江蘇省無錫市積余中學2025屆九年級數學第一學期期末考試模擬試題含解析

江蘇省無錫市積余中學2025屆九年級數學第一學期期末考試模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題(每小題3分,共30分)1．已知二次函數y＝ax2+bx+c的圖象大致如圖所示，則下列關系式中成立的是（）A．a＞0 B．b＜0 C．c＜0 D．b+2a＞02．如圖，甲、乙為兩座建筑物，它們之間的水平距離BC為30m，在A點測得D點的仰角∠EAD為45°，在B點測得D點的仰角∠CBD為60°，則乙建筑物的高度為（）米．A．30 B．30﹣30 C．30 D．303．如圖，點C是線段AB的黃金分割點（AC＞BC），下列結論錯誤的是（）A． B． C． D．4．若關于的一元二次方程有兩個實數根則的取值范圍是()A． B．且 C．且 D．5．如圖，拋物線y＝ax2+bx+c交x軸分別于點A（﹣3，0），B（1，0），交y軸正半軸于點D，拋物線頂點為C．下列結論①2a﹣b＝0；②a+b+c＝0；③當m≠﹣1時，a﹣b＞am2+bm；④當△ABC是等腰直角三角形時，a＝；⑤若D（0，3），則拋物線的對稱軸直線x＝﹣1上的動點P與B、D兩點圍成的△PBD周長最小值為3，其中，正確的個數為（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個6．下列美麗的圖案中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的個數有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個7．若關于x的一元二次方程kx2﹣4x+3=0有實數根，則k的非負整數值是（）A．1 B．0，1 C．1，2 D．1，2，38．當k>0時，下列圖象中哪些可能是y=kx與y=在同一坐標系中的圖象（）A． B． C． D．9．如圖，AB是半圓的直徑，O為圓心，C是半圓上的點，D是上的點，若∠D＝110°，則∠AOC的度數為（）A．130° B．135° C．140° D．145°10．如圖，幾何體是由3個大小完全一樣的正方體組成的，它的左視圖是（）A． B． C． D．二、填空題(每小題3分,共24分)11．計算：sin45°·cos30°+3tan60°=_______________.12．在Rt△ABC中，AC：BC＝1：2，則sinB＝______.13．如圖，點在反比例函數的圖象上，過點作坐標軸的垂線交坐標軸于點、，則矩形的面積為_________．14．用長的鐵絲做一個長方形框架，設長方形的長為，面積為，則關于的函數關系式為__________.15．若方程x2﹣2x﹣1009＝0有一個根是α，則2α2﹣4α+1的值為_____．16．如圖，邊長為3的正六邊形內接于，則圖中陰影部分的面積和為_________（結果保留）．17．某校去年投資2萬元購買實驗器材，預計今明2年的投資總額為8萬元．若該校這兩年購買的實驗器材的投資年平均增長率為x，則可列方程為_____．18．在△ABC中，點D、E分別在AB、AC上，∠AED=∠B，若AE=2，△ADE的面積為4，四邊形BCED的面積為5，則邊AB的長為________．三、解答題(共66分)19．（10分）已知：在同一平面直角坐標系中，一次函數與二次函數的圖象交于點.（1）求，的值；（2）求二次函數圖象的對稱軸和頂點坐標.20．（6分）某運動會期間，甲、乙、丙三位同學參加乒乓球單打比賽，用抽簽的方式確定第一場比賽的人選．（1）若已確定甲參加第一次比賽，求另一位選手恰好是乙同學的概率；（2）用畫樹狀圖或列表的方法，寫出參加第一場比賽選手的所有可能，并求選中乙、丙兩位同學參加第一場比賽的概率．21．（6分）如圖，拋物線與軸交于點和點，與軸交于點，其對稱軸為，為拋物線上第二象限的一個動點．（1）求拋物線的解析式并寫出其頂點坐標；（2）當點在運動過程中，求四邊形面積最大時的值及此時點的坐標．22．（8分）如圖，反比例函數的圖象經過點，直線與雙曲線交于另一點，作軸于點，軸于點，連接．（1）求的值；（2）若，求直線的解析式；（3）若，其它條件不變，直接寫出與的位置關系．23．（8分）2019年鞍山市出現了豬肉價格大幅上漲的情況，經過對我市某豬肉經銷商的調查發(fā)現，當豬肉售價為60元/千克時，每天可以銷售80千克，日銷售利潤為1600元（不考慮其他因素對利潤的影響）：售價每上漲1元，則每天少售出2千克；若設豬肉售價為x元/千克，日銷售量為y千克．（1）求y關于x的函數解析式（不要求寫出自變量的取值范圍）；（2）若物價管理部門規(guī)定豬肉價格不高于68元/千克，當售價是多少元/千克時，日銷售利潤最大，最大利潤是多少元．24．（8分）如圖，在中，直徑垂直于弦，垂足為，連結，將沿翻轉得到，直線與直線相交于點．（1）求證：是的切線；（2）若為的中點，，求的半徑長；（3）①求證：；②若的面積為，，求的長．25．（10分）在國家的宏觀調控下，某市的商品房成交價由去年10月份的14000元/下降到12月份的11340元/.(1)求11、12兩月份平均每月降價的百分率是多少？(2)如果房價繼續(xù)回落，按此降價的百分率，你預測到今年2月份該市的商品房成交均價是否會跌破10000元/？請說明理由26．（10分）某種電腦病毒傳播非?？?，如果一臺電腦被感染，經過兩輪感染后就會有81臺電腦被哦感染．（1）每輪感染中平均一臺電腦會感染幾臺電腦？（2）若病毒得不到有效控制，3輪感染后，被感染的電腦會不會超過700臺？（3）輪（為正整數）感染后，被感染的電腦有________臺．

參考答案一、選擇題(每小題3分,共30分)1、D【解析】分析：根據拋物線的開口、對稱軸及與y軸的交點的位置，可得出a＜1、c＞1、b＞﹣2a，進而即可得出結論．詳解：∵拋物線開口向下，對稱軸大于1，與y軸交于正半軸，∴a＜1，﹣＞1，c＞1，∴b＞﹣2a，∴b+2a＞1．故選D．點睛：本題考查了二次函數圖象與系數的關系，根據拋物線的對稱軸大于1找出b＞﹣2a是解題的關鍵．2、B【分析】在Rt△BCD中,解直角三角形，可求得CD的長，即求得甲的高度，過A作AF⊥CD于點F，在Rt△ADF中解直角三角形可求得DF，則可求得CF的長，即可求得乙的高度．【詳解】解：如圖，過A作AF⊥CD于點F，

在Rt△BCD中，∠DBC=60°，BC=30m，

∵tan∠DBC=，

∴CD=BC?tan60°=30m，

∴甲建筑物的高度為30m；

在Rt△AFD中，∠DAF=45°，

∴DF=AF=BC=30m，

∴AB=CF=CD-DF=（30-30）m，

∴乙建筑物的高度為（30-30）m．

故選B．【點睛】本題主要考查解直角三角形的應用-仰角俯角問題，構造直角三角形，利用特殊角求得相應線段的長是解題的關鍵．3、B【解析】∵AC＞BC，∴AC是較長的線段，根據黃金分割的定義可知：=≈0.618，故A、C、D正確，不符合題意；AC2=AB?BC，故B錯誤，符合題意；故選B．4、C【分析】由二次項系數非零結合根的判別式△，即可得出關于的一元一次不等式組，解之即可得出結論．【詳解】解：關于的一元二次方程有兩個不相等的實數根，，解得：且．故選：C．【點睛】本題考查了根的判別式以及一元二次方程的定義，根據二次項系數非零結合根的判別式△，列出關于的一元一次不等式組是解題的關鍵．5、D【分析】把A、B兩點坐標代入拋物線的解析式并整理即可判斷①②；根據拋物線的頂點和最值即可判斷③；求出當△ABC是等腰直角三角形時點C的坐標，進而可求得此時a的值，于是可判斷④；根據利用對稱性求線段和的最小值的方法（將軍飲馬問題）求解即可判斷⑤.【詳解】解：把A（﹣3，0），B（1，0）代入y＝ax2+bx+c得到，消去c得到2a﹣b＝0，故①②正確；∵拋物線的對稱軸是直線x＝﹣1，開口向下，∴x＝﹣1時，y有最大值，最大值＝a﹣b+c，∵m≠﹣1，∴a﹣b+c＞am2+bm+c，∴a﹣b＞am2+bm，故③正確；當△ABC是等腰直角三角形時，C（﹣1，2），可設拋物線的解析式為y＝a（x+1）2+2，把（1，0）代入解得a＝﹣，故④正確，如圖，連接AD交拋物線的對稱軸于P，連接PB，則此時△BDP的周長最小，最小值＝PD+PB+BD＝PD+PA+BD＝AD+BD，∵AD＝＝3，BD＝＝，∴△PBD周長最小值為3，故⑤正確．故選D．【點睛】本題考查了二次函數的圖象與性質、二次函數的圖象與其系數的關系、待定系數法求二次函數的解析式和求三角形周長最小值的問題，熟練掌握二次函數的圖象與性質是解題的關鍵.6、B【分析】根據軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解．【詳解】解：從左數第一、四個是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形．第二是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，第三個圖形是中心對稱圖形不是軸對稱圖形．故選B．【點睛】本題考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念．軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合；中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉180度后兩部分重合．7、A【詳解】由題意得，根的判別式為△=(-4)2-4×3k，由方程有實數根，得(-4)2-4×3k≥0，解得k≤，由于一元二次方程的二次項系數不為零，所以k≠0，所以k的取值范圍為k≤且k≠0，即k的非負整數值為1，故選A．8、B【分析】由系數即可確定與經過的象限.【詳解】解：經過第一、三象限，經過第一、三象限，B選項符合.故選：B【點睛】本題考查了一次函數與反比例函數的圖像，靈活根據的正負判斷函數經過的象限是解題的關鍵.9、C【分析】根據“圓內接四邊形的對角互補”，由∠D可以求得∠B，再由圓周角定理可以求得∠AOC的度數．【詳解】解：∵∠D＝110°，∴∠B＝180°﹣110°＝70°，∴∠AOC＝2∠B＝140°，故選C．【點睛】本題考查圓周角定理及圓內接四邊形的性質，熟練掌握有關定理和性質的應用是解題關鍵．10、D【解析】試題分析：觀察幾何體，可知該幾何體是由3個大小完全一樣的正方體組成的，它的左視圖是，故答案選D.考點：簡單幾何體的三視圖.二、填空題(每小題3分,共24分)11、【分析】先求出各個特殊角度的三角函數值，然后計算即可【詳解】∵∴原式=故答案為【點睛】本題考查特殊角度的三角函數值，熟記特殊角度的三角函數值是解題的關鍵。12、或【分析】根據可知，因此分和兩種情況討論，當時，；當時，利用勾股定理求出斜邊AB，再由即可得.【詳解】（1）當時，BC為斜邊，AC為所對的直角邊則（2）當時，AB為斜邊，AC為所對的直角邊設，則由勾股定理得：則綜上，答案為或.【點睛】本題考查了直角三角形中銳角三角函數，熟記銳角三角函數的計算方法是解題關鍵.13、1【分析】因為過雙曲線上任意一點引x軸、y軸垂線，所得矩形面積S是個定值，即S=|k|．【詳解】解：∵PA⊥x軸于點A，PB⊥y軸于B點，

∴矩形AOBP的面積=|1|=1．

故答案為：1．【點睛】本題考查了反比例函數（k≠0）系數k的幾何意義：從反比例函數（k≠0）圖象上任意一點向x軸和y軸作垂線，垂線與坐標軸所圍成的矩形面積為|k|．14、或【分析】易得矩形另一邊長為周長的一半減去已知邊長，那么矩形的面積等于相鄰兩邊長的積．【詳解】由題意得：矩形的另一邊長=24÷2?x=12?x，則y=x(12?x)=?x2+12x.故答案為或【點睛】本題考查了二次函數的應用，掌握矩形周長與面積的關系是解題的關鍵.15、1【分析】先利用一元二次方程根的定義得到α2﹣2α＝1009，然后求出2α2﹣4α的值代入即可．【詳解】解：方程x2﹣2x﹣1009＝0有一個根是α，則α2﹣2α﹣1009＝0，α2﹣2α＝1009，2α2﹣4α+1＝2（α2﹣2α）+1＝1．故答案為：1．【點睛】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數的值是一元二次方程的解．16、【分析】將陰影部分合并即可得到扇形的面積,利用扇形面積公式計算即可.【詳解】∵ABCDEF是正六邊形,∴∠AOE=120°,陰影部分的面積和=.故答案為:.【點睛】本題考查扇形面積計算,關鍵在于記住扇形的面積公式.17、2(1+x)+2(1+x)2=1.【分析】本題為增長率問題，一般用增長后的量=增長前的量×（1+增長率），如果該校這兩年購買的實驗器材的投資年平均增長率為x，根據題意可得出的方程．【詳解】設該校這兩年購買的實驗器材的投資年平均增長率為x，今年的投資金額為：2（1+x），明年的投資金額為：2（1+x）2，所以根據題意可得出的方程：2（1+x）+2（1+x）2=1．故答案為：2（1+x）+2（1+x）2=1．【點睛】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，增長率問題，一般形式為a（1+x）2=b，a為起始時間的有關數量，b為終止時間的有關數量．18、1【分析】由∠AED=∠B，∠A是公共角，根據有兩角對應相等的兩個三角形相似，即可證得△ADE∽△ACB，又由相似三角形面積的比等于相似比的平方，可得，然后由AE=2，△ADE的面積為4，四邊形BCDE的面積為5，即可求得AB的長．【詳解】∵∠AED=∠B，∠A是公共角，∴△ADE∽△ACB，∴，∵△ADE的面積為4，四邊形BCED的面積為5，∴△ABC的面積為9，∵AE=2，∴，解得：AB=1．故答案為1．【點睛】本題考查相似三角形的判定性質，掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方是解題的關鍵.三、解答題(共66分)19、（1），;（2）對稱軸為直線，頂點坐標.【分析】（1）把A點坐標代入一次函數解析式可求得m的值，得出A點坐標，再代入二次函數解析式可得c；（2）將（1）中得出的二次函數的解析式化為頂點式可求得其頂點坐標和對稱軸．【詳解】解：（1）∵點A在一次函數圖象上，∴m=-1-4=-5，∵點A在二次函數圖象上，∴-5=-1-2+c，解得c=-2；（2）由（1）可知二次函數的解析式為：，∴二次函數圖象的對稱軸為直線x=1，頂點坐標為(1,-1)．【點睛】本題考查的知識點是一次函數的性質以及二次函數的性質，熟記各知識點是解此題的關鍵．20、（1）；（2）【分析】（1）根據概率公式求解可得；（2）此題需要兩步完成，所以采用樹狀圖法或者采用列表法都比較簡單，求得全部情況的總數與符合條件的情況數目；二者的比值就是其發(fā)生的概率．【詳解】解：（1）根據題意，甲參加第一場比賽時，有（甲，乙）、（甲，丙）兩種可能，∴另一位選手恰好是乙同學的概率；（2）畫樹狀圖如下：所有可能出現的情況有6種，其中乙丙兩位同學參加第一場比賽的情況有2種，∴選中乙、丙兩位同學參加第一場比賽的概率為＝．【點睛】考核知識點：求概率.運用列舉法求概率是關鍵.21、（1），(－1，4)；（2），P(，)【解析】（1）根據題意將已知點的坐標代入已知的拋物線的解析式，利用待定系數法確定拋物線的解析式并寫出其頂點坐標即可；（2）根據題意設P點的坐標為（t，）(－3＜t＜0)，并用分割法將四邊形的面積S四邊形BCPA=S△OBC＋S△OAP＋S△OPC，得到二次函數運用配方法求得最值即可．【詳解】解：（1）∵該拋物線過點C(0，3)，∴可設該拋物線的解析式為，∵與x軸交于點A和點B（1，0），其對稱軸l為x=－1，∴∴∴此拋物線的解析式為，其頂點坐標為（－1，4）；（2）如圖：可知A（－3，0），∴OA＝3，OB＝1，OC＝3設P點的坐標為（t，）(－3＜t＜0)∴S四邊形BCPA＝S△OBC＋S△OAP＋S△OPC＝×OB×OC＋×OA×yP＋×xC×OC＝×1×3＋×3×()＋×|t|×3＝＝＝∴當t＝時，四邊形PABC的面積有最大值∴P（，）.【點睛】本題考查二次函數綜合題．用待定系數法求函數的解析式時要靈活地根據已知條件選擇配方法和公式法，注意求拋物線的最值的方法是配方法．22、(1)；

(2)；(3)

BC∥AD．【分析】（1）將點A（-4,1）代入，求的值；（2）作輔助線如下圖，根據和CH=AE，點D的縱坐標，代入方程求出點D的坐標，假設直線的解析式，代入A、D兩點即可；（3）代入B（0,1），C（2,0）求出直線BC的解析式，再與直線AB的解析式作比較，得證BC∥AD．【詳解】（1）∵反比例函數的圖象經過點A（-4,1），∴（2）

如圖，∵

∴∴DH=3∵CH=AE=1∴CD=2∴點D的縱坐標為﹣2，把代入得：∴點D的坐標是（2，﹣2）設：，則∴∴直線AD的解析式是：（3）

由題（2）得B（0,1），C（2,0）設：，則解得∴∵∴BC∥AD【點睛】本題考查了反比例函數的應用以及兩直線平行的判定，掌握反比例函數的性質以及兩直線平行的判定定理是解題的關鍵．23、（1）y＝200﹣2x；（2）售價是68元/千克時，日銷售利潤最大，最大利潤是1元【分析】（1）根據售價每上漲1元，則每天少售出2千克即可列出函數關系式；（2）根據（1）所得關系式，銷售利潤＝每千克的利潤×銷售量列出二次函數關系式，再求出最值即可．【詳解】解：（1）根據題意，得設豬肉進價為a元/千克，（60﹣a）×80＝1600，解得a＝40，y＝80﹣2（x﹣60）＝200﹣2x．答：y與x的函數解析式為：y＝200﹣2x．（2）設售價為x元時，日銷售利潤為w元，根據題意，得w＝（x﹣40）（200﹣2x）＝﹣2x2+280x﹣8000；＝﹣2（x﹣70）2+1800∵﹣2＜0，當x＜70時，w隨x的增大而增大，∵物價管理部門規(guī)定豬肉價格不高于68元/千克，∴x＝68時，w有最大值，最大值為1．答：當售價是68元/千克時，日銷售利潤最大，最大利潤是1元．【點睛】本題考查了二次函數的應用，解決本題的關鍵是掌握銷售問題的數量關系．24、（1）見解析；（2）的半徑為2；（3）①見解析；②．【分析】（1）連接OC，由OA=OC得，根據折疊的性質得∠1=∠3，∠F=∠AEC=90°，則∠2=∠3，于是可判斷OC∥AF，根據平行線的性質得，然后根據切線的性質得直線FC與⊙O相切；

（2）首先證明△OBC是等邊三角形，在Rt△OCE中，根據OC2=OE2+CE2，構建方程即可解決問題；

（3）①根據等角的余角相等證明即可；

②利用圓的面積公式求出OB，由△GCB∽△GAC，可得，由此構建方程即可解決問題；【詳解】解：（1）證明：連結，則，，，，又，即直線垂直于半徑，且過的外端點，是的切線；（2）點是斜邊的中點，，是等邊三角形，且是的高，在中，，即解得，即的半徑為2；（3）①∵OC=OB，∴，，，．②，，由①知：，，即，，解得：．【點睛】本題屬于圓綜合題，考查了切線的判定，解直角三角形，相似三角形的判定和性質，等邊三角形的判定和性質，