2024云南中考數(shù)學(xué)二輪專題訓(xùn)練 題型二 規(guī)律探索題 (含答案)

2024云南中考數(shù)學(xué)二輪專題訓(xùn)練題型二規(guī)律探索題熱身小練(1)若一列正整數(shù)：1，2，3，…，依照此規(guī)律，則第n(n≥1)個(gè)數(shù)是________；這n(n≥1)個(gè)數(shù)的和為________．(2)若一列數(shù)：1，3，5，7，9，…，依照此規(guī)律，則第n(n≥1)個(gè)數(shù)是________；這n(n≥1)個(gè)數(shù)的和為________．(3)若一列數(shù)：2，4，6，8，…，依照此規(guī)律，則第n(n≥1)個(gè)數(shù)是________；這n(n≥1)個(gè)數(shù)的和為________．(4)若一列數(shù)：－1，1，－1，1，－1，…，依照此規(guī)律，則第n(n≥1)個(gè)數(shù)是________．(5)若一列數(shù)：1，－1，1，－1，1，…，依照此規(guī)律，則第n(n≥1)個(gè)數(shù)是________．(6)若一列數(shù)：1，4，9，16，…，依照此規(guī)律，則第n(n≥1)個(gè)數(shù)是________．(7)若一列數(shù)：2，5，10，17，…，依照此規(guī)律，則第n(n≥1)個(gè)數(shù)是________．(8)若一列數(shù)：0，3，8，15，…，依照此規(guī)律，則第n(n≥1)個(gè)數(shù)是________．(9)若一列數(shù)：4，7，10，…，依照此規(guī)律，則第n(n≥1)個(gè)數(shù)是________．(10)若一列數(shù)：eq\f(1,2)，1，eq\f(5,4)，eq\f(7,5)，…，依照此規(guī)律，則第n(n≥1)個(gè)數(shù)是________．類型一數(shù)式規(guī)律典例精講例1(2023云南黑白卷)按一定規(guī)律排列的單項(xiàng)式：－4a2，9a4，－16a6，25a8，－36a10，49a12，…，第n個(gè)單項(xiàng)式是()A.(－1)nn2a2nB.(－1)n(n＋1)2a2nC.(－1)n－1(n＋1)2a2nD.(－1)n－1n2a2n滿分技法解答數(shù)式遞推規(guī)律的方法，一般通過題中前幾項(xiàng)的數(shù)字或數(shù)式找出每項(xiàng)數(shù)字或數(shù)式間的關(guān)系求解，步驟為：第一步：標(biāo)序數(shù)；第二步：對(duì)比序數(shù)(1，2，3，…，n)和所給數(shù)字或數(shù)式的關(guān)系，把每一部分與序數(shù)之間的關(guān)系用含序數(shù)的式子表示出來；第三步：根據(jù)找出的規(guī)律求出第n個(gè)式子，并檢驗(yàn)；第四步：若所求的數(shù)字或式子前面的符號(hào)是正(＋)、負(fù)(－)交替出現(xiàn)時(shí)，根據(jù)正負(fù)號(hào)的變化規(guī)律，則第n個(gè)數(shù)字(或式子)的符號(hào)用(－1)n或(－1)n＋1表示．例2觀察以下等式：第1個(gè)等式：eq\f(2,1)×(eq\f(1,2)－1)＝－1，第2個(gè)等式：eq\f(5,2)×(eq\f(2,5)－2)＝－4，第3個(gè)等式：eq\f(10,3)×(eq\f(3,10)－3)＝－9，第4個(gè)等式：eq\f(17,4)×(eq\f(4,17)－4)＝－16，第5個(gè)等式：eq\f(26,5)×(eq\f(5,26)－5)＝－25，…按照以上規(guī)律，解決下列問題：(1)寫出第6個(gè)等式：____________________；(2)寫出你猜想的第n個(gè)等式：__________________(用含n的等式表示)，并證明．滿分技法解答等式規(guī)律，步驟為：第一步：標(biāo)序數(shù)；第二步：將等式左邊的每項(xiàng)用含序數(shù)的式子表示出來，得到關(guān)系式；第三步：將等式右邊的每項(xiàng)用含序數(shù)的式子表示出來；第四步：用題中所給的數(shù)據(jù)驗(yàn)證等式的正確性．針對(duì)訓(xùn)練1.按一定規(guī)律排列的一列數(shù)依次為－eq\f(a2,2)，eq\f(a5,3)，－eq\f(a8,4)，eq\f(a11,5)，…(a≠0)，按此規(guī)律排列下去，這列數(shù)中的第9個(gè)數(shù)是________．2.觀察下列各組勾股數(shù)，并尋找規(guī)律：①4，3，5；②6，8，10；③8，15，17；④10，24，26；…請(qǐng)根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律寫出第⑦組勾股數(shù)：________．3.觀察下列等式：第一個(gè)等式：a1＝eq\f(1,1×4)＝eq\f(1,3)×(1－eq\f(1,4))；第二個(gè)等式：a2＝eq\f(1,4×7)＝eq\f(1,3)×(eq\f(1,4)－eq\f(1,7))；第三個(gè)等式：a3＝eq\f(1,7×10)＝eq\f(1,3)×(eq\f(1,7)－eq\f(1,10))；第四個(gè)等式：a4＝eq\f(1,10×13)＝eq\f(1,3)×(eq\f(1,10)－eq\f(1,13))；…按照上述規(guī)律，則a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a2020＝________．類型二圖形累加規(guī)律典例精講例1(2023官渡區(qū)二模)用形狀大小完全相同的等邊三角形和正方形按如圖所示的規(guī)律拼圖案，即從第2個(gè)圖案開始每個(gè)圖案比前一個(gè)圖案多4個(gè)等邊三角形和1個(gè)正方形，則第2023個(gè)圖案中等邊三角形的個(gè)數(shù)為________個(gè)．例1題圖滿分技法基礎(chǔ)圖形固定累加的解答步驟為：1.找關(guān)系：找后一個(gè)圖與前一個(gè)圖中所求圖形或元素個(gè)數(shù)之間的關(guān)系，一般是通過作差的形式觀察是否有固定的數(shù)量關(guān)系；2.找規(guī)律：若第一個(gè)圖形所求元素個(gè)數(shù)為a，第二個(gè)圖形所求元素個(gè)數(shù)比第一個(gè)圖形多b，且此后每一個(gè)圖形所求元素個(gè)數(shù)比前一個(gè)圖形都多b，則第n個(gè)圖形中所求圖形或元素的個(gè)數(shù)為a＋b(n－1)．例2(2023云大附中模擬)下列圖形都是由同樣大小的菱形按照一定規(guī)律所組成的，其中第①個(gè)圖形中一共有3個(gè)菱形，第②個(gè)圖形中一共有7個(gè)菱形，第③個(gè)圖形中一共有13個(gè)菱形，…，按此規(guī)律排列下去，第⑦個(gè)圖形中菱形的個(gè)數(shù)為________．例2題圖滿分技法基礎(chǔ)圖形遞變累加的解答步驟為：1.標(biāo)序號(hào)：記每組圖形的序數(shù)為“1，2，3，…，n”；2.數(shù)圖形個(gè)數(shù)：數(shù)出每組圖形的個(gè)數(shù)或用序號(hào)的乘積表示出個(gè)數(shù)；3.尋找第n項(xiàng)數(shù)量與序數(shù)n的關(guān)系：將后一個(gè)圖形的個(gè)數(shù)與前一個(gè)圖形的個(gè)數(shù)進(jìn)行對(duì)比，通過作商來觀察圖形個(gè)數(shù)；或?qū)D形個(gè)數(shù)與n進(jìn)行對(duì)比，尋找是否是與n有關(guān)的平方、平方加1、平方減1等關(guān)系；4.驗(yàn)證：代入序號(hào)驗(yàn)證所歸納的式子是否正確．針對(duì)訓(xùn)練1.如圖是一組有規(guī)律的圖案，它們是由相同的矩形拼接而成，已知矩形的長(zhǎng)為a，寬為b，則第?個(gè)圖案的周長(zhǎng)為________．第1題圖2.如圖的三角形圖案為謝賓斯基(Sierpinski)三角形，在下列四個(gè)三角形圖案中，涂有陰影的三角形個(gè)數(shù)依次為：第1個(gè)圖案中有1個(gè)，第2個(gè)圖案中有3個(gè)，第3個(gè)圖案中有9個(gè)，第4個(gè)圖案中有27個(gè)，…，按此規(guī)律，第n個(gè)圖案中有________個(gè)涂有陰影的三角形．第2題圖類型三圖形成倍遞變規(guī)律典例精講例如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，其面積標(biāo)記為S1，以AB為斜邊向外作等腰直角三角形，再以該等例題圖腰直角三角形的一條直角邊為邊向外作正方形，其面積標(biāo)記為S2，…，按照此規(guī)律繼續(xù)下去，則S7的值為___________________________________________________________．滿分技法圖形線段(面積)成倍遞變的解題步驟為：1.求出第一次變化前圖形的邊長(zhǎng)或面積；2.計(jì)算第一次、第二次、第三次、…變化后的邊長(zhǎng)或面積，找出相鄰圖形邊長(zhǎng)或面積之間的倍數(shù)關(guān)系，歸納出第n次變化后的邊長(zhǎng)或面積與變化次數(shù)n的關(guān)系式；3.代入所給圖形中的某一變化，并驗(yàn)證所歸納的關(guān)系式；4.求解設(shè)問中要求的量．針對(duì)訓(xùn)練1.(2015省卷14題3分)如圖，在△ABC中，BC＝1，點(diǎn)P1、M1分別是AB、AC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P2、M2分別是AP1、AM1的中點(diǎn)，點(diǎn)P3、M3分別是AP2、AM2的中點(diǎn)，按這樣的規(guī)律下去，PnMn的長(zhǎng)為______(n為正整數(shù))．第1題圖2.如圖，邊長(zhǎng)為2的等邊△ABC的邊BC垂直于直線l，過點(diǎn)A作AB1⊥l于B1，以AB1為邊作等邊△AB1A1；再過A1作A1B2⊥l于B2，以A1B2為邊作等邊△A1B2A2；…；所有圖形都在直線l同側(cè)，按照此規(guī)律繼續(xù)作下去，則S△A2020B2023A2023＝________．第2題圖類型四圖形周期變化規(guī)律典例精講例如圖，在平面直角坐標(biāo)系中有一直角邊長(zhǎng)為1的等腰直角三角形OAB，邊OA在x軸上，如果以O(shè)B為直角邊作第二個(gè)等腰直角三角形OBB1，再以O(shè)B1為直角邊作第三個(gè)等腰直角三角形OB1B2，…，照此規(guī)律作下去，點(diǎn)B2022的坐標(biāo)為()A．(21011，－21011)B．(－21010，－21010)C．(0，－21011)D．(－21011，0)例題圖滿分技法圖形周期變化規(guī)律題的一般解題思路為：1.先觀察點(diǎn)坐標(biāo)(圖形)變化的規(guī)律找出循環(huán)一周的變換次數(shù)，記為n；2.用M÷n＝W……q(0≤q＜n)，則第M次變換后的點(diǎn)坐標(biāo)(圖形)就是第一個(gè)循環(huán)變換中第q次變化對(duì)應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)(圖形)，或存在一定的倍分關(guān)系；3.根據(jù)題意找出第一個(gè)循環(huán)變換中，第q次變換后對(duì)應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)(圖形)，即可推斷出第M次變換后對(duì)應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)(圖形)．針對(duì)訓(xùn)練1.根據(jù)如圖所示的流程圖計(jì)算，若x＝3，則a2023＝________．第1題圖2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為8，與y軸交于點(diǎn)M(0，5)，頂點(diǎn)C(6，－3)，將一條長(zhǎng)為2022個(gè)單位長(zhǎng)度且沒有彈性的細(xì)繩一端固定在點(diǎn)M處，從點(diǎn)M出發(fā)將細(xì)繩緊繞在正方形ABCD的邊上，則細(xì)繩的另一端到達(dá)的位置的點(diǎn)N的坐標(biāo)為________．第2題圖參考答案熱身小練(1)n，eq\f(n（n＋1）,2)；(2)2n－1，n2；(3)2n，n2＋n；(4)(－1)n；(5)(－1)n＋1或(－1)n－1；(6)n2；(7)n2＋1；(8)n2－1；(9)3n＋1；(10)eq\f(2n－1,n＋1).類型一數(shù)式規(guī)律典例精講例1B【解析】∵－4a2＝(－1)1×(1＋1)2a2×1，9a4＝(－1)2×(2＋1)2a2×2，－16a6＝(－1)3×(3＋1)2a2×3，25a8＝(－1)4×(4＋1)2a2×4，－36a10＝(－1)5×(5＋1)2a2×5，49a12＝(－1)6×(6＋1)2a2×6，…，∴第n個(gè)單項(xiàng)式是(－1)n(n＋1)2a2n.例2解：(1)eq\f(37,6)×(eq\f(6,37)－6)＝－36；(2)eq\f(n2＋1,n)×(eq\f(n,n2＋1)－n)＝－n2.證明：∵左邊＝eq\f(n2＋1,n)×(eq\f(n,n2＋1)－n)＝eq\f(n2＋1,n)×(eq\f(n,n2＋1)－eq\f(n3＋n,n2＋1))＝eq\f(n2＋1,n)×eq\f(－n3,n2＋1)＝－n2＝右邊，∴等式成立．針對(duì)訓(xùn)練1.－eq\f(a26,10)【解析】第1個(gè)數(shù)為－eq\f(a2,2)＝(－1)1eq\f(a1×3－1,1＋1)，第2個(gè)數(shù)為eq\f(a5,3)＝(－1)2eq\f(a2×3－1,1＋2)，第3個(gè)數(shù)為－eq\f(a8,4)＝(－1)3eq\f(a3×3－1,1＋3)，第4個(gè)數(shù)為eq\f(a11,5)＝(－1)4eq\f(a4×3－1,1＋4)，…，由此規(guī)律可知第9個(gè)數(shù)是(－1)9eq\f(a9×3－1,1＋9)＝－eq\f(a26,10).2.16，63，65【解析】觀察前4組數(shù)據(jù)的規(guī)律可知：第一個(gè)數(shù)是2(n＋1)；第二個(gè)數(shù)是n(n＋2)；第三個(gè)數(shù)是(n＋1)2＋1.∴第⑦組勾股數(shù)為16，63，65.3.eq\f(2020,6061)【解析】由題意可得，an＝eq\f(1,3)×(eq\f(1,3n－2)－eq\f(1,3n＋1))，當(dāng)n＝2020時(shí)，a2020＝eq\f(1,3)×(eq\f(1,6058)－eq\f(1,6061))，∴a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a2020＝eq\f(1,3)×(1－eq\f(1,4))＋eq\f(1,3)×(eq\f(1,4)－eq\f(1,7))＋…＋eq\f(1,3)×(eq\f(1,6058)－eq\f(1,6061))＝eq\f(1,3)×(1－eq\f(1,4)＋eq\f(1,4)－eq\f(1,7)＋…＋eq\f(1,6058)－eq\f(1,6061))＝eq\f(1,3)×(1－eq\f(1,6061))＝eq\f(2020,6061).類型二圖形累加規(guī)律典例精講例18082【解析】當(dāng)n＝1時(shí)，等邊三角形的個(gè)數(shù)為2，當(dāng)n＝2時(shí)，等邊三角形的個(gè)數(shù)為2＋4×1＝6，當(dāng)n＝3時(shí)，等邊三角形的個(gè)數(shù)為2＋4×2＝10，當(dāng)n＝4時(shí)，等邊三角形的個(gè)數(shù)為2＋4×3＝14，∴第n個(gè)圖案中等邊三角形的個(gè)數(shù)為2＋4(n－1)＝4n－2，∴第2023個(gè)圖案中等邊三角形的個(gè)數(shù)為4×2023－2＝8082.例257【解析】第①個(gè)圖形中一共有3個(gè)菱形，3＝12＋2；第②個(gè)圖形中共有7個(gè)菱形，7＝22＋3；第③個(gè)圖形中共有13個(gè)菱形，13＝32＋4；…，∴第個(gè)圖形中菱形的個(gè)數(shù)為n2＋n＋1；∴第⑦個(gè)圖形中菱形的個(gè)數(shù)為72＋7＋1＝57.針對(duì)訓(xùn)練1.22a＋2b【解析】觀察圖案的變化可知第①個(gè)圖案的周長(zhǎng)為2(a＋b)，第②個(gè)圖案的周長(zhǎng)為2×2(a＋b)－2×(2－1)b，第③個(gè)圖案的周長(zhǎng)為3×2(a＋b)－2×(3－1)b，…，則第個(gè)圖案的周長(zhǎng)為n×2(a＋b)－2(n－1)b，∴第?個(gè)圖案的周長(zhǎng)為11×2(a＋b)－2×(11－1)b＝22a＋2b.2.3n－1【解析】∵第1個(gè)圖案中有1＝30個(gè)涂有陰影的三角形，第2個(gè)圖案中有3＝31個(gè)涂有陰影的三角形，第3個(gè)圖案中有9＝32個(gè)涂有陰影的三角形，第4個(gè)圖案中有27＝33個(gè)涂有陰影的三角形，依次類推，∴第n個(gè)圖案中有3n－1個(gè)涂有陰影的三角形．類型三圖形成倍遞變規(guī)律典例精講例(eq\f(1,2))6【解析】由題意得S1＝12＝1，S2＝(1×eq\f(\r(2),2))2＝(eq\f(1,2))1，S3＝(eq\f(\r(2),2)×eq\f(\r(2),2))2＝eq\f(1,4)＝(eq\f(1,2))2，S4＝(eq\f(\r(2),2)×eq\f(\r(2),2)×eq\f(\r(2),2))2＝eq\f(1,8)＝(eq\f(1,2))3，…，則Sn＝(eq\f(1,2))n－1，∴S7＝(eq\f(1,2))6.針對(duì)訓(xùn)練1.eq\f(1,2n)【解析】在△ABC中，BC＝1，點(diǎn)P1、M1分別是AB、AC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P2、M2分別是AP1、AM1的中點(diǎn)，點(diǎn)P3、M3分別是AP2、AM2的中點(diǎn)，可得，P1M1＝eq\f(1,2)，P2M2＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,4)，故PnMn＝eq\f(1,2n).2.eq\f(\r(3),24042)【解析】∵BC⊥l，△ABC為等邊三角形，∴∠ABB1＝30°，∵AB＝2，∴AB1＝eq\f(1,2)AB＝1.∵AB1⊥l，△AB1A1為等邊三角形，∴∠A1B1B2＝30°，∴B1B2＝eq\f(\r(3),2)，A1B2＝eq\f(1,2)A1B1＝eq\f(1,2)AB1＝eq\f(1,2)，∴S△AB1A1＝eq\f(1,2)×1×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),22)，同理可得，S△A1B2A2＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(\r(3),4)＝eq\f(\r(3),24)，S△A2B3A3＝eq\f(1,2)×eq\f(1,4)×eq\f(\r(3),8)＝eq\f(\r(3),26)，…，∴S△AnBn＋1An＋1＝eq\f(\r(3),22（n＋1）)，∴S△A2020B2023A2023＝eq\f(\r(3),24042).類型四圖形