2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)上學(xué)期第10周 3.1.1方程的根與函數(shù)的零點教學(xué)設(shè)計

2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)上學(xué)期第10周3.1.1方程的根與函數(shù)的零點教學(xué)設(shè)計科目授課時間節(jié)次--年—月—日（星期——）第—節(jié)指導(dǎo)教師授課班級、授課課時授課題目（包括教材及章節(jié)名稱）2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)上學(xué)期第10周3.1.1方程的根與函數(shù)的零點教學(xué)設(shè)計教材分析《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中明確指出，方程與函數(shù)是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心內(nèi)容，本章“3.1.1方程的根與函數(shù)的零點”旨在讓學(xué)生通過具體實例，理解方程的根與函數(shù)的零點之間的關(guān)系，掌握用函數(shù)方法解決方程問題。教材以二次函數(shù)為例，引導(dǎo)學(xué)生觀察和分析函數(shù)圖像與方程根的聯(lián)系，通過探究活動，讓學(xué)生感悟到函數(shù)零點的存在性和唯一性，進(jìn)而推廣到一般函數(shù)。內(nèi)容與實際教學(xué)緊密結(jié)合，既鞏固了學(xué)生已學(xué)的函數(shù)知識，又為后續(xù)學(xué)習(xí)不等式與函數(shù)圖像打下堅實基礎(chǔ)。核心素養(yǎng)目標(biāo)教學(xué)難點與重點1.教學(xué)重點

-理解方程的根與函數(shù)零點之間的聯(lián)系，掌握用函數(shù)圖像分析方程根的方法。

-能夠通過二次函數(shù)圖像探討零點的存在性和唯一性，并推廣到一般函數(shù)。

-應(yīng)用函數(shù)零點定理解決實際問題，體會數(shù)學(xué)在解決具體問題中的應(yīng)用。

舉例：通過二次函數(shù)f(x)=ax^2+bx+c的圖像，講解判別式Δ=b^2-4ac與零點個數(shù)的關(guān)系，強(qiáng)調(diào)當(dāng)Δ>0時有兩個不同實數(shù)根，Δ=0時有兩個相同實數(shù)根，Δ<0時無實數(shù)根。

2.教學(xué)難點

-掌握如何從函數(shù)圖像中準(zhǔn)確地判斷零點的位置和個數(shù)。

-理解零點存在性定理，并能夠運(yùn)用定理分析函數(shù)在給定區(qū)間內(nèi)零點的存在情況。

-解決涉及函數(shù)零點的實際問題時，能夠合理地選擇變量和建立函數(shù)模型。

舉例：講解零點存在性定理時，以函數(shù)f(x)=x^3-6x^2+9x-1為例，分析在區(qū)間[1,2]內(nèi)存在零點的條件，即f(1)·f(2)<0，引導(dǎo)學(xué)生理解定理背后的數(shù)學(xué)原理，并能夠推廣到一般區(qū)間。同時，通過具體例題，指導(dǎo)學(xué)生如何根據(jù)實際問題抽象出函數(shù)模型，識別關(guān)鍵信息，進(jìn)而解決零點問題。教學(xué)方法與策略1.教學(xué)方法選擇

-講授法：教師通過PPT展示，結(jié)合板書，系統(tǒng)地講解方程的根與函數(shù)零點的基本概念、性質(zhì)和定理，確保學(xué)生掌握基礎(chǔ)理論知識。

-討論法：在講解零點存在性定理和應(yīng)用時，組織學(xué)生進(jìn)行小組討論，讓學(xué)生通過互相交流，加深對方程與函數(shù)零點關(guān)系的理解。

-案例研究：通過具體函數(shù)案例，如實際生活中的優(yōu)化問題，引導(dǎo)學(xué)生分析問題、建立函數(shù)模型，并探討零點的求解方法。

-項目導(dǎo)向?qū)W習(xí)：設(shè)計綜合性的項目任務(wù)，要求學(xué)生自主探究，從實際問題中抽象出函數(shù)模型，運(yùn)用所學(xué)知識解決零點問題。

2.教學(xué)活動設(shè)計

-角色扮演：學(xué)生模擬數(shù)學(xué)家，探索零點存在性定理的發(fā)現(xiàn)過程，增強(qiáng)學(xué)習(xí)的趣味性和參與感。

-實驗：利用數(shù)學(xué)軟件（如GeoGebra）進(jìn)行函數(shù)圖像的繪制和變換，讓學(xué)生直觀感受零點的變化。

-游戲：設(shè)計數(shù)學(xué)游戲，如“零點偵探”，讓學(xué)生在游戲中練習(xí)判斷零點的位置和個數(shù)，提高解題技巧。

3.教學(xué)媒體和資源使用

-PPT：制作多媒體課件，包含函數(shù)圖像、案例分析和定理推導(dǎo)等內(nèi)容，提高教學(xué)效率。

-視頻：播放數(shù)學(xué)家講解零點存在性定理的科普視頻，幫助學(xué)生更直觀地理解理論。

-在線工具：利用在線數(shù)學(xué)工具和平臺，如KhanAcademy、Mathematica等，為學(xué)生提供豐富的學(xué)習(xí)資源和互動練習(xí)。

-板書：重要概念和定理的推導(dǎo)過程通過板書展示，方便學(xué)生跟隨教師的思路，加強(qiáng)對知識點的記憶。教學(xué)流程（一）課前準(zhǔn)備（預(yù)計用時：5分鐘）

學(xué)生預(yù)習(xí)：

發(fā)放預(yù)習(xí)材料，引導(dǎo)學(xué)生提前了解方程的根與函數(shù)零點的學(xué)習(xí)內(nèi)容，標(biāo)記出有疑問或不懂的地方。設(shè)計預(yù)習(xí)問題，如“如何通過函數(shù)圖像判斷零點的個數(shù)？”激發(fā)學(xué)生思考，為課堂學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)備。

教師備課：

深入研究教材，明確教學(xué)目標(biāo)和重難點。準(zhǔn)備教學(xué)用具和多媒體資源，確保教學(xué)過程的順利進(jìn)行。設(shè)計課堂互動環(huán)節(jié)，提高學(xué)生學(xué)習(xí)積極性。

（二）課堂導(dǎo)入（預(yù)計用時：3分鐘）

激發(fā)興趣：

回顧舊知：

簡要回顧上節(jié)課學(xué)習(xí)的二次函數(shù)圖像和性質(zhì)，幫助學(xué)生建立知識之間的聯(lián)系。提出問題，檢查學(xué)生對舊知的掌握情況，為學(xué)習(xí)新課打下基礎(chǔ)。

（三）新課呈現(xiàn)（預(yù)計用時：25分鐘）

知識講解：

清晰、準(zhǔn)確地講解方程的根與函數(shù)零點之間的關(guān)系，結(jié)合實例幫助學(xué)生理解。突出重點，強(qiáng)調(diào)難點，通過對比、歸納等方法幫助學(xué)生加深記憶。

互動探究：

設(shè)計小組討論環(huán)節(jié)，讓學(xué)生圍繞零點存在性定理和應(yīng)用問題展開討論，培養(yǎng)學(xué)生的合作精神和溝通能力。鼓勵學(xué)生提出自己的觀點和疑問，引導(dǎo)學(xué)生深入思考，拓展思維。

技能訓(xùn)練：

總結(jié)歸納：

在新課呈現(xiàn)結(jié)束后，對方程的根與函數(shù)零點的知識點進(jìn)行梳理和總結(jié)。強(qiáng)調(diào)重點和難點，幫助學(xué)生形成完整的知識體系。

（四）鞏固練習(xí)（預(yù)計用時：5分鐘）

隨堂練習(xí)：

隨堂練習(xí)題，讓學(xué)生在課堂上完成，檢查學(xué)生對知識的掌握情況。鼓勵學(xué)生相互討論、互相幫助，共同解決問題。

錯題訂正：

針對學(xué)生在隨堂練習(xí)中出現(xiàn)的錯誤，進(jìn)行及時訂正和講解。引導(dǎo)學(xué)生分析錯誤原因，避免類似錯誤再次發(fā)生。

（五）拓展延伸（預(yù)計用時：3分鐘）

知識拓展：

介紹與方程的根和函數(shù)零點相關(guān)的拓展知識，如高次函數(shù)的零點問題。拓寬學(xué)生的知識視野，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注學(xué)科前沿動態(tài)。

情感升華：

結(jié)合內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生思考數(shù)學(xué)在生活中的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生的社會責(zé)任感。鼓勵學(xué)生分享學(xué)習(xí)心得和體會，增進(jìn)師生之間的情感交流。

（六）課堂小結(jié)（預(yù)計用時：2分鐘）

簡要回顧本節(jié)課學(xué)習(xí)的方程的根與函數(shù)零點的內(nèi)容，強(qiáng)調(diào)重點和難點。肯定學(xué)生的表現(xiàn)，鼓勵他們繼續(xù)努力。

布置作業(yè)：

根據(jù)本節(jié)課學(xué)習(xí)的內(nèi)容，布置適量的課后作業(yè)，鞏固學(xué)習(xí)效果。提醒學(xué)生注意作業(yè)要求和時間安排，確保作業(yè)質(zhì)量。知識點梳理1.方程的根與函數(shù)零點的定義

-方程的根：指使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值。

-函數(shù)的零點：指函數(shù)圖像與x軸交點的橫坐標(biāo)值，即f(x)=0時的x值。

2.方程的根與函數(shù)零點的關(guān)系

-一次函數(shù)f(x)=ax+b的零點為-b/a，即x軸截距的相反數(shù)。

-二次函數(shù)f(x)=ax^2+bx+c的零點個數(shù)與判別式Δ=b^2-4ac有關(guān)，Δ>0有兩個不同實數(shù)根，Δ=0有兩個相同實數(shù)根，Δ<0無實數(shù)根。

3.零點存在性定理

-若函數(shù)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f(a)·f(b)<0，則至少存在一點ξ∈(a,b)，使得f(ξ)=0，即函數(shù)在區(qū)間(a,b)上至少有一個零點。

4.函數(shù)零點的求解方法

-圖像法：通過繪制函數(shù)圖像，觀察與x軸的交點，判斷零點的位置和個數(shù)。

-二分法：利用零點存在性定理，逐步縮小零點所在的范圍，提高零點的求解精度。

-數(shù)值方法：如牛頓迭代法，通過迭代計算，逼近函數(shù)零點。

5.方程的根與函數(shù)零點的應(yīng)用

-解決實際問題中的優(yōu)化問題，如求最大值、最小值。

-識別函數(shù)圖像的增減性和極值，為解決方程和不等式問題提供直觀依據(jù)。

6.函數(shù)零點與方程根的推廣

-對于高次函數(shù)，利用圖像法、二分法等求解零點。

-探討其他類型函數(shù)（如分段函數(shù)、絕對值函數(shù)）的零點問題。

7.典型例題與解題方法

-求解二次方程的根，根據(jù)判別式判斷根的個數(shù)。

-給定函數(shù)在區(qū)間上的值，利用零點存在性定理判斷零點存在的可能性。

-結(jié)合實際問題，建立函數(shù)模型，求解函數(shù)零點。典型例題講解例題1：求解二次方程的根

給定方程：f(x)=x^2-5x+6=0

解：因式分解可得：(x-2)(x-3)=0

所以，x=2或x=3

答案：x1=2,x2=3

例題2：利用零點存在性定理判斷零點

給定函數(shù)：f(x)=x^3-6x^2+9x-1

已知f(1)=3,f(2)=-1，判斷在區(qū)間[1,2]上是否存在零點。

解：由于f(1)·f(2)<0，根據(jù)零點存在性定理，函數(shù)在區(qū)間[1,2]上至少存在一個零點。

答案：存在零點

例題3：求解函數(shù)零點

給定函數(shù)：f(x)=x^2-2

求解f(x)=0的零點。

解：通過圖像法，可以觀察到該函數(shù)為開口向上的拋物線，與x軸有兩個交點，分別在x=√2和x=-√2。

答案：x1=√2,x2=-√2

例題4：求解實際問題中的函數(shù)零點

某產(chǎn)品的成本函數(shù)為C(x)=3x^2+2x+10，其中x為生產(chǎn)數(shù)量。若收入函數(shù)為R(x)=5x，求盈虧平衡點的生產(chǎn)數(shù)量。

解：盈虧平衡點即為收入等于成本的點，即C(x)=R(x)。解方程3x^2+2x+10=5x，得到x=2或x=-5/3。由于生產(chǎn)數(shù)量不能為負(fù)，故盈虧平衡點的生產(chǎn)數(shù)量為x=2。

答案：x=2

例題5：求解分段函數(shù)的零點

給定函數(shù)：f(x)={x+2,x<0

{x^2-2,x≥0

求解f(x)=0的零點。

解：分別求解兩個部分的零點。

當(dāng)x<0時，f(x)=x+2=0，得到x=-2。

當(dāng)x≥0時，f(x)=x^2-2=0，得到x=√2。

答案：x1=-2,x2=√2

補(bǔ)充說明：

1.例題1展示了二次方程的根的求解方法，通過因式分解得到方程的根。

2.例題2利用零點存在性定理判斷零點的存在，無需具體求解。

3.例題3通過圖像法求解函數(shù)零點，適用于二次函數(shù)等具有明顯圖像特征的函數(shù)。

4.例題4結(jié)合實際問題的應(yīng)用，求解函數(shù)零點，展示了函數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用。

5.例題5求解分段函數(shù)的零點，需分別考慮每段的零點，并注意定義域的限制。板書設(shè)計①重點知識點：

-方程的根：使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值。

-函數(shù)的零點：函數(shù)圖像與x軸交點的橫坐標(biāo)值，即f(x)=0時的x值。

-二次方程的根與判別式Δ的關(guān)系：Δ=b^2-4ac，Δ>0有兩個不同實數(shù)根，Δ=0有兩個相同實數(shù)根，Δ<0無實數(shù)根。

-零點存在性定理：若函數(shù)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f(a)·f(b)<0，則至少存在一點ξ∈(a,b)，使得f(ξ)=0。

②重點詞句：

-方程的根：左右兩邊相等，未知數(shù)的值。

-函數(shù)的零點：圖像與x軸交點，f(x)=0的x值。

-二次方程的根：Δ與根的關(guān)系。

-零點存在性定理：連續(xù)、f(a)·f(b)<0、至少存在一個零點。

③藝術(shù)性與趣味性：

-使用圖形和色彩：繪制函數(shù)圖像，突出零點的位置，使用不同顏色表示不同的根。

-設(shè)計有趣的例子：通過實際生活中的例子，如優(yōu)化問題，激發(fā)學(xué)生的興趣。

-使用互動方式：在板書中設(shè)計互動環(huán)節(jié)，如讓學(xué)生上臺繪制函數(shù)圖像，提高參與度。課堂小結(jié)，當(dāng)堂檢測課堂小結(jié)：

本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了方程的根與函數(shù)的零點，包括方程的根的定義、函數(shù)的零點的定義、二次方程的根與判別式Δ的關(guān)系、零點存在性定理以及函數(shù)零點的求解方法。通過學(xué)習(xí)，我們掌握了方程的根與函數(shù)零點之間的關(guān)系，學(xué)會了如何利用函數(shù)圖像和零點存在性定理求解方程的根，以及如何將方程與函數(shù)應(yīng)用到實際問題中。

當(dāng)堂檢測：

1.求解方程：2x^2-4x+1=0

2.給定函數(shù)：f(x)=x^3-6x^2+9x-1，判斷在區(qū)間[1,2]上是否存在零點。

3.求解函數(shù)零點：f(x)=x^2-2

4.某產(chǎn)品的成本函數(shù)為C(x)=3x^2+2x+10，收入函數(shù)為R(x)=5x，求盈虧平衡點的生產(chǎn)數(shù)量。

5.求解分段函數(shù)的零點：f(x)={x+2,x<0;x^2-2,x≥0

答案：

1.x1=1/2,x2=1/2

2.存在零點

3.x1=√2,x2=-√2

4.x=2

5.x1=-2,x2=√2教學(xué)反思與改進(jìn)十、教學(xué)反思與改進(jìn)

在本次教學(xué)中，我發(fā)現(xiàn)學(xué)生在理解方程的根與函數(shù)零點的關(guān)系上還存在一定的困難。有些學(xué)生對二次方程的根與判別式Δ的關(guān)系掌握不夠牢固，還有一部分學(xué)生對零點存在性定理的理解不夠深入。針對這些問題，我將在未來的教學(xué)中進(jìn)行改進(jìn)。

首先，我會在課堂上增加一些實例，通過具體的例子來幫助學(xué)生更好地理解方程的根與函數(shù)零點的關(guān)系。同時，我會加強(qiáng)學(xué)生的練習(xí)，讓學(xué)生通過實際操作來加深對知識的理解。

其次，