新教材高中數(shù)學(xué)第八章立體幾何初步8-6-2直線與平面垂直二素養(yǎng)課件新人教A版必修第二冊

8.6.2直線與平面垂直(二)

【情境探究】如圖是馬路旁的路燈燈柱,若將燈柱看作一條直線,地面看作平面,請回答下面的問題.必備知識生成1.燈柱所在直線與地面所在平面有何位置關(guān)系?提示:燈柱所在直線與地面所在平面垂直.2.燈柱所在的直線間是什么位置關(guān)系?提示:燈柱所在的直線都是平行的.【知識生成】1.直線與平面垂直的性質(zhì)定理文字語言垂直于同一個平面的兩條直線_____符號語言

?_____圖形語言

作用證明兩條直線_____平行a∥b平行2.直線到平面的距離一條直線與一個平面平行時,這條直線上_________到這個平面的距離,叫做這條直線到這個平面的距離.3.平面到平面的距離如果兩個平面平行,那么其中一個平面內(nèi)的任意一點(diǎn)到另一個平面的距離都_____,我們把它叫做這兩個平行平面的距離.任意一點(diǎn)相等關(guān)鍵能力探究探究點(diǎn)一直線與平面垂直的性質(zhì)的應(yīng)用【典例1】如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M是AB上一點(diǎn),N是A1C的中點(diǎn),MN⊥平面A1DC,求證:MN∥AD1.

【思維導(dǎo)引】兩直線垂直于同一平面?兩直線平行.【證明】因?yàn)樗倪呅蜛DD1A1為正方形,所以AD1⊥A1D.又因?yàn)镃D⊥平面ADD1A1,所以CD⊥AD1.因?yàn)锳1D∩CD=D,所以AD1⊥平面A1DC.又因?yàn)镸N⊥平面A1DC,所以MN∥AD1.【延伸探究】

1.本例中條件不變,求證:M是AB的中點(diǎn).【證明】假設(shè)A1D與AD1交于點(diǎn)O,連接ON,在△A1DC中,A1O=OD,A1N=NC,所以O(shè)N

CD

AB,所以O(shè)N∥AM.又由例題可知MN∥OA,所以四邊形AMNO為平行四邊形,所以O(shè)N=AM.因?yàn)镺N=AB,所以AM=AB,所以M是AB的中點(diǎn).【延伸探究】

1.本例中條件不變,求證:M是AB的中點(diǎn).【證明】假設(shè)A1D與AD1交于點(diǎn)O,連接ON,在△A1DC中,A1O=OD,A1N=NC,所以O(shè)N

CD

AB,所以O(shè)N∥AM.又由例題可知MN∥OA,所以四邊形AMNO為平行四邊形,所以O(shè)N=AM.因?yàn)镺N=AB,所以AM=AB,所以M是AB的中點(diǎn).2.本例中把條件“MN⊥平面A1DC”改為“M是AB的中點(diǎn)”,求證:MN⊥平面A1DC.【證明】連接A1M,CM,取CD中點(diǎn)P,連接NP,MP,由正方體AC1,M,N為中點(diǎn),則A1M=CM,所以MN⊥A1C.又P為CD中點(diǎn),所以PN∥A1D.因?yàn)镃D⊥A1D,所以CD⊥PN.又MP⊥CD,MP∩PN=P,所以CD⊥平面MPN.因?yàn)镸N?平面MPN,所以MN⊥CD.又A1C∩CD=C,所以MN⊥平面A1DC.【類題通法】1.線面垂直性質(zhì)定理的作用線面垂直的性質(zhì)提供了證明線線平行的依據(jù).2.直線與平面垂直的其他性質(zhì)(1)若一條直線垂直于一個平面,則它就垂直于這個平面內(nèi)的任意一條直線.(2)若兩條平行線中的一條垂直于一個平面,則另一條也垂直于這個平面.(3)若一條直線垂直于兩個平行平面中的一個,則它必垂直于另一個平面.(4)垂直于同一條直線的兩個平面平行.【定向訓(xùn)練】如圖,已知平面α∩平面β=l,EA⊥α,垂足為A,EB⊥β,直線a?β,a⊥AB.求證:a∥l.【證明】因?yàn)镋A⊥α,α∩β=l,即l?α,所以l⊥EA.同理l⊥EB.又EA∩EB=E,所以l⊥平面EAB.因?yàn)镋B⊥β,a?β,所以EB⊥a,又a⊥AB,EB∩AB=B,所以a⊥平面EAB.由線面垂直的性質(zhì)定理,得a∥l.探究點(diǎn)二直線與平面垂直的綜合運(yùn)用【典例2】斜邊為AB的直角三角形ABC,PA⊥平面ABC.AE⊥PB,AF⊥PC,E,F分別為垂足,如圖.

(1)求證:EF⊥PB.(2)若直線l⊥平面AEF,求證:PB∥l.探究點(diǎn)二直線與平面垂直的綜合運(yùn)用【典例2】斜邊為AB的直角三角形ABC,PA⊥平面ABC.AE⊥PB,AF⊥PC,E,F分別為垂足,如圖.

(1)求證:EF⊥PB.(2)若直線l⊥平面AEF,求證:PB∥l.【思維導(dǎo)引】(1)證明線線垂直,需要證明線面垂直,關(guān)鍵是確定相應(yīng)的直線和平面.(2)利用線面垂直的性質(zhì)得出線線平行.【證明】(1)因?yàn)镻A⊥平面ABC,所以PA⊥BC.又因?yàn)椤鰽BC為直角三角形,所以BC⊥AC,PA∩AC=A,所以BC⊥平面PAC.又因?yàn)锳F?平面PAC,所以BC⊥AF.又AF⊥PC,且PC∩BC=C,所以AF⊥平面PBC.又PB?平面PBC,所以AF⊥BP.又AE⊥PB,且AE∩AF=A,所以PB⊥平面AEF.又EF?平面AEF,所以EF⊥PB.(2)由(1)知,PB⊥平面AEF,而l⊥平面AEF,所以PB∥l.【類題通法】線線、線面垂直問題的解題策略

(1)證明線線垂直,一般轉(zhuǎn)化為證明一條直線垂直于經(jīng)過另一條直線的平面,為此分析題設(shè),觀察圖形找到是哪條直線垂直于經(jīng)過哪條直線的平面.(2)證明直線和平面垂直,就是要證明這條直線垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線,這一點(diǎn)在解題時一定要體現(xiàn)出來.【定向訓(xùn)練】如圖,在四棱錐P-ABCD中,AD⊥平面PDC,AD∥BC,PD⊥PB,AD=1,BC=3,CD=4,PD=2.(1)求異面直線AP與BC所成角的余弦值;(2)求證:PD⊥平面PBC;(3)求直線AB與平面PBC所成角的正弦值.【解析】(1)因?yàn)锳D∥BC,所以∠DAP或其補(bǔ)角就是異面直線AP與BC所成的角,因?yàn)锳D⊥平面PDC,所以AD⊥PD,在Rt△PDA中,AP=,所以cos∠DAP=,所以異面直線AP與BC所成角的余弦值為.(2)因?yàn)锳D⊥平面PDC,所以AD⊥PD,又因?yàn)锳D∥BC,PD⊥BC,又PD⊥PB,BC∩PB=B,所以PD⊥平面PBC.(3)過點(diǎn)D作AB的平行線交BC于點(diǎn)F,連接PF,則DF與平面PBC所成的角等于AB與平面PBC所成的角.因?yàn)镻D⊥平面PBC,故PF為DF在平面PBC上的射影,所以∠DFP為直線DF和平面PBC所成的角.由于AD∥BC,DF∥AB,故BF=AD=1,由已知,得CF=BC-BF=2.又AD⊥DC,故BC⊥DC,在Rt△DCF中,可得DF=在Rt△DPF中,sin∠DFP=所以直線AB與平面PBC所成角的正弦值為.1234方法總結(jié)易錯提醒核心素養(yǎng)核心知識邏輯推理：線面垂直的的綜合應(yīng)用中的相互轉(zhuǎn)化問題線面垂直的判斷方法：（1）基本事實(shí)4；（2）線面平行的性質(zhì)定理；（3）面面平行的性質(zhì)定理；（4）線面垂直的性質(zhì)定理；直線與平面垂直（二）（1）注意線面垂直關(guān)系應(yīng)用中的轉(zhuǎn)化思想（2）注意求直線到面的距離、平行平面間的距離時轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用性質(zhì)定理平行平面間的距離直線到面的距離應(yīng)用課堂素養(yǎng)達(dá)標(biāo)1.已知直線a,b,平面α,且a⊥α,下列條件中,能推出a∥b的是 (

)A.b∥α B.b?αC.b⊥α D.b與α相交【解析】選C.由線面垂直的性質(zhì)定理可知,當(dāng)b⊥α,a⊥α?xí)r,a∥b.2.如圖,設(shè)平面α∩平面β=PQ,EG⊥平面α,FH⊥平面α,垂足分別為G,H.為使PQ⊥GH,則需增加的一個條件是 (

)

A.EF⊥平面α B.EF⊥平面βC.PQ⊥GE D.PQ⊥FH【解析】選B.因?yàn)镋G⊥平面α,PQ?平面α,所以EG⊥PQ.若EF⊥平面β,則由PQ?平面β,得EF⊥PQ.又EG與EF為相交直線,所以PQ⊥平面EFHG,所以PQ⊥GH.3.在圓柱的一個底面上任取一點(diǎn)(該點(diǎn)不在底面圓周上),過該點(diǎn)作另一個底面的垂線,則這條垂線與圓柱的母線所在直線的位置關(guān)系是 (

)A.相交 B.平行C.異面 D.相交或平行【解析】選B.由于這條垂線與圓柱的母線都垂直于底面,所以它們平行.4.在三棱錐V-ABC中,當(dāng)三條側(cè)棱VA,VB,VC之間滿足條件________時,有VC⊥AB.(注:填上你認(rèn)為正確的一種條件即可)

【解析】只要VC⊥平面VAB,即有VC⊥AB;故只要VC⊥VA,VC⊥VB即可.答案:VC⊥VA,VC⊥VB(答案不唯一,只要能保證VC⊥AB即可)Thebestclassroomintheworldisatthefeetofanelderlyperson.世界上最好的課堂在老人的腳下.Havingachildfallasleepinyourarmsisoneofthemostpeacefulfeelingintheworld.讓一個孩子在你的臂彎入睡,你會體會到世間最安寧的感覺.Beingkindismoreimportantthanbeingright.善良比真理更重要.Youshouldneversaynotoagiftfromachild.永遠(yuǎn)不要拒絕孩子送給你的禮物.Sometimesallapersonneedsisahandtoholdandahearttounderstand.有時候,一個人想要的只是一只可握的手和一顆感知的心.Love,nottime,healsallwounds.治愈一切創(chuàng)傷的并非時間,而是愛.Lifeistough,butI'mtougher.生活是艱苦的,但我應(yīng)更堅強(qiáng).勵志名言請您欣賞3.在圓柱的一個底面上任取一點(diǎn)(該點(diǎn)不在底面圓周上),過該點(diǎn)作另一個底面的垂線,則這條垂線與圓柱的母線所在直線的位置關(guān)系是 (

)A.相交 B.平行C.異面 D.相交或平行【解析】選B.由于這條垂線與圓柱的母線都垂直于底面,所以它們平行.2.如圖,設(shè)平面α∩平面β=PQ,EG⊥平面α,FH⊥平面α,垂足分別為G,H.為使PQ⊥GH,則需增加的一個條件是 (

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A.EF⊥平面α B.EF⊥平面βC.PQ⊥GE D.PQ⊥FH【知識生成】1.直線與平面垂直的性質(zhì)定理文字語言垂直于同一個平面的兩條直線_____符號語言

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作用證明兩條直線_____平行a∥b平行關(guān)鍵能力探究探究點(diǎn)一直線與平面垂直的性質(zhì)的應(yīng)用【典例1】如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M是AB上一點(diǎn),N是A1C的中點(diǎn),MN⊥平面A1DC,求證:MN∥AD1.

【思維導(dǎo)引】兩直線垂直于同一平面?兩直線平行.2.本例中把條件“MN⊥平面A1DC”改為“M是AB的中點(diǎn)”,求證:MN⊥平面A1DC.【證明】連接A1M,CM,取CD中點(diǎn)P,連接NP,MP,由正方體AC1,M,N為中點(diǎn),則A1M=CM,所以MN⊥A1C.又