吉林省長(zhǎng)春市2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期二模考試試題含解析

吉林省長(zhǎng)春市2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期二?？荚囋囶}考試時(shí)間：120分鐘分值：150分第I卷選擇題（60分）一、單選題（每小題5分）1.已知集合，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)并集的定義運(yùn)算即得.【詳解】∵，∴.故選：A.2.函數(shù)的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】首先推斷函數(shù)的單調(diào)性，再依據(jù)零點(diǎn)存在性定理推斷即可.【詳解】解：的定義域?yàn)?，又與在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，又，，，所以，所以在上存在唯一的零點(diǎn).故選：C3.已知，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用余弦的和差公式對(duì)原式進(jìn)行綻開，平方后再利用，，去進(jìn)行整理可得.【詳解】因?yàn)?，所以，平方后可得，整理得，所?故選：D.4.大西洋鮭魚每年都要逆流而上游回產(chǎn)地產(chǎn)卵，探討發(fā)覺鮭魚的游速（單位：）可以表示為，其中表示鮭魚的耗氧量.則鮭魚以的速度游動(dòng)時(shí)的耗氧量與靜止時(shí)的耗氧量的比值為（）A.2600 B.2700 C.26 D.27【答案】D【解析】【分析】依據(jù)題中函數(shù)關(guān)系式，令和，分別求出對(duì)應(yīng)的，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)轷q魚的游速(單位：)可以表示為，其中Q表示鮭魚的耗氧量的單位數(shù)，當(dāng)一條鮭魚靜止時(shí)，，此時(shí)，則，耗氧量為；當(dāng)一條鮭魚以的速度游動(dòng)時(shí)，，此時(shí)，所以，則，即耗氧量為，因此鮭魚以1.5m/s的速度游動(dòng)時(shí)的耗氧量與靜止時(shí)的耗氧量的比值為.故選：D.5.已知，則的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用指對(duì)數(shù)運(yùn)算及函數(shù)性質(zhì)、三角函數(shù)單調(diào)性推斷大小關(guān)系.【詳解】，.故選：C6.已知函數(shù)，，那么“”是“在上是增函數(shù)”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】求得當(dāng)時(shí)，是增函數(shù),進(jìn)而推斷時(shí)，函數(shù)的單調(diào)性，即可得出結(jié)果.【詳解】當(dāng)，,單調(diào)遞增.則當(dāng)時(shí)，是增函數(shù),當(dāng)時(shí),在單調(diào)遞增，可得在上是增函數(shù)；當(dāng)時(shí),在單調(diào)遞增，可得在上是增函數(shù)；反之，當(dāng)在上是增函數(shù)時(shí)，由，可知，此時(shí)，即不成立.所以“”是“在上是增函數(shù)”的充分而不必要條件.故選：A.7.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A.當(dāng)時(shí)，B.函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)C.的解集為D.，都有【答案】A【解析】【分析】由奇函數(shù)求出的解析式即可推斷A選項(xiàng)；解方程求出零點(diǎn)即可推斷B選項(xiàng)；解分段函數(shù)不等式即可推斷C選項(xiàng)；求導(dǎo)確定單調(diào)性得出函數(shù)圖象，即可推斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A，已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，，則，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，易得，當(dāng)時(shí)，，可得；當(dāng)時(shí)，，可得，則函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，B正確；對(duì)于C，由，當(dāng)時(shí)，由得；當(dāng)時(shí)，由得，則的解集為，C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，單減，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，單增，，時(shí)，；時(shí)，有微小值；結(jié)合函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，可得的圖象，結(jié)合圖象知，的值域?yàn)?，則，都有，D正確.故選：A.8.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镽，為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，當(dāng)，，若，則=（）A.- B.- C.- D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)函數(shù)的圖像變換以及奇偶性，可得函數(shù)的全部對(duì)稱中心和對(duì)稱軸，進(jìn)而可得函數(shù)的周期，以及所過的點(diǎn)，求得部分解析式，可得答案.【詳解】依據(jù)函數(shù)的圖像變換，由為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，則直線，分別為函數(shù)的對(duì)稱軸與對(duì)稱中心，即函數(shù)的對(duì)稱軸的方程為與對(duì)稱中心坐標(biāo)為，易知，函數(shù)的周期，由，則，即，且，可得方程：，解得，即當(dāng)，，.故選：C.二、多選題（每小題5分）9.下列函數(shù)中，與函數(shù)不是同一個(gè)函數(shù)的是（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】依據(jù)兩函數(shù)定義域相同且解析式一樣即為相等函數(shù)，一一推斷即可.【詳解】解：的定義域?yàn)椋畬?duì)于A，的定義域?yàn)?，與的定義域不同，不是同一函數(shù)；對(duì)于B，定義域?yàn)?，與定義域相同，對(duì)應(yīng)關(guān)系相同，是同一函數(shù)；對(duì)于C，的定義域?yàn)椋c定義域不同，不是同一函數(shù)；對(duì)于D，，與的對(duì)應(yīng)關(guān)系不同，不是同一函數(shù)．故選：ACD．10.已知函數(shù)（其中，，）的部分圖象如圖所示，則（）A.B.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C.D.在上的值域?yàn)椤敬鸢浮緼C【解析】【分析】結(jié)合函數(shù)圖像求出的解析式，進(jìn)而推斷AC；利用代入檢驗(yàn)法可推斷B；利用換元法和三角函數(shù)性質(zhì)求出在上的值域可推斷D.【詳解】由圖像可知，，，故A正確；從而，又由，，因?yàn)?，所以，從而，故C正確；因?yàn)椋圆皇堑膶?duì)稱軸，故B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，則，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，因?yàn)椋?，所以，故，即，從而，即在上的值域?yàn)?，故D錯(cuò)誤.故選：AC.11.已知函數(shù)，則（）A.有三個(gè)零點(diǎn) B.有兩個(gè)極值點(diǎn)C.點(diǎn)是曲線的對(duì)稱中心 D.直線是曲線的切線【答案】ABC【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性、極值點(diǎn)、極值以及零點(diǎn)推斷A、B，依據(jù)函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的充要條件推斷C，再依據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求函數(shù)的切線方程推斷D.【詳解】，，令，解得：或，時(shí)，，單調(diào)遞減；時(shí)，，單調(diào)遞增；時(shí)，，單調(diào)遞減；的微小值為：，的極大值為：，有三個(gè)零點(diǎn)，有兩個(gè)極值點(diǎn)，A、B正確；對(duì)于C，若點(diǎn)是曲線的對(duì)稱中心，則有，將函數(shù)代入上式驗(yàn)證得：，C正確；對(duì)于D，，解得：，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，切線方程為：或，D錯(cuò)誤.故選：ABC.12.銳角的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若，則（）A.B.的取值范圍是C.若，則D.的取值范圍是【答案】ACD【解析】【分析】對(duì)于A：由正弦定理得到，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可得到，即可推斷；對(duì)于B：由為銳角三角形，列不等式組，解得：，即可推斷；對(duì)于C：先由正弦定理得到，再由余弦定理解得.對(duì)于D：由正弦定理得到，由，求出的取值范圍.【詳解】對(duì)于A：在中，由正弦定理，可化為：.因?yàn)?，所以，所以，所?所以，即.或，即這與A為的內(nèi)角相沖突，舍去.故.故A正確；對(duì)于B：因?yàn)闉殇J角三角形，所以，所以，解得：.故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：因?yàn)?，由正弦定理得：，即，所?因?yàn)?，由余弦定理得：，所以，即，即，解得：（舍去?故C正確；對(duì)于D：由正弦定理，.因?yàn)?，所以，所以，即的取值范圍?故D正確.故選：ACD第II卷（非選擇題，90分）三、填空題（每小題5分）13.已知函數(shù)，則_________．【答案】【解析】【分析】代入分段函數(shù)逐步求解即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，因?故答案為：.14.已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則的值是______.【答案】##【解析】【分析】依據(jù)三角函數(shù)定義得到，，進(jìn)而得到答案.【詳解】角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，，，.故答案為：.15.如圖，為了測(cè)量?jī)缮巾敚g的距離，飛機(jī)沿水平方向在，兩點(diǎn)進(jìn)行測(cè)量，在位置時(shí)，視察點(diǎn)的俯角為，視察點(diǎn)的俯角為；在位置時(shí)，視察點(diǎn)的俯角為，視察點(diǎn)的俯角為，且，則，之間的距離為________．【答案】【解析】【分析】在中，由正弦定理可得，，在中，由余弦定理得，從而可得結(jié)果.【詳解】在中，，由正弦定理可得，即，，由題意得，，在中，由余弦定理得，即，故答案為.【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，屬于中檔題.正弦定理是解三角形的有力工具，其常見用法有以下三種：（1）知道兩邊和一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角（肯定要留意探討鈍角與銳角）；（2）知道兩角與一個(gè)角的對(duì)邊，求另一個(gè)角的對(duì)邊；（3）證明化簡(jiǎn)過程中邊角互化；（4）求三角形外接圓半徑.16.已知函數(shù)，，若，使得成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】，使得成立當(dāng)時(shí)，,分別求出，然后解不等式即可.【詳解】，使得成立當(dāng)時(shí)，．由題意得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上的最小值為．又函數(shù)在上的最大值為，故．答案為：四、解答題17.已知函數(shù)（1）求函數(shù)的最小正周期及對(duì)稱軸方程；（2）將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，再將所得圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變?橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的2倍，得到函數(shù)的圖象，求在[0，2π]上的單調(diào)遞減區(qū)間.【答案】（1）最小正周期為，對(duì)稱軸方程為，（2）【解析】【分析】（1）利用兩角和差的正余弦公式與協(xié)助角公式化簡(jiǎn)可得，再依據(jù)周期的公式與余弦函數(shù)的對(duì)稱軸公式求解即可；（2）依據(jù)三角函數(shù)圖形變換的性質(zhì)可得，再依據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求解即可.【小問1詳解】，，所以函數(shù)的最小正周期為，令，，得函數(shù)的對(duì)稱軸方程為，【小問2詳解】將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位后所得圖象的解析式為，所以，令，所以.又，所以在上的單調(diào)遞減區(qū)間為.18.在中，，，．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求的值．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）依據(jù)同角的三角函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合，可以求出的值，運(yùn)用正弦定理，可以求出a的值；（Ⅱ）由，，運(yùn)用誘導(dǎo)公式，可以求出值，依據(jù)同角的三角函數(shù)關(guān)系式，可以求出的值，運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理和兩角和的正弦公式求出，最終利用二倍角的余弦公式求出的值.【詳解】解：（Ⅰ）在中，由，得．因?yàn)?，由正弦定理，得，即，所以．（Ⅱ）因?yàn)?，，所以，．所以．故．【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理的應(yīng)用，考查了同角的三角函數(shù)關(guān)系式，考查了二倍角的余弦公式，考查了兩角和的正弦公式，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算實(shí)力.19.某便民超市經(jīng)銷一種小袋裝地方特色桃酥食品，每袋桃酥的成本為6元，預(yù)料當(dāng)一袋桃酥的售價(jià)為元時(shí)，一年的銷售量為萬(wàn)袋，并且全年該桃酥食品共需支付萬(wàn)元的管理費(fèi).一年的利潤(rùn)一年的銷售量售價(jià)（一年銷售桃酥的成本一年的管理費(fèi)）.（單位：萬(wàn)元）（1）求該超市一年的利潤(rùn)（萬(wàn)元）與每袋桃酥食品的售價(jià)的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)每袋桃酥的售價(jià)為多少元時(shí)，該超市一年的利潤(rùn)最大，并求出的最大值.【答案】（1）；（2）售價(jià)為9元時(shí)，利潤(rùn)最大為9萬(wàn)元【解析】【分析】（1）干脆由題目所給關(guān)系即可求得利潤(rùn)（萬(wàn)元）與售價(jià)的函數(shù)關(guān)系式；（2）將函數(shù)關(guān)系式變形整理得，結(jié)合基本不等式即可求出最大值.【小問1詳解】由題意知，分公司一年的利潤(rùn)L（萬(wàn)元）與售價(jià)x的函數(shù)關(guān)系式為；【小問2詳解】，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，此時(shí)最大為9萬(wàn)元.當(dāng)每件產(chǎn)品的售價(jià)為9元時(shí)，該分公司一年的利潤(rùn)最大，且最大利潤(rùn)9萬(wàn)元.20.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求的極值；（2）若對(duì)恒成立，求a的取值范圍．【答案】（1）的極大值為，微小值為；（2）．【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的極值即可.（2）首先利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值，從而得到，再解不等式即可.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，令，解得或．當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．所以的極大值為，微小值為．（2）．令，即，解得或．因?yàn)?，所以?dāng)x改變，，的改變狀況如下表：1+0-0+單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減微小值單調(diào)遞增當(dāng)時(shí)，有，，，所以，從而．又函數(shù)在處取得微小值，所以為函數(shù)在R上的最小值．因?yàn)椴坏仁綄?duì)恒成立，所以，解得．所以a的取值范圍是．21.在銳角中，角、、的對(duì)邊分別為、、，若，．（1）求角大小和邊長(zhǎng)的值；（2）求面積的最大值．【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）依據(jù)得出，然后依據(jù)角是銳角得出，最終依據(jù)正弦定理與余弦定理對(duì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即可得出結(jié)果；（2）由正弦定理得出、，然后依據(jù)得出，再然后依據(jù)解三角形面積公式得出，并將其轉(zhuǎn)化為，最終依據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求出最值.【詳解】（1）因?yàn)椋?，，因?yàn)榻鞘卿J角，所以，因?yàn)?，所以由正弦定理與余弦定理易知，，整理得，解得.（2）因?yàn)?，所以，，因?yàn)?，，，所以，則，因?yàn)?，所以，則，，故，面積的最大值為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解三角形的基本策略：一是利用正弦定理實(shí)現(xiàn)“邊化角”，二是利用余弦定理實(shí)現(xiàn)“角化邊”；求三角形面積的最大值也是一種常見類型，主要方法有兩類，一是找到邊之間的關(guān)系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，轉(zhuǎn)化為關(guān)于某個(gè)角的函數(shù)，利用函數(shù)思想求最值.22.已知函數(shù).（1）探討函數(shù)單調(diào)性；（2）若，且，證明：有且僅有兩個(gè)零點(diǎn).（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）【答案】（1）答案見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)求解；（2）由，令，易