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高中數(shù)學(xué)北師大版(2019)必修第一冊(cè)第三章指數(shù)
運(yùn)算與指數(shù)函數(shù)培優(yōu)專練2
第I卷(選擇題)
請(qǐng)點(diǎn)擊修改第I卷的文字說明
一、單選題
1.己知函數(shù)/(》)=§*(04x41),函數(shù)g(x)=(〃Ll)x(14x42).若任意的玉
存在We[l,2],使得/(xj=g(x2),則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為()
A.[1,—B.[2,31C.2,—D.—
(3」L1[2」[32」
2.定義在R上的函數(shù)滿足〃x+l)=2〃x)+l,當(dāng)xe[0,l)時(shí),
/(x)=(2^-l)(2'-2),若/(x)在5〃+1)上的最小值為23,則〃=
A.4B.5C.6D.7
3.設(shè)/(x)=|2,-2|,a,beR+,且標(biāo)b,則下列關(guān)系式中不可能成立的是()
A.以瓢)>f(")B./(名)力竽)于商)
2a+ba+b2
c./(名問(而)>/(竽)D.f(箍)>以”)>以粵)
a+b2a+b2
4.已知函數(shù)/(x)=4'Z?2'+匕2T+4、若對(duì)于任意的王、12、&£卜1』,以"X)、
/(%)、/(毛)為長(zhǎng)度的線段都可以圍成三角形,則攵的取值范圍為()
11D.已,+8)
A.-,4-00B.一,+8C.—,4-00
236
f(x),f(x)?k
5.對(duì)于給定的正數(shù)3定義函數(shù)£。)=若對(duì)于函數(shù)f{x)=2匚屋/的
k,于(x)>k
定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)x,恒有£(x)=/(x),則
A.k的最大值為2近B.我的最小值為2式
C.%的最大值為1D.左的最小值為1
6.已知m6,c>0且2=1°§!(-)*=log,/?,(l)c=log,c,則
3252
A.a>b>cB.b>c>a
C.c>b>aD.a>c>b
二、多選題
7.下列函數(shù)f(x)對(duì)任意的正數(shù)X1,x2,與滿足f(X|+工2+*3)4/(占)+/。2)+/(王)的
有
A./(x)=4+2sinxB.f(x)=4xC./(x)=/D./(x)=ln(x+l)
8.設(shè)a>0,函數(shù)y=*'+時(shí)的圖象可能是()
第II卷(非選擇題)
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三、填空題
x2+4、c
-----x22
9.已知函數(shù)/(x)=,x-,若對(duì)任意的%e[2,+oo),都存在唯一的々€(T?,2),
x<2
滿足/(/)=/(與),則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.
10.設(shè)函數(shù)y=f(x)和y=/(-x),若兩函數(shù)在區(qū)間[〃?,〃]上的單調(diào)性相同,則把區(qū)間
加,〃]叫做y=/(x)的“穩(wěn)定區(qū)間”.已知區(qū)間[1,2019]為函數(shù)”出+?的“穩(wěn)定區(qū)間”,則
實(shí)數(shù)。的取值范圍是
11.已知函數(shù)/(X)=*T,gM=-x+e,/i(x)=max{/(x),g(x)},其中max{a,用表示中
“力最大的數(shù),若〃(x)>e對(duì)xwR恒成立,則實(shí)數(shù)f的取值范圍是.
12.對(duì)于函數(shù)中的任意再,為(為工々)有如下結(jié)論:
①〃%+9)=/(%>/(々);②/(%?9)=/(4)+/(&);
試卷第2頁,共4頁
③"%)T<O(x尸0);④/(西)-./(々)>0;
X]X,-x2
⑤d空卜/叫〃々);⑥,(-%)=志
\J2J\Ai/
當(dāng)〃力=(;)'時(shí),上述結(jié)論正確的是-
四、解答題
13.設(shè)aeR,函數(shù)/(力=與士.
2-a
(1)若。=1,求證:函數(shù)y=.f(x)是奇函數(shù);
(2)若”0,判斷并證明函數(shù)y=/(x)的單調(diào)性;
(3)設(shè)awo,k<(),若存在實(shí)數(shù)相,n(,”<"),使得函數(shù)y=/(x)在區(qū)間際網(wǎng)上
的取值范圍是已,目,求&的取值范圍.
22」a
14.已知/(x),g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù),且
/(x)+g(x)=a,(a>O,awl).
(1)求〃x),g(x)的解析式;
(2)若4=3時(shí),對(duì)一切l(wèi)og,(>/2-1),log,>使得
"-2)/(x)+mg(2x)-4機(jī)>0恒成立,求實(shí)數(shù),”的取值范圍.
15.設(shè)函數(shù)〃力=礦呼?1)(。>0,且是定義域?yàn)镽的奇函數(shù).
(1)求,的值;
(2)若/(】)>0,求使不等式/(丘-x2)+/(x-i)<。對(duì)一切XCR恒成立的實(shí)數(shù)G的取
值范圍;
(3)若函數(shù)f(x)的圖象過點(diǎn)”,|,是否存在正數(shù)〃?(〃-1),使函數(shù)
g(x)=log“,[f+a3-時(shí)(x)]在[LlogzR上的最大值為0,若存在,求出〃?的值;若
不存在,請(qǐng)說明理由.
16.已知函數(shù)"x)=,0?-2ax+l的定義域?yàn)镽,其中〃為實(shí)數(shù).
(I)求。的取值范圍;
(II)當(dāng)a=l時(shí),是否存在實(shí)數(shù)m滿足對(duì)任意辦e[-1,1],都存在&eR,使得
9、,+9』+神(3*-35)-12/(王)成立?若存在,求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍;若不存在,請(qǐng)
說明理由.
試卷第4頁,共4頁
參考答案
1.D
【分析】
問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)/(X)的值域是g(x)值域的子集,分別求出/(X)和g(x)的值域,得到關(guān)于m
的不等式組,解出即可.
【詳解】
對(duì)任意的玉存在赴?1,2],使得/(X|)=g(w),
即f(x)在[0,1]上的值域是g(x)在[1,2]上的值域的子集,
2'+m2'+1+機(jī)一1im-\
fM=----------------=1+--------
2V+12A+12A+1
當(dāng)〃z<1時(shí),?*-m—1<0,
加+1加+2
“X)在[0,1]上單調(diào)遞增,???/(X)的值域?yàn)?/p>
~2~,3
又?.?g(x)=(ni-l)x在[1,2]上單調(diào)遞減,,g(x)的值域?yàn)椋海?m-2,m-l],
/n+1"1+2
C[2/T?-2,/77-1],
2'3
三2時(shí)2
2
,方程無解
m+2.
-------<777-1
3
m+2"?+1
當(dāng)機(jī)>1時(shí),”X)在[0』上單調(diào)遞減,.?"(X)的值域?yàn)?/p>
3'2
g(元)的值域?yàn)椋汉?1,2加-2],J.絲9,c[/n-1,2/?7-2]
"7+1」c八
------<2m-2
2
/駕+2.
------->m-i
3
當(dāng)m=l時(shí),/(x)=l,g(x)=0,顯然不滿足題意.
綜上,實(shí)數(shù)〃,的取值范圍為
故選:D.
【點(diǎn)睛】
關(guān)鍵點(diǎn)睛:解決此題的關(guān)鍵是將所求問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)/(x)的值域是g(x)值域的子集.
2.B
【分析】
答案第1頁,共17頁
根據(jù)Xe[0,1]時(shí),f(X)=(2:1)(2*-2)=2*-3.2,+2=(2*-一;,研究其最小值,再考慮當(dāng)方?口,
2]、[2,3]時(shí),相應(yīng)函數(shù)的最小值,總結(jié)規(guī)律即可得到結(jié)論.
【詳解】
①當(dāng)xe[0,1)時(shí),/(x)=(2、-l)(2*-2)
=22V-3,2*+2=(2*-$2一],
,.,Q,,x<l,「.L,2v<2,
33cl
當(dāng)2"=/,X=log2]時(shí),fU),?m=--;
②當(dāng)〃=I,即xe[l,2]時(shí),有x-lw[0,1],/(x-l)=(2x-'-1)2-^
f(x)=2/(x-I)+1=2(2"告+g,
???0M-11,1碗i2,當(dāng)2T=g,x=log]3時(shí),f=1,
3i
③當(dāng)"=2,即xe[2,3],有x-2e[0,1],/(x-2)=(2x-2-^)2--,
f(,x-1)=2/(x—2)+1—2(2*——1)-+萬,
fM=27(x-l)+l=4(2-一乎+2,
則2-=不,即x=log26時(shí),f(x)取得最小值2;
同理可得當(dāng)〃=3,即xe[3,4],f(x)的最小值為2x2+1=5,
當(dāng)〃=4,即xe[4,5],7(x)的最小值為2x5+1=11,
當(dāng)〃=5,即xe[5,6],f(x)的最小值為2x11+1=23.
故選:B.
【點(diǎn)睛】
本題考查函數(shù)的最值的求法,注意運(yùn)用指數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì),考查學(xué)生分析解決問題
的能力,有一定的難度.
3.D
【分析】
由條件a,6eR+,且償b分析出冬,而,絲的大小關(guān)系,再討論函數(shù)Ax)的單調(diào)性即
2a+b
可逐一判斷作答
【詳解】
答案第2頁,共17頁
因9eR-,且〃b,則有甲,而且高<氏=怒〈而,于是得
2—2xx<1
函數(shù)/(幻=(…",,貝l」/(X)在(0,1]上遞減,在[1,+OO)上遞增,
當(dāng)當(dāng)21時(shí),有/(粵)"(而)"(學(xué))成立,A選項(xiàng)可能成立;
a+h2a+b
當(dāng)0<W±41時(shí),有/(當(dāng))"(掠)>/(字)成立,C選項(xiàng)可能成立;
2a+b2
由0<2*-2<1知l<x<log,3,即空?。?,log,3)某個(gè)數(shù),存在
2a+h
使得人當(dāng))3(小討(癡)成立,如圖,即B選項(xiàng)可能成立;
空.疝I"+
a+b2
對(duì)于D,由/(而)于當(dāng))成立知,必有而>1,由于面)>f(學(xué))成立知,必有點(diǎn)<1,
即出現(xiàn)矛盾,D選項(xiàng)不可能成立,
所以不可能成立的是D.
故選:D
4.C
【分析】
設(shè)/=2,+2-飛2,|,可得〃x)=*+2-2,設(shè)硝=產(chǎn)+h-2,由鳳。>0對(duì)任意的
te2,|求得%>-1,進(jìn)而可求得函數(shù)y=〃(/)在區(qū)間2,|的值域,由題意可得出關(guān)于k的
不等式,由此可解得實(shí)數(shù)A的取值范圍.
【詳解】
令》=2,+2-=2'+3,則2%;,2,
令〃?=2%1,2,由雙勾函數(shù)的單調(diào)性可知,函數(shù)g(,")=M7+5在區(qū)間上單調(diào)遞減,
在區(qū)間(1,2]上單調(diào)遞增,
答案第3頁,共17頁
所以,當(dāng)相1,2時(shí),g⑹=〃,+/2,|,則止2,|
產(chǎn)=(2*+27)2=4"+4一*+2,貝1」4,+4T=/一2,:.f^x)=t2+kt-2,
52
構(gòu)造函數(shù)〃(7)=/+"—2’其中/£2,-,由〃(/)=〃+々一2>。,可得攵>:一/,
2「5一
由于函數(shù)丁=-T在區(qū)間2,-上單調(diào)遞減,則%ax=T,可得4>T.
tL2」
ki
二次函數(shù)/!(£)=?+公一2的對(duì)稱軸為直線
則函數(shù)人。)=產(chǎn)+&-2在區(qū)間2,|上單調(diào)遞增,
當(dāng)fe2,|時(shí),力⑵4/7(心.|),即2Z+2K〃⑺Kg%17
+T
由于以/(X)、/(w)、/($)為長(zhǎng)度的線段都可以圍成三角形,
所以,2(2k+2)>5,+號(hào)17,解得1
因此,實(shí)數(shù)4的取值范圍是(,,+8).
故選:C.
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了參數(shù)取值范圍的求解,以及構(gòu)成三角形的條件和利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)值域,
屬于難題.
5.B
【分析】
先根據(jù)人(x)=/(x)得到a與/(x)最值的關(guān)系,然后利用換元法求解函數(shù)“X)的值域,即
可確定左的取值范圍,則上的最值可確定.
【詳解】
因?yàn)椤?X)=因玉,所以由定義知生J(X)max,
因?yàn)開d+x+2N0,所以xe[-l,2],則函數(shù)〃x)的定義域?yàn)?1,2],
r3]
令t=y/-x2+x+2<則tw0.-,所以/(x)皿=2四,因此k..242.
故選B.
【點(diǎn)睛】
指數(shù)型函數(shù)/(》)=屋3值域的求解方法:利用換元法令f=g(x),求解出g(x)的值域即為f
答案第4頁,共17頁
的取值范圍,根據(jù)指數(shù)函數(shù)y="的單調(diào)性即可求解出f(x)的值域.
6.C
【解析】
【分析】
先確定a,b,c范圍,再將a,b轉(zhuǎn)化為函數(shù)產(chǎn)2匕產(chǎn)分別與產(chǎn)“gt的圖象對(duì)應(yīng)交點(diǎn)
的橫坐標(biāo),結(jié)合圖象確定選項(xiàng).
【點(diǎn)睛】
本題考查判斷大小關(guān)系、指對(duì)數(shù)函數(shù)圖象,考查數(shù)形結(jié)合思想解決數(shù)學(xué)問題的能力.
7.ABD
【分析】
根據(jù)四個(gè)選項(xiàng)中的函數(shù)證明不等式/3+々+與)4/(占)+/5)+/(天)成立或舉反例說明
不成立(舉反例時(shí)中讓X=%=九3).
【詳解】
A./(%1+x2+£)=4+2sin(斗+x2+x3)<6,
/(%)+/(%2)+/(工3)=4+2sinX]+4+2sinx24-4+2sinx3>6,A正確;
答案第5頁,共17頁
B.(y/x^++yfx^)2=玉+/+"+2,占馬+2J%,+2J1%>芯+%+毛,
.?.Jx+/+為〈募+&+嘉,B正確;
C.X1=x?=w=1時(shí),e*E*-=/>e+e+e,C錯(cuò);
D.(%+1)(%,+1)(W+1)=X^X2Xy+XfX2+X2Xy+%,%,+x,+x,+%,+1>%,+x2+x3+1,
/.ln[(Xj+1)(*2+1)(玉+1)]=ln(X1+1)+ln(x2+l)+ln(x3+1)>In^+x2+x3+l),D正確.
故選:ABD.
【點(diǎn)睛】
本題考查正弦函數(shù)、幕函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì),對(duì)于函數(shù)的性質(zhì)
/(%,+x2+x3)</(x,)+f(x2)+f(x3),正確的需進(jìn)行證明,錯(cuò)誤的可舉一反例說明.
8.BD
【分析】
令8(力=以2+》+1,。>0,得到拋物線的開口向上,對(duì)稱軸的方程為x=-[,再根據(jù)
△=06<0和A>o三種情形分類討論,結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性,即可求解.
【詳解】
由題意,函數(shù)>=**-"],令8(X)=加+3+1,。>0,
可得拋物線的開口向上,對(duì)稱軸的方程為x=-二<0,
2a
當(dāng)△=l-4a=0時(shí),即“=:時(shí),可得g(x)=;d+x+l*O,
此時(shí)函數(shù)y=|g(x)|在(7,-5]單調(diào)遞減,在[-(,+℃)上單調(diào)遞增,且g(-2)=0
可得y=在遞減,在上遞增,且/<-2>=1:
J2a2a
當(dāng)△=1一4〃<0時(shí),即“時(shí),可得g(x)>0,
此時(shí)函數(shù)y=|g(x)|在(7,-1】單調(diào)遞減,在-[,+°°)上單調(diào)遞增,
由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性,可得丫=*'+同在(7,-4]遞減,在[-1,+8)上遞增,且)>1,
J2a2a
此時(shí)選項(xiàng)B符合題意;
當(dāng)當(dāng)△=1一4a>0時(shí),即0<。<;時(shí),止匕時(shí)函數(shù)8(工)="2+x+l有兩個(gè)零點(diǎn),
答案第6頁,共17頁
不妨設(shè)另個(gè)零點(diǎn)分別為X”與且芭<-1<々,
此時(shí)函數(shù)y=|g(x)|在]單調(diào)遞減,在[-鼠,+℃)上單調(diào)遞增,
可得y=g(x)在(-°°,玉]」--^-,可遞減,在[網(wǎng),-[],[%,+°°)上遞增,且ga)=g(x2)=o,
2a2a
則尸+訓(xùn)在(-*xj,[--L,3]遞減,在[Xp-3MXz,+O上遞增,且e"=*川=1,
2a2a
此時(shí)選項(xiàng)D符合題意.
綜上可得,函數(shù)的圖象可能是選項(xiàng)BD.
故選:BD.
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了根據(jù)函數(shù)的解析式識(shí)別函數(shù)的圖象,其中解答中熟記指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì),二
次函數(shù)的圖象與性質(zhì),以及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判定方法是解答的關(guān)鍵,著重考查分析問題
和解答問題的能力,以及分類討論思想的應(yīng)用.
9.0<a<4
【分析】
由題意可得函數(shù)/(X)在[2,+8)時(shí)的值域包含于函數(shù)/(X)在(-00,2)時(shí)的值域,利用
基本不等式先求出函數(shù)/(x)在xW[2,+oo)時(shí)的值域,當(dāng)xG(-00,2)時(shí),對(duì)。分情況
討論,分別利用函數(shù)的單調(diào)性求出值域,從而求出”的取值范圍.
【詳解】
解:設(shè)函數(shù)8(力=可芋,xN2的值域?yàn)锳,函數(shù)妝同=產(chǎn)4,x<2的值域?yàn)锽,
因?yàn)閷?duì)任意的%e[2,+oo),都存在唯一的馬e(-00,2),滿足f(W)=f(不),
則A±B,且B中若有元素與A中元素對(duì)應(yīng),則只有一個(gè).
當(dāng)Xiw[2,+oo)時(shí),g(x)=%+4=x+3,
xx
因?yàn)?+24之2I人4二=4,當(dāng)且僅當(dāng)工=4一,即x=2時(shí),等號(hào)成立,
xVxx
所以A=[4,+8),
當(dāng),W(YO,2)時(shí),/I(X)=2M,X<2
①當(dāng)a22時(shí),〃(力=2"、x<2,此時(shí)^二修巳”),
答案第7頁,共17頁
:.2a~2<4.解得24a<4,
2r
②當(dāng)a<2時(shí),〃(x)=
2x~a,a<x<2
此時(shí)〃(X)在(-00,4)上是減函數(shù),取值范圍是
力⑴在&2)上是增函數(shù),取值范圍是[1,2*),
22-a<4)解得0Va<2,
綜合得04a<4.
故答案為:04a<4
【點(diǎn)睛】
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:本題即有恒成立問題,又有存在性問題,最后可轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域之間的包含關(guān)
系問題,最終轉(zhuǎn)化為最值問題,體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的思想.
「c11
10.-2,--
_2_
【分析】
題目等價(jià)于函數(shù)y=(;)+。與函數(shù)y=,+。|在區(qū)間[12)19]上同增或者同減,分別討論兩個(gè)
函數(shù)同增或同減的情況列出不等式可求解.
【詳解】
函數(shù)y=在R上單調(diào)遞減,函數(shù)y=2*在R上單調(diào)遞增,
若區(qū)間[1,2019]為函數(shù)y=(£|+。的“穩(wěn)定區(qū)間”,
則函數(shù)丫=0+。與函數(shù)y=|2'+a|在區(qū)間[1,2019]上同增或者同減,
①若兩函數(shù)在區(qū)間II,2019]上單調(diào)遞增,
flY+fl<0L-W'
則(2)~在區(qū)間[12019[上恒成立,即-12),
2x+a>0a>-2'
所以-24a4-1;
2
②若兩函數(shù)在區(qū)間U2019]上單調(diào)遞減,
答案第8頁,共17頁
則入句+“2。在區(qū)間[1,2019]上恒成立,即,一⑸,不等式無解;
2x+a<0a<-22019
綜上所述:?e-2,-;,
故答案為:-2,-g.
11.t<-l
【分析】
在同一坐標(biāo)系中作出.f(x)和g(x)圖象,h(x)的圖象是由f(x)和g(x)圖象中較大部分構(gòu)成,
當(dāng)x<0時(shí),g(x)=-x+e>e,而當(dāng)xNO時(shí),g(x)4e,故只需/(x)>e即可,利用數(shù)形結(jié)合
即可得出結(jié)果.
【詳解】
當(dāng)x<0時(shí),g(x)=-x+e>e,所以由/z(x)=max{/(x),g(x)}>e成立;
當(dāng)xNO時(shí),g(x)4e,所以只要〃x)>e即可,
如圖將、=加的圖象向左平移1個(gè)單位(如圖①),得到函數(shù)y=*+"的圖象,此時(shí)有
若圖象再向左平移(如圖②)則滿足>e(x>0,-/>1),所以,<一1.
、\4/抬尸片"[危尸
''、小、g(x)=-x+e\/2卜g(x)=
-x+e
.??I.1一」一
-3-2-1(71123x-3-2-l(9l123*
①②
故答案為:r<—1
【點(diǎn)睛】
本題主要考查利用數(shù)形結(jié)合處理恒成立問題,屬于中檔題
12.①③⑤⑥
【分析】
由函數(shù)解析式代入各個(gè)結(jié)論檢驗(yàn).①②直接代入變形判斷,③分類討論,按士的正負(fù)分類,
答案第9頁,共17頁
④中々=0時(shí),左邊的式子就是③中的式子,由③可得,⑤中作差比較,⑥由負(fù)指數(shù)累的定
義可得.
【詳解】
由于=
所以,/(%,+x2)=(g戶伙=(g)w?(g戶=/(再)/(%2),①正確;
“王?當(dāng))=《嚴(yán)*(》*+?)*=/(玉)+/優(yōu)),②錯(cuò)誤;
當(dāng)王>0時(shí),/(%,)<1,當(dāng)占<0時(shí),/(%,)>1,③正確,
x\
_/(x)-/(x)f(x.)-1c
在④中若令占=0,則?八92j八”<0,④錯(cuò)誤,
%-x2X]
因?yàn)榘佟o2,
一+工
/(百)+/(%)_f盧+占)1+Jp12
=-2-(-)2]
2222
,(J*1+g產(chǎn)一2.(;戶.(;)句=;[(產(chǎn)一(;)如>0,⑤正確,
〃-%)=(;)』=-/-1
f(x).⑥正確,
9"t
故答案為:①③⑤⑥
【點(diǎn)睛】
本題考查指數(shù)函數(shù)的性質(zhì),考查基的運(yùn)算法則.問題不難只是內(nèi)容較多.⑤反映了指數(shù)函數(shù)
的凹凸性,說明指數(shù)函數(shù)是下凸的函數(shù)(凹下去的).
13.
(1)證明見詳解;
(2)定義域上單調(diào)遞增,證明見詳解;
(3)(0,3-2V2)o{-l)
【分析】
(1)”=1代入解析式,根據(jù)函數(shù)式知定義域?yàn)閄H0且f(-x)=-f(x),即f(x)為奇函數(shù);
答案第10頁,共17頁
2a(2X2-2X,)
(2)利用單調(diào)性定義令判斷/(%)-、的符號(hào),即可知
一c,八,一CI)
“Xj"(X2)大小關(guān)系,從而可得結(jié)論.
(3)因?yàn)椋?lt;0,分。>0,。<0兩種情況討論函數(shù)八x)在區(qū)間[〃?,n](In<n)上的取值范
圍是伙GR),進(jìn)而得出結(jié)論.
(1)
21+1
。=1時(shí),有/(x)=r—且定義域?yàn)閄HO,
2'x+11+2*
f(-)=--------=--------=-/(x),
'x2-x-1]一2*
綜上有:的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱且f(-x)=-/(%),即f(x)為奇函數(shù);
(2)
a<0時(shí),有即f(x)定義域?yàn)镽,結(jié)論為:Ax)在R上單調(diào)遞增.
設(shè)對(duì)任意兩個(gè)實(shí)數(shù):芭<當(dāng),則
而寸⑷=上_拉=⑵+4)(2“-幻-⑵+?⑵-。)2a(2X2-2x')
1224—a2X2-a(2*_〃)(2電—a)(2—)(2通—a)
2%—2演>0,2演一。>0,2"2<0,
???含方。,即/(%)</區(qū))得證.
(3)
〈awO,所以a>0或〃<(),
.,?當(dāng)。<0時(shí),由(2)知/")在R上單調(diào)遞增,結(jié)合題意有,
C,、k2加+1_k
/⑴)=懣
―1-7V+1k
:,得,i■,即他,〃是戶=工的兩個(gè)不同的實(shí)根,
2〃+1_k2X-12X
/(〃)T2n-\"F
,令—,則產(chǎn)+(a-Q,+成=0,(。/<0)在經(jīng)0上有兩個(gè)不同實(shí)根,
a-k八
-------->0
2
故”\2.八,可得Ovk—<3-2立,
{{a-k7)一4成>0a
ak>0
當(dāng)a>0時(shí),/(%)=1+在(F,log?a),(log?〃,”)上都遞減,
2—。
若卜%“仁(kga,+00),有/(x)>l,貝與%<0矛盾,舍去;
若口”]±(-oo,k>g2a),有即有
答案第11頁,共17頁
zZ
z口
/l=
\F=
F,,mm
Z,2(2+?)=jt(2-a)
^2R,所以《
zmn
/()=r2(2"+a)=k(2-a)
x2;F=F
兩式相減得(a+現(xiàn)2"-2*)=0,又2小<2",故2"-2"’>0,
從而4+女=0,-=-1
K
綜上所述,加取值范圍(0,3-2⑹口{-1}.
l/lz1\r/X優(yōu)—ClX優(yōu)+〃、/C、m>5+^^或加4一1.
14.(1)/(x)=---,g(x)=---;(2)
2
【分析】
(1)用-X替換X后,根據(jù)題中奇偶性,利用奇偶性性質(zhì)得到方程組,即可解得答案;
(2)代入解析式化簡(jiǎn)后換元,將問題轉(zhuǎn)化成恒成立問題,通過討論對(duì)稱軸和區(qū)間的關(guān)系研
究最值解決恒成立問題.
【詳解】
解:(1),.?/(x)+g(x)=ax(D,f(-x)+g(-x)=a~x,
f(x),g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù),
:,-f(x)+g(x)=a~'@,由①②可知/(x)=
⑵當(dāng)"領(lǐng)'放)=
令寸W-2),
即/(x)=:,g(2x)=^^,-.-VxG(log(V2-1),log
22)),
(m2-2)/(x)+mg(2x)-4m>0恒成立,
mt2+(w2-2)/-6,">0在rw(1,2)恒成立
令/z(r)=mt2+(m2-2)t-6m
(i)當(dāng)加=0時(shí),一2f>0(舍);
(ii)法一:當(dāng)時(shí),
答案第12頁,共17頁
m>0m>0m>0
m2-2-尤工2
41或<1<----------<2或,_IX4
2m2m2m
/?(l)>0//(2)>0
解得加之心匡
2
m>0
-牛解得力2出且
法二:由于人(0)=-6m<0,所以或,
2m2
/?(1)>0
(iii)當(dāng),〃<0時(shí),{“ewe,解得加4—1
["(2)>0
綜上,“2土叵或m4-L
2
【點(diǎn)睛】
解決恒成立問題的常用方法:
①數(shù)形結(jié)合法:畫圖像,對(duì)關(guān)鍵點(diǎn)限制條件;②分離參數(shù)法:轉(zhuǎn)化成參數(shù)與函數(shù)最值的關(guān)系;
③構(gòu)造函數(shù)法:轉(zhuǎn)化成函數(shù)最值(含參數(shù))的范圍.
15.(1)t=2,(2)-3<jt<l,(3)不存在,理由見解析
【分析】
(1)結(jié)合函數(shù)奇偶性,利用/(0)=0可求;
(2)根據(jù)/⑴>0可得結(jié)合奇偶性和單調(diào)性把所求解的不等式轉(zhuǎn)化為二次不等式,
然后進(jìn)行求解;
(3)根據(jù)函數(shù)圖象過點(diǎn)可得a=2,利用換元法進(jìn)行求解.
【詳解】
Q)?.?“X)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù),
.?./(o)=o,
:.t=2;經(jīng)檢驗(yàn)知符合題意.
(2)由⑴得〃x)=—
答案第13頁,共17頁
得a——>0,又〃>0
??,/(X)為奇函數(shù),
.-./(Ax-x2)</(l-x),
Qa>1,.?J(x)="—Q為R上的增函數(shù),
:.kx-^<l-x對(duì)一切xeR恒成立,即x2-(A+l)x+l>0對(duì)一切xeR恒成立,
故△=(%+1『-4<0解得
:.a-2,假設(shè)存在正數(shù)修,且加H1符合題意,
由a=2得
g(x)=log,”[22'+23-M2*-2-')],
設(shè)r=2,-2T則(2*-2T『-利(2'-2-*)+2=/_制+2,
-.-xe[l,log23],
38~
tG—,記/z(f)=/+2,
?/函數(shù)g(X)在[l,log23]上的最大值為0,
「38-
...⑴若0<帆<1時(shí),則函數(shù)力。)=/-社+2在有最小值為1,
由于對(duì)稱軸/=,
22
,/、17313丁人由*
???/%,1)=■彳=7_彳川=1=>機(jī)=",不合題意.
J4Zo
5)若心1時(shí),則函數(shù)咐)=產(chǎn)-加+2>0在上恒成立,且最大值為1,最小值大于
0,
答案第14頁,共17頁
\?<tn<,2—5rc
673
=>〃?=—
m=——7324
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