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Page21浙江省五校2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次聯(lián)考試題第I卷(選擇題部分,共40分)1.已知集合,,則等于()A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先求解集合B,利用交集和補(bǔ)集運(yùn)算的定義,即得解【詳解】由題意,或故或故選:A2.已知點(diǎn)在直線的下方,則實(shí)數(shù)b的取值范圍為()A. B. C. D.或【答案】B【解析】【分析】依據(jù)點(diǎn)在直線的下方,將點(diǎn)點(diǎn)代入直線方程,得其小于零,即可得出答案.【詳解】解:因?yàn)辄c(diǎn)在直線的下方,所以,解得.故選:B.3.若,,則下列不等式成立的是()A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】選項(xiàng)A由不等式的性質(zhì)可推斷;選項(xiàng)BD舉特別數(shù)字可推斷;選項(xiàng)C.可證明成立,從而可推斷.【詳解】選項(xiàng)A.,,則,所以,故選項(xiàng)A不正確.選項(xiàng)B.取,則,故選項(xiàng)B不正確.選項(xiàng)C.,,則,由,所以所以,故選項(xiàng)C正確.選項(xiàng)D.取,則,此時(shí)故選:C4.已知,則()A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先利用二倍角公式求出,再利用誘導(dǎo)公式即可求出.【詳解】因?yàn)?,所以,所?故選:A5.函數(shù)(其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))的圖象大致形態(tài)是()A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)條件推斷函數(shù)的奇偶性和對(duì)稱(chēng)性,探討當(dāng)0<x<1時(shí)函數(shù)值的符號(hào),利用解除法進(jìn)行推斷即可.【詳解】的定義域?yàn)镽.因?yàn)?,所以為奇函?shù),故解除A、C.當(dāng)時(shí),有,所以,,所以,故解除B.故選:D6.有10臺(tái)不同的電視機(jī),其中甲型3臺(tái),乙型3臺(tái),丙型4臺(tái).現(xiàn)從中隨意取出3臺(tái),若其中至少含有兩種不同的型號(hào),則不同的取法共有()A.96種 B.108種 C.114種 D.118種【答案】C【解析】【分析】先計(jì)算總的取法數(shù)和只取一種型號(hào)的取法數(shù),總的取法數(shù)減只取一種型號(hào)的取法數(shù)即可得出結(jié)果.
【詳解】依據(jù)題意,從10臺(tái)電視機(jī)中隨意取3臺(tái)的取法總數(shù)為:(種)
取3臺(tái)都是同一種型號(hào)的取法數(shù)為:(種)
所以至少含有兩種不同型號(hào)的取法數(shù)為:(種)
選項(xiàng)ABD錯(cuò)誤,選項(xiàng)C正確.
故選:C.
7.設(shè)無(wú)窮等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn若-a1<a2<a1,則()A.{Sn}為遞減數(shù)列 B.{Sn}為遞增數(shù)列C.數(shù)列{Sn}有最大項(xiàng) D.數(shù)列{Sn}有最小項(xiàng)【答案】D【解析】【分析】依據(jù)已知求得的范圍,然后依據(jù)的正負(fù)分類(lèi)探討確定的單調(diào)性.【詳解】因?yàn)?,所以,,即,若,,,是遞增數(shù)列,解除AC,若,則,,易知,,是搖擺數(shù)列,解除B,當(dāng)時(shí),是遞增數(shù)列,是最小項(xiàng).當(dāng)時(shí),,,所以,所以中是最小項(xiàng).D正確.故選:D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:本題考查數(shù)列的單調(diào)性,解題關(guān)鍵是通過(guò)與的關(guān)系進(jìn)行推斷,難點(diǎn)是搖擺數(shù)列的最小項(xiàng)問(wèn)題,須要利用進(jìn)行證明.8.已知正方體的棱長(zhǎng)為,、分別是棱、的中點(diǎn),點(diǎn)為底面內(nèi)(包括邊界)的一動(dòng)點(diǎn),若直線與平面無(wú)公共點(diǎn),則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)點(diǎn),計(jì)算出平面的一個(gè)法向量的坐標(biāo),由已知條件得出,可得出、所滿意的等式,求出點(diǎn)的軌跡與線段、的交點(diǎn)坐標(biāo),即可求得結(jié)果.【詳解】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則、、、,設(shè)點(diǎn),,,設(shè)平面的法向量為,由,取,可得,,由題意可知,平面,則,令,可得;令,可得.所以,點(diǎn)的軌跡交線段于點(diǎn),交線段的中點(diǎn),所以,點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為.故選:B.9.已知,函數(shù)的最小值為,則的最小值為()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先整理函數(shù)求出函數(shù)的最小值為,再利用導(dǎo)數(shù)求出其最小值便可求出答案.【詳解】解:由題意得:令,其最小值為再令,則當(dāng)時(shí),函數(shù)單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增.故時(shí),故的最小值為.故選:B10.已知各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列滿意,,給出下列三個(gè)結(jié)論:①若,則數(shù)列僅有有限項(xiàng);②若,則數(shù)列單調(diào)遞增;③若,則對(duì)隨意的,陼存在,使得成立.則上述結(jié)論中正確的為()A.①② B.②③ C.①③ D.①②③【答案】A【解析】【分析】對(duì)于①,利用數(shù)列的單調(diào)性,通過(guò)累加法即可作出推斷;對(duì)于②,先證明,再借助作差法即可得到結(jié)果;對(duì)于③,推斷數(shù)列是有界的還是發(fā)散的即可.【詳解】對(duì)于①,∵,∴,又?jǐn)?shù)列各項(xiàng)都為正數(shù),∴,∴數(shù)列單調(diào)遞減,∴,∴;∵,即∴,∴,∴,即,∴,即,而為定值,∴數(shù)列僅有有限項(xiàng),命題正確;對(duì)于②,先用數(shù)學(xué)歸納法證明.(1)當(dāng)時(shí),,明顯成立;(2)假設(shè)時(shí),,則,記,,,∴在上單調(diào)遞增,,∴,∴對(duì),都有.∵∴,∴,又在上單調(diào)遞增,又,∴,∴數(shù)列單調(diào)遞增,命題正確;對(duì)于③,∵,∴,即,又,∴,∴,∴,∴,明顯存在上界,即存在上界,∴命題錯(cuò)誤.故選:A【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛:遞推關(guān)系明顯無(wú)法確定通項(xiàng),從而要從項(xiàng)間關(guān)系切入,利用單調(diào)性、最值、周期性等,結(jié)合放縮思想即可得到結(jié)果.第II卷(非選擇題部分,共110分)二.填空題:本大題共7個(gè)小題,多空題每題6分,單空題每題4分,共36分.11.已知復(fù)數(shù)(i是虛數(shù)單位),則的虛部為_(kāi)____________,_____________.【答案】①.②.【解析】【分析】先由復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算化簡(jiǎn),進(jìn)而可得虛部,再由模長(zhǎng)公式可計(jì)算模長(zhǎng).【詳解】由,所以的虛部為,,故答案為:;.12.等差數(shù)列滿意,,則公差________,其前n項(xiàng)和的最小值為_(kāi)____________.【答案】①.5②.【解析】【分析】用基本量表示題干條件,聯(lián)立求解可得,代入前n項(xiàng)和公式可得,關(guān)于為開(kāi)口向上的二次函數(shù),結(jié)合,當(dāng)時(shí),取得最小值【詳解】由題意,設(shè)等差數(shù)列的公差為解得關(guān)于為開(kāi)口向上的二次函數(shù),對(duì)稱(chēng)軸為,又故答案為:5,13.已知函數(shù)(且)且,①若,則________,②若函數(shù)的值域是,則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____________.【答案】①②.【解析】【分析】先計(jì)算的值,再計(jì)算的值;先由二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算當(dāng)時(shí),函數(shù)的值域是,可得當(dāng)時(shí),函數(shù)的值域?yàn)榈淖蛹?,?jīng)分析可得,只需即可求得的取值范圍.【詳解】當(dāng)時(shí),,所以,所以;當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),取得最大值,所以當(dāng)時(shí),函數(shù)的值域是,所以當(dāng)時(shí),函數(shù)的值域?yàn)榈淖蛹?dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增,此時(shí),此時(shí)不符合題意,當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞減,此時(shí),即,所以,可得,所以實(shí)數(shù)的取值范圍是:,故答案:;.14.已知,則的值為_(kāi)____________.【答案】41【解析】【分析】令,求得,令,求得,兩式相加即可得出答案.【詳解】解:因?yàn)?,令,則,①,令,則,②,兩式相加得,所以、故答案為:41.15.已知,,,則的最大值為_(kāi)____________.【答案】【解析】【分析】將所求化為,利用均值不等式求出的范圍,結(jié)合函數(shù)單調(diào)性可得答案.【詳解】由,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),等號(hào)成立.所以,設(shè)函數(shù),則當(dāng)時(shí),,所以在上單調(diào)遞減.則(當(dāng)時(shí)等號(hào)成立)所以故答案為:16.已知平面對(duì)量,滿意:,,,,則________,的取值范圍是_____________.【答案】①.②.【解析】【分析】計(jì)算即可求解,由已知條件求出,設(shè),則,,求出對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡為圓,利用圓的性質(zhì)即可求解.【詳解】由題可知:,由,所以,又,如圖,,設(shè),則,,,,,由可得,即,所以對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是以為圓心,的圓,表示圓上的點(diǎn)到定點(diǎn)的距離,,所以,則,故答案為:;.17.如圖,已知三個(gè)兩兩相互垂直的半平面,,交于點(diǎn)O,矩形的邊在半平面內(nèi),頂點(diǎn)A,D分別在半平面,內(nèi),,,與平面所成角為,二面角的余弦值為,則同時(shí)與半平面,,和平面都相切的球的半徑為_(kāi)____________.【答案】或【解析】【分析】以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,求出A,B,C,D坐標(biāo),求出平面ABCD的法向量,依據(jù)可求出.【詳解】如圖,以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,過(guò)作軸,交y軸于E,連接EC,,,,又,,平面DEC,,即為二面角的平面角,,,,過(guò)作軸,交z軸于F,連接AF,可得,即為與平面所成角,,又,,,設(shè),,,,,則可解得,則設(shè)平面ABCD的法向量為,則,即,令,可得,即,設(shè)同時(shí)與半平面,,和平面都相切的球的球心為,半徑為,則,則,則,即,解得或.故答案為:或.三.解答題:本大題共5個(gè)小題,共74分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟.18.已知函數(shù).(I)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;(II)在中,角,,的對(duì)邊分別是,,,且滿意,求的取值范圍.【答案】(I);(II).【解析】【分析】(I)利用兩角和的余弦公式以及正弦的二倍角公式、協(xié)助角公式化簡(jiǎn),再由正弦函數(shù)的單增區(qū)間即可求解;(II)依據(jù)已知條件由余弦定理化角為邊,可得,再由余弦定理可得的范圍,進(jìn)而可得角的范圍,再由正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】(I)由可得:所以的增區(qū)間為;(II)因?yàn)?,由余弦定理可得:,即,所以,所以,因?yàn)?,可得:,所以,所以?9.如圖,在三棱柱和四棱錐構(gòu)成的幾何體中,平面,,,,,,平面平面.(I)若點(diǎn)為棱的中點(diǎn),求證:平面;(II)已知點(diǎn)是線段上靠近的三等分點(diǎn),求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(I)證明見(jiàn)解析;(II).【解析】【分析】(I)依據(jù)面面垂直性質(zhì)可證明平面,證明結(jié)合可證明平面,進(jìn)而可得,再由線面平行的判定定理即可求證;(II)如圖建立空間直角坐標(biāo)系,求出各點(diǎn)坐標(biāo),進(jìn)而可得的坐標(biāo)以及平面的一個(gè)法向量,由空間向量夾角公式計(jì)算即可求解.【詳解】(I),且為棱的中點(diǎn),,平面平面,平面平面,平面,平面,平面,面,,又,,平面,,平面,平面,平面.(Ⅱ)如圖,分別以所在的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系,由題意知:,,又,,,,,,,,,設(shè)平面的一個(gè)法向量由,,令,可得,,設(shè)直線與平面所成角為,則,直線與平面所成角的正弦值為.20.已知數(shù)列滿意,且.(1)求證:數(shù)列是等差數(shù)列;(2)記,數(shù)列的前n項(xiàng)和為,若存在,使成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(I)證明見(jiàn)解析;(II).【解析】【分析】(1)由可轉(zhuǎn)化得到,即得證;(2)由(1)可得,代入可得,計(jì)算可得,分n為奇數(shù)、n為偶數(shù)探討,即得解【詳解】(1),,即,數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列.(2)由(1)可知數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列,且,,,①當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí),,②當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),單調(diào)遞增,所以,存在,使得成立,即可,21.已知函數(shù).(1)若的圖象在處的切線l的斜率為,求直線l的方程;(2)若對(duì)于隨意的,恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】(1);(2).【解析】【分析】(1)求導(dǎo),由可得,可求得,即得解;(2)先由且,求得,求導(dǎo)分析單調(diào)性可得在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,,要使恒成立,只需,即,解不等式即可【詳解】(1),,,,解得;,切點(diǎn)為,斜率為,所以切線.(2)因?yàn)?,恒成立所以且,解得,令,因?yàn)椋?,令,令所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,,要使恒成立,只需,即,所以.22.已知函數(shù).(I)若,求證:當(dāng)時(shí),;(II)探討方程的根的個(gè)數(shù).【答案】(I)證明見(jiàn)解析;(II)當(dāng)時(shí),僅有一個(gè)實(shí)根;當(dāng)時(shí),有三個(gè)不相等的實(shí)根.【解析】【分析】(Ⅰ)依據(jù)題意即證,轉(zhuǎn)化為證明成立,令,求出其單調(diào)區(qū)間得出最小值可證.
(Ⅱ)由時(shí),在R上單調(diào)遞增,所以有唯一解;當(dāng)時(shí),求出,可得,分與進(jìn)行分類(lèi)探討即可.【詳解】(I)證明:由,,所以,要證,即證,即證,即證,令,則,所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,成立,所以.(Ⅱ),當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,①當(dāng)時(shí),在R上單調(diào)遞增,所以有唯一解;②當(dāng)時(shí),,因?yàn)椋?,所以?)當(dāng),即時(shí),,所以在R上單調(diào)遞增,所以有唯一解;2)當(dāng),即
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