必修導(dǎo)學(xué)案第二章平面向量

§2.1平面向量的實際背景及基本概念⑴學(xué)習(xí)目標1.通過對物理中有關(guān)概念的分析，了解向量的實際背景，進而深刻理解向量的概念；2.掌握向量的幾何表示；3.理解向量的模、零向量與單位向量的概念.學(xué)習(xí)過程一、課前準備（預(yù)習(xí)教材～，找出疑惑之處）復(fù)習(xí)1：位置是日常生活中我們提到較多的一個詞，在幾何中常用點表示位置，研究如何用一點的位置確定另外一點的位置，請同學(xué)們以學(xué)校（點A）為參照點，用圖形確定出自己家的位置.復(fù)習(xí)2：力是常見的物理量，重力、浮力、彈力等都是既有又有的量；而有一類量如長度、質(zhì)量、面積、體積等，只有沒有，這類量我們稱之為數(shù)量.二、新課導(dǎo)學(xué)※學(xué)習(xí)探究新知1：向量的概念數(shù)學(xué)中，我們把這種既有大小，又有方向的量叫做向量（vector）.數(shù)量和向量的異同點有哪些？試試1：下列物理量：①質(zhì)量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功.其中不是向量的有（）A.1個B.2個C.3個D.4個由于實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應(yīng)，所以數(shù)量常常用數(shù)軸上的一個點表示，那么不同的點就表示不同的數(shù)量.向量能不能用幾何表示出來？如果能，該如何表示呢？新知2：向量的表示法⑴我們常用帶箭頭的線段來表示向量，線段按一定比例畫出，它的長短表示向量的大小，箭頭的指向表示向量的方向.如下圖，在有向線段的終點處畫上箭頭表示它的方向.⑵以為起點，為終點的有向線段記作（注：起點在前，終點在后）.已知，線段的長度也叫做有向線段的長度，也稱為模，記作.有向線段包含三個要素：起點，方向，長度.⑶有向線段也可用字母如，，，表示.反思：⑴“向量就是有向線段，有向線段就是向量”的說法對嗎？⑵為什么三要素中不包含終點？⑶數(shù)量能比較大小嗎？向量呢？向量的模呢？新知3：兩個特殊的向量零向量（zerovector）：長度為的向量；單位向量(unitvector)：長度等于的向量.平行向量(parallelvectors)：方向相同或相反的非零向量.若向量，平行，記作：.規(guī)定：①零向量與任一向量平行，即對任意向量，都有.②零向量的方向不確定，是任意的.試試2：下列說法中正確的有（）個⑴零向量是沒有方向的向量；⑵零向量與任一向量平行；⑶零向量的方向是任意的；⑷零向量只能與零向量平行.A.0個B.1個C.2個D.3個※典型例題例1在如圖所示的坐標紙中，用直尺和圓規(guī)畫出下列向量：⑴，點在點的正北方向；⑵，點在點南偏東方向.例2如下圖，試根據(jù)圖中的比例尺以及三地的位置，在圖中分別用向量表示地至、兩地的位移，并求出地至、兩地的實際距離.（精確到）.※動手試試練1.畫出有向線段，分別表示一個豎直向上、大小為的力和一個水平向左、大小為的力.(長表示)練2.某同學(xué)向北走了，又向東走了，則該同學(xué)走過的路程是多少？位移的長度是多少？并選擇適當?shù)谋壤撸孟蛄勘硎具@個人的位移.三、總結(jié)提升※學(xué)習(xí)小結(jié)1.向量的相關(guān)概念；2.向量的兩種表示法；3.兩個特殊的向量，尤其要注意零向量的方向.※知識拓展向量又稱為矢量，最初被應(yīng)用于物理學(xué)．很多物理量如力、速度、位移以及電場強度、磁感應(yīng)強度等都是向量．大約公元前350年前，古希臘著名學(xué)者亞里士多德就知道了力可以表示成向量，兩個力的組合作用可用著名的平行四邊形法則來得到．“向量”一詞來自力學(xué)、解析幾何中的有向線段．最先使用有向線段表示向量的是英國大科學(xué)家牛頓．學(xué)習(xí)評價※自我評價你完成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為（）.A.很好B.較好C.一般D.較差※當堂檢測（時量：5分鐘滿分：10分）計分：1.下列各量中不是向量的是（）.A．浮力B．風(fēng)速C．位移D．密度2.下列說法正確的是（）.A．向量與向量的長度不等B．兩個有共同起點長度相等的向量,則終點相同C．零向量沒有方向D．任一向量與零向量平行3.某人南行100米，后向東行100米，則這時他位移的方向是（）.A．東偏南B．南偏東C．東偏南D．南偏東4.物理中的作用力與反作用力一對平行向量.（是或不是）5.已知腰為2，底邊為3的等邊，則底邊上的中線向量的模為.課后作業(yè)1.某人從點出發(fā)向西走了到達點，然后改變方向向西偏北走了到達點，最后又改變方向，向東走了到達點，⑴作出向量、、（表示）；⑵求的模.2.在正方體中，與平行的向量有哪些？§2.1平面向量的實際背景及基本概念⑵學(xué)習(xí)目標在理解向量和平行向量的基礎(chǔ)上掌握相等向量和共線向量的概念.學(xué)習(xí)過程一、課前準備（預(yù)習(xí)教材～，找出疑惑之處）復(fù)習(xí)1：向量是的量；數(shù)量是的量；有向線段是的線段，它的三要素是，，；零向量是的向量；單位向量是的向量；平行向量是的非零向量.復(fù)習(xí)2：下列說法中正確的有①向量可以比較大??；②零向量與任一向量平行；③向量就是有向線段；④非零向量的單位向量是.二、新課導(dǎo)學(xué)※學(xué)習(xí)探究新知4：相等向量長度相等且方向相同的向量叫做相等向量（equalvector），如下圖，用有向線段表示的向量與相等，記作：.思考：任意兩個相等的非零向量，是否可用同一條有向線段來表示？與有向線段的起點有關(guān)嗎？新知5：平行向量和共線向量同學(xué)們知道，方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.如果、、是平行向量，則可記為.因為任一組平行向量都可以移動到同一條直線上，因此，平行向量也叫做共線向量(collinearvectors).試試：下列說法中正確的是①若，則；②若，則；③若，則；④若，則.※典型例題例1如下圖，設(shè)是正六邊形的中心，分別寫出圖中與，，相等的向量.變式：與相等的向量有哪些？例2如下圖所示，、、分別是正的各邊中點，則在以、、、、、六個點中任意兩點為起點與終點的向量中，找出與向量平行的向量.AABCEFD注意：共線向量的端點不一定共線，注意向量的可以平行移動性.※動手試試練1.在四邊形中，，則相等的向量是().A.與C.與B.與D.與AABCDO練2.判斷下列說法的正誤：①向量的模是一個正實數(shù)；②若兩個向量平行，則兩個向量相等；③若兩個單位向量互相平行，則這兩個單位向量相等；④溫度有零上和零下溫度，所以溫度是向量；⑤物理中的作用力與反作用力是一對共線向量；三、總結(jié)提升※學(xué)習(xí)小結(jié)①相等向量的概念；②平行向量也稱為共線向量.※知識拓展本章中所提到的向量都是自由向量，所謂自由向量就是在不改變長度和方向的前提下，向量可以在空間自由移動，所以在此基礎(chǔ)上理解共線向量就是平行向量概念較容易.學(xué)習(xí)評價※自我評價你完成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為（）.A.很好B.較好C.一般D.較差※當堂檢測（時量：5分鐘滿分：10分）計分：1.下列命題中，正確的是（）.A.B.C.D.2.若，且，則四邊形的形狀為（）.A.平行四邊形B.菱形C.矩形D.等腰梯形3.一木塊放在桌面上，木塊所受重力為，桌面所受壓力為，則與之間的關(guān)系為（）.A.大小不等，方向相同B.大小相等，方向不同C.大小相等，方向相同D.大小不等，方向不同4.、是線段的三等分點，分別以圖中各點為起點和終點，最多可以寫出個互不相同的向量.ABCABCD①若，，則；②若，，則；③若，則或；④若，則,,,是一個平行四邊形的四個頂點.課后作業(yè)1.四邊形和都是平行四邊形.⑴與向量相等的向量有哪些？⑵若，則向量的模等于多少？AABCDE2.一位模型賽車手遙控一輛賽車向正東方向前進，逆時針方向轉(zhuǎn)變度，繼續(xù)按直線向前行進，再逆時針方向轉(zhuǎn)變度，按直線向前行進，按此方向繼續(xù)操作下去.⑴按比例作圖說明當時，操作幾次時賽車的位移為零？⑵按此法操作使賽車能回到出發(fā)點，應(yīng)滿足什么條件？請寫出其中兩個.§2.2.1向量的加法運算及其幾何意義學(xué)習(xí)目標1.掌握向量加法的概念，結(jié)合物理學(xué)中的相關(guān)知識理解向量加法的意義；2.熟練掌握向量加法的三角形法則和平行四邊形法則；3.理解向量加法的運算律.學(xué)習(xí)過程（預(yù)習(xí)教材～，找出疑惑之處）一、課前準備復(fù)習(xí)1：下列說法正確的有①向量可以用有向線段來表示；②兩個有共同起點且長度相等的向量，其終點必相同；③兩個有共同終點的向量，一定是共線向量；④向量與向量是共線向量，則點，，，必在同一條直線上；⑤若，則，，，是一個平行四邊形的四個頂點.復(fù)習(xí)2：周三大清潔時，兩個同學(xué)抬著回收箱去賣廢品，請同學(xué)們做出回收箱的受力圖，并思考拉力和重力滿足什么條件便可將回收箱抬起.二、新課導(dǎo)學(xué)※學(xué)習(xí)探究問題：在復(fù)習(xí)2中回收箱所受的重力與兩個同學(xué)拉力的合力有什么關(guān)系呢？數(shù)的加法啟示我們，從運算的角度看，重力和拉力的合力是一對大小相等，方向相反的力.如圖，已知非零向量、，在平面內(nèi)任取一點，做，，則向量叫做與的和，記作：，即.新知1：求兩個向量和的運算，叫做向量的加法.這種求向量和的方法，稱為向量加法的三角形法則.自學(xué)的向量加法的平行四邊形法則，想想兩個法則有沒有共通的地方？規(guī)定：零向量與向量的加法：※典型例題例1已知向量、，求作向量.小結(jié)1：在使用三角形法則特別要注意“首尾相接”，即第二個向量的起點與第一個向量的終點重合.變式：當在數(shù)軸上表示兩個共線向量時，它們的加法與數(shù)的加法有什么關(guān)系？小結(jié)2：當，不共線時，；當，同向時，；當，反向時，（或）.思考：數(shù)的運算律有哪些？類似的，向量的加法是否也有運算律呢？新知2：向量加法的交換律和結(jié)合律：；例2一架飛機向北飛行400km，然后改變方向向東飛行300km，求飛機飛行的路程及兩次位移的合成.※動手試試練1.如圖，已知、，用向量加法的三角形法則和平行四邊形法則做出.練2.在靜水中劃船速度是每分鐘20m，水流速度是每分鐘20m，如果船從岸邊出發(fā)徑直沿垂直于水流方向行走，那么船實際行進速度應(yīng)是多少？實際行進方向與水流方向的夾角為多少？三、總結(jié)提升※學(xué)習(xí)小結(jié)1.向量求和的三角形法則和平行四邊形法則；2.向量加法滿足的兩個運算律：交換律和結(jié)合律.※知識拓展向量在引入運算之后，向量的工具作用才能得到充分發(fā)揮.實際上，引入一個新的量后，考察它的運算及運算律是數(shù)學(xué)研究的基本問題.另外，向量的線性運算的另一個特點是它有深刻的物理背景和幾何意義，因此在引入一種運算后，總是要考察一下它的幾何意義，也使得向量在解決幾何問題時可以發(fā)揮很好的作用.學(xué)習(xí)評價※自我評價你完成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為（）.A.很好B.較好C.一般D.較差※當堂檢測（時量：5分鐘滿分：10分）計分：1.平行四邊形中，，，則等于（）.A.B.C.D.2.下列等式不正確的是（）.A.B.C.D.3.在中，等于（）.A.B.C.D.4.=；=.5.已知向量、滿足且，則=.課后作業(yè)1.已知正六邊形，是它的中心，若，，試用、表示向量.2.在菱形中，，，求的值.§2.2.2向量的減法運算及其幾何意義學(xué)習(xí)目標1.通過實例，掌握向量減法的運算，并理解其幾何意義；2.能運用向量減法的幾何意義解決一些問題.學(xué)習(xí)過程（預(yù)習(xí)教材～，找出疑惑之處）一、課前準備復(fù)習(xí)：⑴設(shè)，，則叫做與的和，記作.⑵==⑶向量加法運算的交換律：；結(jié)合律.⑷求作兩個向量和的方法有法則和法則.二、新課導(dǎo)學(xué)※學(xué)習(xí)探究問題：我們知道，在數(shù)的運算中，減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù)，向量的減法是否也有類似的法則？如何理解向量的減法呢？規(guī)定1：與長度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，記作.由于方向反轉(zhuǎn)兩次仍然回到原來的方向，因此和互為相反向量，即.規(guī)定1：零向量的相反向量仍是零向量.思考：任一向量與其相反向量的和是什么？如果、是互為相反的向量，那么，，.請同學(xué)們利用相反向量的概念，思考的作圖方法.如下圖，已知、，在平面內(nèi)任取一點，做，，則.即可以表示為從向量的終點指向向量的終點的向量，這就是向量減法的幾何意義.以上做法稱為向量減法的三角形法則，可以歸納為“起點相接，連接兩向量的終點，箭頭指向被減數(shù)”.※典型例題例1如下圖，已知向量、、、，求作向量，.變式：作出向量.例2在中，是重心，、、分別是、、的中點，化簡下列兩式：⑴；⑵.變式：化簡.※動手試試練1.已知、，求作.練2.設(shè)，，，試用表示.三、總結(jié)提升※學(xué)習(xí)小結(jié)1.相反向量的概念；2.向量減法的三角形法則，要注意“起點相接，連接兩向量的終點，箭頭指向被減數(shù)”.※知識拓展以向量、為鄰邊作平行四邊形，則兩條對角線的向量為，，，這一結(jié)論在以后應(yīng)用還是非常廣泛的，應(yīng)該加強理解并記住.學(xué)習(xí)評價※自我評價你完成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為（）.A.很好B.較好C.一般D.較差※當堂檢測（時量：5分鐘滿分：10分）計分：1.下列等式中正確的個數(shù)是（）.①；②；③；④；⑤A.2B.3C.4D.52.在中，，則等于（）.A.B.C.D.3.化簡的結(jié)果等于（）.A.B.C.D.4.在正六邊形中，，，則=.5.已知、是非零向量，則時，應(yīng)滿足條件.課后作業(yè)1.化簡下列各式：①；②.2.已知是的對角線與的交點，若，，，試證明：.§2.2.3向量數(shù)乘運算及其幾何意義⑴學(xué)習(xí)目標1.掌握向量數(shù)乘運算，并理解其幾何意義；2.理解兩個向量共線的含義；3.掌握向量的線性運算性質(zhì)及其幾何意義.學(xué)習(xí)過程一、課前準備復(fù)習(xí)：⑴向量的相反向量是指與的向量，記作.零向量的相反向量是.⑵=，=.⑶若，則、是，且=.⑷向量加上的相反向量，叫做，即：.二、新課導(dǎo)學(xué)※學(xué)習(xí)探究問題：已知非零向量，作出：①；②.通過圖形，同學(xué)們能否說明它們的幾何意義？新知：我們規(guī)定實數(shù)與向量的積是一個向量，這種運算叫做向量的數(shù)乘（multiplicationofvectorbyscalar）,記作：，它的長度和方向規(guī)定如下：⑴；⑵當時，的方向與的方向相同；當時，的方向與的方向相反.思考：當時，的值是一個向量還是一個實數(shù)？根據(jù)實數(shù)與向量的積的定義，我們有以下的運算律：⑴；⑵；⑶.根據(jù)以上的運算律，填空：⑴=；⑵.※典型例題例1計算：⑴；⑵；⑶.思考：引入向量數(shù)乘運算后，你能發(fā)現(xiàn)數(shù)乘向量與原向量之間的位置關(guān)系嗎？新知：向量與共線，當且僅當有唯一一個實數(shù)，使.例2已知兩個兩個向量和不共線，，，，求證：、、三點共線.變式：在四邊形中，，，，證明：是梯形.※動手試試練1.計算：⑴；⑵.練2.已知向量，不共線，問與是否共線？三、總結(jié)提升※學(xué)習(xí)小結(jié)1.向量數(shù)乘的定義；2.實數(shù)與向量的積滿足的運算律；3.兩向量共線所滿足的條件.※知識拓展1.實數(shù)與向量的積的特殊情況：當時，；而，若時，也有.2.實數(shù)與向量可以求積，但是不能進行加減運算，比如，無法運算.3.數(shù)乘向量還是一個向量.學(xué)習(xí)評價※自我評價你完成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為（）.A.很好B.較好C.一般D.較差※當堂檢測（時量：5分鐘滿分：10分）計分：1.下列各式中不表示向量的是（）A.B.C.D.（，且）2.在中，、分別是、的中點，若，，則等于（）A.B.C.D.3.，，且、共線，則與（）A.共線B.不共線C.不確定D.可能共線也可能不共線4.若，與的方向相反，且，則=.5.已知，，，則與（填共線、不共線）.課后作業(yè)1.已知的三邊，，，三邊中點分別為、、，求證：.2.用向量的方法證明：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.§2.2.3向量數(shù)乘運算及其幾何意義⑵學(xué)習(xí)目標1.掌握向量數(shù)乘運算，并理解其幾何意義；2.理解兩個向量共線的含義；3.掌握向量的線性運算性質(zhì)及其幾何意義.學(xué)習(xí)過程一、課前準備復(fù)習(xí)：⑴實數(shù)與向量的積是一個，記作.⑵，=.⑶當時，的方向與的方向；當時，的方向與的方向；當時，=；⑷，=；=；=.⑸判斷正誤：向量與向量共線，當且僅當只有一個實數(shù)，使得.二、新課導(dǎo)學(xué)※學(xué)習(xí)探究新知：向量的加、減、數(shù)乘運算統(tǒng)稱為向量的線性運算.對于任意向量、，以及任意實數(shù)、、，恒有.請同學(xué)們解釋它的幾何意義.※典型例題例3如圖，平行四邊形的兩條對角線相交于點，且，，你能用、表示、、、嗎？變式：若為平行四邊形的中心，，，則等于多少？例4已知任意四邊形，為的中點，為的中點，求證：.※動手試試練1.已知四邊形是等腰梯形，、分別是腰、的中點，、是線段上的兩個點，且，下底是上底的2倍，若，，求.練2.中，，，且與邊相交于點，的中線與相交于點.設(shè)，，用、分別表示向量.三、總結(jié)提升※學(xué)習(xí)小結(jié)1.進一步理解向量數(shù)乘的定義；2.熟練應(yīng)用實數(shù)與向量的積滿足的運算律計算；3.應(yīng)用兩向量共線所滿足的條件解決幾個點共線的問題.※知識拓展⑴要證明向量、共線，只需證明存在實數(shù)，使得即可.⑵如果，數(shù)依然存在，此時并不唯一，是任意數(shù)值.⑶要特別注意向量共線定理中的向量必須是非零向量.學(xué)習(xí)評價※自我評價你完成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為（）.A.很好B.較好C.一般D.較差※當堂檢測（時量：5分鐘滿分：10分）計分：1.下列各式計算正確的是（）A.B.C.D.2.下列向量、共線的有（）①；②；③；④（不共線）A.②③B.②③④C.①③④D.①②③④3.若，則的取值范圍是（）A.B.C.D.4.=；.5.設(shè)是兩個不共線向量，若向量，與向量共線，則實數(shù)的值為.課后作業(yè)1.化簡：①；②2.在平行四邊形中，點是的中點，點在上，且，求證：、、三點共線.§2.3.1平面向量基本定理§2.3.2平面向量正交分解及坐標表示學(xué)習(xí)目標1.掌握平面向量基本定理；2.了解平面向量基本定理的意義；3.掌握平面向量的正交分解及其坐標表示.學(xué)習(xí)過程一、課前準備復(fù)習(xí)1：向量、是共線的兩個向量，則、之間的關(guān)系可以表示為.復(fù)習(xí)2：給定平面內(nèi)任意兩個向量、，請同學(xué)們作出向量、.二、新課導(dǎo)學(xué)※學(xué)習(xí)探究問題：在復(fù)習(xí)2中，請大家想一想，平面內(nèi)的任一向量是否都可以用形如的向量表示呢？如下圖，設(shè)、是同一平面內(nèi)兩個不共線的向量，是這一平面內(nèi)的任一向量，通過作圖，發(fā)現(xiàn)任一向量都可以表示成.新知1：平面向量基本定理平面向量基本定理：如果、是同一平面內(nèi)兩個不共線的向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量，有且只有一對實數(shù)、，使.其中，我們把不共線的向量、叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底(base).理解此定理要注意：①、是同一平面內(nèi)兩個不共線的向量；②該平面內(nèi)的任意向量都可以用、線性表示，且這種表示是唯一的；③對于基底的選取不唯一，只要是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量都可以作為基底.思考：如果兩個向量不共線，則它們的位置關(guān)系我們怎么表示呢？新知2：兩向量的夾角與垂直如圖，已知兩個非零向量和.作，，則叫做向量與的夾角.特別地，⑴當時，與同向；⑵當時，與反向；⑶當時，與垂直，記作：.在不共線的兩個向量中，，即兩向量垂直是一種重要的情形，把一個向量分解成兩個互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.例如把圖中木塊所受的重力分解為向下的力和對斜面的壓力.思考：平面直角坐標系中的每一個點都可以用一對有序?qū)崝?shù)（即它的坐標）表示.對于直角坐標平面內(nèi)的每一個向量，如何表示呢？新知3：向量的坐標表示如圖，根據(jù)平面向量基本定理，有且只有一對實數(shù)、使得，我們把有序數(shù)對叫做向量的坐標，記作：，其中叫做在軸上的坐標，叫做在軸上的坐標.注意：符號在平面直角坐標系中有了雙重意義，它既可以表示一個固定的點，又可以表示一個向量，為了加以區(qū)別，在敘述中，常說點，或向量.※典型例題例1已知梯形中，，且，、分別是、的中點，設(shè)，試用為基底表示、.例2已知是坐標原點，點在第一象限，，，求向量的坐標.※動手試試練1.在矩形中，與交于點，若，，則等于多少？練2.若，且，且，求與的夾角.三、總結(jié)提升※學(xué)習(xí)小結(jié)1.平面向量基本定理；2.兩向量的夾角與垂直；3.平面向量的坐標表示.※知識拓展在解具體問題時，要適當?shù)剡x取基底，但其他向量能夠用基底來表示，選擇了不共線的兩個向量、，平面上的任何一個向量都可以用、唯一表示為，這樣幾何問題就轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，轉(zhuǎn)化為只含有、的代數(shù)運算.學(xué)習(xí)評價※自我評價你完成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為（）.A.很好B.較好C.一般D.較差※當堂檢測1.設(shè)是平行四邊形兩對角線與的交點，下列向量組，其中可作為這個平行四邊形所在平面表示所有向量的基底是（）①與②與③與④與A.①②B.③④C.①③D.①④2.已知向量、不共線，實數(shù)、滿足，則的值等于（）A.B.C.D.3.若、、為平面上三點，為線段的中點，則（）A.B.C.D.4.若、不共線，且，則，.5.已知兩向量、不共線，，，若與共線，則實數(shù)=.課后作業(yè)1.已知向量，，其中、不共線，向量，問是否存在這樣的實數(shù)、，使與共線？2.設(shè)、不共線，點在、、所在的平面內(nèi)，且，求證：、、三點共線.§2.1平面向量的坐標運算學(xué)習(xí)目標1.會用坐標表示平面向量的加減與數(shù)乘運算；2.能用兩端點的坐標，求所構(gòu)造向量的坐標；3.體會向量是處理幾何問題的工具.學(xué)習(xí)過程一、課前準備復(fù)習(xí)：⑴向量是共線的兩個向量，則之間的關(guān)系可表示為.⑵向量是同一平面內(nèi)兩個不共線的向量，為這個平面內(nèi)任一向量，則向量可用表示為，則不共線的向量、叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組.二、新課導(dǎo)學(xué)※學(xué)習(xí)探究問題：已知，，能得出，，的坐標嗎？新知：※典型例題例1如圖，已知，，求的坐標.小結(jié)：一個向量的坐標等于表示此向量的有向線段的減去的坐標.變式：你能在上圖中標出坐標為的點嗎？標出點后，你能發(fā)現(xiàn)向量的坐標與點的坐標之間的聯(lián)系嗎？例2已知，，求和.例3已知平行四邊形的頂點，，，試求頂點的坐標.變式：若與的交點為，試求點的坐標.※動手試試練1.已知向量的坐標，求，的坐標.⑴⑵⑶⑷練2.已知、兩點的坐標，求，的坐標.⑴⑵⑶⑷三、總結(jié)提升※學(xué)習(xí)小結(jié)若，，則1.2.3.4.已知，，則.※知識拓展通過建立直角坐標系，可以將平面內(nèi)任一向量用一個有序?qū)崝?shù)對來表示；反過來，任一有序數(shù)對就表示一個向量.這就是說，一個平面向量就是一個有序?qū)崝?shù)對.向量的坐標表示法將向量的加法，減法，數(shù)乘運算都統(tǒng)一起來，使得向量運算代數(shù)化，將數(shù)與形緊密結(jié)合起來，這樣許多幾何問題的解決，就可以轉(zhuǎn)化為我們熟知的數(shù)量運算.學(xué)習(xí)評價※自我評價你完成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為（）.A.很好B.較好C.一般D.較差※當堂檢測（時量：5分鐘滿分：10分）計分：1.若向量與向量相等，則（）A.B.C.D.2.已知，點的坐標為，則的坐標為（）A.B.C.D.3.已知，，則等于（）A.B.C.D.4.設(shè)點，，且，則點的坐標為.5.作用于原點的兩力，，為使它們平衡，則需加力.課后作業(yè)1.若點、、，且，，則點的坐標為多少？點的坐標為多少？向量的坐標為多少？2.已知向量，，，試用來表示.§2.3.4平面向量共線的坐標表示學(xué)習(xí)目標1.理解用坐標表示的兩個向量共線條件；2.了解分點坐標公式的向量證法；3.會根據(jù)向量的坐標，判斷向量是否共線.學(xué)習(xí)過程一、課前準備復(fù)習(xí)：⑴若點、的坐標分別為，那么向量的坐標為.⑵若，則，二、新課導(dǎo)學(xué)※學(xué)習(xí)探究問題：我們知道，假設(shè)，其中，若共線，當且僅當存在實數(shù)，使，用坐標該如何表示這兩個向量共線呢？新知：通過運算，我們得知當且僅當時，向量共線.※典型例題例1已知，，且，求.例2向量，，，當為何值時，三點共線.例3設(shè)點是線段上的一點，的坐標分別是，.⑴當點是線段的中點時，求點的坐標；⑵當點是線段的一個三等分點時，求點的坐標.變式：當，點的坐標是什么？※動手試試練1.已知，且，求的值.練2.已知點、，線段靠近點的三等分點的坐標為多少？三、總結(jié)提升※學(xué)習(xí)小結(jié)1.向量共線坐標如何表示；2.線段的分點坐標的計算.※知識拓展1.設(shè)，其中.當且僅當時，向量共線.這句話有兩方面的含義，由，可判斷共線；反之，若共線，則.2.若，當時，點的坐標為.學(xué)習(xí)評價※自我評價你完成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為（）.A.很好B.較好C.一般D.較差※當堂檢測（時量：5分鐘滿分：10分）計分：1.已知向量，，則與的關(guān)系是（）A.不共線B.相等C.方向相同D.共線2.已知三點共線，且，若點橫坐標為，則點的縱坐標為（）A.B.C.D.3.點關(guān)于點對稱點坐標為（）A.B.C.D.4.已知，，若與平行，則的值為.5.已知為邊上的一點，且，則分所成的比為.課后作業(yè)1.已知四點坐標分別為，，試證明：四邊形是梯形.2.已知點，點在直線上，且，求的坐標.§2.4.1平面向量的數(shù)量積的物理背景及含義⑴學(xué)習(xí)目標1.在物理中功的概念的基礎(chǔ)上，理解向量數(shù)量積的概念及幾何意義；2.掌握數(shù)量積的運算式及變式；3.掌握模長公式.學(xué)習(xí)過程一、課前準備復(fù)習(xí)：⑴向量加法和減法運算的兩個法則是和.⑵向量數(shù)乘運算的定義是.二、新課導(dǎo)學(xué)※學(xué)習(xí)探究問題1：如下圖，如果一個物體在力的作用下產(chǎn)生位移，那么力所做的功，其中是與的夾角.思考：功是一個標量，它由力和位移兩個向量來確定，這給我們一種啟示，能否把“功”看成是這兩個向量的一種運算的結(jié)果呢？新知：已知兩個非零向量和，我們把數(shù)量叫做和的數(shù)量積（innerproduct）（或內(nèi)積），記作，即.其中是和的夾角，叫做向量在方向上的投影（projection）；叫做向量在方向上的投影.如圖，.規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為.結(jié)論：⑴，=；⑵，即，=；⑶，=；⑷，即=，；⑸因為，所以.※典型例題例1已知，，且，求.變式：若，則是多少？小結(jié)：的幾何意義是數(shù)量積等于的長度與在的方向上的投影的乘積.例2在平行四邊形中，，，，求.※動手試試練1.已知，，和的夾角是，求；夾角是呢？呢？.練2.判斷下列命題的真假，并說明理由.⑴在中，若，則是銳角三角形；⑵在中，若，則是鈍角三角形；⑶為直角三角形，則.三、總結(jié)提升※學(xué)習(xí)小結(jié)1.向量數(shù)量積的定義；2.由定義推出的相應(yīng)結(jié)論.知識拓展對比向量的線性運算，同學(xué)們能發(fā)現(xiàn)，向量線性運算的結(jié)果是一個向量，而兩個向量的數(shù)量積是一個數(shù)量，而且這個數(shù)量的大小和兩個向量的長度及其夾角有關(guān).學(xué)習(xí)評價※自我評價你完成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為（）.A.很好B.較好C.一般D.較差※當堂檢測（時量：5分鐘滿分：10分）計分：1.設(shè)，，，則與的夾角為（）A.B.C.D.2.已知，，，當時，為（）A.鈍角三角形B.直角三角形C.銳角三角形D.等腰三角形3.已知平面內(nèi)三個點，則向量與的夾角為（）A.B.C.D.4.已知，，且，則向量在向量的方向上的投影為.5.已知向量滿足，則.課后作業(yè)已知，與的夾角為，求：⑴；⑵；⑶.2.試證明：若四邊形滿足，且，則四邊形是矩形.§2.4.1平面向量的數(shù)量積的物理背景及含義⑵學(xué)習(xí)目標掌握并能熟練運用數(shù)量積的運算律.學(xué)習(xí)過程一、課前準備復(fù)習(xí)：⑴設(shè)兩向量的夾角為，則；且當時，；當時，.⑵把數(shù)量叫做向量與的數(shù)量積，記作.⑶向量在方向上的投影是；的幾何意義為：數(shù)量積等于的長度與在方向上的投影的乘積.⑷設(shè)、是非零向量，是與方向相同的單位向量，是與的夾角，則①；②；③當同向時，，當反向時，，特別地，=或.④；.二、新課導(dǎo)學(xué)※學(xué)習(xí)探究問題：運算律和運算緊密相連，引進向量數(shù)量積后，自然要看一看它滿足怎么樣的運算律，同學(xué)們能推導(dǎo)向量數(shù)量積的下列運算律嗎？新知：已知向量和實數(shù)，則⑴⑵⑶※典型例題例2我們知道，對任意，恒有，對任意向量，是否也有下面類似的結(jié)論？⑴；⑵.例3已知，，與的夾角為，求：⑴；⑵；⑶；⑷.例4已知，且與不共線，為何值時，向量與互相垂直？※動手試試練1.已知，，，求，.練2.已知，求與垂直的單位向量的坐標.三、總結(jié)提升※學(xué)習(xí)小結(jié)數(shù)量積的運算律的應(yīng)用；模長公式；數(shù)量積的變式應(yīng)用.※知識拓展⑴數(shù)學(xué)中涉及向量中點、夾角、距離、平行與垂直問題，均可轉(zhuǎn)化為向量問題.⑵課本中的結(jié)論：可直接應(yīng)用.學(xué)習(xí)評價※自我評價你完成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為（）.A.很好B.較好C.一般D.較差※當堂檢測（時量：5分鐘滿分：10分）計分：1.若為任意向量，，則下列等式不一定成立的是（）A.B.C.D.2.已知與的夾角為，且，則為（）A.B.C.D.3.已知，且與垂直，則與的夾角為（）A.B.C.D.4.，且與的夾角為，則=.5.已知，則=，=.課后作業(yè)1.設(shè)是兩個單位向量，其夾角為，求向量與的夾角.2.用向量的方法證明：菱形的兩條對角線互相垂直.§2.4.2平面向量數(shù)量積的坐標表示、模、夾角學(xué)習(xí)目標1.在坐標形式下，掌握平面向量數(shù)量積的運算公式及其變式（夾角公式）；2.理解模長公式與解析幾何中兩點之間距離公式的一致性.學(xué)習(xí)過程一、課前準備復(fù)習(xí)：⑴向量數(shù)量積的交換律：.⑵＝＝.⑶向量的數(shù)量積的分配律：.⑷＝..二、新課導(dǎo)學(xué)※學(xué)習(xí)探究問題：已知兩個非零向量，怎樣用與的坐標表示呢？新知：兩個向量的數(shù)量積等于它們對應(yīng)坐標的乘積的和，即.結(jié)論：⑴若，則，或.⑵若，，則.⑶若，則.⑷設(shè)是與的夾角，則※典型例題例5已知，，，試判斷的形狀，并給出證明.小結(jié)：向量的數(shù)量積是否為零，是判斷相應(yīng)的兩條線段或直線是否垂直的重要方法之一.變式：已知四點，，，求證：四邊形是直角梯形.例6設(shè)，，求及之間的夾角（精確到）.※動手試試練1.已知，，若，試求的值.練2.已知，求與的夾角.三、總結(jié)提升※學(xué)習(xí)小結(jié)1．用坐標表示向量的數(shù)量積，模，夾角等.2．兩向量垂直的坐標表示.※知識拓展平面向量數(shù)量積的坐標表示的實質(zhì)是用代數(shù)的觀點研究向量（幾何）問題，從知識上講，離不開函數(shù)、方程、不等式，特別是二次函數(shù)、二元一次、二元二次方程組；從方法上講，能夠體現(xiàn)配方法、解方程組、解方程等數(shù)學(xué)上的基本的解題方法；從數(shù)學(xué)思想方面講，也離不開轉(zhuǎn)化的思想，函數(shù)與方程的思想和數(shù)形結(jié)合的思想.向量是代數(shù)、三角和幾何的載體，是各種思想方法的紐帶，具有重要地位.學(xué)習(xí)評價※自我評價你完成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為（）.A.很好B.較好C.一般D.較差※當堂檢測（時量：5分鐘滿分：10分）計分：1.已知，，則等于（）A.B.C.D.2.若，，則與夾角的余弦為（）A.B.C.D.3.若，，則等于（）A.B.C.D.4.，，則=.5.已知向量，，若，則.課后作業(yè)1.已知，，，且，，求⑴；⑵、的夾角.2.已知點和，問能否在軸上找到一點，使，若不能，說明理由；若能，求點坐標.§2.5.1平面幾何中的向量方法學(xué)習(xí)目標1.掌握向量理論在平面幾何中的初步運用；2.會用向量知識解決幾何問題；3.能通過向量運算研究幾何問題中點，線段，夾角之間的關(guān)系.學(xué)習(xí)過程一、新課導(dǎo)學(xué)※典型例題例1平行四邊形是表示向量加法與減法的幾何模型.如下圖，，，你能發(fā)現(xiàn)平行四邊形對角線的長度與兩條鄰邊長度之間的關(guān)系嗎？變式：在中，若，判斷的形狀.例2平行四邊形中，點、分別是、邊的中點，、分別與交于、兩點，你能發(fā)現(xiàn)、、之間的關(guān)系嗎？小結(jié)：用向量方法解決平面幾何問題的“三步曲”：⑴建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；⑵通過向量運算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問題；⑶把運算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系.※動手試試練1.設(shè)是四邊形，若，證明：.練2.求證：平行四邊形的對角線互相平分.三、總結(jié)提升※學(xué)習(xí)小結(jié)用向量方法解決平面幾何中如全等、相似、長度、夾角等問題.※知識拓展向量方法，就是用“向量和向量的運算”來代替“數(shù)和數(shù)的運算”，就是把點、線、面等幾何要素直接歸結(jié)為向量，對這些向量借助于它們之間的運算進行討論，然后把這些計算結(jié)果翻譯成關(guān)于點、線、面的相應(yīng)結(jié)果.如果把代數(shù)方法簡單地表述為：形到數(shù)----數(shù)的運算----數(shù)到形；則向量方法可以簡單地表述為：形到向量----向量的運算----向量和數(shù)到形.在運用時要注意數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想的具體應(yīng)用.學(xué)習(xí)評價※自我評價你完成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為（）.A.很好B.較好C.一般D.較差※當堂檢測（時量：5分鐘滿分：10分）計分：1.在中，若，則為（）A.正三角形B.直接三角形C.等腰三角形D.無法確定2.已知在中，，，,為邊上的高，則點的坐標為（）A.B.C.D.3.在直角坐標系中，已知兩點，，若點滿足，其中且，則點的軌跡方程為（）A.B.C.D.4.已知，，，則的形狀為.5.通過點，且與直線：平行的直線方程是.課后作業(yè)1.求通過點，且平行于向量的直線方程.設(shè)是四邊形，證明.§2.5.2向量在物理中的應(yīng)用舉例學(xué)習(xí)目標掌握向量理論在相關(guān)物理問題中的初步運用，實現(xiàn)學(xué)科與學(xué)科之間的融合，會用向量知識解決一些物理問題.學(xué)習(xí)過程一、課前準備復(fù)習(xí)：⑴力、速度、加速度、位移向量.（填是、不是）⑵動量是實數(shù)與向量的.⑶功是力與所產(chǎn)生位移的.⑷向量是既有又有的量，物理中的很多量都是向量，如等.（至少要填四個物理量）二、新課導(dǎo)學(xué)※典型例題知識點1：向量與力向量是既有大小又有方向的量，它們有共同的作用點，也可以沒有共同的作用點，但是力卻是既有大小，又有方向且作用于同一作用點的.用向量知識解決力的問題，往往是把向量平移到同一作用點上.例1用兩條成角的等長的繩子懸掛一個燈具，已知燈具的重量，則每根繩子的拉力大小是多少？知識點2：向量與速度、加速度與位移速度、加速度與位移的合成與分解，實質(zhì)上是向量的加減法運算，而運動的疊加也用到向量的合成.例2一條河寬為，一船從出發(fā)航行垂直到達河正對岸的處，船速為.水速為，則船到達處所需時間為多少分鐘