高中數(shù)學(xué)第三章三角恒等變換3-1-3二倍角的正弦余弦正切公式課件新人教A版必修4

3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式必備知識·自主學(xué)習(xí)1.二倍角的正弦、余弦及正切公式(1)sin2α=______________(S2α).

(2)cos2α=cos2α-sin2α=_________=1-2sin2α(C2α).(3)tan2α=_________(T2α).2sinαcosα2cos2α-1【思考】(1)所謂的“二倍角”公式,就是角α與2α之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系,對嗎?提示:不對.對于“二倍角”應(yīng)該廣義的理解,如:8α是4α的二倍角,3α是α的二倍角,α是的二倍角,是的二倍角,…這里蘊(yùn)含著換元思想.這就是說“倍”是相對而言的,是描述兩個數(shù)量之間關(guān)系的.(2)公式中的角α是任意角嗎?提示:對于公式S2α,C2α中的角α是任意角,但是T2α中的角α要保證tanα有意義且分母1-tan2α≠0.2.二倍角公式的變換(1)因式分解變換cos2α=cos2α-sin2α=(cosα+sinα)(cosα-sinα).(2)配方變換1±sin2α=sin2α+cos2α±2sinαcosα=(sinα±cosα)2.(3)升冪縮角變換1+cos2α=2cos2α,1-cos2α=2sin2α.(4)降冪擴(kuò)角變換cos2α=(1+cos2α),sin2α=(1-cos2α),sinαcosα=sin2α.【思考】如何在倍角公式中用2α±解題?提示:(1)sin2α==2cos2-1=1-2sin2.(2)cos2α=sin=sin=2sincos.(3)cos2α=sin=sin=2sincos.【思考】如何在倍角公式中用2α±解題?提示:(1)sin2α==2cos2-1=1-2sin2.(2)cos2α=sin=sin=2sincos.(3)cos2α=sin=sin=2sincos.【基礎(chǔ)小測】1.辨析記憶(對的打“√”,錯的打“×”)(1)二倍角的正切公式的適用范圍不是任意角. (

)(2)對于任意的角α,都有sin2α=2sinα成立. (

)(3)存在角α,cos2α=2cosα成立. (

)(4)cos3αsin3α=sin6α對任意的角α都成立. (

)提示:(1)√.二倍角的正切公式,要求α≠+kπ(k∈Z)且α≠±+kπ(k∈Z),故此說法正確.(2)×.當(dāng)α=時,sin2α=sin=,而2sinα=2×=1.(3)√.由cos2α=2cosα=2cos2α-1,得cosα=(正值舍去)時,cos2α=2cosα成立.(4)√.由二倍角正弦公式可得.2.(教材二次開發(fā):練習(xí)改編)sin75°cos75°=________.

【解析】由已知得:sin75°cos75°=×2sin75°cos75°=sin150°=.答案:

3.若tan2α=2,則tan4α=________.

【解析】tan4α=答案:-

關(guān)鍵能力·合作學(xué)習(xí)類型一二倍角公式的正用、逆用(直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算)【題組訓(xùn)練】1.(2020·全國Ⅰ卷)已知α∈(0,π),且3cos2α-8cosα=5,則sinα= (

)

2.sin10°sin30°sin50°sin70°=________.

3.計算:=________.

關(guān)鍵能力·合作學(xué)習(xí)類型一二倍角公式的正用、逆用(直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算)【題組訓(xùn)練】1.(2020·全國Ⅰ卷)已知α∈(0,π),且3cos2α-8cosα=5,則sinα= (

)

2.sin10°sin30°sin50°sin70°=________.

3.計算:=________.

【解析】1.選A.3cos2α-8cosα=5,得6cos2α-8cosα-8=0,即3cos2α-4cosα-4=0,解得cosα=-或cosα=2(舍去),又因?yàn)棣痢?0,π),所以sinα=2.原式=cos80°cos60°cos40°cos20°答案:

3.原式=答案:

【解題策略】二倍角公式的正用、逆用解題的關(guān)注點(diǎn)(1)注意觀察式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)及角之間是否存在特殊的倍數(shù)關(guān)系,靈活正用或逆用二倍角公式.(2)結(jié)合誘導(dǎo)公式恰當(dāng)變化函數(shù)名稱,靈活處理系數(shù),構(gòu)造二倍角公式的形式.【補(bǔ)償訓(xùn)練】1.(2019·全國卷Ⅱ)已知α∈,2sin2α=cos2α+1,則sinα=(

)

【解析】選B.因?yàn)?sin2α=cos2α+1,所以4sinα·cosα=2cos2α,因?yàn)棣痢?所以cosα>0,sinα>0,所以2sinα=cosα,又sin2α+cos2α=1,所以5sin2α=1,sin2α=,又sinα>0,所以sinα=.2.(2020·鄭州高一檢測)求下列各式的值.(1)1-2sin2750°.(2)(3)【解析】(1)原式=cos(2×750°)=cos1500°=cos(4×360°+60°)=cos60°=.(2)原式=tan(2×150°)=tan300°=tan(360°-60°)=-tan60°=-.類型二條件求值(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)【典例】1.(2020·承德高一檢測)已知sin則cos的值等于 (

)2.已知的值為________.

3.(2019·江蘇高考)已知的值是________.

【思路導(dǎo)引】1.分析角的關(guān)系.2.分析-x與+x,與2x的關(guān)系或先化簡目標(biāo)或再找與已知條件間的關(guān)系.3.先利用和角的正切公式由已知條件求出tanα的值,再用和角正弦公式將sin展開,升冪后,弦化切,代入求值.【解析】1.選C.因?yàn)?/p>

2.因?yàn)?<x<所以答案:

3.由

得3tan2α-5tanα-2=0,解得tanα=2,或tanα=-.當(dāng)tanα=2時,上式=當(dāng)tanα=-時,上式=綜上,sin答案:

【解題策略】解決條件求值問題的方法(1)有方向地將已知式或未知式化簡,使關(guān)系明朗化;尋找角之間的關(guān)系,看是否適合相關(guān)公式的使用,注意常見角的變換和角之間的二倍關(guān)系.(2)當(dāng)遇到±x這樣的角時可利用互余角的關(guān)系和誘導(dǎo)公式,將條件與結(jié)論溝通.【補(bǔ)償訓(xùn)練】1.已知sin,那么cos=(

)

【解析】選A.由題意有:=1-2sin2

2.已知=________.

【解析】

所以0<-α<,又cos所以所以原式=2×答案:

類型三二倍角公式的化簡、證明問題(邏輯推理)角度1恒等式證明問題

【典例】求證:cos2(A+B)-sin2(A-B)=cos2Acos2B.【思路導(dǎo)引】可考慮從左向右證的思路:先把左邊降冪擴(kuò)角,再用余弦的和、差角公式轉(zhuǎn)化為右邊形式.【證明】左邊===(cos2Acos2B-sin2Asin2B+cos2Acos2B+sin2Asin2B)=cos2Acos2B=右邊,所以等式成立.【變式探究】將本例改為:求證:【證明】左邊==右邊,故原式得證.角度2化簡問題

【典例】化簡:(1)(2)【思路導(dǎo)引】(1)化2θ為θ,消去1→提公因式,約分→結(jié)論.(2)【解析】(1)方法一:方法二:(2)原式=【解題策略】1.三角函數(shù)式的化簡原則一是統(tǒng)一角,二是統(tǒng)一函數(shù)名.能求值的求值,必要時切化弦,更易通分、約分.2.證明三角恒等式的原則與步驟(1)觀察恒等式兩端的結(jié)構(gòu)形式,處理原則是從復(fù)雜到簡單,高次降低,復(fù)角化單角,如果兩端都比較復(fù)雜,就將兩端都化簡,即采用“兩頭湊”的思想.(2)證明恒等式的一般步驟①先觀察,找出角、函數(shù)名稱、式子結(jié)構(gòu)等方面的差異;②本著“復(fù)角化單角”“異名化同名”“變換式子結(jié)構(gòu)”“變量集中”等原則,設(shè)法消除差異,達(dá)到證明的目的.【題組訓(xùn)練】1.(2020·日照高一檢測)化簡:(1)<α<,則=________.

(2)α為第三象限角,則=________.

【解析】(1)因?yàn)棣痢?所以sinα>cosα,所以

=sinα-cosα.(2)因?yàn)棣翞榈谌笙藿?所以cosα<0,sinα<0,所以

答案:(1)sinα-cosα

(2)02.求證:tan2x+【證明】方法一:(切化弦)因?yàn)樽筮?

=右邊,所以等式成立.方法二:(弦化切)因?yàn)橛疫?

=左邊,所以等式成立.【補(bǔ)償訓(xùn)練】1.化簡:(1),其中α∈.(2),其中θ∈(0,π).【解析】(1)因?yàn)棣痢?所以cosα>0,,所以cos<0.故原式(2)原式=①當(dāng)θ∈時,∈,cos≥sin>0,此時原式=sin+cos-cos+sin=2sin.②當(dāng)θ∈時,∈,0<cos<sin,此時原式=sin+cos-sin+cos=2cos.2.求證:cos2θ(1-tan2θ)=cos2θ.【證明】方法一:左邊=cos2θ=cos2θ-sin2θ=cos2θ=右邊.方法二:右邊=cos2θ=cos2θ-sin2θ=cos2θ=cos2θ(1-tan2θ)=左邊.【拓展延伸】萬能公式:(1)cos2α=,(2)sin2α=(3)tan2α=公式(1),(2)的推導(dǎo):(1)cos2α=cos2α-sin2α=(2)sin2α=2sinαcosα=【拓展訓(xùn)練】已知

=-5,求3cos2α+4sin2α的值.【解析】因?yàn)?/p>

=-5,所以=-5,所以tanα=2.所以3cos2α+4sin2α=【補(bǔ)償訓(xùn)練】化簡【解析】原式=

備選類型二倍角在三角函數(shù)中的應(yīng)用(數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模)【典例】求函數(shù)f(x)=5cos2x+sin2x-4sinxcosx,x∈的最小值,并求其單調(diào)遞減區(qū)間.【思路導(dǎo)引】【解析】f(x)=因?yàn)樗詓in所以當(dāng)2x-即x=時,f(x)取最小值為

因?yàn)閥=sin在上單調(diào)遞增,所以f(x)在上單調(diào)遞減.【解題策略】此類型題目考查二倍角公式,輔助角公式及三角函數(shù)的性質(zhì).解決這類問題經(jīng)常是先利用公式將函數(shù)表達(dá)式化成形如y=Asin(ωx+φ)的形式,再利用函數(shù)圖象解決問題.【跟蹤訓(xùn)練】(2020·彰化高一檢測)求函數(shù)y=sin4x+2sinxcosx-cos4x的最小正周期和最小值,并寫出該函數(shù)在[0,π]上的單調(diào)遞減區(qū)間.【解析】y=sin4x+2sinxcosx-cos4x=(sin2x+cos2x)(sin2x-cos2x)+2sinxcosx=-cos2x+sin2x==2sin所以最小正周期T==π,ymin=-2.由2kπ+≤2x-≤2kπ+,k∈Z,得kπ+≤x≤kπ+,k∈Z,又x∈[0,π],所以令k=0,得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為1.sin22°30′·cos22°30′的值為 (

)【解析】選B.原式=課堂檢測·素養(yǎng)達(dá)標(biāo)2.(教材二次開發(fā):練習(xí)改編)已知sinx=,則cos2x的值為 (

)

【解析】選A.因?yàn)閟inx=,所以cos2x=1-2sin2x=1-2×3.(2020·大同高一檢測)已知tanα=-,則=________.

【解析】

答案:-4.設(shè)sin2α=-sinα,α∈,則tan2α的值是________.

【解析】因?yàn)閟in2α=-sinα,所以2sinαcosα=-sinα,又α∈,所以sinα≠0,所以cosα=-,所以α=,則tan2α=tan答案:

5.已知sinαcosβ=,求cosαsinβ的最值.【解析】設(shè)t=cosαsinβ,又sinαcosβ=,所以sinαcosβ·cosαsinβ=,即sin2αsin2β=2t.因?yàn)閨sin2αsin2β|≤1,所以|2t|≤1,所以-≤t≤(等號顯然可以取到),所以cosαsinβ的最小值為-,最大值為.Thebestclassroomintheworldisatthefeetofanelderlyperson.世界上最好的課堂在老人的腳下.Havingachildfallasleepinyourarmsisoneofthemostpeacefulfeelingintheworld.讓一個孩子在你的臂彎入睡,你會體會到世間最安寧的感覺.Beingkindismoreimportantthanbeingright.善良比真理更重要.Youshouldneversaynotoagiftfromachild.永遠(yuǎn)不要拒絕孩子送給你的禮物.Sometimesallapersonneedsisahandtoholdandahearttounderstand.有時候,一個人想要的只是一只可握的手和一顆感知的心.Love,nottime,healsallwounds.治愈一切創(chuàng)傷的并非時間,而是愛.Lifeistough,butI'mtougher.生活是艱苦的,但我應(yīng)更堅強(qiáng).勵志名言請您欣賞4.設(shè)sin2α=-sinα,α∈