CD平行或重合，而點E不在直線CD上，即點E、直線CD確定平面CDE，若直線AB與直線CD平行，當點E在直線AB上時，直線AB在平面CDE內，當點E不在直線AB上時，平面CDE，平面CDE，于是得平面CDE，若直線AB與直線CD重合，則直線AB在平面CDE內，所以直線AB與平面CDE的位置關系是平行或在平面內.故選：D例9．(2023·新疆阿勒泰·高二校聯考期末)如果空間向量不共線，且，那么的值分別是(

)A． B．C． D．【答案】C【解析】由題意可知空間向量不共線，且，即，則，即，故選：C.例10．(2023·河南焦作·高二溫縣第一高級中學校考階段練習)若空間向量不共線，且，則(

)A．6 B．12 C．18 D．24【答案】C【解析】∵空間向量不共線，∴要使，則．故選：C．例11．(2023·江蘇·高二專題練習)滿足下列條件，能說明空間不重合的A、B、C三點共線的是()A． B．C． D．【答案】C【解析】對于空間中的任意向量，都有，說法A錯誤；若，則，而，據此可知，即兩點重合，選項B錯誤；，則A、B、C三點共線，選項C正確；，則線段的長度與線段的長度相等，不一定有A、B、C三點共線，選項D錯誤；本題選擇C選項.例12．(2023·高二課時練習)當，且不共線時，與的關系是(

)A．共面 B．不共面 C．共線 D．無法確定【答案】A【解析】根據平行四邊形法則可得，以，為鄰邊，則可得平行四邊形的兩條對角線對應的向量分別為，所以與共面.故選：A.題型三：共面向量及應用例13．(2023·高二課時練習)下面關于空間向量的說法正確的是(

)A．若向量平行，則所在直線平行B．若向量所在直線是異面直線，則不共面C．若A，B，C，D四點不共面，則向量，不共面D．若A，B，C，D四點不共面，則向量，，不共面【答案】D【解析】向量平行，所在直線可以重合，也可以平行，A錯誤；可以通過平移將空間中任意兩個向量平移到一個平面內，因此空間任意兩個向量都是共面的，BC錯誤；顯然AB，AC，AD是空間中有公共端點A，但不共面的三條線段，所以向量，，不共面，D正確.故選：D例14．(2023·上海閔行·高二上海市七寶中學?？奸_學考試)已知是空間中不共線的三個點，若點滿足，則下列說法正確的一項是(

)A．點是唯一的，且一定與共面B．點不唯一，但一定與共面C．點是唯一的，但不一定與共面D．點不唯一，也不一定與共面【答案】A【解析】由空間向量的知識可知共面的充要條件為存在實數，使，因為，所以，所以共面，所以四點共面，因為，所以，所以點唯一.故選：A.例15．(2023·遼寧鞍山·高二校聯考階段練習)在下列條件中，能使與，，一定共面的是(

)A． B．C． D．【答案】C【解析】空間向量共面定理，，若，，不共線，且，，，共面，則其充要條件是；對于A，因為，所以不能得出，，，四點共面；對于B，因為，所以不能得出，，，四點共面；對于C，，則，，為共面向量，所以與，，一定共面；對于D，因為，所以，因為，所以不能得出，，，四點共面．故選：C．例16．(2023·四川綿陽·高二四川省綿陽南山中學?？茧A段練習)已知為空間任意一點，四點共面，但任意三點不共線．如果，則的值為(

)A．-2 B．-1 C．1 D．2【答案】A【解析】因為，所以由得，即，因為為空間任意一點，滿足任意三點不共線，且四點共面，所以，故.故選：A.例17．(2023·河南洛陽·高二統(tǒng)考期中)已知點D在確定的平面內，O是平面ABC外任意一點，實數x，y滿足，則：的最小值為(

)A． B． C．1 D．2【答案】A【解析】因為，點D在確定的平面內，所以，即，所以，所以當時，的有最小值.故選：A.例18．(2023·江蘇淮安·高二校聯考期中)已知三點不共線，是平面外任意一點，若由確定的一點與三點共面，則等于(

)A． B． C． D．【答案】C【解析】由與三點共面以及，可得，，所以.故選：C.題型四：空間向量的數量積例19．(2023·高二課時練習)化簡：________.【答案】【解析】故答案為：例20．(2023·上海·高二專題練習)在三棱錐中，已知，，，則___________【答案】【解析】設，顯然，則，即，而，即，于是得，，，則有，所以.故答案為：例21．(2023·江蘇常州·高二江蘇省溧陽中學?？茧A段練習)在棱長為1的正方體中，為棱上任意一點，則=_______.【答案】1【解析】如圖，在正方體中，為棱上任意一點，則，，.故答案為：1.例22．(2023·江蘇鹽城·高二江蘇省響水中學?？茧A段練習)平行六面體中，以頂點為端點的三條棱長都為1，且兩兩夾角為，求的值是__________．【答案】1【解析】由題意得，，則,故答案為：1.例23．(2023·湖南衡陽·高二校考期末)如圖，在直三棱柱中，，、分別為棱、的中點，則______.【答案】【解析】因為平面，平面，則，同理可知，所以，.故答案為：.例24．(2023·湖北荊州·高二統(tǒng)考階段練習)如圖，正四面體的長為1，，則______．【答案】/0.5【解析】．故答案為：題型五：利用空間向量的數量積求兩向量的夾角例25．(2023·高二課時練習)如圖，在正方體ABCD－A′B′C′D′中，求向量分別與向量，，，，的夾角．【解析】連接BD，則在正方體ABCD－A′B′C′D′中，AC⊥BD，∠BAC＝45°，AC＝AD′＝CD′，所以，，，，.例26．(2023·高二課時練習)已知空間向量與夾角的余弦值為，且，，令，．(1)求，為鄰邊的平行四邊形的面積S；(2)求，夾角的余弦值．【解析】(1)根據條件，，∴；∴；(2)；，；∴.例27．(2023·廣東深圳·高二深圳市羅湖外語學校?？计谀?平行六面體，(1)若，，，，，，求長；(2)若以頂點A為端點的三條棱長均為2，且它們彼此的夾角都是60°，則AC與所成角的余弦值．【解析】(1)，，，，∴，；(2)∵，，∴，∵，∴，∵＝8，∴，設與所成的角為，則.例28．(2023·重慶江津·高二重慶市江津中學校校考階段練習)如圖，在平行六面體中，以頂點為端點的三條棱長度都為，且兩兩夾角為.求：(1)的長；(2)與夾角的余弦值.【解析】(1)記，，，則，，，，，即的長為；(2)，，，，，，又，，即與夾角的余弦值為.題型六：利用空間向量的數量積求線段的長度例29．(2023·遼寧沈陽·高二新民市第一高級中學?？茧A段練習)如圖所示，平行六面體中，，，，，，求的長．【解析】設，，，這三個向量不共面，構成空間的一個基底，則.又，，，，..故答案為：例30．(2023·湖北咸寧·高二?？茧A段練習)如圖，在平行六面體中，，，，，．求：(1)(2)的長．【解析】(1).(2)，，，即的長為.例31．(2023·江蘇淮安·高二洪澤湖高級中學校考階段練習)如圖，在平行六面體中，．求：(1)；(2)的長；(3)的長．【解析】(1)由向量的數量積的概念，可得.(2)因為，所以，即的長為.(3)以為，所以.例32．(2023·河北唐山·高二灤南縣第一中學校考階段練習)如圖，是平行四邊形，，.如圖，把平行四邊形沿對角線折起，使與成角，求的長.【解析】，四邊形為平行四邊形，，，；與成角，或；；當時，，解得：；當時，，解得：；的長為或.例33．(2023·高二課時練習)如圖，已知平行六面體中，，，，，求的長．【解析】在平行六面體中，.所以=55.所以題型七：利用空間向量的數量積證垂直例34．(2023·山東泰安·高二統(tǒng)考期中)如圖，在平行六面體中，，，，M，N分別為，中點．(1)求的長；(2)證明：．【解析】(1)設，，，則，，，，．因為，所以(2)證明：因為，所以．例35．(2023·高二課時練習)如圖，四棱錐的各棱長都為．(1)用向量法證明；(2)求的值．【解析】(1)證明：設AC、BD交于點O，連接PO，如圖所示；四棱錐P﹣ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA＝a，∴四邊形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，且OA＝OC，即⊥，0；又PB＝PD＝a，∴PO⊥BD，即⊥，0，∴()＝0，即0，∴⊥，即BD⊥PC；(2)根據題意，四棱錐P﹣ABCD是棱長相等的正四棱錐，且AB＝a，∴頂點P在底面的射影是正方形ABCD的中心O，在Rt△POC中，PC＝a，OCa，∴OP＝OCa，∴∠ACP，，，∴2?2a×a×cosa2＝5a2；∴||a．例36．(2023·福建三明·高二福建省尤溪第一中學?？奸_學考試)如圖，在正三棱柱中，底面的邊長為.(1)設側棱長為1，試用向量法證明：；(2)設與的夾角為，求側棱的長.【解析】(1)證明：，因為平面，所以，，又因為為正三角形，所以，所以，所以，∴；(2)由(1)知.又，所以，所以，即側棱的長為2.【過關測試】一、單選題1．(2023·山東濱州·高二統(tǒng)考期末)如圖，二面角的大小為，四邊形、都是邊長為的正方形，則、兩點間的距離是(

)

A． B． C． D．【答案】C【解析】因為四邊形、都是邊長為的正方形，則，，又因為二面角的大小為，即，則，因為，由圖易知，，所以，.故選：C.2．(2023·高二課時練習)平行六面體中，，，則的長為()A．10 B． C． D．【答案】B【解析】如圖，

由題知，,，，.，，即的長為.故選：B3．(2023·福建莆田·高二莆田第二十五中學?？计谥?在空間，已知，為單位向量，且，若，，，則實數k的值為(

)A．－6 B．6C．3 D．－3【答案】B【解析】由題意可得，，，所以，即2k－12＝0，得k＝6.故選：B.4．(2023·高二課時練習)已知，均為空間單位向量，它們的夾角為60°，那么等于(

)A． B． C． D．4【答案】C【解析】由題意可得，.故選：C5．(2023·湖南·高二校聯考期中)在平行六面體中，點E為的中點，點F為的中點，，，，則(

)A． B．C． D．【答案】C【解析】根據題意，畫出示意圖，如圖所示．設，則．所以，所以．故選：．6．(2023·江西新余·高二統(tǒng)考期末)如圖，已知空間四邊形OABC，其對角線為OB，AC，M，N分別是OA，CB的中點，點G在線段MN上，且使，用向量，，表示向量為(

)A． B．C． D．【答案】C【解析】，故選：C7．(2023·廣東惠州·高二統(tǒng)考期末)棱長為的正四面體中，則等于(

)A． B． C． D．【答案】A【解析】.故選：A.8．(2023·甘肅金昌·高二永昌縣第一高級中學?？计谥?如圖，在平行六面體中，，，，，，則與所成角的余弦值為(

)A． B． C． D．【答案】B【解析】設，，，因為向量不共面，故可構成空間的一組基底，結合，，，，，所以=0，，，則，，可得，，，所以，又因為異面直線所成角的范圍是，所以與所成角的余弦值為.故選：B.二、多選題9．(2023·安徽池州·高二池州市第一中學校聯考階段練習)已知平行六面體如圖所示，其中，，，線段AC，BD交于點O，點E是線段上靠近的三等分點，則下列說法正確的是(

)A． B．C． D．【答案】AD【解析】依題意，，，，，故A正確；，故B錯誤；，則，故C錯誤；，故D正確；故選：AD.10．(2023·江蘇淮安·高二校聯考期中)下列命題中是真命題的為(

)A．若與共面，則存在實數，使B．若存在實數，使向量，則與共面C．若點四點共面，則存在實數，使D．若存在實數，使，則點四點共面【答案】BD【解析】對于A項，如果共線，則只能表示與共線的向量.若與不共線，則不能表示，故A項錯誤；對于B項，根據平面向量基本定理知，若存在實數，使向量，則與共面，故B項正確；對于C項，如果三點共線，則不論取何值，只能表示與共線的向量.若點不在所在的直線上，則無法表示，故C項錯誤；對于D項，根據空間向量基本定理，可知若存在實數，使，則共面，所以點四點共面，故D項正確.故選：BD.11．(2023·河北邢臺·高二邢臺一中?？计谀?如圖，在三棱柱中，分別是上的點，且.設，若，則下列說法中正確的是(

)A． B．C． D．【答案】BD【解析】因為，，所以，，所以故A錯誤；因為，，，所以，所以，故B正確；因為，所以，故C錯誤；因為，，所以因為，所以，，所以，所以，故D正確.故選：BD.12．(2023·江蘇鎮(zhèn)江·高二江蘇省丹陽高級中學?？计谀?如圖，在平行六面體中，以頂點為端點的三條棱長都為1，且則下列說法中正確的有(

)A． B．C． D．直線與所成角的余弦值為【答案】ABD【解析】以為空間一組基底，,,所以，故A選項正確；所以故B選項錯誤；，所以所以故C選項錯誤；設直線BD與AC所成角為，

，故所以，故D正確；故選：ABD.三、填空題13．(2023·云南玉溪·高二云南省玉溪第一中學?？茧A段練習)如圖，在平行