專題05 二次函數(shù)與一元二次方程、不等式-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義（知識梳理+真題自測+考點(diǎn)突破+分層檢測）（新高考專用）原卷版

2/2專題05二次函數(shù)與一元二次方程、不等式（新高考專用）目錄目錄【知識梳理】 2【真題自測】 3【考點(diǎn)突破】 7【考點(diǎn)1】一元二次不等式的求解 7【考點(diǎn)2】三個(gè)二次之間的關(guān)系 11【考點(diǎn)3】一元二次不等式恒成立問題 13【分層檢測】 18【基礎(chǔ)篇】 18【能力篇】 24【培優(yōu)篇】 27考試要求：1.會(huì)結(jié)合一元二次函數(shù)的圖象，判斷一元二次方程實(shí)根的存在性及實(shí)根的個(gè)數(shù)，了解函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系.2.會(huì)從實(shí)際情境中抽象出一元二次不等式，了解一元二次不等式的現(xiàn)實(shí)意義.3.能借助一元二次函數(shù)求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集.知識梳理知識梳理1.一元二次不等式只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，稱為一元二次不等式.2.三個(gè)“二次”間的關(guān)系判別式Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的圖象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有兩相異實(shí)根x1，x2(x1＜x2)有兩相等實(shí)根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)沒有實(shí)數(shù)根ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集eq\f({x|x＞x2,或x＜x1})eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≠－\f(b,2a)))Rax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集{x|x1＜x＜x2}??3.(x－a)(x－b)>0或(x－a)(x－b)<0型不等式的解集不等式解集a<ba＝ba>b(x－a)·(x－b)>0{x|x<a或x>b}{x|x≠a}{x|x<b或x>a}(x－a)·(x－b)<0{x|a<x<b}?{x|b<x<a}4.分式不等式與整式不等式(1)eq\f(f（x）,g（x）)>0(<0)?f(x)·g(x)>0(<0).(2)eq\f(f（x）,g（x）)≥0(≤0)?f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.1.絕對值不等式|x|>a(a>0)的解集為(－∞，－a)∪(a，＋∞)；|x|<a(a>0)的解集為(－a，a).記憶口訣：大于號取兩邊，小于號取中間.2.解不等式ax2＋bx＋c>0(<0)時(shí)不要忘記當(dāng)a＝0時(shí)的情形.3.不等式ax2＋bx＋c>0(<0)恒成立的條件要結(jié)合其對應(yīng)的函數(shù)圖象決定.(1)不等式ax2＋bx＋c>0對任意實(shí)數(shù)x恒成立?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝b＝0，,c>0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ<0.))(2)不等式ax2＋bx＋c<0對任意實(shí)數(shù)x恒成立?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝b＝0，,c<0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a<0，,Δ<0.))真題自測真題自測一、單選題1．（2023·全國·高考真題）已知集合，，則（

）A． B． C． D．二、填空題2．（2023·全國·高考真題）設(shè)，若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是.3．（23-24高一上·江蘇徐州·階段練習(xí)）若關(guān)于的不等式的解集為，則的取值范圍是．4．（2024·安徽合肥·一模）已知集合，若，則的取值范圍是.三、解答題5．（2021·全國·高考真題）記是公差不為0的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求使成立的n的最小值．6．（23-24高一上·河南信陽·階段練習(xí)）已知：，：.(1)若是真命題，求對應(yīng)的取值范圍；(2)若是的必要不充分條件，求的取值范圍.考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破【考點(diǎn)1】一元二次不等式的求解一、單選題1．（2021·上海徐匯·一模）已知，條件：，條件：，則是的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件2．（2023·四川樂山·一模）已知，滿足，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．二、多選題3．（23-24高一上·江蘇南京·期末）已知關(guān)于的不等式的解集是，則（

）A．B．C．D．不等式的解集是或4．（2023·廣東深圳·模擬預(yù)測）下列命題中的真命題有（

）A．當(dāng)時(shí)，的最小值是3B．的最小值是2C．當(dāng)時(shí)，的最大值是5D．若關(guān)于的不等式的解集為，則三、填空題5．（2021·四川綿陽·模擬預(yù)測）若函數(shù)在區(qū)間(－2，1)上恰有一個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為6．（23-24高一上·上海浦東新·期末）已知，關(guān)于x的不等式的解集為M，設(shè)，當(dāng)a變化時(shí)，集合N中的元素個(gè)數(shù)最少時(shí)的集合N為．反思提升：含有參數(shù)的不等式的求解，往往需要比較(相應(yīng)方程)根的大小，對參數(shù)進(jìn)行分類討論.(1)若二次項(xiàng)系數(shù)為常數(shù)，可先考慮分解因式，再對參數(shù)進(jìn)行討論；若不易分解因式，則可對判別式進(jìn)行分類討論.(2)若二次項(xiàng)系數(shù)為參數(shù)，則應(yīng)先考慮二次項(xiàng)系數(shù)是否為零，然后再討論二次項(xiàng)系數(shù)不為零的情形及判別式Δ的正負(fù)，以便確定解集的形式.(3)其次對相應(yīng)方程的根進(jìn)行討論，比較大小，以便寫出解集.【考點(diǎn)2】三個(gè)二次之間的關(guān)系一、單選題1．（23-24高一上·四川成都·期中）一元二次不等式的解為，那么的解集為（

）A． B．C． D．2．（2021·新疆·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，滿足，且，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．二、填空題3．（20-21高一上·浙江臺州·期中）若非負(fù)實(shí)數(shù)滿足，則的最大值為.三、解答題4．（2022·江蘇鹽城·模擬預(yù)測）設(shè)函數(shù)．(1)若函數(shù)在上不單調(diào)，求a的取值范圍；(2)對任意，都存在，使得成立，求a的取值范圍．反思提升：1.一元二次方程的根就是相應(yīng)一元二次函數(shù)的零點(diǎn)，也是相應(yīng)一元二次不等式解集的端點(diǎn)值.2.給出一元二次不等式的解集，相當(dāng)于知道了相應(yīng)二次函數(shù)的開口方向及與x軸的交點(diǎn)，可以利用代入根或根與系數(shù)的關(guān)系求待定系數(shù).【考點(diǎn)3】一元二次不等式恒成立問題一、單選題1．（2023·江西九江·二模）已知命題：，，若p為假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．2．（22-23高三下·上海楊浦·階段練習(xí)）已知正實(shí)數(shù)a，b滿足，則的最小值為（

）A． B．3 C． D．二、多選題3．（23-24高一上·新疆喀什·期末）下列幾種說法中正確的是（

）A．若，則的最小值是4B．命題“，”的否定是“，”C．若不等式的解集是，則的解集是D．“”是“不等式對一切x都成立”的充要條件4．（22-23高三上·山東棗莊·開學(xué)考試）下列說法正確的是（

）A．若不等式的解集為，則B．若命題，，則的否定為C．在中，“”是“”的充要條件D．若對恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為三、填空題5．（2022·湖北武漢·三模）若，使成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．6．（2018·天津·高考真題）已知，函數(shù)若對任意x∈［–3，+），f(x)≤恒成立，則a的取值范圍是．反思提升：(1)對于二次不等式恒成立問題常見的類型有兩種，一是在全集R上恒成立，二是在某給定區(qū)間上恒成立.(2)解決恒成立問題一定要搞清誰是自變量，誰是參數(shù)，一般地，知道誰的范圍，誰就是變量，求誰的范圍，誰就是參數(shù).①若ax2＋bx＋c＞0恒成立，則有a＞0，且Δ＜0；若ax2＋bx＋c＜0恒成立，則有a＜0，且Δ＜0.②對第二種情況，要充分結(jié)合函數(shù)圖象利用函數(shù)的最值求解(也可采用分離參數(shù)的方法).分層檢測分層檢測【基礎(chǔ)篇】一、單選題1．（2023·黑龍江哈爾濱·二模）設(shè)等比數(shù)列，，是方程的兩根，則的值是（

）A．或 B．2或 C． D．2．（23-24高一上·重慶·期末）已知集合，則（

）A． B．C． D．3．（2023·廣東·模擬預(yù)測）若集合，，且，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B．C． D．4．（22-23高三上·江蘇·開學(xué)考試）已知關(guān)于的不等式的解集為，其中，則的最小值為（

）A．－4 B．4 C．5 D．8二、多選題5．（2022·廣東佛山·一模）下列說法正確的是（

）A．命題：，的否定是：，；B．，是的充要條件；C．是的充分非必要條件；D．是命題：，恒成立的充分非必要條件6．（23-24高一上·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·期末）命題“”是真命題的一個(gè)充分不必要條件是（

）A． B．C． D．7．（2021·江西·模擬預(yù)測）下列命題正確的是（

）A． B．集合的真子集個(gè)數(shù)是4C．不等式的解集是 D．的解集是或三、填空題8．（2021·河北石家莊·二模）若命題“，”為真命題，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為.9．（22-23高一上·河北滄州·期中）若“”為假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.10．（22-23高三上·河北衡水·階段練習(xí)）若命題“”是假命題，則實(shí)數(shù)的最大值為．四、解答題11．（2022·山東濟(jì)南·二模）已知函數(shù)(1)若，求m的值；(2)若，求a的取值集合．12．（23-24高三上·河北邢臺·階段練習(xí)）已知函數(shù)，且.(1)求a的值；(2)當(dāng)時(shí)，恒成立，求m的取值范圍.【能力篇】一、單選題1．（2023·黑龍江大慶·二模）已知集合，，則（

）A． B．C． D．二、多選題2．（2023·廣東深圳·模擬預(yù)測）已知函數(shù)（且），且，，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．為R上的增函數(shù) B．無極值C． D．三、填空題3．（2023·廣西·模擬預(yù)測）若不等式對恒成立，則a的取值范圍是．四、解答題4．（2022·上海青浦·一模）考慮到高速公路行車安全需要，一般要求高速公路的車速（公里/小時(shí)）控制在范圍內(nèi).已知汽車以公里/小時(shí)的速度在高速公路上勻速行駛時(shí)，每小時(shí)的油耗（所需要的汽油量）為升，其中為常數(shù)，不同型號汽車值不同，且滿足.(1)若某型號汽車以120公里/小時(shí)的速度行駛時(shí)，每小時(shí)的油耗為升，欲使這種型號的汽車每小時(shí)的油耗不超過9升，求車速的取值范圍；(2)求不同型號汽車行駛100千米的油耗的最小值.【培優(yōu)篇】一、單選題1．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)是定義域?yàn)镽的函數(shù)，，對任意，，均有，已知a，b為關(guān)于x的方程的兩個(gè)解，則關(guān)于t的不等式的解集為（

）A． B． C． D．二