2021-2022學(xué)年浙江八年級(jí)第二學(xué)期數(shù)學(xué)競賽沖刺卷02(原卷版+解析)

2021-2022學(xué)年浙江八年級(jí)第二學(xué)期數(shù)學(xué)競賽沖刺卷02一．選擇題（共8小題，滿分32分，每小題4分）1．（4分）若|a|＝4，|b|＝2，且|a+b|＝a+b，那么a﹣b的值只能是（）A．2 B．﹣2 C．6 D．2或62．（4分）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+1（a≠0）的圖象的頂點(diǎn)在第二象限，且過點(diǎn)（1，0）．當(dāng)a﹣b為整數(shù)時(shí)，ab＝（）A．0 B． C．﹣ D．﹣23．（4分）如圖，?ABCD中，∠ABC＝75°，AF⊥BC于F，AF交BD于E，若DE＝2AB，則∠AED的大小是（）A．60° B．65° C．70° D．75°4．（4分）對任意三個(gè)實(shí)數(shù)a，b，c，用M{a，b，c}表示這三個(gè)數(shù)的平均數(shù)，用min{a，b，c}表示這三個(gè)數(shù)中最小的數(shù)，若M{2x+y+2，x+2y，2x﹣y}＝min{2x+y+2，x+2y，2x﹣y}，則x+y＝（）A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．45．（4分）定義新運(yùn)算△：a△b＝a+（a+1）+（a+2）+…+（a+b﹣1），其中b為正整數(shù)．如果（x△3）△（2x）＝13，則x＝（）A．1或﹣ B．1或0 C．﹣ D．16．（4分）如圖所示，已知直線與x、y軸交于B、C兩點(diǎn)，A（0，0），在△ABC內(nèi)依次作等邊三角形，使一邊在x軸上，另一個(gè)頂點(diǎn)在BC邊上，作出的等邊三角形分別是第1個(gè)△AA1B1，第2個(gè)△B1A2B2，第3個(gè)△B2A3B3，…則第n個(gè)等邊三角形的邊長等于（）A． B． C． D．7．（4分）已知：如圖，在正方形ABCD外取一點(diǎn)E，連接AE、BE、DE．過點(diǎn)A作AE的垂線交DE于點(diǎn)P．若AE＝AP＝1，PB＝．下列結(jié)論：①△APD≌△AEB；②點(diǎn)B到直線AE的距離為；③EB⊥ED；④S△APD+S△APB＝1+；⑤S正方形ABCD＝4+．其中正確結(jié)論的序號(hào)是（）A．①③④ B．①②⑤ C．③④⑤ D．①③⑤8．（4分）如圖，已知雙曲線經(jīng)過直角三角形OAB斜邊OB的中點(diǎn)D，與直角邊AB相交于點(diǎn)C．若△OBC的面積為6，則k的值為（）A．1 B．2 C．3 D．4二．填空題（共10小題，滿分40分，每小題4分）9．（4分）若以x為未知數(shù)的方程無解，則a＝．10．（4分）計(jì)算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）＝（結(jié)果可用冪的形式表示）．11．（4分）已知y＝x2+mx﹣6，當(dāng)1≤m≤3時(shí)，y＜0恒成立，那么實(shí)數(shù)x的取值范圍是．12．（4分）如圖，在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝90°，點(diǎn)A關(guān)于BC的對稱點(diǎn)是A′，點(diǎn)B關(guān)于AC的對稱點(diǎn)是B′，點(diǎn)C關(guān)于AB的對稱點(diǎn)是C′，若△ABC的面積是1，則△A′B′C′的面積是．13．（4分）方程（x2﹣x﹣1）x+2＝1的整數(shù)解的個(gè)數(shù)是．14．（4分）如圖，正方形ABCD的邊長為1，點(diǎn)P為邊BC上任意一點(diǎn)（可與B點(diǎn)或C點(diǎn)重合），分別過B、C、D作射線AP的垂線，垂足分別是B′、C′、D′，則BB′+CC′+DD′的最大值為，最小值為．15．（4分）對于實(shí)數(shù)a、b，我們定義符號(hào)max{a，b}的意義為：a≥b時(shí)，max{a，b}＝a；當(dāng)a＜b時(shí)，max{a，b}＝b；如：max{4，﹣2}＝4，max{3，3}＝3．解答下列問題：（1）max{1﹣a2，2}＝．（2）若關(guān)于x的函數(shù)為y＝max{﹣x+2，x2﹣2x﹣4}，則函數(shù)的最小值是．16．（4分）如圖，△ABC中，AB＝4，AC＝7，M是BC的中點(diǎn)，AD平分∠BAC，過M作MF∥AD，交AC于F，則FC的長等于．17．（4分）如圖，平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形OABC的邊OA、OC分別落在x、y軸上，點(diǎn)B坐標(biāo)為（6，4），反比例函數(shù)的圖象與AB邊交于點(diǎn)D，與BC邊交于點(diǎn)E，連接DE，將△BDE沿DE翻折到△B'DE處，點(diǎn)B'恰好落在正比例函數(shù)y＝kx圖象上，則k的值是．18．（4分）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a＞0）的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸的正半軸交于點(diǎn)C，它的對稱軸為直線x＝﹣1，有下列結(jié)論：①abc＜0；②4ac﹣b2＜0；③c﹣a＞0；④當(dāng)x＝﹣n2﹣2時(shí)，y≥c；⑤若x1，x2（x1＜x2）是方程ax2+bx+c＝0的兩根，則方程a（x﹣x1）（x﹣x2）﹣1＝0的兩根m，n（m＜n）滿足m＜x1且n＞x2；其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是三．解答題（共4小題，滿分48分）19．（10分）已知：恒成立，其中A，B為常數(shù)，求4A﹣2B的值．20．（10分）如圖1，已知直線y＝2x+2與y軸、x軸分別交于A、B兩點(diǎn)，以B為直角頂點(diǎn)在第二象限作等腰Rt△ABC．（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)，并求出直線AC的關(guān)系式．（2）如圖2，直線CB交y軸于E，在直線CB上取一點(diǎn)D，連接AD，若AD＝AC，求證：BE＝DE．（3）如圖3，在（1）的條件下，直線AC交x軸于M，P（，k）是線段BC上一點(diǎn)，在線段BM上是否存在一點(diǎn)N，使直線PN平分△BCM的面積？若存在，請求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．（14分）若直角三角形三邊長為正整數(shù)，且周長與面積數(shù)值相等，則稱此三角形為“完美直角三角形”，求“完美直角三角形”的三邊長．22．（14分）如圖1．在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝x+1分別與x軸，y軸交于點(diǎn)A，B，拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)B，且與直線y＝x+1的另一個(gè)交點(diǎn)為C（﹣4，n）．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖2，點(diǎn)D是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為t（﹣4＜t＜0），求△DBC面積的最大值；（3）拋物線的對稱軸上是否存在一點(diǎn)P，使得△BCP是以BC為直角邊的直角三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．2021-2022學(xué)年浙江八年級(jí)第二學(xué)期數(shù)學(xué)競賽沖刺卷02一．選擇題（共8小題，滿分32分，每小題4分）1．（4分）若|a|＝4，|b|＝2，且|a+b|＝a+b，那么a﹣b的值只能是（）A．2 B．﹣2 C．6 D．2或6分析：根據(jù)|a|＝4，|b|＝2，且|a+b|＝a+b，即可確定a，b的值，從而求解．【解答】解：∵|a|＝4，|b|＝2∴a＝±4，b＝±2又∵|a+b|＝a+b，則a+b≥0∴a＝4，b＝2或a＝4，b＝﹣2當(dāng)a＝4，b＝2時(shí)，a﹣b＝4﹣2＝2；當(dāng)a＝4，b＝﹣2時(shí)，a﹣b＝4+2＝6．故選：D．【點(diǎn)評】本題主要考查了絕對值的性質(zhì)，若x≠0，且|x|＝a，則x＝±a，根據(jù)任何數(shù)的絕對值一定是非負(fù)數(shù)，正確確定a，b的值，是解決本題的關(guān)鍵．2．（4分）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+1（a≠0）的圖象的頂點(diǎn)在第二象限，且過點(diǎn)（1，0）．當(dāng)a﹣b為整數(shù)時(shí)，ab＝（）A．0 B． C．﹣ D．﹣2分析：首先根據(jù)題意確定a、b的符號(hào)，然后進(jìn)一步確定a的取值范圍，根據(jù)a﹣b為整數(shù)確定a、b的值，從而確定答案．【解答】解：依題意知a＜0，﹣＜0，a+b+1＝0，故b＜0，且b＝﹣a﹣1，a﹣b＝a﹣（﹣a﹣1）＝2a+1，于是﹣1＜a＜0，∴﹣1＜2a+1＜1又a﹣b為整數(shù)，∴2a+1＝0，故a＝b＝﹣，ab＝，故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是能夠根據(jù)圖象經(jīng)過的點(diǎn)確定a+b+c的值和a、b的符號(hào)，難度中等．3．（4分）如圖，?ABCD中，∠ABC＝75°，AF⊥BC于F，AF交BD于E，若DE＝2AB，則∠AED的大小是（）A．60° B．65° C．70° D．75°分析：由DE＝2AB，可作輔助線：取DE中點(diǎn)O，連接AO，根據(jù)平行四邊形的對邊平行，易得△ADE是直角三角形，由直角三角形斜邊上的中線是斜邊的一半，即可得△ADO，△AOE，△AOB是等腰三角形，借助于方程求解即可．【解答】解：取DE中點(diǎn)O，連接AO，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠DAB＝180°﹣∠ABC＝105°，∵AF⊥BC，∴AF⊥AD，∴∠DAE＝90°，∴OA＝DE＝OD＝OE，∵DE＝2AB，∴OA＝AB，∴∠AOB＝∠ABO，∠ADO＝∠DAO，∠AED＝∠EAO，∵∠AOB＝∠ADO+∠DAO＝2∠ADO，∴∠ABD＝∠AOB＝2∠ADO，∴∠ABD+∠ADO+∠DAB＝180°，∴∠ADO＝25°，∠AOB＝50°，∵∠AED+∠EAO+∠AOB＝180°，∴∠AED＝65°．故選：B．【點(diǎn)評】此題考查了直角三角形的性質(zhì)（直角三角形斜邊上的中線是斜邊的一半）、平行四邊形的性質(zhì)（平行四邊形的對邊平行）以及等腰三角形的性質(zhì)（等邊對等角），解題的關(guān)鍵是注意方程思想的應(yīng)用．4．（4分）對任意三個(gè)實(shí)數(shù)a，b，c，用M{a，b，c}表示這三個(gè)數(shù)的平均數(shù)，用min{a，b，c}表示這三個(gè)數(shù)中最小的數(shù)，若M{2x+y+2，x+2y，2x﹣y}＝min{2x+y+2，x+2y，2x﹣y}，則x+y＝（）A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4分析：根據(jù)題中規(guī)定的M{a、b、c}表示這三個(gè)數(shù)的平均數(shù)，min{a、b、c}表示a、b、c這三個(gè)數(shù)中的最小數(shù)，列出方程組即可求解．【解答】解：M{2x+y+2，x+2y，2x﹣y}＝min{2x+y+2，x+2y，2x﹣y}，則2x+y+2＝x+2y＝2x﹣y，解得：x＝﹣3，y＝﹣1，則x+y＝﹣4．故選：A．【點(diǎn)評】此題考查了解一元一次不等式組，解二元一次方程組，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，根據(jù)題意結(jié)合方程和不等式去求解．5．（4分）定義新運(yùn)算△：a△b＝a+（a+1）+（a+2）+…+（a+b﹣1），其中b為正整數(shù)．如果（x△3）△（2x）＝13，則x＝（）A．1或﹣ B．1或0 C．﹣ D．1分析：理解新運(yùn)算a△b＝a+（a+1）+（a+2）+…+（a+b﹣1），根據(jù)式子的特點(diǎn)整理出一般性結(jié)論，分兩步運(yùn)用法則得方程求解．【解答】解：∵a△b＝a+（a+1）+（a+2）+…+（a+b﹣1）＝ab+[1+2+…+（b﹣1）]＝ab+，∴（x△3）△（2x）＝（3x+3）△（2x）＝（3x+3）（2x）+＝8x2+5x＝13，∴（x﹣1）（8x+13）＝0，x1＝1，x2＝﹣．但x2＝﹣使得2x不是正整數(shù)，與△運(yùn)算的定義不符，∴x＝1．故選：D．【點(diǎn)評】此題考查了理解、運(yùn)用新知識(shí)的能力，是學(xué)生自學(xué)能力的反映，難度中等．6．（4分）如圖所示，已知直線與x、y軸交于B、C兩點(diǎn)，A（0，0），在△ABC內(nèi)依次作等邊三角形，使一邊在x軸上，另一個(gè)頂點(diǎn)在BC邊上，作出的等邊三角形分別是第1個(gè)△AA1B1，第2個(gè)△B1A2B2，第3個(gè)△B2A3B3，…則第n個(gè)等邊三角形的邊長等于（）A． B． C． D．分析：根據(jù)題目已知條件可推出，AA1＝OC＝，B1A2＝A1B1＝，依此類推，第n個(gè)等邊三角形的邊長等于．【解答】解：∵OB＝，OC＝1，∴BC＝2，∴∠OBC＝30°，∠OCB＝60°．而△AA1B1為等邊三角形，∠A1AB1＝60°，∴∠COA1＝30°，則∠CA1O＝90°．在Rt△CAA1中，AA1＝OC＝，同理得：B1A2＝A1B1＝，依此類推，第n個(gè)等邊三角形的邊長等于．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了一次函數(shù)綜合題．解題時(shí)，將一次函數(shù)、等邊三角形的性質(zhì)及解直角三角形結(jié)合在一起，從而歸納出邊長的規(guī)律．7．（4分）已知：如圖，在正方形ABCD外取一點(diǎn)E，連接AE、BE、DE．過點(diǎn)A作AE的垂線交DE于點(diǎn)P．若AE＝AP＝1，PB＝．下列結(jié)論：①△APD≌△AEB；②點(diǎn)B到直線AE的距離為；③EB⊥ED；④S△APD+S△APB＝1+；⑤S正方形ABCD＝4+．其中正確結(jié)論的序號(hào)是（）A．①③④ B．①②⑤ C．③④⑤ D．①③⑤分析：①利用同角的余角相等，易得∠EAB＝∠PAD，再結(jié)合已知條件利用SAS可證兩三角形全等；③利用①中的全等，可得∠APD＝∠AEB，結(jié)合三角形的外角的性質(zhì)，易得∠BEP＝90°，即可證；②過B作BF⊥AE，交AE的延長線于F，利用③中的∠BEP＝90°，利用勾股定理可求BE，結(jié)合△AEP是等腰直角三角形，可證△BEF是等腰直角三角形，再利用勾股定理可求EF、BF；⑤在Rt△ABF中，利用勾股定理可求AB2，即是正方形的面積；④連接BD，求出△ABD的面積，然后減去△BDP的面積即可．【解答】解：①∵∠EAB+∠BAP＝90°，∠PAD+∠BAP＝90°，∴∠EAB＝∠PAD，又∵AE＝AP，AB＝AD，∴△APD≌△AEB（故①正確）；③∵△APD≌△AEB，∴∠APD＝∠AEB，又∵∠AEB＝∠AEP+∠BEP，∠APD＝∠AEP+∠PAE，∴∠BEP＝∠PAE＝90°，∴EB⊥ED（故③正確）；②過B作BF⊥AE，交AE的延長線于F，∵AE＝AP，∠EAP＝90°，∴∠AEP＝∠APE＝45°，又∵③中EB⊥ED，BF⊥AF，∴∠FEB＝∠FBE＝45°，又∵BE＝＝＝，∴BF＝EF＝（故②不正確）；④如圖，連接BD，在Rt△AEP中，∵AE＝AP＝1，∴EP＝，又∵PB＝，∴BE＝，∵△APD≌△AEB，∴PD＝BE＝，∴S△ABP+S△ADP＝S△ABD﹣S△BDP＝S正方形ABCD﹣×DP×BE＝×（4+）﹣××＝+．（故④不正確）．⑤∵EF＝BF＝，AE＝1，∴在Rt△ABF中，AB2＝（AE+EF）2+BF2＝4+，∴S正方形ABCD＝AB2＝4+（故⑤正確）；故選：D．【點(diǎn)評】本題利用了全等三角形的判定和性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、正方形和三角形的面積公式、勾股定理等知識(shí)．8．（4分）如圖，已知雙曲線經(jīng)過直角三角形OAB斜邊OB的中點(diǎn)D，與直角邊AB相交于點(diǎn)C．若△OBC的面積為6，則k的值為（）A．1 B．2 C．3 D．4分析：過D點(diǎn)作DE⊥x軸，垂足為E，由雙曲線上點(diǎn)的性質(zhì)可知S△AOC＝S△DOE＝k，又可證△OAB∽△OED，根據(jù)相似三角形面積比等于相似比的平方，表示△OAB的面積，利用S△OAB﹣S△OAC＝S△OBC，列方程求k．【解答】解：過D點(diǎn)作DE⊥x軸，垂足為E，由雙曲線上點(diǎn)的性質(zhì)，得S△AOC＝S△DOE＝k，∵DE⊥x軸，AB⊥x軸，∴DE∥AB，∴△OAB∽△OED，又∵OB＝2OD，∴S△OAB＝4S△DOE＝2k，由S△OAB﹣S△OAC＝S△OBC，得2k﹣k＝6，解得k＝4．故選：D．【點(diǎn)評】此題主要考查反比例函數(shù)的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)．同時(shí)要注意運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想．二．填空題（共10小題，滿分40分，每小題4分）9．（4分）若以x為未知數(shù)的方程無解，則a＝﹣1或﹣或﹣2．分析：首先解方程求得x的值，方程無解，即所得方程的解是方程的增根，應(yīng)等于1或2，據(jù)此即可求解a的值．【解答】解：去分母得：x﹣2+a（x﹣1）＝2（a+1）解得：x＝當(dāng)a+1＝0即a＝﹣1時(shí)，方程無解．根據(jù)題意得：＝1時(shí)，解得a＝﹣；當(dāng)＝2時(shí)，解得：a＝﹣2故答案是﹣1或﹣或﹣2．【點(diǎn)評】本題主要考查了方程增根產(chǎn)生的條件，如果方程有增根，則增根一定是能使方程的分母等于0的值．10．（4分）計(jì)算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）＝216﹣1（結(jié)果可用冪的形式表示）．分析：先添加因式（2﹣1），然后連續(xù)多次運(yùn)用平方差公式進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1），＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1），＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1），＝（24﹣1）（24+1）（28+1），＝（28﹣1）（28+1），＝216﹣1．【點(diǎn)評】本題主要考查平方差公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2的利用，添加因式（2﹣1），構(gòu)造出平方差公式的結(jié)構(gòu)是利用公式的關(guān)鍵，也是解本題的難點(diǎn)．11．（4分）已知y＝x2+mx﹣6，當(dāng)1≤m≤3時(shí)，y＜0恒成立，那么實(shí)數(shù)x的取值范圍是﹣3＜x＜．分析：根據(jù)1≤m≤3，得出兩個(gè)不等式：當(dāng)m＝3時(shí)，x2+3x﹣6＜0；當(dāng)m＝1時(shí)，x2+x﹣6＜0；分別解不等式x2+3x﹣6＜0，x2+x﹣6＜0，可求實(shí)數(shù)x的取值范圍．【解答】解：∵1≤m≤3，y＜0，∴當(dāng)m＝3時(shí)，x2+3x﹣6＜0，由y＝x2+3x﹣6＜0，得＜x＜；當(dāng)m＝1時(shí)，x2+x﹣6＜0，由y＝x2+x﹣6＜0，得﹣3＜x＜2．∴實(shí)數(shù)x的取值范圍為：﹣3＜x＜．故答案為：﹣3＜x＜．【點(diǎn)評】本題考查了用二次函數(shù)的方法求自變量x的取值范圍．關(guān)鍵是分類列不等式，分別解不等式．12．（4分）如圖，在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝90°，點(diǎn)A關(guān)于BC的對稱點(diǎn)是A′，點(diǎn)B關(guān)于AC的對稱點(diǎn)是B′，點(diǎn)C關(guān)于AB的對稱點(diǎn)是C′，若△ABC的面積是1，則△A′B′C′的面積是3．分析：連接B′B，并延長交C′A′于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，再根據(jù)對稱的性質(zhì)可知C′B＝BC，A′B＝BA，ACA′C′，且BB′⊥AC，B′E＝BE，得B′D＝3BE，進(jìn)而可得出答案．【解答】解：連接B′B，并延長交C′A′于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，由題設(shè)C′B＝BC，A′B＝BA，ACA′C′，且BB′⊥AC，B′E＝BE，得B′D＝3BE，故S△A′B′C′＝B′D?A′C′＝3×BE?AC＝3S△ABC＝3．故答案為：3．【點(diǎn)評】本題考查的是三角形的面積及等積變換，解答此題的關(guān)鍵是熟知對稱的性質(zhì)、三角形的面積公式等知識(shí)點(diǎn)．13．（4分）方程（x2﹣x﹣1）x+2＝1的整數(shù)解的個(gè)數(shù)是4．分析：方程的右邊是1，因而有兩種情況：第一種是指數(shù)x+3＝0，而底數(shù)不等于0；另一種是，底數(shù)等于1．【解答】解：（1）當(dāng)x+2＝0，x2﹣x﹣1≠0時(shí)，解得x＝﹣2；（2）當(dāng)x2﹣x﹣1＝1時(shí)，解得x＝2或﹣1．（3）當(dāng)x2﹣x﹣1＝﹣1，x+2為偶數(shù)時(shí)，解得：x＝0．因而所有整數(shù)解是﹣2，2，﹣1，0共四個(gè)．故答案為：4．【點(diǎn)評】本題考查了零指數(shù)冪的知識(shí)，有一定難度，注意掌握a0＝1（a是不為0的任意數(shù)）以及1的任何次方都等于1．14．（4分）如圖，正方形ABCD的邊長為1，點(diǎn)P為邊BC上任意一點(diǎn)（可與B點(diǎn)或C點(diǎn)重合），分別過B、C、D作射線AP的垂線，垂足分別是B′、C′、D′，則BB′+CC′+DD′的最大值為2，最小值為．分析：連接AC、DP，根據(jù)三角形的面積公式得出S△DPC＝S△APC＝AP×CC′，根據(jù)S正方形ABCD＝S△ABP+S△ADP+S△DPC，推出BB′+DD′+CC′＝，根據(jù)已知得出1≤AP≤，代入求出即可．【解答】解：連接AC、DP，S正方形ABCD＝1×1＝1，由勾股定理得：AC＝＝，∵AB＝1，∴1≤AP≤，∵△DPC和△APC的邊CP上的高DC＝AB，∴S△DPC＝S△APC＝AP×CC′，1＝S正方形ABCD＝S△ABP+S△ADP+S△DPC＝AP（BB′+DD′+CC′），BB′+DD′+CC′＝，∵1≤AP≤，≤BB′+CC′+DD′≤2，故答案為：2，．【點(diǎn)評】本題考查了正方形性質(zhì)，勾股定理，三角形的面積的應(yīng)用．主要考查學(xué)生運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算能力，題目比較好，但是一道比較難的題目．15．（4分）對于實(shí)數(shù)a、b，我們定義符號(hào)max{a，b}的意義為：a≥b時(shí)，max{a，b}＝a；當(dāng)a＜b時(shí)，max{a，b}＝b；如：max{4，﹣2}＝4，max{3，3}＝3．解答下列問題：（1）max{1﹣a2，2}＝2．（2）若關(guān)于x的函數(shù)為y＝max{﹣x+2，x2﹣2x﹣4}，則函數(shù)的最小值是﹣1．分析：（1）1﹣a2﹣2＝﹣1﹣a2＜0，即1﹣a2＜2，max{1﹣a2，2}＝2，故答案為2；（2）①當(dāng)﹣x+2＞x2﹣2x﹣4時(shí)，即x2﹣x﹣6＜0，則﹣2＜x＜3，則y＝﹣x+2，當(dāng)x＝﹣2時(shí)，函數(shù)最小值y＝2+2＝4；②當(dāng)﹣x+2≤x2﹣2x﹣4時(shí)，即x2﹣x﹣6≥0，則x≤﹣2或x≥3，y＝x2﹣2x﹣4，即可求解．【解答】解：（1）1﹣a2﹣2＝﹣1﹣a2＜0，即1﹣a2＜2max{1﹣a2，2}＝2，故答案為2；（2）①當(dāng)﹣x+2＞x2﹣2x﹣4時(shí)，即x2﹣x﹣6＜0，則﹣2＜x＜3，則y＝﹣x+2，當(dāng)x＝﹣2時(shí)，函數(shù)最小值y＝2+2＝4；②當(dāng)﹣x+2≤x2﹣2x﹣4時(shí)，即x2﹣x﹣6≥0，則x≤﹣2或x≥3，y＝x2﹣2x﹣4，當(dāng)x＝3時(shí)，y取得最小值為﹣1，綜上所述，函數(shù)的最小值為﹣1．故答案為：﹣1．【點(diǎn)評】本題考查的是拋物線與x軸的交點(diǎn)，主要考查函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，要求學(xué)生非常熟悉函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、頂點(diǎn)等點(diǎn)坐標(biāo)的求法，及這些點(diǎn)代表的意義及函數(shù)特征．16．（4分）如圖，△ABC中，AB＝4，AC＝7，M是BC的中點(diǎn)，AD平分∠BAC，過M作MF∥AD，交AC于F，則FC的長等于5.5．分析：可通過作輔助線，即延長FM到N，使MN＝MF，連接BN，延長MF交BA延長線于E，從而利用角之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為線段之間的關(guān)系，進(jìn)而最終可得出結(jié)論．【解答】解：如圖，延長FM到N，使MN＝MF，連接BN，延長MF交BA延長線于E，∵M(jìn)是BC中點(diǎn)，∴BM＝CM，∠BMN＝∠CMF，∴△BMN≌△CMF，∴BN＝CF，∠N＝∠MFC，又∵∠BAD＝∠CAD，MF∥AD，∴∠E＝∠BAD＝∠CAD＝∠CFM＝∠AFE＝∠N，∴AE＝AF，BN＝BE，∴AB+AC＝AB+AF+FC＝AB+AE+FC＝BE+FC＝BN+FC＝2FC，∴FC＝（AB+AC）＝5.5．故答案為5.5．【點(diǎn)評】本題主要考查了全等三角形的判定及性質(zhì)以及角、線段之間的轉(zhuǎn)化問題，能夠熟練掌握．17．（4分）如圖，平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形OABC的邊OA、OC分別落在x、y軸上，點(diǎn)B坐標(biāo)為（6，4），反比例函數(shù)的圖象與AB邊交于點(diǎn)D，與BC邊交于點(diǎn)E，連接DE，將△BDE沿DE翻折到△B'DE處，點(diǎn)B'恰好落在正比例函數(shù)y＝kx圖象上，則k的值是﹣．分析：利用反比例函數(shù)解析式確定D（6，1），E（，4），則BE＝，BD＝3，AD＝1，根據(jù)折疊的性質(zhì)得EB′＝，DB′＝3，∠EB′D＝90°，作B′M⊥AB于M，EN⊥B′M于N，如圖，則MN＝BE＝，EN＝BM，證明Rt△EB′N∽R(shí)t△B′DM，利用相似比得到＝＝＝，設(shè)B′N＝t，則DM＝t，則EN＝3+t，B′M＝（3+t），利用B′N+B′M＝得到t+（3+t）＝，解得t＝，然后表示出B′點(diǎn)的坐標(biāo)，最后把B′點(diǎn)的坐標(biāo)代入y＝kx中可求出k的值．【解答】解：∵四邊形ABCD為矩形，B（6，4），∴E點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4，D點(diǎn)的橫坐標(biāo)為6，當(dāng)x＝6時(shí)，y＝＝1，則D（6，1）；當(dāng)y＝4時(shí)，＝4，解得x＝，則E（，4），∴BE＝，BD＝3，AD＝1，∵△BDE沿DE翻折到△B'DE處，∴EB′＝EB＝，DB′＝DB＝3，∠EB′D＝∠B＝90°，作B′M⊥AB于M，EN⊥B′M于N，如圖，則MN＝BE＝，EN＝BM，∵∠EB′N+∠DB′M＝90°，∠EB′N+∠B′EN＝90°，∴∠B′EN＝∠DB′M，∴Rt△EB′N∽R(shí)t△B′DM，∴＝＝＝＝，設(shè)B′N＝t，則DM＝t，∴EN＝3+t，∴B′M＝EN＝（3+t），∵B′N+B′M＝，∴t+（3+t）＝，解得t＝，∵AM＝DM﹣AD＝×﹣1＝，而+NB′＝+＝，∴B′點(diǎn)的坐標(biāo)為（，﹣），把B′（，﹣）代入y＝kx得k＝﹣，解得k＝﹣．故答案為﹣．【點(diǎn)評】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題：求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)，把兩個(gè)函數(shù)關(guān)系式聯(lián)立成方程組求解，若方程組有解則兩者有交點(diǎn)，方程組無解，則兩者無交點(diǎn)．也考查了折疊的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)．18．（4分）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a＞0）的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸的正半軸交于點(diǎn)C，它的對稱軸為直線x＝﹣1，有下列結(jié)論：①abc＜0；②4ac﹣b2＜0；③c﹣a＞0；④當(dāng)x＝﹣n2﹣2時(shí)，y≥c；⑤若x1，x2（x1＜x2）是方程ax2+bx+c＝0的兩根，則方程a（x﹣x1）（x﹣x2）﹣1＝0的兩根m，n（m＜n）滿足m＜x1且n＞x2；其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是3個(gè)分析：利用二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合法，和二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系對每一個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一判斷即可．【解答】解：∵拋物線的開口方向向上，∴a＞0．∵拋物線的對稱軸為直線x＝﹣1，∴＝﹣1．∴b＝2a．∴b＞0．∵拋物線與y軸交于y軸的正半軸，∴c＞0．∴abc＞0．∴①的結(jié)論錯(cuò)誤；∵拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，∴Δ＝b2﹣4ac＞0．∴4ac﹣b2＜0．∴②的結(jié)論正確；由拋物線可知：當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＝a﹣b+c＜0．∵拋物線的對稱軸為直線x＝﹣1，∴＝﹣1．∴b＝2a．∴a﹣2a+c＜0．∴c﹣a＜0．∴③的結(jié)論錯(cuò)誤；∵x＝0時(shí)，y＝c，拋物線的對稱軸為直線x＝﹣1，∴當(dāng)x＝﹣2時(shí)，y＝c．∵﹣n2﹣2≤﹣2，∴由拋物線的對稱性可知：當(dāng)x＝﹣n2﹣2時(shí)，y≥c．∴④的結(jié)論正確；∵若x1，x2（x1＜x2）是方程ax2+bx+c＝0的兩根，∴a（x﹣x1）（x﹣x2）＝0，A（x1，0），B（x2，0）．設(shè)直線y＝1與拋物線交于點(diǎn)M，N，如圖，分別過點(diǎn)M，N作x軸的垂線，垂足對應(yīng)的數(shù)字為m，n，即方程a（x﹣x1）（x﹣x2）﹣1＝0的兩根m，n，由圖象可得：m＜x1，n＞x2；∴⑤的結(jié)論正確．綜上，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是3個(gè)．故答案為：3個(gè)．【點(diǎn)評】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與字母系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合法，一元二次方程根的判別式，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，拋物線與x軸的交點(diǎn)，二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)的特征，利用數(shù)形結(jié)合法得到字母系數(shù)的關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．三．解答題（共4小題，滿分48分）19．（10分）已知：恒成立，其中A，B為常數(shù)，求4A﹣2B的值．分析：已知等式右邊利用同分母分式的加法法則計(jì)算，利用分式相等的條件求出A與B的值，即可確定出4A﹣2B的值．【解答】解：＝，可得3x2﹣7x+2＝3x2+（A+B）x+A﹣B﹣3，∴，解得：A＝﹣1，B＝﹣6，則4A﹣2B＝﹣4+12＝8．【點(diǎn)評】此題考查了分式的加減法，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．20．（10分）如圖1，已知直線y＝2x+2與y軸、x軸分別交于A、B兩點(diǎn)，以B為直角頂點(diǎn)在第二象限作等腰Rt△ABC．（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)，并求出直線AC的關(guān)系式．（2）如圖2，直線CB交y軸于E，在直線CB上取一點(diǎn)D，連接AD，若AD＝AC，求證：BE＝DE．（3）如圖3，在（1）的條件下，直線AC交x軸于M，P（，k）是線段BC上一點(diǎn)，在線段BM上是否存在一點(diǎn)N，使直線PN平分△BCM的面積？若存在，請求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．分析：（1）如圖1，作CQ⊥x軸，垂足為Q，利用等腰直角三角形的性質(zhì)證明△ABO≌△BCQ，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求OQ，CQ的長，確定C點(diǎn)坐標(biāo)；（2）同（1）的方法證明△BCH≌△BDF，再根據(jù)線段的相等關(guān)系證明△BOE≌△DGE，得出結(jié)論；（3）依題意確定P點(diǎn)坐標(biāo)，可知△BPN中BN邊上的高，再由S△PBN＝S△BCM，求BN，進(jìn)而得出ON．【解答】解：（1）如圖1，作CQ⊥x軸，垂足為Q，∵∠OBA+∠OAB＝90°，∠OBA+∠QBC＝90°，∴∠OAB＝∠QBC，又∵AB＝BC，∠AOB＝∠CQB＝90°，∴△ABO≌△BCQ，∴BQ＝AO＝2，OQ＝BQ+BO＝3，CQ＝OB＝1，∴C（﹣3，1），由A（0，2），C（﹣3，1）可知，直線AC：y＝x+2；（2）如圖2，作CH⊥x軸于H，DF⊥x軸于F，DG⊥y軸于G，∵AC＝AD，AB⊥CB，∴BC＝BD，∴△BCH≌△BDF，∴BF＝BH＝2，∴OF＝OB＝1，∴DG＝OB，∴△BOE≌△DGE，∴BE＝DE；（3）如圖3，直線BC：y＝﹣x﹣，P（，k）是線段BC上一點(diǎn)，∴P（﹣，），由y＝x+2知M（﹣6，0），∴BM＝5，則S△BCM＝．假設(shè)存在點(diǎn)N使直線PN平分△BCM的面積，則BN?＝×，∴BN＝，ON＝，∵BN＜BM，∴點(diǎn)N在線段BM上，∴N（﹣，0）．【點(diǎn)評】本題考查了一次函數(shù)的綜合運(yùn)用．關(guān)鍵是根據(jù)等腰直角三角形的特殊性證明全等三角形，利用全等三角形的性質(zhì)求解．21．（14分）若直角三角形三邊長為正整數(shù)，且周長與面積數(shù)值相等，則稱此三角形為“完