2024年廣東省深圳市蛇口育才教育集團育才三中中考數(shù)學三模試卷

第1頁（共1頁）2024年廣東省深圳市蛇口育才教育集團育才三中中考數(shù)學三模試卷一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分，每小題有四個選項，其中只有一個是正確的）1．（3分）2024的倒數(shù)是（）A．2024 B．﹣2024 C． D．2．（3分）2024年3月21日是第12個“世界森林日”，今年的主題是“森林與創(chuàng)新”．據統(tǒng)計，截止2023年12月底，森林蓄積量達1.59億立方米，碳匯能力明顯提升．數(shù)據1.59億立方米用科學記數(shù)法表示為（）A．1.59×108立方米 B．1.59×10°立方米 C．0.159×109立方米 D．15.9×107立方米3．（3分）《清朝野史大觀?清代述異》稱：“中國講求烹茶，以閩之汀、漳、泉三府，粵之潮州府功夫茶為最．”如圖1是喝功夫茶的一個茶杯，下列說法正確的是（）A．主視圖與左視圖相同 B．主視圖與俯視圖相同 C．左視圖與俯視圖相同 D．三視圖都相同4．（3分）如果把分式中的x，y同時擴大為原來的10倍（）A．縮小為原來的 B．擴大為原來的10倍 C．縮小為原來的 D．不變5．（3分）為了解某小區(qū)居民的用水情況，隨機抽查了若干戶家庭的某月用水量，統(tǒng)計結果如表所示：月用水量（噸）3456戶數(shù)4682關于這若干戶家庭的該月用水量的數(shù)據統(tǒng)計分析，下列說法正確的是（）A．平均數(shù)是7 B．中位數(shù)是5 C．眾數(shù)是5 D．方差是16．（3分）下列命題中，真命題有（）個①兩個含45°角的等腰三角形必相似；②已知線段AB＝2，點C是AB的黃金分割點（AC＞BC），則；③順次連接一個四邊形各邊中點得到一個菱形，則這個四邊形的對角線一定垂直；④方程x2+3x+4＝0沒有實數(shù)解．A．4個 B．3個 C．2個 D．1個7．（3分）圭表（如圖1）是我國古代一種通過測量正午日影長度來推定節(jié)氣的天文儀器，它包括一根直立的標桿（稱為“表”）（稱為“圭”），當正午太陽照射在表上時，日影便會投影在圭面上．圖2是一個根據某市地理位置設計的圭表平面示意圖（即∠ABC）為α，夏至正午太陽高度角（即∠ADC），若表AC的長為m，則圭面上冬至線與夏至線之間的距離（即DB的長）為（）A．mtanα﹣mtanβ B． C．msinα﹣mcosβ D．8．（3分）《夢溪筆談》是我國古代科技著作，其中它記錄了計算圓弧長度的“會圓術”．如圖，是以點O為圓心、OA為半徑的圓弧的弧長l的近似值計算公式：l＝AB+．當OA＝4，則l的值為（）A．11﹣2 B．11﹣4 C．8﹣2 D．8﹣49．（3分）對于“過直線l外一點A作這條直線的垂線”的幾何作圖，甲、乙均設計了自己的尺規(guī)作圖的過程：甲：①在直線l上取一點B，連接AB，如圖；②作線段AB的垂直平分線EF，交AB于點O；③以O為圓心，OB長為半徑作圓，交直線l于點G；④作直線AG．所以直線AG即為所求作的直線．乙：①在直線l上取點B和點D，連接AB、AD，如圖；②以點B為圓心，線段BA的長為半徑作圓；③以點D為圓心，線段DA的長為半徑作圓，兩圓相交于點A和點M；④作直線AM，直線AM就是所求的直線．對于以上作圖過程（）A．甲對 B．乙對 C．甲、乙均不對 D．甲、乙均對10．（3分）在平面直角坐標系xOy中，點A（﹣1，y1）、B（2，y2）、C（4，y3）是拋物線y＝ax2+bx（a＞0）上的三個點，若y2＜y1＜y3且y1y2＜0，拋物線對稱軸為直線x＝t，則t的取值范圍是（）A． B． C． D．二、填空題（本大題共5小題，每小題3分，共15分）11．（3分）因式分解：3x2﹣12＝．12．（3分）如圖，同一時刻在陽光照射下，樹AB的影子BC＝3m，已知小明的身高A'B'＝1.7m，則樹高AB＝．13．（3分）對于字母m、n，定義新運算m☆n＝mn﹣m﹣n，若方程x2+3x+1＝0的解為a、b，則a☆b+2的值為．14．（3分）如圖，一次函數(shù)y＝ax+b的圖象與x軸交于點A（4，0），與y軸交于點B的圖象交于點C，D．若tan∠BAO＝2，則點D的坐標為．15．（3分）如圖，在正方形ABCD，點E，∠EAF＝60°，則最大值是．三、解答題（本題共7小題，其中第16題5分，第17題7分，第18題8分，第19題8分，第20題8分，第21題9分，第22題10分，共55分）16．（5分）計算：．17．（7分）先化簡，再求值：，其中a從﹣1、1、﹣2、2中取一個你認為合適的數(shù)代入求值．18．（8分）為落實“雙減提質”，進一步深化“數(shù)學提升工程”，提升學生數(shù)學核心素養(yǎng)，為了解學生最喜愛的項目，現(xiàn)隨機抽取若干名學生進行調查根據以上信息，解答下列問題：（1）參與此次抽樣調查的學生人數(shù)是人，補全統(tǒng)計圖①（要求在條形圖上方注明人數(shù)）；（2）圖②中扇形C的圓心角度數(shù)為度；（3）若參加成果展示活動的學生共有1200人，估計其中最喜愛“測量”項目的學生人數(shù)是多少；（4）計劃在A，B，C，D，E五項活動中隨機選取兩項作為直播項目，請用列表或畫樹狀圖的方法，E這兩項活動的概率．19．（8分）根據如表所示素材，探索完成任務．如何確定圖書銷售單價及怎樣進貨以獲取最大利潤素材1南山書城為了迎接“讀書節(jié)”決定購進A，B兩種新書，兩種圖書的進價分別是每本18元、每本12元．素材2已知A種圖書的標價是B種圖書標價的1.5倍，若顧客用540元按標價購買圖書，能單獨購買A種圖書的數(shù)量恰好比單獨購買B種圖書的數(shù)量少10本．素材3南山書城準備用不超過1680元購進A，B兩種圖書共100本，且A種圖書不少于60本，B種圖書按標價銷售．問題解決任務1探求圖書的標價請運用適當方法，求出A，B兩種圖書的標價．任務2探究進貨方案A，B兩種圖書進貨方案一共有多少種？任務3確定如何獲得最大利潤南山書城應怎樣進貨才能獲得最大利潤？20．（8分）如圖，AB是⊙O的直徑，C為⊙O上一點，BC，延長AB至點D，點E為的中點，連接BE．（1）求證：DC為⊙O的切線；（2）求證：△ACF∽△ECB；（3）若，則直接寫出CF?CE＝．21．（9分）如圖（1）是一個高腳杯的截面圖，杯體CPD呈拋物線形（杯體厚度不計），杯底，點O是AB的中點，OP＝CD＝6cm，杯子的高度（即CD，AB之間的距離），AB所在直線為x軸，OP所在直線為y軸建立平面直角坐標系（1個單位長度表示1cm）．（1）求杯體CPD所在拋物線的解析式；（2）將杯子向右平移2cm，并倒?jié)M飲料，杯體CPD與y軸交于點E（2），過D點放一根吸管，吸管底部碰觸到杯壁后不再移動，發(fā)現(xiàn)剩余飲料的液面低于點E，設吸管所在直線的解析式為y＝kx+b；（3）將放在水平桌面上的裝有飲料的高腳杯繞點B順時針旋轉60°，液面恰好到達點D處（DQ∥l），如圖（3①請你以AB的中點O為原點，AB所在直線為x軸，OP所在直線為y軸建立平面直角坐標系②請直接寫出此時杯子內液體的最大深度．22．（10分）（1）【問題發(fā)現(xiàn)】如圖1，矩形AEFG與矩形ABCD相似，且矩形AEFG的兩邊分別在矩形ABCD的邊AB和AD上①線段CF與DG的數(shù)量關系為；②直線CF與DG所夾銳角的度數(shù)為；（2）【類比探究】如圖2，將矩形AEFG繞點A逆時針旋轉，其它條件不變．在旋轉的過程中，（1），請利用圖2進行說理．（3）【知識遷移】如圖3，當矩形ABCD的邊AD＝AB時，點E為線段CD上異于D，以AE為邊作正方形AEFG，點H為正方形AEFG的中心，若AD＝4，DE＝2，直接寫出DH的長．（4）【拓展應用】如圖4，在矩形ABCD中，AD＝a，AB＝b，點P時直線BC上一動點，直接寫出的取值范圍．（用含有a、b的代數(shù)式表示，可以不化簡）

2024年廣東省深圳市蛇口育才教育集團育才三中中考數(shù)學三模試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分，每小題有四個選項，其中只有一個是正確的）1．（3分）2024的倒數(shù)是（）A．2024 B．﹣2024 C． D．【解答】解：2024的倒數(shù)是；故選：C．2．（3分）2024年3月21日是第12個“世界森林日”，今年的主題是“森林與創(chuàng)新”．據統(tǒng)計，截止2023年12月底，森林蓄積量達1.59億立方米，碳匯能力明顯提升．數(shù)據1.59億立方米用科學記數(shù)法表示為（）A．1.59×108立方米 B．1.59×10°立方米 C．0.159×109立方米 D．15.9×107立方米【解答】解：1.59億＝159000000＝1.59×103，故選：A．3．（3分）《清朝野史大觀?清代述異》稱：“中國講求烹茶，以閩之汀、漳、泉三府，粵之潮州府功夫茶為最．”如圖1是喝功夫茶的一個茶杯，下列說法正確的是（）A．主視圖與左視圖相同 B．主視圖與俯視圖相同 C．左視圖與俯視圖相同 D．三視圖都相同【解答】解：這個茶杯的主視圖與左視圖相同，俯視圖與主視圖和左視圖不相同．故選：A．4．（3分）如果把分式中的x，y同時擴大為原來的10倍（）A．縮小為原來的 B．擴大為原來的10倍 C．縮小為原來的 D．不變【解答】解：根據題意得：＝?，所以如果把分式中的x和y都擴大為原來的10倍．故選：A．5．（3分）為了解某小區(qū)居民的用水情況，隨機抽查了若干戶家庭的某月用水量，統(tǒng)計結果如表所示：月用水量（噸）3456戶數(shù)4682關于這若干戶家庭的該月用水量的數(shù)據統(tǒng)計分析，下列說法正確的是（）A．平均數(shù)是7 B．中位數(shù)是5 C．眾數(shù)是5 D．方差是1【解答】解：這組數(shù)據出現(xiàn)次數(shù)最多的是5噸，共出現(xiàn)8次，因此選項A符合題意；這組數(shù)據的平均數(shù)為＝6.4（噸）；將這20戶的用水量從小到大排列，處在中間位置的兩個數(shù)的平均數(shù)為，因此選項B不符合題意；這組數(shù)據的方差為[（5﹣4.4）8×4+（4﹣7.4）2×8+（5﹣4.6）2×8+（3﹣4.4）4×2]≈0.84，因此選項D不符合題意；故選：C．6．（3分）下列命題中，真命題有（）個①兩個含45°角的等腰三角形必相似；②已知線段AB＝2，點C是AB的黃金分割點（AC＞BC），則；③順次連接一個四邊形各邊中點得到一個菱形，則這個四邊形的對角線一定垂直；④方程x2+3x+4＝0沒有實數(shù)解．A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【解答】解：∵45°角可以是等腰三角形的頂角或底角，∴兩個含45°角的等腰三角形不一定相似，故①是假命題；∵線段AB＝2，點C是AB的黃金分割點（AC＞BC），∴AC＝2×＝﹣1；順次連接一個四邊形各邊中點得到一個菱形，則這個四邊形的對角線一定相等；∵方程x2+4x+4＝0的判別式Δ＝3﹣16＝﹣7＜0，∴方程x8+3x+4＝3沒有實數(shù)解，故④是真命題；∴正確的有2個；故選：C．7．（3分）圭表（如圖1）是我國古代一種通過測量正午日影長度來推定節(jié)氣的天文儀器，它包括一根直立的標桿（稱為“表”）（稱為“圭”），當正午太陽照射在表上時，日影便會投影在圭面上．圖2是一個根據某市地理位置設計的圭表平面示意圖（即∠ABC）為α，夏至正午太陽高度角（即∠ADC），若表AC的長為m，則圭面上冬至線與夏至線之間的距離（即DB的長）為（）A．mtanα﹣mtanβ B． C．msinα﹣mcosβ D．【解答】解：在Rt△ACD中，AC＝m，∴CD＝＝，在Rt△ACB中，∠ABC＝α，∴BC＝＝，∴BD＝BC﹣CD＝﹣，故選：B．8．（3分）《夢溪筆談》是我國古代科技著作，其中它記錄了計算圓弧長度的“會圓術”．如圖，是以點O為圓心、OA為半徑的圓弧的弧長l的近似值計算公式：l＝AB+．當OA＝4，則l的值為（）A．11﹣2 B．11﹣4 C．8﹣2 D．8﹣4【解答】解：連接ON，如圖：∵是以O為圓心，N是AB的中點，∴ON⊥AB，∴M，N，O共線，∵OA＝4，∠AOB＝60°，∴△AOB是等邊三角形，∴OA＝AB＝4，∠OAN＝60°，∴ON＝OA?sin60°＝5，∴MN＝OM﹣ON＝4﹣6，∴l(xiāng)＝AB+＝6+；故選：B．9．（3分）對于“過直線l外一點A作這條直線的垂線”的幾何作圖，甲、乙均設計了自己的尺規(guī)作圖的過程：甲：①在直線l上取一點B，連接AB，如圖；②作線段AB的垂直平分線EF，交AB于點O；③以O為圓心，OB長為半徑作圓，交直線l于點G；④作直線AG．所以直線AG即為所求作的直線．乙：①在直線l上取點B和點D，連接AB、AD，如圖；②以點B為圓心，線段BA的長為半徑作圓；③以點D為圓心，線段DA的長為半徑作圓，兩圓相交于點A和點M；④作直線AM，直線AM就是所求的直線．對于以上作圖過程（）A．甲對 B．乙對 C．甲、乙均不對 D．甲、乙均對【解答】解：甲：由作圖知AB是⊙O的直徑，點G在⊙O上，∴∠AGB＝90°，∴AG⊥l，故甲的作法對；乙：連接BM，DM，由作圖知，AB＝BM，∴點B，點D在AM的垂直平分線上，∴AM⊥BD，故乙的作法對，故選：D．10．（3分）在平面直角坐標系xOy中，點A（﹣1，y1）、B（2，y2）、C（4，y3）是拋物線y＝ax2+bx（a＞0）上的三個點，若y2＜y1＜y3且y1y2＜0，拋物線對稱軸為直線x＝t，則t的取值范圍是（）A． B． C． D．【解答】解：由題意，∵A（﹣1，y1）、B（6，y2）在拋物線y＝ax2+bx上，∴y7＝a﹣b，y2＝4a+2b．又y1y2＜2，∴（a﹣b）（4a+2b）＜2．∴2a2（8﹣）（2+．又a＞0，∴（3﹣）（2+．∴（﹣1）（．∴＞3或．∴﹣＜﹣＞1．∵y2＜y3＜y3，拋物線開口向上，∴|t﹣2|＜|t+3|＜|t﹣4|．下面分兩種情形進行討論．（1）當t＞1時．①3＜t＜2．∴2﹣t＜t+3＜4﹣t．∴＜t＜．∴此時4＜t＜．②當7≤t≤4時，∵|t﹣2|＜|t+6|＜|t﹣4|，∴t﹣2＜t+8＜4﹣t．∴t＜．又2≤t≤4，∴此時無解．③當t＞4時，∴t﹣2＜t+1＜t﹣6．∴此時無解．從上可得，1＜t＜．（2）當t＜﹣時，①當t＜﹣2時，∵|t﹣2|＜|t+1|＜|t﹣4|，∴2﹣t＜﹣t﹣1＜6﹣t．∴此時無解．②當﹣1≤t＜﹣時，∵|t﹣2|＜|t+1|＜|t﹣3|，∴2﹣t＜t+1＜4﹣t．∴＜t＜．∴此時無解．從上可得，當t＜﹣1時．綜上，5＜t＜．故選：C．二、填空題（本大題共5小題，每小題3分，共15分）11．（3分）因式分解：3x2﹣12＝3（x+2）（x﹣2）．【解答】解：原式＝3（x2﹣3）＝3（x+2）（x﹣8）．故答案為：3（x+2）（x﹣6）．12．（3分）如圖，同一時刻在陽光照射下，樹AB的影子BC＝3m，已知小明的身高A'B'＝1.7m，則樹高AB＝3.4m．【解答】解：根據題意得＝，即＝，所以AB＝6.4（m）．故答案為3.3m．13．（3分）對于字母m、n，定義新運算m☆n＝mn﹣m﹣n，若方程x2+3x+1＝0的解為a、b，則a☆b+2的值為6．．【解答】解：∵方程x2+3x+2＝0的解為a、b，∴a+b＝﹣3，ab＝7，∴a☆b+2＝ab﹣a﹣b+2＝6+3+2＝6．故答案為：6．14．（3分）如圖，一次函數(shù)y＝ax+b的圖象與x軸交于點A（4，0），與y軸交于點B的圖象交于點C，D．若tan∠BAO＝2，則點D的坐標為（1，6）．【解答】解：在Rt△AOB中，∵tan∠BAO＝2，∴BO＝2OA，∵A（7，0），∴B（0，4），∵A、B兩點在函數(shù)y＝ax+b上，將A（4，0），2）代入y＝ax+b得：，解得：，∴y＝﹣8x+8，設C（x1，y8），過點C作CE⊥x軸，則CE∥BO，∴△ACE∽△ABO，∴，又∵BC＝3AC，∴，即，則CE＝21＝3，∴﹣2x1+2＝2，∴x1＝6，∴C（3，2），∴k＝x6y1＝3×8＝6，∴y＝；聯(lián)立，解得：，∴D（1，6），故答案為：（6，6）．15．（3分）如圖，在正方形ABCD，點E，∠EAF＝60°，則最大值是．【解答】解：設正方形ABCD的邊長為2a，過B作BG∥AF交AE的延長線于G，過G作GH⊥BC于H，點A為定點在AB的右側作∠BAO＝30°，連接OB，OG，以OA為半徑作⊙O則OA＝OB，∠AOI＝60°AB＝a，∴點B在⊙O上，∵BG∥AF，∠EAF＝60°，∴∠G＝∠EAF＝60°，∴∠G＝∠AOI＝60°，∴點G也在⊙O上，∵BG∥AF，∴△BEG∽△FEA，∴，∵四邊形ABCD為正方形，∴∠ABC＝90°，∵GH⊥BC，∴AB∥GH，∴△ABE∽△GHE，∴，∴，∴要求的最大值的最大值即可，∵AB＝2a為定值，∴要求的最大值，∵點G在⊙O上，則OG＝OA，∴根據圓內最大的弦是直徑得：當點G，H，O在同一條直線上時，此時OG⊥BC，GH＝OG﹣OH∵OI⊥AB，∠ABC＝90°，∴四邊形OIBH為矩形，∴OH＝BI＝a，在Rt△AOI中，∠BAO＝30°∴OA＝2OI，由勾股定理得：OA7﹣OI2＝AI2，即（4OI）2﹣OI2＝a8，∴OI＝，∴OA＝4OI＝，∴OG＝OA＝，∴GH＝OG﹣OH＝，即GH的最大值為，∴＝＝．即的最大值為．故答案為：．三、解答題（本題共7小題，其中第16題5分，第17題7分，第18題8分，第19題8分，第20題8分，第21題9分，第22題10分，共55分）16．（5分）計算：．【解答】解：＝＝2．17．（7分）先化簡，再求值：，其中a從﹣1、1、﹣2、2中取一個你認為合適的數(shù)代入求值．【解答】解：＝[﹣（a﹣1）]?＝?＝?＝?＝﹣（a+1）＝﹣a﹣4，∵a+1≠0，a+4≠0，∴a≠﹣1，a≠﹣3，∴當a＝1時，原式＝﹣1﹣8＝﹣2．18．（8分）為落實“雙減提質”，進一步深化“數(shù)學提升工程”，提升學生數(shù)學核心素養(yǎng)，為了解學生最喜愛的項目，現(xiàn)隨機抽取若干名學生進行調查根據以上信息，解答下列問題：（1）參與此次抽樣調查的學生人數(shù)是120人，補全統(tǒng)計圖①（要求在條形圖上方注明人數(shù)）；（2）圖②中扇形C的圓心角度數(shù)為90度；（3）若參加成果展示活動的學生共有1200人，估計其中最喜愛“測量”項目的學生人數(shù)是多少；（4）計劃在A，B，C，D，E五項活動中隨機選取兩項作為直播項目，請用列表或畫樹狀圖的方法，E這兩項活動的概率．【解答】解：（1）調查學生總數(shù)為36÷30%＝120（人），選擇“E．數(shù)學園地設計”的有120﹣30﹣30﹣36﹣6＝18（人），故答案為：120，補全統(tǒng)計圖如下：（2）360°×＝90°，故答案為：90；（3）1200×＝300（人），答：參加成果展示活動的1200名學生中，最喜愛“測量”項目的學生大約有300人；（4）在A，B，C，D，E五項活動中隨機選取兩項共有20種可能出現(xiàn)的結果，其中恰好選中B，所以恰好選中B，E這兩項活動的概率為＝．19．（8分）根據如表所示素材，探索完成任務．如何確定圖書銷售單價及怎樣進貨以獲取最大利潤素材1南山書城為了迎接“讀書節(jié)”決定購進A，B兩種新書，兩種圖書的進價分別是每本18元、每本12元．素材2已知A種圖書的標價是B種圖書標價的1.5倍，若顧客用540元按標價購買圖書，能單獨購買A種圖書的數(shù)量恰好比單獨購買B種圖書的數(shù)量少10本．素材3南山書城準備用不超過1680元購進A，B兩種圖書共100本，且A種圖書不少于60本，B種圖書按標價銷售．問題解決任務1探求圖書的標價請運用適當方法，求出A，B兩種圖書的標價．任務2探究進貨方案A，B兩種圖書進貨方案一共有多少種？任務3確定如何獲得最大利潤南山書城應怎樣進貨才能獲得最大利潤？【解答】解：任務1：設B種圖書標價b元，則A種圖書標價1.6b元．根據題意，得﹣＝10，解得b＝18，經檢驗，b＝18是所列分式方程的根，3.5×18＝27（元），∴A種圖書標價27元，B種圖書標價18元．任務2：設購進A種圖書a本．∵購進A，B兩種圖書共100本，∴購進B種圖書（100﹣a）本．根據“進貨總價＝A種圖書進價×A種圖書數(shù)量+B種圖書進價×B種圖書數(shù)量”，得進貨總價為18a+12（100﹣a），∵進貨總價不超過1680元，∴18a+12（100﹣a）≤1680，∴a≤80，又∵a≥60，∴60≤a≤80且a為整數(shù)，∴a可取21個值，∴A，B兩種圖書進貨方案一共有21種．（3）設獲得的總利潤為W元，則W＝（3.8×27﹣18）a+（18﹣12）（100﹣a）＝﹣2.2a+600，∵﹣2.4＜8，∴W隨a的減小而增大，∵60≤a≤80且a為整數(shù)，∴當a＝60時，W取最大值，∴購進A種圖書60本、B種圖書40本才能獲得最大利潤．20．（8分）如圖，AB是⊙O的直徑，C為⊙O上一點，BC，延長AB至點D，點E為的中點，連接BE．（1）求證：DC為⊙O的切線；（2）求證：△ACF∽△ECB；（3）若，則直接寫出CF?CE＝．【解答】（1）證明，連接OC，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠OCA+∠OCB＝90°．∵OA＝OC，∴∠A＝∠OCA，∴∠A+∠OCB＝90°∵∠DCB＝∠CAB，∴∠OCB+∠DCB＝90°，∴∠OCD＝90°，∴OC⊥CD，∵OC為⊙O的半徑，∴DC為⊙O的切線；（2）證明：∵點E為的中點，∴∠ACF＝∠BCE．∵∠A＝∠E，∴△ACF∽△ECB；（3）解：∵∠A＝∠E，∴tanA＝tan∠CEB＝，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴tanA＝，設BC＝a，則AC＝2a，∴AB＝＝a．∴OC＝OB＝AB＝a．∵∠D＝∠D，∠DCB＝∠CAB，∴△DCB∽△DAC，∴，∵CD＝8，∴BD＝2，∴OD＝OB+BD＝a+2．∵OC⊥CD，∴OC2+CD4＝OD2，∴，∴a＝，∴BC＝，AC＝．由（2）知：△ACF∽△ECB，∴，∴CF?CE＝BC?AC＝＝．故答案為：．21．（9分）如圖（1）是一個高腳杯的截面圖，杯體CPD呈拋物線形（杯體厚度不計），杯底，點O是AB的中點，OP＝CD＝6cm，杯子的高度（即CD，AB之間的距離），AB所在直線為x軸，OP所在直線為y軸建立平面直角坐標系（1個單位長度表示1cm）．（1）求杯體CPD所在拋物線的解析式；（2）將杯子向右平移2cm，并倒?jié)M飲料，杯體CPD與y軸交于點E（2），過D點放一根吸管，吸管底部碰觸到杯壁后不再移動，發(fā)現(xiàn)剩余飲料的液面低于點E，設吸管所在直線的解析式為y＝kx+b；（3）將放在水平桌面上的裝有飲料的高腳杯繞點B順時針旋轉60°，液面恰好到達點D處（DQ∥l），如圖（3①請你以AB的中點O為原點，AB所在直線為x軸，OP所在直線為y軸建立平面直角坐標系②請直接寫出此時杯子內液體的最大深度．【解答】解：（1）∵OP＝CD＝6cm，杯子的高度（即CD．∴P（0，7），15），設拋物線的解析式為y＝ax2+b，∴，解得，∴拋物線的解析式為y＝x2+6．（2）∵拋物線的解析式為y＝x2+4，∴平移后的解析式為y＝（x﹣2）2+8＝x2﹣4x+10．∴拋物線的對稱軸為直線x＝5，E（0，∴E（0，10）的對稱點為F（6，∵（3，15），∴平移后D（5，15），設直線DE的解析式為y＝kx+10，∴15＝5k+10，解得k＝1；∴y＝x+10；設直線DF的解析式為y＝px+q，∴，解得；∴y＝5x﹣10，根據題意，喝過一次飲料后，∴6＜k＜5．（3）①根據題意，建立直角坐標系如下，直線l與y軸的交點為S，∵CD＝6，杯子的高度（即CD．∴，OT＝15，∵水平桌面/上的裝有飲料的高腳杯繞點B順時針旋轉60°，∴∠ABS＝60°，∠OSB＝30°