高中數(shù)學(xué)《古典概型的特征和概率計(jì)算公式 建立概率模型》導(dǎo)學(xué)案

—iB.鉆口道腳亥

DISANM§3.2古典概型

）■3.2.1古典概型的特征和概率計(jì)算公式

!■3.2.2建立概率模型

課前新知預(yù)習(xí)

［航向標(biāo)?學(xué)習(xí)目標(biāo)］

1.理解古典概型的兩個(gè)基本特征.

2.掌握古典概型的概念及概率的計(jì)算公式.

［讀教材?自主學(xué)習(xí)］

1.基本事件：一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的回每一個(gè)結(jié)果稱為一個(gè)基本事件.

2.基本事件的特點(diǎn)：（1）任何兩個(gè)基本事件是不可能同時(shí)發(fā)生的.一次試驗(yàn)

中，只可能出現(xiàn)一種結(jié)果，即出現(xiàn)一個(gè)基本事件.（2）任何事件都可以表示成基本

事件的和.

3.古典概型：（1）試驗(yàn)的所有可能結(jié)果只有回有限個(gè),每次試驗(yàn)只出現(xiàn)其

中的一個(gè)結(jié)果.（2）每一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)的可能性畫相同.我們把具有這樣兩個(gè)

特征的隨機(jī)試驗(yàn)的數(shù)學(xué)模型稱為古典概型.

4.古典概型的計(jì)算公式：對(duì)于古典概型，通常試驗(yàn)中的某一事件A是由幾

個(gè)基本事件組成，如果試驗(yàn)的所有可能結(jié)果（基本事件）數(shù)為n,隨機(jī)事件A包含

的基本事件數(shù)為加，那么事件A的概率規(guī)定為叵IP（A）=^.

［看名師?疑難剖析］

1.古典概型試驗(yàn)有兩個(gè)共同的特征

（1）有限性：在一次試驗(yàn)中，可能出現(xiàn)的結(jié)果是有限個(gè)，即只有有限個(gè)不同的

基本事件.

（2）等可能性：每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性是均等的.

2.古典概型的概率公式（等可能性事件的概率）

(1)若試驗(yàn)的結(jié)果是由〃個(gè)基本事件組成，并且每個(gè)基本事件的發(fā)生是等可能

的，而隨機(jī)事件A包含的基本事件數(shù)為相，則由互斥事件的概率加法公式可得：

m

P(A)=—+—+--?+—=

n7?nn

'Y'

)71個(gè)

A包括的基本事件個(gè)數(shù)

所以古典概型中，P(A)=

總的基本事件個(gè)數(shù)

這就是概率的古典定義.

(2)用集合觀點(diǎn)來理解事件A與基本事件的關(guān)系(如下圖):在一次試驗(yàn)中，等

可能出現(xiàn)〃個(gè)結(jié)果組成一個(gè)集合/,這〃個(gè)結(jié)果就是集合/的〃個(gè)元素，各基本事

件均對(duì)應(yīng)于集合/的含有1個(gè)元素的子集，包含每個(gè)結(jié)果的事件A對(duì)應(yīng)于/的含

有加個(gè)元素的子集4因此從集合的角度看，事件A的概率是子集A的元素個(gè)數(shù)(記

作card(A))與集合/的元素個(gè)數(shù)(記作card(7))的比值，即外4)=管喘=々

I課堂師生共研

考點(diǎn)一基本事件的計(jì)數(shù)問題

例1一只口袋內(nèi)裝有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，從中一

次摸出兩只球.

(1)共有多少個(gè)基本事件？

(2)兩只都是白球包含幾個(gè)基本事件？

［分析］由題目可獲取以下主要信息：

①本次摸球事件中共有5只球，其中3只白球，2只黑球.

②題目中摸球的方式為一次摸出兩只球，每只球被摸取是等可能的.

解答本題可先列出摸出兩球的所有基本事件，再數(shù)出均為白球的基本事件數(shù).

［解］(1)解法一：采用列舉法分別記白球?yàn)?、2、3號(hào)，黑球?yàn)?、5號(hào)，有

以下基本事件：(1,2)、(1,3)、(1,4)、(1,5)、(2,3)、(2,4)、(2,5)、(3,4)、(3,5)、(4,5)

共10個(gè)（其中（1,2）表示摸到1號(hào)，2號(hào)時(shí)）.

解法二：采用列表法

設(shè)5只球的編號(hào)為：a、b、c、d、e,其中a,b,c為白球，d,e為黑球.列

表如下：

abcde

a(a,b)(a,c)(a,d)(a,e)

b(b,a)(b,c)(b,d)(b,e)

c(c,a)(c,b)(c,d)(c,e)

d(d,a)(d,b)(d,c)(d,e)

e(e,a)(e,b)(e,c)(e,d)

由于每次取兩個(gè)球，每次所取兩個(gè)球不相同，而摸（6a）與（a,與是相同的事

件，故共有10個(gè)基本事件.

（2）解法一中“兩只都是白球”包括（1,2）（1,3）（2,3）三種.解法二中，包括（a,

b）,（b,c）,（c,a）三種.

類題通關(guān)

求基本事件個(gè)數(shù)常用列舉法、列表法、樹狀圖法來解決，并且注意以下幾個(gè)

方面：①用列舉法時(shí)要注意不重不漏；②用列表法時(shí)注意順序問題；③樹狀圖法

若是有順序問題時(shí)，只做一個(gè)樹狀圖然后乘以元素個(gè)數(shù).

［變式訓(xùn)練1］連續(xù)擲3枚均勻硬幣，觀察落地后這3枚硬幣出現(xiàn)正面還是反

面.

（1）請(qǐng)寫出這個(gè)試驗(yàn)的所有基本事件；

（2）“恰有兩枚正面向上”這個(gè)事件包含哪幾個(gè)基本事件？

解（1）這個(gè)試驗(yàn)的所有基本事件為：（正，正，正），（正，正，反），（正，反,

正），（反，正，正），（正,反,反），（反,正，反），（反，反，正），（反，反，反）.（2）“恰

有兩枚正面向上”包含以下3個(gè)基本事件：（正，正，反），（正，反，正），（反，

正，正）.

考點(diǎn)二古典概型的判斷

例2下列概率模型中，是古典概型的個(gè)數(shù)為（）

（1）從區(qū)間［1,10］內(nèi)任取一個(gè)數(shù)，求取到1的概率；

（2）從1?10中任意取一個(gè)整數(shù)，求取到1的概率；

(3)在一個(gè)正方形ABC。內(nèi)畫一點(diǎn)P,求P剛好與點(diǎn)A重合的概率；

(4)拋擲一枚不均勻的硬幣，求出現(xiàn)反面朝上的概率.

A.1B.2C.3D.4

［解析］第1個(gè)概率模型不是古典概型，因?yàn)閺膮^(qū)間［1,10］內(nèi)任意取出一個(gè)數(shù),

有無數(shù)個(gè)對(duì)象可取，所以不滿足“有限性第2個(gè)概率模型是古典概型，因?yàn)?/p>

試驗(yàn)結(jié)果只有10個(gè)，而且每個(gè)數(shù)被抽到的可能性相等，即滿足有限性和等可能性；

第3個(gè)概率模型不是古典概型.第4個(gè)概率模型也不是古典概型，因?yàn)橛矌挪痪?/p>

勻，因此兩面出現(xiàn)的可能性不相等.

［答案］A

類題通關(guān)

一個(gè)試驗(yàn)是否為古典概型，關(guān)鍵是看這個(gè)試驗(yàn)是否具有古典概型的兩個(gè)特征

—有限性和等可能性，即判斷試驗(yàn)是否同時(shí)滿足這兩個(gè)特征(或條件).

［變式訓(xùn)練2］判斷下列試驗(yàn)是否是古典概型，并說明理由.

(1)同時(shí)拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，求點(diǎn)數(shù)和為7的概率；

(2)求近三天中有一天降雨的概率；

(3)10個(gè)人(包括甲和乙)站成一排，求其中甲、乙相鄰的概率.

解(1)、(3)為古典概型.因?yàn)槎歼m合古典概型的兩個(gè)特征：有限性和等可能

性，而(2)不適合等可能性，故不為古典概型.

考點(diǎn)三古典概型的概率計(jì)

例3袋中裝有6個(gè)小球，其中4個(gè)白球，2個(gè)紅球，從袋中任意取出兩球,

求下列事件的概率：

(1)/1：取出的兩球都是白球；

(2)5：取出的兩球一個(gè)是白球，另一個(gè)是紅球.

［分析］求古典概型的概率應(yīng)按下面四個(gè)步驟進(jìn)行：

(1)仔細(xì)閱讀題目，弄清題目的背景材料，加深理解題意；

(2)判斷本試驗(yàn)的結(jié)果是否為等可能事件，設(shè)出所求事件A;

(3)分別求出基本事件的總數(shù)〃與所求事件4中所包含的基本事件個(gè)數(shù)加；

(4)利用公式P(A)=々求出事件A的概率.

［解］設(shè)4個(gè)白球的編號(hào)為1、2、3、4,2個(gè)紅球的編號(hào)為5、6.從袋中的6

個(gè)小球中任取兩個(gè)的方法為(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),

(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6),共15個(gè).

(1)從袋中的6個(gè)球中任取兩個(gè)，所取的兩球全是白球的方法總數(shù)，即是從4

個(gè)白球中任取兩個(gè)的方法總數(shù)，共有6個(gè).即為(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),

(3,4).

，取出的兩個(gè)小球全是白球的概率為P(A)=-^=|.

(2)從袋中的6個(gè)球中任取兩個(gè)，其中一個(gè)是紅球，而另一個(gè)是白球，其取

法包括(1,5),(1,6),(2,5),(2,6),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),共8種.

Q

...取出的兩個(gè)球一個(gè)是白球，另一個(gè)是紅球的概率為尚.

［變式訓(xùn)練3］先后拋擲兩顆骰子，求：

(1)點(diǎn)數(shù)之和是4的倍數(shù)的概率；

(2)點(diǎn)數(shù)之和大于5小于10的概率.

解從圖中容易看出基本事件與所描點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)共36種.

第

二

次’789--.J01112

6

拋

5.678112

擲

K6789XJ0

后4

向345,--,6789、\

上

2

的3478

點(diǎn)12347/

數(shù)-1~2~3~4~5~6~

第一次拋擲后向上的點(diǎn)數(shù)

(1)記“點(diǎn)數(shù)之和是4的倍數(shù)”的事件為A,從圖中可以看出，事件A包含的

基本事件共有9個(gè)：(1,3),(2,2),(2,6),(3,1),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2),(6,6).所

以P(A)=".

(2)記“點(diǎn)數(shù)之和大于5小于10”的事件為8,從圖中可以看出，事件8包含

的基本事件共有20個(gè).即(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),(1,6),(2,5),(3,4),

(4,3),(5,2),(6,1),(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2),(3,6),(4,5),(5,4),(6,3).所

以P(B)=|.

規(guī)范答題思維

古典概型的應(yīng)用

［例］(12分)甲、乙兩校各有3名教師報(bào)名支教，其中甲校2男1女，乙校1

男2女.

(1)若從甲校和乙校報(bào)名的教師中各任選1名，寫出所有可能的結(jié)果，并求選

出的2名教師性別相同的概率；

(2)若從報(bào)名的6名教師中任選2名，寫出所有可能的結(jié)果，并求選出的2名

教師來自同一學(xué)校的概率.

(一)精妙思路點(diǎn)撥

(二)分層規(guī)范細(xì)解

(1)甲校兩名男教師分別用A,B表示，女教師用C表示；乙校男教師用。表

示，兩名女教師分別用E,E表示.

從甲校和乙校報(bào)名的教師中各任選1名①的所有可能的結(jié)果為：

(A,D),(A,E),(A,F),(B,D),(B,E),

(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),共9種.②2分

從中選出兩名教師性別相同的結(jié)果有：(A,D),(B,D),(C,E),(C,嚴(yán)共

4種.4分

選出的兩名教師性別相同的概率為

4、

產(chǎn)=亨6分

(2)從甲校和乙校報(bào)名的教師中任選2名①的所有可能的結(jié)果為：

(A(Ar\(An\(Am<AG

(B,Q,(B,￡>),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),,

(C,F),(D,E),(D,F),(￡,F),共15種.

8分

從中選出兩名教師來自同一學(xué)校的結(jié)果有：(A,B),(A,C),(B,C),(D,

E),(D,F),(E,F)共6種，10分

選出的兩名教師來自同一學(xué)校的概率為P=^=|.12分

(三)來自一線的報(bào)告

通過閱卷后分析，對(duì)解答本題的失分警示和解題啟示總結(jié)如下：(注：此處的

①②見分層規(guī)范細(xì)解過程)

在解答過程中，若在①處沒有仔細(xì)審題，沒

①

有弄清楚所選的兩名教師來自何處，則易造

失

分成所列舉的基本事件并不是題目所要求的.

警

示在解答過程中，在②處列舉基本事件時(shí)，由

②

于沒有按照規(guī)律來列舉，容易出現(xiàn)遺漏和重

復(fù)，使得所求的基本事件數(shù)出現(xiàn)差錯(cuò).

(1)解答此類概率統(tǒng)計(jì)的問題時(shí)，最重要的是仔細(xì)

解審題，領(lǐng)會(huì)題目的實(shí)質(zhì)，把握題目的關(guān)鍵知識(shí)點(diǎn).

題

啟(2)解答古典概型問題列舉基本事件時(shí)，要根據(jù)具

示

體的問題，選擇適當(dāng)?shù)牧信e方法，按照一定的規(guī)律

和順序，做到既不重復(fù)，也不遺漏.

(四)類題練筆掌握

用紅、黃、藍(lán)三種不同顏色給下圖中3個(gè)矩形隨機(jī)涂色，每個(gè)矩形只涂一種

顏色，求：

(1)3個(gè)矩形顏色都相同的概率；

(2)3個(gè)矩形顏色都不同的概率.

解所有可能的基本事件共有27個(gè)，如圖所示:

紅

黃

一紅

藍(lán)

紅

黃

紅-----黃

藍(lán)

紅

黃

——藍(lán)

藍(lán)

紅

黃

藍(lán)

紅

黃

黃

藍(lán)

紅

黃

藍(lán)

紅

黃

藍(lán)

紅

黃

藍(lán)

藍(lán)

紅

黃

藍(lán)

(1)記”3個(gè)矩形都涂同一種顏色”為事件A,由圖知，事件A的基本事件有

31

3個(gè)，故尸(4)=近=§.

(2)記”3個(gè)矩形顏色都不同”為事件&由圖可知，事件3的基本事件有6

個(gè)，故P(B)=,=/.

(五)解題設(shè)問

(1)本題是古典概型嗎？.

(2)用哪種方法列舉所有可能的基本事件最方便、最合適？.

答案⑴是

(2)樹狀圖法

檢測學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)

1.袋中有2個(gè)紅球，2個(gè)白球，2個(gè)黑球，從里面任意摸2個(gè)小球，

不是基本事件.()

A.{正好2個(gè)紅球}B.{正好2個(gè)黑球}

C.{正好2個(gè)白球}D.{至少1個(gè)紅球}

答案D

解析至少1個(gè)紅球包含：一紅一白或一紅一黑或2個(gè)紅球，所以{至少1

個(gè)紅球}不是基本事件，其他事件都是基本事件.

2.下列對(duì)古典概型的說法中正確的是()

①試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個(gè)

②每個(gè)事件出現(xiàn)的可能性相等

③每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等

④基本事件總數(shù)為〃，隨機(jī)事件A若包含攵個(gè)基本事件，則P(A)=彳

A.②④B.①③④

C.①④D.③④

答案B

解析②中所說的事件不一定是基本事件，所以②不正確；根據(jù)古典概型的

特點(diǎn)及計(jì)算公式可知①③④正確.

3.從1,2,3,4這四個(gè)數(shù)中一次隨機(jī)地取兩個(gè)數(shù)，則其中一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的兩

倍的概率是.

左安—

口水3

解析本題主要考查古典概型.采用枚舉法：從1,2,3,