第12講 圓的方程（教師版）-2023年新高二暑期數(shù)學(xué)銜接（新人教版）

第12講圓的方程【學(xué)習(xí)目標(biāo)】回顧確定圓的幾何要素，在平面直角坐標(biāo)系中，探索并掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程【基礎(chǔ)知識(shí)】一、圓的定義平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合叫做圓,定點(diǎn)稱為圓心,定長(zhǎng)稱為圓的半徑二、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程1.圓心為A(a,b)

,半徑為r(r>0)

的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x-a)2+(y-b)2=r2

.當(dāng)a=b=0時(shí),方程為x2+y2=r2,表示以原點(diǎn)

為圓心,r為半徑的圓.2.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的兩個(gè)基本幾何要素:圓心

和半徑分別確定了圓的位置和大

小,從而確定了圓,所以只要a,b,r(r>0)三個(gè)量確定了,圓的方程就唯一確定了.三、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系圓A的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-a)2+(y-b)2=r2,圓心A(a,b),半徑為r(r>0).設(shè)所給點(diǎn)為M(x0,y0),則位置關(guān)系判斷方法幾何法代數(shù)法點(diǎn)在圓上|MA|=r?點(diǎn)M在圓A上點(diǎn)M(x0,y0)在圓A上?(x0-a)2+(y0-

b)2=r2點(diǎn)在圓內(nèi)|MA|<r?點(diǎn)M在圓A內(nèi)點(diǎn)M(x0,y0)在圓A內(nèi)?(x0-a)2+(y0-

b)2<r2點(diǎn)在圓外|MA|>r?點(diǎn)M在圓A外點(diǎn)M(x0,y0)在圓A外?(x0-a)2+(y0-

b)2>r2四、求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法1.直接代入法已知圓心坐標(biāo)和半徑大小,直接代入圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可.(1)利用條件確定圓心C(a,b)及半徑長(zhǎng)r.(2)利用幾何性質(zhì),確定圓心C(a,b)及半徑長(zhǎng)r.①圓心與切點(diǎn)的連線垂直于圓的切線;②圓心到切線的距離等于圓的半徑長(zhǎng);③圓的半徑長(zhǎng)r,弦長(zhǎng)的一半h與弦心距d滿足r2=h2+d2;④圓的弦的垂直平分線過(guò)圓心;⑤已知圓心所在的直線l及圓上兩點(diǎn),則兩點(diǎn)連線(圓的弦)的垂直平分線m(m與l不重合)與圓心所在直線l的交點(diǎn)即為圓心.2.待定系數(shù)法(1)根據(jù)題意,設(shè)所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0);(2)根據(jù)已知條件,建立關(guān)于a,b,r的方程組;(3)解方程組,求出a,b,r的值;(4)將a,b,r代入所設(shè)的方程中,即可得到所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.五、圓的一般方程1.圓的一般方程的概念(1)當(dāng)D2+E2-4F>0

時(shí),方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圓的一般方程.(2)圓的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)表示以為圓心,為半徑的圓.2.圓的一般方程在形式上的特點(diǎn)(1)x2和y2的系數(shù)相等且不為0;(2)不含xy項(xiàng).六、與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題1.用直接法求與圓有關(guān)的軌跡方程的一般步驟(1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,用(x,y)表示曲線上任意一點(diǎn)M的坐標(biāo);(2)列出適合條件P的點(diǎn)M的集合{M|P(M)};(3)用坐標(biāo)表示P(M),列出方程f(x,y)=0;(4)化方程f(x,y)=0為最簡(jiǎn)形式;(5)證明以化簡(jiǎn)后方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn).簡(jiǎn)記為:建系、設(shè)點(diǎn)、列式、代換、化簡(jiǎn)、證明.直接法求點(diǎn)的軌跡方程的關(guān)鍵是找到一個(gè)能體現(xiàn)該動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)特征的等量關(guān)系,再將該等量

關(guān)系坐標(biāo)化并化簡(jiǎn),最后得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.2.求與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題的方法(1)直接法:直接根據(jù)題目提供的條件列出方程.(2)定義法:根據(jù)圓、直線等定義列方程.(3)代入法:找到要求點(diǎn)與已知點(diǎn)的關(guān)系,代入已知點(diǎn)滿足的關(guān)系式.【考點(diǎn)剖析】考點(diǎn)一：根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程確定圓的幾何性質(zhì)例1．(2022學(xué)年江蘇省揚(yáng)州市高郵市第一中學(xué)高二上學(xué)期期末)已知圓：，點(diǎn)，則點(diǎn)到圓上點(diǎn)的最小距離為(

)A．1 B．2 C． D．【答案】C【解析】由圓：，得圓，半徑為，所以，所以點(diǎn)到圓上點(diǎn)的最小距離為.故選C.考點(diǎn)二：利用圓的幾何性質(zhì)確定圓的標(biāo)準(zhǔn)方程例2．(2022學(xué)年福建省永春第一中學(xué)高二下學(xué)期期初考試)已知兩點(diǎn)和則以為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是__________.【答案】【解析】因?yàn)楹停士傻弥悬c(diǎn)為，又，故所求圓的半徑為，則所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是：.考點(diǎn)三：圓的一般方程例3．(2022學(xué)年廣東省信宜市第二中學(xué)高二下學(xué)期月考)經(jīng)過(guò)圓的圓心，且與直線平行的直線方程是(

)A． B．C． D．【答案】A【解析】圓，，圓心為，所求直線與直線平行，可設(shè)直線方程為，把圓心代入得，解得，故所求直線方程為．故選A.考點(diǎn)四：利用待定系數(shù)法確定圓的方程例4．(2022學(xué)年新疆石河子第二中學(xué)高二上學(xué)期第一次月考)三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，，，則外接圓方程是(

)A． B．C． D．【答案】B【解析】設(shè)圓的一般方程為，因?yàn)椋?，在這個(gè)圓上，所以有，故選B考點(diǎn)五：根據(jù)圓的一般方程確定圓的幾何性質(zhì)例5．(2022學(xué)年黑龍江省哈爾濱市第三十二中學(xué)高二下學(xué)期期中)已知圓方程的圓心為(

)A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)椋?，所以圓心坐標(biāo)為；故選C考點(diǎn)六：點(diǎn)與圓的位置關(guān)系例6．(多選)(2022學(xué)年廣東省佛山市南海區(qū)南海執(zhí)信中學(xué)高二上學(xué)期第二次段測(cè))已知圓的方程是，則下列坐標(biāo)表示點(diǎn)在圓外的有(

)A． B． C． D．【答案】AD【解析】選項(xiàng)A中在圓外；選項(xiàng)B中在圓內(nèi)；選項(xiàng)C中在圓內(nèi)；選項(xiàng)D中在圓外.故選AD.考點(diǎn)七：與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題例7．(2022學(xué)年四川省南充市南部縣第二中學(xué)高二下學(xué)期3月月考)已知圓的圓心在直線上，且過(guò)和兩點(diǎn).(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)點(diǎn)的直線與圓交于兩點(diǎn)，求弦中點(diǎn)的軌跡方程.【解析】(1)設(shè)圓心，則，即，解得：，，又圓心，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；(2)為弦中點(diǎn)，，即，設(shè)，則，，，即點(diǎn)的軌跡方程為：.【真題演練】1.(2022學(xué)年重慶市石柱中學(xué)校高二上學(xué)期第一次月考)若曲線：表示圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍為(

)A． B．C． D．【答案】B【解析】由，得，由該曲線表示圓，可知，解得或，故選B.2.(2022學(xué)年福建省寧德市部分達(dá)標(biāo)中學(xué)高二上學(xué)期期中聯(lián)合考試)某圓經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，圓心在直線上，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(

)A． B．C． D．【答案】D【解析】因?yàn)閳A經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，所以圓心在中垂線上，聯(lián)立解得圓心，所以圓的半徑，故所求圓的方程為，故選D3．(2022學(xué)年吉林省白山市高二上學(xué)期期末)已知圓M的圓心在直線上，且點(diǎn)，在M上，則M的方程為(

)A． B．C． D．【答案】C【解析】因?yàn)辄c(diǎn)，在M上，所以圓心在的中垂線上．由，解得，即圓心為，則半徑，所以M的方程為．故選C4.(多選)(2022學(xué)年山東省濰坊市高二上學(xué)期期中)直線與圓的大致圖像可能正確的是(

)A． B．C． D．【答案】AC【解析】A：直線不經(jīng)過(guò)第四象限，所以，所以圓的圓心在第一象限，因此本選項(xiàng)可能正確；B：直線不經(jīng)過(guò)第一象限，所以，所以圓的圓心在第三象限，因此本選項(xiàng)不可能正確；C：直線不經(jīng)過(guò)第一象限，所以，所以圓的圓心在第三象限，又因?yàn)樵搱A經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，所以有，在圓的方程中，令，得或，因?yàn)?，所以，因此本選項(xiàng)可能正確；D：直線不經(jīng)過(guò)第二象限，所以，所以圓的圓心在第四象限，又因?yàn)樵搱A經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，所以有，在圓的方程中，令，得或，因?yàn)?，所以，因此本選項(xiàng)不可能正確，故選AC5.(多選)(2022學(xué)年山東省青島市第十九中學(xué)高二上學(xué)期)設(shè)有一組圓：，下列命題正確的是(

)A．不論如何變化，圓心始終在一條直線上B．所有圓均不經(jīng)過(guò)點(diǎn)C．經(jīng)過(guò)點(diǎn)的圓有且只有一個(gè)D．所有圓的面積均為【答案】ABD【解析】A選項(xiàng)，圓心為，一定在直線上，A正確；B選項(xiàng)，將代入得：，其中，方程無(wú)解，即所有圓均不經(jīng)過(guò)點(diǎn)，B正確；C選項(xiàng)，將代入得：，其中，故經(jīng)過(guò)點(diǎn)的圓有兩個(gè)，故C錯(cuò)誤；所有圓的半徑為2，面積為4.故選ABD6.(2022學(xué)年重慶市主城區(qū)六校高二上學(xué)期期末)以點(diǎn)為圓心，且與直線相切的圓的方程是____________．【答案】【解析】圓心到直線的距離，又圓與直線相切，所以，所以圓的方程為.7.(2020-2021學(xué)年湖北省荊州市沙市第四中學(xué)高二上學(xué)期11月階段性測(cè)試)已知直線與圓相交于點(diǎn)和點(diǎn)．(1)求圓心所在的直線方程；(2)若圓心的半徑為1，求圓的方程【解析】(1)PQ中點(diǎn)M(,),,所以線段PQ的垂直平分線即為圓心C所在的直線的方程:(2)由條件設(shè)圓的方程為:，由圓過(guò)P,Q點(diǎn)得得到關(guān)系式求解得到．則或故圓的方程為8.(2022學(xué)年湖北省十堰市城區(qū)普高協(xié)作體高二上學(xué)期期中)直線過(guò)點(diǎn)且與直線平行.(1)求直線的方程；(2)求圓心在直線上且過(guò)點(diǎn)、的圓的方程.【解析】(1)因?yàn)橹本€與直線平行，則直線的方程可設(shè)為，又因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)，所以，所以直線的方程為；(2)因?yàn)閳A心在直線上，所以圓心坐標(biāo)可設(shè)為，又因?yàn)樵搱A過(guò)點(diǎn)、，所以有，解得，所以圓心坐標(biāo)為，半徑，故圓的方程為.【過(guò)關(guān)檢測(cè)】1.(2022學(xué)年湖北省新高考聯(lián)考協(xié)作體高二下學(xué)期5月月考)與圓C：關(guān)于直線對(duì)稱的圓的方程為(

)A． B．C． D．【答案】C【解析】圓C：的圓心，半徑．設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則，所以圓C關(guān)于直線的對(duì)稱圓的方程為，故選C．2.已知點(diǎn)A(1，2)在圓C：外，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為(

)A． B．C． D．【答案】A【解析】由題意，表示圓，故，即或點(diǎn)A(1，2)在圓C：外，故，即故實(shí)數(shù)m的取值范圍為或，即，故選A3.(2022學(xué)年吉林省四平市第一高級(jí)中學(xué)高二上學(xué)期期末)已知點(diǎn)，，，動(dòng)點(diǎn)P滿足，則的取值范圍為(

)A． B． C． D．【答案】C【解析】由題設(shè)，在以為直徑的圓上，令，則(不與重合)，所以的取值范圍，即為到圓上點(diǎn)的距離范圍，又圓心到的距離，圓的半徑為2，所以的取值范圍為，即.故選C4.(2022學(xué)年黑龍江省齊齊哈爾市恒昌中學(xué)校高二上學(xué)期期中)已知“”是“”表示圓的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍是(

)A． B． C． D．【答案】B【解析】若表示圓，則，解得.“”是“”表示圓的必要不充分條件，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選B5.(多選)(2022學(xué)年河北省鹽山中學(xué)高二上學(xué)期9月月考)已知圓M的一般方程為，則下列說(shuō)法中正確的是(

)A．圓M的圓心為 B．圓M經(jīng)過(guò)點(diǎn)C．圓M的半徑為25 D．圓M不經(jīng)過(guò)第二象限【答案】AD【解析】對(duì)于選項(xiàng)A、C，圓M的一般方程為，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．所以圓的圓心坐標(biāo)，半徑為5．所以選項(xiàng)A正確，選項(xiàng)C不正確；對(duì)于選項(xiàng)B，將代入圓的方程，不滿足，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，令中的，得或，所以圓M被y軸截得的弦長(zhǎng)為6，所以選項(xiàng)D正確．故選AD．6.(多選)(2022學(xué)年江蘇省常州市教育學(xué)會(huì)高二上學(xué)期期末)古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名.他發(fā)現(xiàn)：“平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)A，B的距離之比為定值m(m≠1)的點(diǎn)的軌跡是圓”.后來(lái)，人們將這個(gè)圓以他的名字命名為阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱阿氏圓.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，，點(diǎn)P滿.設(shè)點(diǎn)P的軌跡為C，則下列結(jié)論正確的是(

)A．C的方程為B．當(dāng)A，B，P三點(diǎn)不共線時(shí)，射線PO是∠APB的平分線C．在C上存在K使得D．在x軸上存在異于A，B的兩個(gè)定點(diǎn)D，E，使得【答案】BD【解析】設(shè)點(diǎn)，則由可得，化簡(jiǎn)可得，故A錯(cuò)誤；當(dāng)，，三點(diǎn)不共線時(shí)，因?yàn)?，，所以，所以，射線是的平分線，故B正確；設(shè)存在，則，即，因?yàn)?，所以，所以，所以，又因?yàn)?，所以，又因?yàn)椴粷M足，所以不存在滿足條件，故C錯(cuò)誤；假設(shè)軸上存在異于的兩定點(diǎn)，使得，可設(shè)，可得，由P的軌跡方程為，可得，解得或(舍去)，即存在，故D正確.故選BD.7.(2022學(xué)年天津市北辰區(qū)高二上學(xué)期期中)已知圓的圓心到直線的距離為2，則a的值為_(kāi)__________.【答案】【解析】圓，即，所以圓心坐標(biāo)為由圓心到直線的距離為2可得，解得8．(2022學(xué)年黑龍江省齊齊哈爾市高二上學(xué)期期末)四葉草也叫幸運(yùn)草，四片葉子分別象征著：成功?幸福?平安?健康，表達(dá)了人們對(duì)美好生活的向往.梵克雅寶公司在設(shè)計(jì)四葉草吊墜的吋候，利用了曲線方程(如圖所示)進(jìn)行圖案繪制.試求曲線圍成的封閉圖形的面積___________.【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，方程可化為它表示圓心在，半徑為的圓在第一象限的部分；當(dāng)時(shí)，方程可化為它表示圓心在，半徑為的圓在第四象限的部分；當(dāng)時(shí)，方程可化為它表示圓心在，半徑為的圓在第二象限的部分；當(dāng)時(shí)，方程可化為它表示圓心在，半徑為的圓在第三象限的部分；綜上，四個(gè)部分都是半圓，并且它們正好圍成了一個(gè)封閉的區(qū)域.這個(gè)區(qū)域的面積可以割成四個(gè)半圓和一個(gè)正方形，其中正方形的邊長(zhǎng)就是半圓的直徑.所以總面積為.9.(2022學(xué)年重慶市四川外語(yǔ)學(xué)院重慶第二外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高二上學(xué)期10月月考)求滿足下列條件的方程.(1)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與直線平行；(2)圓C的圓心在x軸上，并且