第06講 空間向量及其運(yùn)算（教師版）-2023年新高二暑期數(shù)學(xué)銜接（新人教版）

第06講空間向量及其運(yùn)算【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.在平面直角坐標(biāo)系的基礎(chǔ)上，了解空間直角坐標(biāo)系，感受建立空間直角坐標(biāo)系的必要性，會(huì)用空間直角坐標(biāo)系刻畫點(diǎn)的位置．2.借助特殊長方體(所有棱分別與坐標(biāo)軸平行)頂點(diǎn)坐標(biāo)，探索并得出空間兩點(diǎn)間的距離公式3.經(jīng)歷由平面向量推廣到空間向量的過程，了解空間向量的概念4.經(jīng)歷由平面向量的運(yùn)算及其法則推廣到空間向量的過程【基礎(chǔ)知識(shí)】一、空間向量的有關(guān)概念1.定義:在空間,把具有大小和方向的量叫做空間向量.2.長度(模):空間向量的大小叫做空間向量的長度或模.3.表示法(1)字母表示法:空間向量用字母a,b,c,…表示;(2)幾何表示法:空間向量用有向線段表示,有向線段的長度表示空間向量的模.若向量a的起點(diǎn)是A,終點(diǎn)是B,則向量a也可以記作,其模記為|a|或.【解讀】1.空間向量表示空間內(nèi)具有大小和方向的量,平面向量表示平面內(nèi)具有大小和方向的量,空間向量是在平面向量基礎(chǔ)上進(jìn)一步學(xué)習(xí)的知識(shí)內(nèi)容,它們的運(yùn)算規(guī)律完全相同,空間向量的相關(guān)定理及公式與平面向量類似,可以類比學(xué)習(xí);2.在空間中,零向量、單位向量、向量的模、相等向量、相反向量等概念和平面向量中相對(duì)應(yīng)的概念完全相同;3.由于向量是由其模和方向確定的,所以解答空間向量有關(guān)概念問題時(shí),通常抓住這兩點(diǎn)來解決;4.零向量是一個(gè)特殊向量,其方向是任意的,且與任何向量共線,這一點(diǎn)說明向量共線不具有傳遞性.二、空間向量的線性運(yùn)算【解讀】利用三角形法則或平行四邊形法則進(jìn)行向量加、減法運(yùn)算時(shí),務(wù)必注意和向量、差向量的方向,必要時(shí)可采用空間向量的自由平移獲得運(yùn)算結(jié)果;利用數(shù)乘運(yùn)算解題時(shí),要結(jié)合具體圖形,在化簡過程中要有目標(biāo)意識(shí).三、向量共線定理對(duì)任意兩個(gè)空間向量a,b(b≠0),a∥b的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ,使a=λb

.四、共面向量定理1.共面向量:平行于同一個(gè)平面的向量,叫做共面向量.2.共面向量定理:如果兩個(gè)向量a,b不共線,那么向量p與向量a,b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y),使p=xa【解讀】1.若兩個(gè)非零向量共線,則這兩個(gè)向量所在的直線可能平行,也可能重合,證明空間圖形中兩直線平行,可以先用向量法證明兩直線的方向向量平行,然后說明一條直線上有一點(diǎn)不在另一條直線上,從而推得兩直線平行,不能由向量平行直接推出直線平行.2.空間三點(diǎn)共線可以通過向量共線來證明,根據(jù)共線向量定理,對(duì)于空間三點(diǎn)A,B,C,可通過證明下列結(jié)論來證明三點(diǎn)共線:(1)存在實(shí)數(shù)λ,使成立;(2)對(duì)空間任一點(diǎn)O,有(t∈R);(3)對(duì)空間任一點(diǎn)O,有(x+y=1).五、空間向量的數(shù)量積及運(yùn)算律1.數(shù)量積及相關(guān)概念①兩向量的夾角已知兩個(gè)非零向量a，b，在空間任取一點(diǎn)O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則∠AOB叫做向量a，b的夾角，記作〈a，b〉，其范圍是0≤〈a，b〉≤π，若〈a，b〉＝eq\f(π,2)，則稱a與b互相垂直，記作a⊥b.②兩向量的數(shù)量積已知空間兩個(gè)非零向量a，b，則|a||b|cos〈a，b〉叫做向量a，b的數(shù)量積，記作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．2.空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律①結(jié)合律：(λa)·b＝λ(a·b)；②交換律：a·b＝b·a；③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.【解讀】1.空間向量運(yùn)算的兩種方法(1)利用定義:利用a·b=|a||b|cos〈a,b〉并結(jié)合運(yùn)算律進(jìn)行計(jì)算.(2)利用圖形:計(jì)算兩個(gè)向量的數(shù)量積,可先將各向量移到同一頂點(diǎn),利用圖形尋找夾角,再代入數(shù)量積公式進(jìn)行運(yùn)算.2.在幾何體中求空間向量的數(shù)量積的步驟(1)將各向量分解成已知模和夾角的向量的組合形式.(2)利用向量的運(yùn)算律將數(shù)量積展開,轉(zhuǎn)化為已知模和夾角的向量的數(shù)量積.(3)代入向量的數(shù)量積公式進(jìn)行運(yùn)算求解.3.求空間兩個(gè)向量的夾角的方法(1)結(jié)合圖形,平移向量,利用空間向量的夾角定義來求,但要注意向量夾角的范圍;(2)先求a·b,再利用公式求cos〈a,b〉,最后確定〈a,b〉.4.求兩條異面直線所成的角的步驟(1)根據(jù)題設(shè)條件在所求的異面直線上取兩個(gè)向量(即直線的方向向量);(2)將異面直線所成角的問題轉(zhuǎn)化為向量夾角問題;(3)利用向量的數(shù)量積求向量夾角的余弦值;(4)異面直線所成的角為銳角或直角,利用向量的數(shù)量積求向量夾角的余弦值應(yīng)將余弦值加上絕對(duì)值,進(jìn)而求出異面直線所成的角的大小.【考點(diǎn)剖析】考點(diǎn)一：對(duì)空間向量有關(guān)概念的理解例1．下列說法正確的是(

)A．零向量沒有方向B．空間向量不可以平行移動(dòng)C．如果兩個(gè)向量不相同，那么它們的長度不相等D．同向且等長的有向線段表示同一向量【答案】D【解析】對(duì)于A：零向量的方向是任意的，A錯(cuò)誤；對(duì)于B：空間向量是自由向量可以平移，B錯(cuò)誤；對(duì)于C、D：大小相等方向相同的兩個(gè)向量為相等向量即同一向量，所以C中向量大小可以相等，只要方向不同即為向量不同，C錯(cuò)誤；D符合定義，正確.故選D.考點(diǎn)二：空間向量的線性運(yùn)算例2．化簡算式：______．【答案】【解析】由題意得.考點(diǎn)三：幾何體中空間向量的線性運(yùn)算例3．(2022學(xué)年福建省福安市第一中學(xué)高二下學(xué)期第三次月考)如圖所示，在平行六面體中，M為與的交點(diǎn)，若，，，則(

)A． B．C． D．【答案】D【解析】由題意得，.故選D考點(diǎn)四：幾何體中共線共面定理的應(yīng)用例4．如圖，已知O?A?B?C?D?E?F?G?H為空間的9個(gè)點(diǎn)，且，，，，，.求證：(1)A?B?C?D四點(diǎn)共面，E?F?G?H四點(diǎn)共面；(2)；(3).【解析】(1)因?yàn)?，，所以由共面向量定理可得是共面向量，是共面向量，因?yàn)橛泄颤c(diǎn)，有公共點(diǎn)，所以A?B?C?D四點(diǎn)共面，E?F?G?H四點(diǎn)共面，(2)因?yàn)?，所以?3)考點(diǎn)五：利用數(shù)量積公式進(jìn)行計(jì)算例5．(2022學(xué)年江蘇省徐州市睢寧縣高二下學(xué)期線上期中)如圖，在三棱錐中，兩兩垂直，為的中點(diǎn)，則的值為(

)A．1 B． C． D．【答案】D【解析】由題意得，故.故選D.考點(diǎn)六：利用數(shù)量積公式求長度或距離例6．(2022學(xué)年江蘇省常州市金壇區(qū)高二下學(xué)期期中)如圖，在平行六面體中，底面是邊長為1的正方形，若，且，則的長為(

)A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意得，，因?yàn)?所以，所以，故選C【真題演練】1.(2022學(xué)年四川省成都市蓉城名校聯(lián)盟高二下學(xué)期期中聯(lián)考)兩個(gè)不同平面，的法向量分別為非零向量，，兩條不同直線，的方向向量分別為非零向量，，則下列敘述不正確的是(

)A．的充要條件為B．的充要條件為C．的充要條件為存在實(shí)數(shù)使得D．的充要條件為【答案】D【解析】選項(xiàng)A：.判斷正確；選項(xiàng)B：.判斷正確；選項(xiàng)C：存在實(shí)數(shù)使得.判斷正確；選項(xiàng)D：若，則有；若，則有或，則是的充分不必要條件.判斷錯(cuò)誤.故選D2.(2022學(xué)年上海市控江中學(xué)高二下學(xué)期期中)下列條件中，一定使空間四點(diǎn)P?A?B?C共面的是(

)A． B．C． D．【答案】D【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，，，所以點(diǎn)與、、三點(diǎn)不共面；對(duì)于B選項(xiàng)，，，所以點(diǎn)與、、三點(diǎn)不共面；對(duì)于C選項(xiàng)，，，所以點(diǎn)與、、三點(diǎn)不共面；對(duì)于D選項(xiàng)，，,所以點(diǎn)與、、三點(diǎn)共面.故選D.3.(2022學(xué)年浙江省北斗聯(lián)盟高二上學(xué)期中聯(lián)考)在如圖所示的平行六面體中，已知，，為上一點(diǎn)，且，若，則(

)A． B． C． D．【答案】D【解析】令，則，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，所以所?因?yàn)椋?，所以，所以，解得，故選D4.(多選)(2020-2021學(xué)年江蘇省常州市第一中學(xué)高二下學(xué)期期中)已知四面體ABCD中，AB，AC，AD兩兩互相垂直，則下列結(jié)論中，一定成立的是(

)A．B．C．D．【答案】ABD【解析】由題可知，可做如圖所示的長方體，設(shè).，，故A正確；，故B正確；∵平面，∴，，∴，但無法判斷AE和BC是否垂直，故C不一定正確；由圖易知，故＝0，故D正確.故選ABD．5.(多選)(2022學(xué)年遼寧省盤錦市遼河油田第二高級(jí)中學(xué)高二上學(xué)期期中)已知斜三棱柱中，底面是直角三角形，且，，，，，則(

)A．B．C．D．異面直線與所成角的余弦值為【答案】BD【解析】設(shè)，，，則，，，，，，，，所以．故選BD.6．(2022學(xué)年安徽省安慶市潛山第二中學(xué)高二上學(xué)期月考)在正四面體中，，分別為棱、的中點(diǎn)，設(shè)，，，用，，表示向量______【答案】【解析】畫出對(duì)應(yīng)的正四面體，則.7.(2022學(xué)年江蘇省徐州市沛縣高二下學(xué)期第二次學(xué)情調(diào)研)已知空間四邊形的每條邊和對(duì)角線的長都等于1，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，則的值為_________.【答案】【解析】根據(jù)題意為正四面體，兩兩成角，所以，，所以.8．(2022學(xué)年河北省唐山市第十一中學(xué)高二上學(xué)期期中)如圖，在正方體中，化簡下列向量表達(dá)式：(1)；(2)．【解析】(1)依題意.(2)依題意.【過關(guān)檢測】1.(2022學(xué)年江蘇省連云港市贛榆區(qū)高二下學(xué)期期中)已知，，三點(diǎn)不共線，為平面外一點(diǎn)，下列條件中能確定，，，四點(diǎn)共面的是(

)A． B．C． D．【答案】D【解析】設(shè)，若點(diǎn)與點(diǎn)共面，則，對(duì)于選項(xiàng)A：，不滿足題意；對(duì)于選項(xiàng)B：，不滿足題意；對(duì)于選項(xiàng)C：，不滿足題意；對(duì)于選項(xiàng)D：，滿足題意.故選D.2.(2022學(xué)年江蘇省揚(yáng)州市邗江區(qū)高二下學(xué)期期中)已知空間、、、四點(diǎn)共面，且其中任意三點(diǎn)均不共線，設(shè)為空間中任意一點(diǎn)，若，則(

)A． B． C． D．【答案】D【解析】，由、、、四點(diǎn)共面，且其中任意三點(diǎn)均不共線可得，解之得，故選D3.(2022學(xué)年上海市復(fù)旦大學(xué)附屬中學(xué)高二下學(xué)期期中)設(shè)A、B、C、D是空間中不共面的四點(diǎn)，令，，，則、、三個(gè)向量(

)A．互不相等 B．有且僅有兩個(gè)相等 C．都相等 D．以上均有可能【答案】B【解析】，，若，則，即，則B，C重合，于是A、B、C、D共面，矛盾，所以，即、、三個(gè)向量有且僅有兩個(gè)相等，故選B4.(2022學(xué)年四川省雅安中學(xué)高二下學(xué)期3月月考)在正方體中，點(diǎn)P滿足，且，若二面角的大小為，O為的中心，則(

)A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)正方體中心為，因?yàn)辄c(diǎn)P滿足，且所以平面，平面平面，由正方體性質(zhì)平面，且平面，所以作于Q，連，面，則即為的平面角，所以．設(shè)正方體棱長為1，中，，則，在中，，所以．故選D.5.(多選)(2022學(xué)年浙江省寧波市慈溪市高二上學(xué)期期末)在長方體中，則(

)A． B．C． D．【答案】AB【解析】如圖：對(duì)A，，正確；對(duì)B，，正確；對(duì)C，，錯(cuò)誤；對(duì)D，，錯(cuò)誤.故選AB.6．(2022學(xué)年廣東省廣州市增城區(qū)高二上學(xué)期期末)下列說法正確的是(

)A．設(shè)是兩個(gè)空間向量，則一定共面B．設(shè)是三個(gè)空間向量，則一定不共面C．設(shè)是兩個(gè)空間向量，則D．設(shè)是三個(gè)空間向量，則【答案】AC【解析】對(duì)于A：因?yàn)槭莾蓚€(gè)空間向量，則一定共面，故A正確；對(duì)于B：因?yàn)槭侨齻€(gè)空間向量，則可能共面也可能不共面，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：因?yàn)槭莾蓚€(gè)空間向量，則，故C正確；對(duì)于D：因?yàn)槭侨齻€(gè)空間向量，則與向量共線，與向量共線，則D錯(cuò)誤．故選AC．7.(2022學(xué)年河南省焦作市高二上學(xué)期期末)已知在四面體ABCD中，，，則______．【答案】24【解析】由題設(shè)，可得如下四面體示意圖，則，又，，所以.8.(2022學(xué)年江蘇省鹽城市響水中學(xué)高二下學(xué)期期中)如圖，在平行六面體中，底面是邊長為的正方形，若，且，則的長為__________.【答案】【解析】因?yàn)樗?，?.(2019-2020學(xué)年北京大學(xué)附中石景山學(xué)校高