新教材人教A版必修第二冊10.3.1頻率的穩(wěn)定性

10.3.1頻率的穩(wěn)定性

教材分析

本節(jié)?一般高中課程標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)教科書必修二〔人教A版）第十章?10.3.1頻率的穩(wěn)定性?,

本節(jié)課主要關(guān)心同學(xué)熟悉頻率與概率的關(guān)系，即大事的概率越大，意味著大事發(fā)生的可能性

越大，在重復(fù)試驗中，相應(yīng)的頻率一般也越大；大事的概率越小，那么大事發(fā)生的可能性越

小，在重復(fù)試驗中，相應(yīng)的頻率一般也越小。進一步讓同學(xué)體會概率與統(tǒng)計的思想，開展同

學(xué)的直觀想象、規(guī)律推理、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。

敬學(xué)目標(biāo)導(dǎo)檢心素兼

課程目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)

A.通過試驗讓同學(xué)理解當(dāng)試驗次數(shù)較大1.數(shù)學(xué)建模：概率的應(yīng)用

時，試驗頻率穩(wěn)定在某一常數(shù)四周，并據(jù)2.規(guī)律推理：頻率與概率的關(guān)系

此能估量出某一大事發(fā)生的頻率.3.數(shù)學(xué)運算：頻率與概率的計算

B.通過對實際問題的分析，培育使用數(shù)學(xué)4.數(shù)據(jù)抽象：概率的概念

的良好意識，激發(fā)學(xué)習(xí)愛好，體驗數(shù)學(xué)的

應(yīng)用價值.

敬學(xué)亶窿點

1.教學(xué)重點：頻率與概率的區(qū)分和聯(lián)系

2.教學(xué)難點：大量重復(fù)試驗得到頻率的穩(wěn)定值的分析.

多媒體

教學(xué)過程教學(xué)設(shè)計意圖

核心素養(yǎng)目標(biāo)

一、探究新知

對于樣本點等可能的試驗，我們可以用古典概型公式計算有關(guān)大

事的概率，但在現(xiàn)實中，許多試驗的樣本點往往不是等可能的或者是

否等可能不簡單推斷，例如，拋擲一枚質(zhì)地不勻稱的骰子，或者拋擲

一枚圖釘，此時無法通過古典概型公式計算有關(guān)大事的概率，我們需由學(xué)問回憶，提出

要查找新的求概率的方法.問題，引出頻率與概

我們知道，大事的概率越大，意味著大事發(fā)生的可能性越大，率的關(guān)系問題。開展

在重復(fù)試驗中，相應(yīng)的頻率一般也越大；大事的概率越小，那么大事同學(xué)數(shù)學(xué)抽象、直觀

發(fā)生的可能性越小，在重復(fù)試驗中，相應(yīng)的頻率一般也越小，在學(xué)校，想象和規(guī)律推理的

我們利用頻率與概率的這種關(guān)系，通過大量重復(fù)試驗，用頻率去估量核心素養(yǎng)。

概率，那么，在重復(fù)試驗中,頻率的大小是否就打算了概率的大小呢？

頻率與概率之間究竟是一種怎樣的關(guān)系呢？

什么是頻率？

在相同的條件下重復(fù)n次試驗，觀看某一大事A是否消失，稱n次

試驗中大事A消失的次數(shù)n為大事A消失的頻數(shù)，稱大事A消失

A

nA

的比例〃

f(A)=為大事A消失的頻率.明顯，OW

nn

隨機大事及其概率

重復(fù)做同時拋擲兩枚質(zhì)地勻稱的硬幣的試驗，設(shè)大事A="一

個正面朝上，一個反面朝上”，統(tǒng)計A消失的次數(shù)并計算頻率，再

與其概率進行比擬，我們討論一下有什么規(guī)律？

歷史上曾有人做過拋擲硬幣的大量重復(fù)試驗，結(jié)果如下表：

數(shù)學(xué)家做硬幣實聆統(tǒng)計表

正向18上次反向也上W：次敢的

試*召

ft0

a404020481SB22020

*

4002204820442046

tst-rrw

1OOOO49TO50215000

2400012012119HH12000

羅曼洛夫JR基00640396B94094140320

122~~261980

利用計算機模擬擲兩枚硬幣的試驗，在重復(fù)試驗次數(shù)為20,100,500

時各做5組試驗，得到大事4=“一個正面朝上，一個反面朝上〃發(fā)

生的頻數(shù)和頻率力(A)(如下表)

序號〃=20頻數(shù)頻率〃=100頻數(shù)頻率n-500步?^洋細(xì)瞧題

1120.6560.56261一0.522

290.45500.50阪俞析，D潮板82

3130.65480.48

'的豳

470.35550.556

5120.6520.52和廉同學(xué)婁1學(xué)插舞9

規(guī)律推理的核心素

思索(1)同一組的試驗結(jié)果一樣嗎?為什么會消失這種狀況？至

養(yǎng)。

⑵隨著試驗次數(shù)的增加，大事A發(fā)生的頻率有什么變化規(guī)律？

結(jié)論：

⑴試驗次數(shù)n相同，頻率f(A)可能不同，這說明隨機大事發(fā)生的頻

率具有隨機性

(2)從整體來看，頻率在概率四周波動.當(dāng)試驗次數(shù)較少時，波動幅度

較大；當(dāng)試驗次數(shù)較大時，波動幅度較小.但試驗次數(shù)多的波動幅度

并不全都比次數(shù)少的小，只是波動幅度小的可能性更大.

大量試驗說明，在任何確定次數(shù)的隨機試驗中，一個隨機大事A

發(fā)生的頻率具有隨機性，一般地，隨著試驗次數(shù)n的增大，頻率偏離

概率的幅度會縮小，即大事A發(fā)生的頻率/(A)會漸漸穩(wěn)定于大事A

n

發(fā)生的概率P(A).我們稱頻率的這共性質(zhì)為頻率的穩(wěn)定性.因此，我們

可以用頻率/(A)估量概率P(A).

n

對于給定的隨機大事A,假如隨著試驗次數(shù)的增加，大事A發(fā)

生的頻率f(A)穩(wěn)定在某個常數(shù)上，把這個常數(shù)記著P(A),稱為大事

n

A的概率，簡稱為A的概率。

頻率與概率的區(qū)分和聯(lián)系的剖析

(1)頻率本身是隨機的，是一個變量，在試驗前不能確定，做同樣次數(shù)的

重復(fù)試驗得到的大事發(fā)生的頻率會不同.

(2)概率是一個確定的數(shù)，是客觀存在的,與每次的試驗無關(guān).

(3)頻率是概率的近似值，隨著試驗次數(shù)的增加,頻率會越來越穩(wěn)定于

概率四周.在實際問題中，通常大事發(fā)生的概率未知，常用頻率作為它

的估量值.

例1新生嬰兒性別比是每100名女嬰對應(yīng)的男嬰數(shù)，通過抽樣調(diào)查

得知，我國2014年、2015年誕生的嬰兒性別比分別為和113.51.

(1)分別估量我國2014年和2015年男嬰的誕生率〔新生兒中男嬰的

比率，精確至Uo.ooi)；通過實例分析，讓

(2)依據(jù)估量結(jié)果，你認(rèn)為“生男孩和生女孩是等可能的〃這個推斷牢同學(xué)把握運用頻率

靠嗎？來計算大事概率，提

分析：依據(jù)“性別比〃的定義和抽樣調(diào)查結(jié)果，可以計算男嬰誕生的升推理論證力量，提

頻率；由頻率的穩(wěn)定性，可以估量男嬰的誕生率高同學(xué)的數(shù)學(xué)抽象、

解：(1)2014年男嬰誕生的頻率為數(shù)學(xué)建模及規(guī)律推

2015年男嬰誕生的頻率為理的核心素養(yǎng)。

由此估量，我國2014年男嬰誕生率約為0.537,2015年男嬰誕生率約

為0.532.

——?0.537

100+115.88

x0.532

100+113.51

(2)由于調(diào)查新生兒人數(shù)的樣本特別大，依據(jù)頻率的穩(wěn)定性，上述對

男嬰誕生率的估量具有較高的可信度，因此，我們有理由疑心“生男

孩和生女孩是等可能的"的結(jié)論.

由統(tǒng)計定義求概率的一般步驟

(1)確定隨機大事A的頻數(shù)nA；

(2)由/(A)=計算頻率/(A)(n為試驗的總次數(shù))；

nn

(3)由頻率/(A)估量概率P(A).

n

概率可看成頻率在理論上的穩(wěn)定值，它從數(shù)量上反映了隨機大事發(fā)生

的可能性的大小，它是頻率的科學(xué)抽象,當(dāng)試驗次數(shù)越來越多時頻率

向概率靠近，只要次數(shù)足夠多，所得頻率就近似地當(dāng)作隨機大事的概

率.

例2.一個嬉戲包含兩個隨機大事A和B,規(guī)定大事A發(fā)生那么甲獲勝，

大事B發(fā)生那么乙獲勝，推斷嬉戲是否公正的標(biāo)準(zhǔn)是大事A和B發(fā)

生的概率是否相等。

在嬉戲過程中甲發(fā)覺：玩了10次時，雙方各勝5次；但玩到

1000次時，自己才300次，而乙卻勝了700次，據(jù)此，甲認(rèn)為嬉戲

不公正，但乙認(rèn)為嬉戲是公正的，你更支持誰的結(jié)論？為什么？

解：當(dāng)嬉戲玩了10次時，甲、乙獲勝的頻率都為0.5;當(dāng)嬉戲玩了1000

次時，甲獲勝的頻率為0.3,乙獲勝的頻率為07依據(jù)頻率的穩(wěn)定性，

隨著試驗次數(shù)的增加，頻率偏離概率很大的可能性會越來越小.相對

10次嬉戲，1000次嬉戲時的頻率接近概率的可能性更大，因此我們

更情愿信任1000次時的頻率離概率更近，而嬉戲玩到1000次時，甲、

乙獲勝的頻率分別是和0.7,存在很大差距，所以有理由認(rèn)為嬉戲是不

公正的.因此，應(yīng)當(dāng)支持甲對嬉戲公正性的推斷

思索1:氣象工作者有時用概率預(yù)報天氣，如某氣象臺預(yù)報“明天的

降水概率是90%.假如您明天要出門，最好攜帶雨具“，假如其次天

沒有下雨，我們或許會埋怨氣象臺預(yù)報得不精確?????，那么如何理

解“降水概率是90%”?又該如何評價預(yù)報的結(jié)果是否精確????？

呢？

提示：降水的概率是氣象專家依據(jù)氣象條件和閱歷，經(jīng)分析推斷得

到的.對“降水的概率為90%"比擬合理的解釋是：大量觀看發(fā)覺，

在類似的氣象條件下，大約有90%的天數(shù)要下雨.

只有依據(jù)氣象預(yù)報的長期記錄，才能評價預(yù)報的精確?????性.假如

在類似氣象條件下預(yù)報要下雨的那些天（天數(shù)較多）里,大約有90%的

確下雨了，那么應(yīng)當(dāng)認(rèn)為預(yù)報是精確?????的；假如真實下雨的天數(shù)

所占的比例與90%差異較大，那么就可以認(rèn)為預(yù)報不太精確????？.

例3.某籃球運發(fā)動在同一條件下進行投籃練習(xí),結(jié)果如下表：

投籃8101520304050

次數(shù)

進球681217253239

次數(shù)

進球

頻率

(1)計算表中進球的頻率；

(2)這位運發(fā)動投籃一次，進球的概率約是多少？

(3)這位運發(fā)動進球的概率是0.8,那么他投10次籃肯定能投中8

次嗎？

解析：概率約是

不肯定.投10次籃相當(dāng)于做10次試驗，每次試驗的結(jié)果都是隨機的,

所以投10次籃的結(jié)果也是隨機的.

思索2.公元1053年，大元帥狄青奉旨，率兵征討儂智高.由于士兵

士氣不高，很難取勝,為了提高士氣，出征前，狄青拿出一百枚“宋元通

寶〃銅幣，向眾將士殷殷許愿：“假如錢幣扔在地上，有字的一面會

全部向上，那么這次出兵可以戰(zhàn)勝敵人！〃在千萬馬的注目之下，狄

青將銅幣用力向空中拋去，奇跡發(fā)生了：一百枚銅幣，枚枚向上.立

刻，全歡呼雀躍，將士個個認(rèn)定是神靈保佑，戰(zhàn)斗必勝無疑.事實上,

銅幣正反面都是一樣的！同學(xué)樣想一下，假如銅幣正反面不一樣，那

么這一百枚銅幣正面全部向上的可能性大嗎？

思索3.假如某種彩票的中獎概率為1/1000,那么買1000張這種彩票

肯定能中獎嗎？(假設(shè)該彩票有足夠多的張數(shù).)

不肯定。買1000張彩票相當(dāng)于做1000次試驗，由于每次試驗的結(jié)

果都是隨機的，所以做1000次的結(jié)果也是隨機的。

雖然中獎張數(shù)是隨機的，但這種隨機性中具有規(guī)律性。隨著試

驗次數(shù)的增加，即隨著買的彩票張數(shù)的增加，大約有1/1000的彩票

中獎。

買1000張彩票中獎的概率為：(999)

1-------------a0.6323

UoooJ

三、達標(biāo)檢測

通過練習(xí)穩(wěn)固本

1.（多選題）蛤出卜列四個命題.火中正確的命胭仃（）節(jié)所學(xué)學(xué)問，通過同

，做1。。次?他巾的試虬結(jié)果51次出現(xiàn)八面朝匕因紇出現(xiàn)正直聚學(xué)解決問題，開展同

51學(xué)的數(shù)學(xué)抽象、規(guī)律

100

推理、數(shù)學(xué)運算、數(shù)

B?機3件發(fā)生的軸率就同這個的機事件發(fā)生的假專

學(xué)建模的核心素養(yǎng)。

C.撤挪收fIMI次.有點數(shù)是1的二果有IX次.則出境1點的熱率是

D隨機*竹發(fā)'1的裝率不定是這個甑機中fl發(fā)生的概斗

帽機0FA.混用了?軍，M事的區(qū)別,牧A（lift；

41B.川南了蟆率,糙率的卜胤故B錯誤;

時i（.廣|?。?.！'攻丁|的"限（IX：：..，..,1，'小/；星-

止確

011）,就t山慨手的估H+,依Drd.

故迸:CD.

答案CD

2.某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品合格率是99.99%,這說明（）

A.該廠生產(chǎn)的10000件產(chǎn)品中不合格的產(chǎn)品肯定有1件

B.該廠生產(chǎn)的10000件產(chǎn)品中合格的產(chǎn)品肯定有9999件

C.合格率是99.99%,很高，說明該廠生產(chǎn)的10000件產(chǎn)品中沒有

不合格產(chǎn)品

D.該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品合格的可能性是99.99%

［答案］D

3.為了估量水庫中魚的尾數(shù)，可以使用以下的方法：先從水庫中捕出

肯定數(shù)量的魚，例如2000尾，給每尾魚做上記號，不影響其存活，

然后放回水庫.經(jīng)過適當(dāng)?shù)臅r間，讓其和水庫中的其他魚充分混合，

再從水庫中捕出肯定數(shù)量的魚，例如500尾，查看其中帶記號的魚，

假設(shè)有40尾，依據(jù)上述數(shù)據(jù)，估量水庫中魚的尾數(shù)為________.

【解析】求2000尾魚占水庫中全部魚的百分比一

求帶記號的魚在500尾魚中占的百分比->

依據(jù)二者的關(guān)系列等式一求解，估量水庫中魚的尾數(shù)25000

4.某超市為了解顧客的購物量及結(jié)算時間等信息，支配一名員工隨

機收集了在該超市購物的100名顧客的相關(guān)數(shù)據(jù)，如下表所示：這

100位顧客中一次性購物超過8件的顧客占55%.

一次性購物數(shù)1至5至9至17彳f及以

13至16件

量4件8件12件上

顧客數(shù)(人)X3025y10

結(jié)算時間(分/

123

人)

11)求x,y的值；

(2)求一位顧客一次購物的結(jié)算時間超過2分鐘的概率.

M,[25+y*-10-55.

解：⑴由得ZB.'

[*+30=45.

所以x=15,y=20.

(2)設(shè)大事A為“一位顧客一次購物的結(jié)算時間超過2分鐘〃，

大事Ai為“一位顧客一次購物的結(jié)算時間為分鐘"，

大事A2為“一位顧客一次購

物的結(jié)算時間為3分鐘"，

所以P(A)=P(Ai)+P(A2)=史+12=03