全等三角形的七大模型壓軸題訓(xùn)練(二)(原卷版+解析)

全等三角形的七大模型壓軸題訓(xùn)練（二）1．已知:AB//CD，BP和CP分別平分∠ABC和∠DCB，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB和CD(1)如圖1，EF過點(diǎn)P，且與AB垂直，求證:PE=PF.(2)如圖2，EF過點(diǎn)P，求證:PE=PF.2．在等邊△ABC的頂點(diǎn)A、C處各有一只蝸牛，它們同時(shí)出發(fā)，分別以每分鐘1米的速度由A向B和由C向A爬行，其中一只蝸牛爬到終點(diǎn)時(shí)，另一只也停止運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過t分鐘后，它們分別爬行到D、E處，請(qǐng)問：（1）如圖1，在爬行過程中，CD和BE始終相等嗎？（2）如果將原題中的“由A向B和由C向A爬行”，改為“沿著AB和CA的延長線爬行”，EB與CD交于點(diǎn)Q，其他條件不變，蝸牛爬行過程中∠CQE的大小保持不變，請(qǐng)利用圖2說明：∠CQE=60°；（3）如果將原題中“由C向A爬行”改為“沿著BC的延長線爬行，連接DE交AC于F”，其他條件不變，如圖3，則爬行過程中，DF始終等于EF是否正確？3．如圖,AB=CB,BD=BE,∠ABC=∠DBE=α.(1)當(dāng)α=60°,如圖則，∠DPE的度數(shù)______________(2)若△BDE繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)一定角度，如圖所示，求∠DPE（用α表示）(3)當(dāng)α=90°，其他條件不變，F(xiàn)為AD的中點(diǎn)，求證：EC⊥BF4．如圖點(diǎn)P為△ABC的外角∠BCD的平分線上一點(diǎn)，PA=PB．（1）如圖1，求證：∠PAC=∠PBC；（2）如圖2，作PE⊥BC于E，若AC=5，BC=11，則=；（3）如圖3，若M、N分別是邊AC、BC上的點(diǎn)，且∠MPN=∠APB，則線段AM、MN、BN之間有何數(shù)量關(guān)系，并說明理由．5．如圖,在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，∠PCQ=45°，把∠PCQ繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，在整個(gè)旋轉(zhuǎn)過程中，過點(diǎn)A作AD⊥CP，垂足為D，直線AD交CQ于E．（1）如圖①，當(dāng)∠PCQ在∠ACB內(nèi)部時(shí)，求證：AD+BE=DE；（2）如圖②,當(dāng)CQ在∠ACB外部時(shí),求證AD-BE=DE；（3）在（1）的條件下，若CD=18，S△BCE=2S△ACD，求AE的長．（直接寫結(jié)果）6．已知△ABC中，AC=BC，∠ACB=90゜，點(diǎn)P在射線AC上，連接PB，將線段PB繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90゜得線段BN，AN交直線BC于M．（1）如圖1．若點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，則AM：MN=；MC：AP=（直接寫出結(jié)果）：（2）如圖2，若點(diǎn)P在線段AC上，求證：AP=2MC；（3）如圖3，若點(diǎn)P在線段AC的延長線上，完成圖形，并直接寫出MC：AP=7．如圖，△AOB和△COD均為等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°，點(diǎn)C、D分別在邊OA、OB上的點(diǎn)．連接AD，BC，點(diǎn)H為BC中點(diǎn)，連接OH．（1）如圖1，求證：OH＝AD，OH⊥AD；（2）將△COD繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到圖2所示位置時(shí)，⑴中結(jié)論是否仍成立？若成立，證明你的結(jié)論；若不成立，請(qǐng)說明理由．8．如圖1，在正方形中，分別是上的點(diǎn)，且，則有結(jié)論成立；如圖2，在四邊形中，分別是上的點(diǎn)，且是的一半，那么結(jié)論是否仍然成立?若成立，請(qǐng)證明；不成立，請(qǐng)說明理由．若將中的條件改為：如圖3，在四邊形中，，延長到點(diǎn)，延長到點(diǎn)，使得仍然是的一半，則結(jié)論是否仍然成立?若成立，請(qǐng)證明；不成立，請(qǐng)寫出它們的數(shù)量關(guān)系并證明9．閱讀材料：如圖1，中，點(diǎn)，在邊上，點(diǎn)在上，，，，延長，交于點(diǎn)，，求證：．分析：等腰三角形是一種常見的軸對(duì)稱圖形，幾何試題中我們常將一腰所在的三角形沿著等腰三角形的對(duì)稱軸進(jìn)行翻折，從而構(gòu)造軸對(duì)稱圖形．①小明的想法是：將放到中，沿等腰的對(duì)稱軸進(jìn)行翻折，即作交于(如圖2)②小白的想法是：將放到中，沿等腰的對(duì)稱軸進(jìn)行翻折，即作交的延長線于(如圖3)經(jīng)驗(yàn)拓展：等邊中，是上一點(diǎn)，連接，為上一點(diǎn)，，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，，若，，求的長(用含，的式子表示)．10．如圖1，在中，分別為上一點(diǎn)，且，，.（1）求證：；（2）求證：；（3）若，將繞順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至如圖2所示位置（不動(dòng)），連，取中點(diǎn)，連,為射線上一點(diǎn)，連，求的最小值.11．已知，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，點(diǎn)E是BC上一點(diǎn)，連接AE（1）如圖1，當(dāng)AE平分∠BAC時(shí)，EH⊥AB于H，△EHB的周長為10m，求AB的長；（2）如圖2，延長BC至D，使DC＝BC，將線段AE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得線段AF，連接DF，過點(diǎn)B作BG⊥BC，交FC的延長線于點(diǎn)G，求證：BG＝BE．12．在等邊三角形的兩邊、所在直線上分別有兩點(diǎn)，為外一點(diǎn)，且，，．探究：當(dāng)點(diǎn)分別在直線、移動(dòng)時(shí)，之間的數(shù)量關(guān)系．(1)如圖，當(dāng)點(diǎn)在邊、上，且時(shí)，試說明．(2)如圖，當(dāng)點(diǎn)在邊、上，且時(shí)，還成立嗎？答：．（請(qǐng)?jiān)诳崭駜?nèi)填“一定成立”“不一定成立”或“一定不成立”．(3)如圖，當(dāng)點(diǎn)分別在邊的延長線上時(shí)，請(qǐng)直接寫出之間的數(shù)量關(guān)系．全等三角形的七大模型壓軸題訓(xùn)練（二）1．已知:AB//CD，BP和CP分別平分∠ABC和∠DCB，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB和CD(1)如圖1，EF過點(diǎn)P，且與AB垂直，求證:PE=PF.(2)如圖2，EF過點(diǎn)P，求證:PE=PF.答案:（1）見解析；（2）見解析.分析：（1）過P作PM⊥BC于點(diǎn)M，證明△PBM≌△PBE，△PCM≌△PCF，即可得到PE=PM=PF；（2）在BC上截取BN=BE，連接PN，證明△PBN≌△PBE，△PCN≌△PCF，即可得到PE=PN=PF.【詳解】證明：（1）如圖所示，過P作PM⊥BC于點(diǎn)M，∵AB∥CD，EF⊥AB，∴∠PFC=90°∵BP平分∠ABC，∴∠PBM=∠PBE，在△PBM和△PBE中∴△PBM≌△PBE（AAS）∴PE=PM同理可證△PCM≌△PCF∴PM=PF∴PE=PF（2）如圖所示，在BC上截取BN=BE，連接PN，∵BP平分∠ABC，∴∠PBN=∠PBE，在△PBN和△PBE中∴△PBN≌△PBE（SAS）∴PE=PN，∠PNB=∠PEB∵AB∥CD，∴∠PEB+∠PFC=180°又∵∠PNB+∠PNC=180°，∴∠PNC=∠PFC∵CP平分∠BCD，∴∠PCN=∠PCF，在△PCN和△PCF中∴△PCN≌△PCF（AAS）∴PN=PF，∴PE=PF.【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，運(yùn)用“截長補(bǔ)短”構(gòu)造輔助線是解題的關(guān)鍵.2．在等邊△ABC的頂點(diǎn)A、C處各有一只蝸牛，它們同時(shí)出發(fā)，分別以每分鐘1米的速度由A向B和由C向A爬行，其中一只蝸牛爬到終點(diǎn)時(shí)，另一只也停止運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過t分鐘后，它們分別爬行到D、E處，請(qǐng)問：（1）如圖1，在爬行過程中，CD和BE始終相等嗎？（2）如果將原題中的“由A向B和由C向A爬行”，改為“沿著AB和CA的延長線爬行”，EB與CD交于點(diǎn)Q，其他條件不變，蝸牛爬行過程中∠CQE的大小保持不變，請(qǐng)利用圖2說明：∠CQE=60°；（3）如果將原題中“由C向A爬行”改為“沿著BC的延長線爬行，連接DE交AC于F”，其他條件不變，如圖3，則爬行過程中，DF始終等于EF是否正確？答案:（1）CD和BE始終相等，證明見詳解；（2）證明見詳解；（3）證明見詳解.分析：（1）根據(jù)SAS即可判斷出△ACD≌△CBE，由該全等三角形的判定定理可以推知CD=BE；（2）易知CE=AD，∠EAB=∠DBC，根據(jù)SAS推出△BCD≌△ABE，求出∠BCD=∠ABE，求出∠DQB=∠BCQ+∠CBQ=∠ABE+∠CBQ=180°-∠ABC，∠CQE=180°-∠DQB，即可求出答案；（3）如圖3，過點(diǎn)D作DG∥BC交AC于點(diǎn)G，根據(jù)等邊三角形的三邊相等，可以證明AD=DG=CE，然后證明△DGF和△ECF全等，再根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等即可證明．【詳解】（1）解：CD和BE始終相等，理由如下：如圖1，∵AB=BC=CA，兩只蝸牛速度相同，且同時(shí)出發(fā)，∴CE=AD，∠A=∠BCE=60°，在△ACD與△CBE中，，∴△ACD≌△CBE（SAS），∴CD=BE，即CD和BE始終相等；（2）證明：如圖2，根據(jù)題意得：CE=AD，∵AB=AC，∴AE=BD，∵△ABC是等邊三角形，∴AB=BC，∠BAC=∠ACB=60°，∵∠EAB+∠ABC=180°，∠DBC+∠ABC=180°，∴∠EAB=∠DBC，在△BCD和△ABE中，，∴△BCD≌△ABE（SAS），∴∠BCD=∠ABE∴∠DQB=∠BCQ+∠CBQ=∠ABE+∠CBQ=180°-∠ABC=180°-60°=120°，∴∠CQE=180°-∠DQB=60°，即∠CQE=60°；（3）解：爬行過程中，DF始終等于EF是正確的，理由如下：如圖3，過點(diǎn)D作DG∥BC交AC于點(diǎn)G，∴∠ADG=∠B=∠AGD=60°，∠GDF=∠E，∴△ADG為等邊三角形，∴AD=DG=CE，∵CE=AD，∴DG=CE在△DGF和△ECF中，，∴△DGF≌△EDF（AAS），∴DF=EF．【點(diǎn)睛】本題綜合考查了全等三角形的判定與性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)；題目屬于信息給予題，讀懂題目提供的信息，根據(jù)所提供的思路尋找條件是完成題目證明的關(guān)鍵，也是解答題目的捷徑和最簡潔的思路，主要運(yùn)用三角形全等的判定和全等三角形的性質(zhì)．3．如圖,AB=CB,BD=BE,∠ABC=∠DBE=α.(1)當(dāng)α=60°,如圖則，∠DPE的度數(shù)______________(2)若△BDE繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)一定角度，如圖所示，求∠DPE（用α表示）(3)當(dāng)α=90°，其他條件不變，F(xiàn)為AD的中點(diǎn)，求證：EC⊥BF答案:（1）60°；（2）α；（3）證明見解析．分析：（1）由SAS證明△ABE≌△CBD，得到∠AEB=∠CDB，再由對(duì)頂角相等及三角形內(nèi)角和公式可得∠EPD=∠EBD即可；（2）與（1）同理可求∠DPE=∠DBE，即可得出結(jié)論；（3）延長BF到K，使FK=BF，連接KD，延長EC交BK于M．由SAS證明△AFB≌△DFK，得到AB=KD，∠ABF=∠DKF，進(jìn)而得到BC=KD，KD∥AB，再證明∠BDK=∠4，得到△EBC≌△BDK，由全等三角形對(duì)應(yīng)角相等得到∠1=∠2，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）如圖1，設(shè)BE和CD相交于M．∵∠ABC=∠DBE，∴∠ABE=∠CBD．在△ABE和△CBD中，∵，∴△ABE≌△CBD（SAS），∴∠AEB=∠CDB．在△PME和△BMD中，∵∠PME=∠BMD，∠AEB=∠CDB，∴∠EPD=180°－∠AEB－∠PME=180°－∠CDB－∠BMD=∠MBD=60°；（2）如圖2，同理可求∠DPE=∠DBE=α；（3）如圖3，延長BF到K，使FK=BF，連接KD，延長EC交BK于M．∵AF=DF，∠AFB=∠DFK，BF=KF，∴△AFB≌△DFK，∴AB=KD，∠ABF=∠DKF，∴BC=KD，KD∥AB，∴∠BDK+∠ABD=180°，∴∠BDK=180°－∠ABD=180°－（∠2+∠3+∠4+∠5）=180°－[（90°－∠4）+90°]=∠4．在△EBC和△BDK中，∵EB=BD，∠4=∠BDK，BC=DK，∴△EBC≌△BDK，∴∠1=∠2．∵∠2+∠EBK=90°，∴∠1+∠EBK=90°，∴∠EMB=90°，∴EC⊥BF．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，此類題目往往求解思路相同，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．4．如圖點(diǎn)P為△ABC的外角∠BCD的平分線上一點(diǎn)，PA=PB．（1）如圖1，求證：∠PAC=∠PBC；（2）如圖2，作PE⊥BC于E，若AC=5，BC=11，則=；（3）如圖3，若M、N分別是邊AC、BC上的點(diǎn)，且∠MPN=∠APB，則線段AM、MN、BN之間有何數(shù)量關(guān)系，并說明理由．答案:（1）答案見解析；（2）3：8；（3）AM+MN=BN.分析：試題分析：（1）先利用角平分線定理判斷出PE=PF，進(jìn)而判斷出Rt△PAF≌Rt△PEB，即可得出結(jié)論；（2）先判斷出△PCF≌△PCE，進(jìn)而得出CF=CE，而Rt△PAF≌Rt△PEB得出AF=BE即可得出AC+CF=BC﹣CE，進(jìn)而求出CE=CF=3，即可求出結(jié)論；（3）先判斷出△PMA≌△PQB，進(jìn)而得出∠APB=∠MPQ，即可判斷出△MPN≌△QPC，得出MN=QN即可得出結(jié)論．試題解析：解：（1）如圖1，過點(diǎn)P作PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，∵PC平分∠DCB，∴PE=PF，在Rt△PAF和Rt△PEB中，∵PF=PE，PA=PB，∴Rt△PAF≌Rt△PEB，∴∠PAC=∠PBC；（2）如圖2，過點(diǎn)P作PF⊥AC于F，∵PE⊥BC，CP是∠BCD的平分線，∴PE=PF，∠PCF=∠PCE，∵PC=PC，∴△PCF≌△PCE，∴CF=CE，由（1）知，Rt△PAF≌Rt△PEB，∴AF=BE，∵AF=AC+CF，BE=BC﹣CE，∴AC+CF=BC﹣CE，∴5+CF=11﹣CE，∴CE=CF=3，∵△PFC≌△PEC，∴S△PFC=S△PEC，∵Rt△PAF≌Rt△PEB，∴S△PAF=S△PEB，∴S△PCE：S△PBE=S△PFC：S△PFA=CF×PF：AC×PF=CF：AC=3：（3+5）=3：8；（3）如圖3，在BC上截取BQ=AM，在△PMA和△PQB中，∵PA=PB，∠PAM=∠PBQ，MA=BQ，∴△PMA≌△PQB，∴PM=PQ，∠MPA=QPB，∴∠APM+∠QPB=∠APN+∠MPA，即：∠APB=∠MPQ，∵∠MPN=∠APB，∴∠MPN=∠MPQ，∴∠MPN=∠QPN，在△MPN和△QPC中，∵PN=PN，∠MPN=∠QPN，MP=QP，∴△MPN≌△QPN，∴MN=QN，∴BM=AM+MN．點(diǎn)睛：此題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線定理和角平分線的定義，解（1）的關(guān)鍵是判斷出PE=PF，解（2）的關(guān)鍵是求出CE=CF=3，解（3）的關(guān)鍵是構(gòu)造全等三角形判斷出∠APB=∠MPQ，是一道中等難度的中考?？碱}．5．如圖,在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，∠PCQ=45°，把∠PCQ繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，在整個(gè)旋轉(zhuǎn)過程中，過點(diǎn)A作AD⊥CP，垂足為D，直線AD交CQ于E．（1）如圖①，當(dāng)∠PCQ在∠ACB內(nèi)部時(shí)，求證：AD+BE=DE；（2）如圖②,當(dāng)CQ在∠ACB外部時(shí),求證AD-BE=DE；（3）在（1）的條件下，若CD=18，S△BCE=2S△ACD，求AE的長．（直接寫結(jié)果）答案:（1）見解析；（2）見解析；（3）24【詳解】試題分析：（1）延長DA到F，使DF=DE，根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等可得CE=CF，再求出∠ACF=∠BCE，然后利用“邊角邊”證明△ACF和△BCE全等，根據(jù)全等三角形的即可證明AF=BE，從而得證；（2）在AD上截取DF=DE，然后根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等可得CE=CF，再求出∠ACF=∠BCE，然后利用“邊角邊”證明△ACF和△BCE全等，根據(jù)全等三角形的即可證明AF=BE，從而得到AD=BE+DE；（3）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出CD=DF=DE，再根據(jù)等高的三角形的面積的比等于底邊的比求出AF=2AD，然后求出AD的長，再根據(jù)AE=AD+DE代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可得解．試題解析：（1）如圖①，延長DA到F，使DF=DE，∵CD⊥AE，∴CE=CF，∴∠DCE=∠DCF=∠PCQ=45°，∴∠ACD+∠ACF=∠DCF=45°，又∵∠ACB=90°，∠PCQ=45°，∴∠ACD+∠BCE=90°-45°=45°，∴∠ACF=∠BCE，∵在△ACF和△BCE中，，∴△ACF≌△BCE（SAS），∴AF=BE，∴AD+BE=AD+AF=DF=DE，即AD+BE=DE；（2）如圖②，在AD上截取DF=DE，∵CD⊥AE，∴CE=CF，∴∠DCE=∠DCF=∠PCQ=45°，∴∠ECF=∠DCE+∠DCF=90°，∴∠BCE+∠BCF=∠ECF=90°，又∵∠ACB=90°，∴∠ACF+∠BCF=90°，∴∠ACF=∠BCE，∵在△ACF和△BCE中，，∴△ACF≌△BCE（SAS），∴AF=BE，∴AD=AF+DF=BE+DE，即AD=BE+DE；（3）∵∠DCE=∠DCF=∠PCQ=45°，∴∠ECF=45°+45°=90°，∴△ECF是等腰直角三角形，∴CD=DF=DE=6，∵S△BCE=2S△ACD，∴AF=2AD，∴AD=×6=2，∴AE=AD+DE=2+6=8．【點(diǎn)睛】主要運(yùn)用了全等三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，但難度不是很大，作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．6．已知△ABC中，AC=BC，∠ACB=90゜，點(diǎn)P在射線AC上，連接PB，將線段PB繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90゜得線段BN，AN交直線BC于M．（1）如圖1．若點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，則AM：MN=；MC：AP=（直接寫出結(jié)果）：（2）如圖2，若點(diǎn)P在線段AC上，求證：AP=2MC；（3）如圖3，若點(diǎn)P在線段AC的延長線上，完成圖形，并直接寫出MC：AP=答案:（1）；（2）詳見解析；（3）圖見解析，．【詳解】試題分析：（1）先求出∠C=∠CBN，再利用“AAS”證明△ACM≌△NBM，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AM=MN，MC=MB，再求出AP=AC=2MC，然后求解即可；（2）如圖2，過點(diǎn)N作NE⊥BC于E，根據(jù)同角的余角相等求出∠PBC=∠BNE，然后利用“AAS”證明△PBC≌△BNE，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得BE=PC，NE=BC，然后求出AP=CE，AC=NE，再利用“AAS”證明△ACM≌△NEM，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得MC=ME，整理即可得證；（3）如圖3，過點(diǎn)N作NE⊥BC交CB的延長線于E，然后與（2）的求解方法相同．試題解析：（1）解：∵線段PB繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90゜得線段BN，∴∠CBN=90°，BC=BN，∴∠C=∠CBN，AC=BN，在△ACM和△NBM中，∴△ACM≌△NBM（AAS），∴AM=MN，MC=MB，∴AP=AC=BC=MC+MB=2MC，∴；（2）如圖2，過點(diǎn)N作NE⊥BC于E，∴∠BNE+∠CBN=90°，∵線段PB繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90゜得線段BN，∴∠PBC+∠CBN=90°，∴∠PBC=∠BNE，在△PBC和△BNE中，∴△PBC≌△BNE（AAS），∴BE=PC，NE=BC，∴AP=AC-PC=BC-BE=CE，AC=NE，在△ACM和△NEM中，∴△ACM≌△NEM（AAS），∴MC=ME，∴CE=2MC，∴AP=2MC；（3）如圖3，過點(diǎn)N作NE⊥BC交CB的延長線于E，∴∠BNE+∠CBN=90°，∵線段PB繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90゜得線段BN，∴∠PBC+∠CBN=90°，∴∠PBC=∠BNE，在△PBC和△BNE中，∴△PBC≌△BNE（AAS），∴BE=PC，NE=BC，∴AP=AC-PC=BC-BE=CE，AC=NE，在△ACM和△NEM中，∴△ACM≌△NEM（AAS），∴MC=ME，∵AP=AC+PC，CE=BC+BE=2MC，∴AP=CE=2MC，∴考點(diǎn)：全等三角形的判定及性質(zhì)．7．如圖，△AOB和△COD均為等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°，點(diǎn)C、D分別在邊OA、OB上的點(diǎn)．連接AD，BC，點(diǎn)H為BC中點(diǎn)，連接OH．（1）如圖1，求證：OH＝AD，OH⊥AD；（2）將△COD繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到圖2所示位置時(shí)，⑴中結(jié)論是否仍成立？若成立，證明你的結(jié)論；若不成立，請(qǐng)說明理由．答案:（1）見解析；（2）成立，證明見解析分析：（1）只要證明△AOD≌△BOC（SAS），即可解決問題；（2）如圖2中，結(jié)論：OH=AD，OH⊥AD．延長OH到E，使得HE=OH，連接BE，證明△BEH≌△CHO（SAS），可得OE=2OH，∠EBC=∠BCO，證明△BEO≌△ODA（SAS）即可解決問題；【詳解】（1）∵△OAB與△OCD為等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°．∴OC＝OD，OA＝OB在△AOD與△BOC中∴△AOD≌△BOC（SAS）∴∠ADO＝∠BCO，∠OAD＝∠OBC，BC＝AD∵點(diǎn)H是BC的中點(diǎn)，∠AOB＝90°∴OH＝HB＝∴∠OBH＝∠HOB＝∠OAD，OH＝∵∠OAD＋∠ADO＝90°∴∠ADO＋∠BOH＝90°∴OH⊥AD（2）（1）中結(jié)論成立；如圖，延長OH到E，使得HE＝OH，連接BE，CE∵CH＝BH∴四邊形BOCE是平行四邊形∴BE＝OC，EB∥OC，OH＝OE∴∠EBO＋∠COB＝180°∵∠COB＋∠BOD＝90°，∠BOD＋∠1＝90°∴∠1＝∠COB∵∠AOD＋∠1＝180°∴∠AOD＝∠EBO∴△BEO≌△ODA∴∠EOB＝∠DAO，OE＝AD∴OH＝AD∴∠DAO＋∠AOH＝∠EOB＋∠AOH＝90°∴OH⊥AD【點(diǎn)晴】本題屬于幾何變換綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)變換，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系等知識(shí)，構(gòu)造全等三角形解決問題是解題的關(guān)鍵.8．如圖1，在正方形中，分別是上的點(diǎn)，且，則有結(jié)論成立；如圖2，在四邊形中，分別是上的點(diǎn)，且是的一半，那么結(jié)論是否仍然成立?若成立，請(qǐng)證明；不成立，請(qǐng)說明理由．若將中的條件改為：如圖3，在四邊形中，，延長到點(diǎn)，延長到點(diǎn)，使得仍然是的一半，則結(jié)論是否仍然成立?若成立，請(qǐng)證明；不成立，請(qǐng)寫出它們的數(shù)量關(guān)系并證明答案:（1）詳見解析；（2）結(jié)論不成立，應(yīng)為證明詳見解析分析：（1）如圖（見解析），先根據(jù)三角形全等的判定定理與性質(zhì)得出，再根據(jù)角的和差，然后根據(jù)三角形全等的判定定理與性質(zhì)、線段的和差即可得；（2）先根據(jù)角的和差、鄰補(bǔ)角的定義得出，再根據(jù)三角形全等的判定定理與性質(zhì)得出，然后根據(jù)角的和差倍分得出，最后根據(jù)三角形全等的判定定理與性質(zhì)、線段的和差即可得．【詳解】（1）仍成立，證明如下：延長到，使，連接，，即，即；（2）結(jié)論不成立，應(yīng)為，證明如下：在上截取，使，連接，，即．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的判定定理與性質(zhì)、角的和差倍分等知識(shí)點(diǎn)，通過作輔助線，構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵．9．閱讀材料：如圖1，中，點(diǎn)，在邊上，點(diǎn)在上，，，，延長，交于點(diǎn)，，求證：．分析：等腰三角形是一種常見的軸對(duì)稱圖形，幾何試題中我們常將一腰所在的三角形沿著等腰三角形的對(duì)稱軸進(jìn)行翻折，從而構(gòu)造軸對(duì)稱圖形．①小明的想法是：將放到中，沿等腰的對(duì)稱軸進(jìn)行翻折，即作交于(如圖2)②小白的想法是：將放到中，沿等腰的對(duì)稱軸進(jìn)行翻折，即作交的延長線于(如圖3)經(jīng)驗(yàn)拓展：等邊中，是上一點(diǎn)，連接，為上一點(diǎn)，，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，，若，，求的長(用含，的式子表示)．答案:①證明見解析；②證明見解析；[經(jīng)驗(yàn)拓展]．分析：閱讀材料：①先根據(jù)三角形全等的判定定理得出，再根據(jù)三角形全等的性質(zhì)可得，又根據(jù)角的和差、等腰三角形的性質(zhì)得出兩組相等的角，然后根據(jù)三角形全等的判定定理與性質(zhì)可得，最后根據(jù)等量代換即可得證；②先根據(jù)三角形全等的判定定理得出，再根據(jù)三角形全等的性質(zhì)可得，又根據(jù)角的和差、等腰三角形的性質(zhì)得出兩組相等的角，然后根據(jù)三角形全等的判定定理與性質(zhì)可得，即得證；經(jīng)驗(yàn)拓展：先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、鄰補(bǔ)角的定義得出，再根據(jù)三角形全等的判定定理與性質(zhì)得出，設(shè)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)分別求出，然后根據(jù)角的和差可得，最后根據(jù)等腰三角形的判定與性質(zhì)得出，從而根據(jù)線段的和差即可得出答案．【詳解】閱讀材料：①小明做法：作交于，則，，即；②小白做法：作交的延長線于，，即，即；經(jīng)驗(yàn)拓展：延長至點(diǎn)，使得，連接是等邊三角形，設(shè)是等腰三角形（等腰三角形的三線合一）．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的判定定理與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，通過作輔助線，構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵．10．如圖1，在中，分別為上一點(diǎn)，且，，.（1）求證：；（2）求證：；（3）若，將繞順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至如圖2所示位置（不動(dòng)），連，取中點(diǎn)，連,為射線上一點(diǎn)，連，求的最小值.答案:（1）見解析；（2）見解析；（3）分析：（1）由可得，由可得，可證（2）延長至，使，連，在上截取，連，可證：可得，可證：可得，故即可證（3）延長至使，連，，延長，交于，交于可證：，故，，，由（2）知，由于故可得故，故.故可證，可得，可證為正三角形，故，由于故即可求出的最小值.【詳解】（1）證明：又（2）證明：延長至，使，連，在上截取，連.∵BD=CD,∠BDF=∠CDS∴∵∠TCD=∠EBC∴∠TCD=∠DCS∵TC=SC,CD=CD∴.∴（3）解：延長至使，連，，延長，交于，交于∵M(jìn)是AC的中點(diǎn)∴AM=MC∵∠CME=∠SMA,EM=MS∴，，，，由（2）知.在和中為正三角形，的最小值為【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等、等邊三角形以及直角三角形斜邊上中線等性質(zhì)和判定，掌握三角形全等及輔助線的做法是解題的關(guān)鍵11．已知，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，點(diǎn)E是BC上一點(diǎn)，連接AE（1）如圖1，當(dāng)AE平分∠BAC時(shí)，EH⊥AB于H，△EHB的周長為10m，求AB的長；（2）如圖2，延長BC至D，使DC＝BC，將線段AE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得線段AF，連