蘇科版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)講練專題2.2角平分線的性質(zhì)與判定(原卷版+解析)

專題2.2角平分線的性質(zhì)與判定【教學(xué)目標(biāo)】1、利用尺規(guī)作已知角的平分線的方法；2、理解角的平分線的性質(zhì)并初步運(yùn)用。【教學(xué)重難點(diǎn)】1、掌握角平分線的尺規(guī)作圖；2、理解角的平分線的性質(zhì)并初步運(yùn)用；3、對(duì)角平分線的性質(zhì)定理中點(diǎn)到角兩邊的距離的理解?！局R(shí)亮解】知識(shí)點(diǎn)角平分線的性質(zhì)與判定角的平分線的性質(zhì)：角的平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等.用符號(hào)語言表示角的平分線的性質(zhì)定理：

若CD平分∠ADB，點(diǎn)P是CD上一點(diǎn)，且PE⊥AD于點(diǎn)E，PF⊥BD于點(diǎn)F，則PE＝PF.2、角的平分線的判定：角平分線的判定：角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.用符號(hào)語言表示角的平分線的判定：

若PE⊥AD于點(diǎn)E，PF⊥BD于點(diǎn)F，PE＝PF，則PD平分∠ADB3、角的平分線的尺規(guī)作圖角平分線的尺規(guī)作圖步驟：（1）以O(shè)為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，交OA于D，交OB于E.

（2）分別以D、E為圓心，大于DE的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧在∠AOB內(nèi)部交于點(diǎn)C.

（3）畫射線OC，射線OC即為所求.4、三角形的角平分線：三角形的三個(gè)內(nèi)角的角平分線交于一點(diǎn)，且到三邊的距離相等。角平分線的性質(zhì)定理與判定定理的區(qū)別與聯(lián)系：角平分線的性質(zhì)定理中的題設(shè)“在角的平分線上的點(diǎn)”，這個(gè)點(diǎn)不是一個(gè)點(diǎn)，實(shí)際上是指角平分線上的任意一點(diǎn)，或者說是角平分線上的所有點(diǎn)都具有“到角兩邊的距離相等”的性質(zhì)。角平分線的性質(zhì)定理與判定定理是兩個(gè)互逆定理，是兩個(gè)互逆的真命題。要從題設(shè)、條件與結(jié)論的關(guān)系上理解它們的區(qū)別和聯(lián)系。點(diǎn)在角平分線上點(diǎn)到這個(gè)叫的兩邊的距離相等。角平分線的性質(zhì)定理與判定定理在應(yīng)用時(shí)的作用不同。性質(zhì)定理的結(jié)論是確定點(diǎn)到角的兩邊的距離相等的問題。判定定理的結(jié)論是判定點(diǎn)是否在角平分線上的問題。【例1】★如圖，點(diǎn)P在∠AOB內(nèi)，因?yàn)镻M⊥OA，PN⊥OB，垂足分別是M、N，PM＝PN，所以O(shè)P平分∠AOB，理由是．【例2】★如圖，BD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，垂足為E，AB＝6，BC＝4，DE＝2，則△ABC的面積為（）A．4 B．6 C．8 D．10【例3】★如圖，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB于E，若AB＝18，AC＝12，△ABC的面積等于30，則DE＝．【例4】★（2020?南京）如圖，線段AB、BC的垂直平分線11、l2相交于點(diǎn)O，若∠1＝39°，則∠AOC＝．【例5】★如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，以點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交AB、AC于點(diǎn)D，E，再分別以點(diǎn)D、E為圓心，大于DE為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)F，作射線AF交邊BC于點(diǎn)G，若BG＝1，AC＝4，則△ACG的面積是（）A．1 B． C．2 D．【例6】★如圖，△ABC中，∠ABC＝30°，∠ACB＝50°，DE、FG分別為AB、AC的垂直平分線，E、G分別為垂足．（1）求∠DAF的度數(shù)；（2）若△DAF的周長(zhǎng)為10，求BC的長(zhǎng)．【例7】★★（1）班同學(xué)上數(shù)學(xué)活動(dòng)課，利用角尺平分一個(gè)角（如圖所示）．設(shè)計(jì)了如下方案：

（Ⅰ）∠AOB是一個(gè)任意角，將角尺的直角頂點(diǎn)P介于射線OA、OB之間，移動(dòng)角尺使角尺兩邊相同的刻度與M、N重合，即PM=PN，過角尺頂點(diǎn)P的射線OP就是∠AOB的平分線．

（Ⅱ）∠AOB是一個(gè)任意角，在邊OA、OB上分別取OM=ON，將角尺的直角頂點(diǎn)P介于射線OA、OB之間，移動(dòng)角尺使角尺兩邊相同的刻度與M、N重合，即PM=PN，過角尺頂點(diǎn)P的射線OP就是∠AOB的平分線．

（1）方案（Ⅰ）、方案（Ⅱ）是否可行？若可行，請(qǐng)證明；若不可行，請(qǐng)說明理由；

（2）在方案（Ⅰ）PM=PN的情況下，繼續(xù)移動(dòng)角尺，同時(shí)使PM⊥OA，PN⊥OB．此方案是否可行？請(qǐng)說明理由．【例8】★★已知如圖，在△ABC中，∠B=60°，AD、CE是△ABC的角平分線，并且它們交于點(diǎn)O，

（1）求：∠AOC的度數(shù)；

（2）求證：AC=AE+CD．【例9】★★如圖，在△ABC中，∠BAC=60°，∠ACB=40°，P、Q分別在BC、CA上，并且AP、BQ分別是∠BAC、∠ABC的角平分線．求證：

（1）BQ=CQ；

（2）BQ+AQ=AB+BP．【亮點(diǎn)訓(xùn)練】1．（2022·全國·八年級(jí)）如圖，是的三條角平分線的交點(diǎn)，連接、、，若面積分別為、、，則（

）A． B． C． D．無法確定與的大小2．（2022·全國·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以頂點(diǎn)A為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交AC，AB邊于點(diǎn)M，N，再分別以點(diǎn)M，N為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P，作射線AP交BC邊于點(diǎn)D，若BD＝5，則CD的長(zhǎng)可能是（

）A．7 B．6 C．5 D．43．（2022·遼寧本溪·八年級(jí)期中）如圖，在中，，是的角平分線，若，，則的面積是（

）A．24 B．12 C．15 D．104．（2022·廣東·化州市第一中學(xué)八年級(jí)期中）如圖，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB于點(diǎn)E，S△ABC＝9，DE＝2，AB＝5，則AC的長(zhǎng)是（

）A．2 B．3 C．4 D．55．（2022·云南紅河·八年級(jí)期末）如圖，的平分線與的垂直平分線相交于點(diǎn)，，，垂足分別為，，，則的值為（

）A．1 B． C．2 D．36．（2022·湖南郴州·中考真題）如圖．在中，，．以點(diǎn)A為圓心，以任意長(zhǎng)為半徑作弧交AB，AC于D，E兩點(diǎn)；分別以點(diǎn)D，E為圓心，以大于長(zhǎng)為半徑作弧，在內(nèi)兩弧相交于點(diǎn)P；作射線AP交BC于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作，垂足用G．若，則的周長(zhǎng)等于________cm．7．（2022·全國·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在中，，AD是的角平分線，過點(diǎn)D作，若，則______．8．（2022·全國·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，AC平分∠DAB，，，若△ACD的面積為16，則△ABC的面積為________．9．（2022·江蘇無錫·模擬預(yù)測(cè)）如圖，平分，于點(diǎn)，，點(diǎn)是射線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若，則的取值范圍是______．10．（2022·黑龍江哈爾濱·三模）如圖，在△ABC中，高AE交BC于點(diǎn)E，若，，△ABC的面積為10，則AB的長(zhǎng)為___________．11．（2022·廣東·中考真題）如圖，已知，點(diǎn)P在上，，，垂足分別為D，E．求證：．12．（2022·陜西·交大附中分校八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB=AC，過頂點(diǎn)A作AD⊥BC交BC于點(diǎn)D．請(qǐng)用尺規(guī)作圖法在AD邊上求作一點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到AB的距離等于PD的長(zhǎng)．（保留作圖痕跡，不寫作法）13．（2022·云南·紅河縣教育科學(xué)研究室八年級(jí)期末）如圖，在中，，AD是的平分線，，垂足為點(diǎn)E．若，，求BE的長(zhǎng)．14．（2022·山東·青島三十九中八年級(jí)期中）如圖，在中，，是的平分線，于，在上，且．(1)求證：；(2)若，，不用寫過程直接給出的值．15．（2022·全國·八年級(jí)）如圖，在中，的平分線與的外角的平分線交于點(diǎn)，于點(diǎn)，，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．(1)若點(diǎn)到直線的距離為5cm，求點(diǎn)到直線的距離；(2)求證：點(diǎn)在的平分線上．【培優(yōu)檢測(cè)】1．（2022·全國·八年級(jí)）如圖，已知△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB，交BC于點(diǎn)D，DE⊥AB于點(diǎn)E，且AB＝10，則△DEB的周長(zhǎng)為（）A．9 B．5 C．10 D．不能確定2．（2022·四川南充·中考真題）如圖，在中，的平分線交于點(diǎn)D，DE//AB，交于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A． B． C． D．3．（2022·山東濟(jì)南·一模）如圖，在中，，以頂點(diǎn)為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交，于點(diǎn)，，再分別以點(diǎn)，為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)，作射線交邊于點(diǎn)，點(diǎn)在上．若，，，當(dāng)最小時(shí)，的面積是（

）A．2 B．1 C．6 D．74．（2022·河南周口·八年級(jí)期末）如圖，的三條角平分線交于點(diǎn)，邊、、的長(zhǎng)分別是40、30、20，則等于（

）A． B． C． D．5．（2022·重慶長(zhǎng)壽·八年級(jí)期末）如圖，已知，AP平分∠DAB，BP平分∠ABC，點(diǎn)P恰好在CD上，則下面結(jié)論：①；②點(diǎn)P到AD、BC的距離相等；③PD＝PC；④AD＋BC＝AB；⑤PA＝PB．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（

）A．2 B．3 C．4 D．56．（2022·廣東梅州·八年級(jí)期中）如圖，在△ABC中，，AD平分∠BAC，交BC于點(diǎn)D．若，，則△ABD的面積為_________．7．（2022·全國·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠B＝47°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分線交于點(diǎn)E，則∠ABE＝_____°．8．（2022·廣東茂名·八年級(jí)期中）如圖，Rt△ABC的兩直角邊AB，BC長(zhǎng)分別為6，8，其三條角平分線交于點(diǎn)O，將△ABC分為三個(gè)三角形，則S△ABO：S△BCO：S△CAO=______________．9．（2022·山東菏澤·八年級(jí)期末）已知，如圖DC平分，DB平分的外角，若，則__________．10．（2022·河南商丘·八年級(jí)期末）如圖，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分線AE、BF相交于點(diǎn)O，AE交BC于點(diǎn)E，BF交AC于點(diǎn)F，過點(diǎn)O作OD⊥BC于點(diǎn)D，則下列三個(gè)結(jié)論：①∠AOB＝90°+∠C；②當(dāng)∠C＝60°時(shí)，AF+BE＝AB；③若OD＝a，AB+BC+CA＝2b，則S△ABC＝ab．其中正確的是_____．11．（2022·廣東·化州市第一中學(xué)八年級(jí)期中）如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于點(diǎn)E，點(diǎn)F在AC上，BD＝DF．(1)求證：CF＝EB；(2)若AB＝12，AF＝8，求CF的長(zhǎng)．12．（2022·全國·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，AC平分∠BCD，AE⊥BC于E，AF⊥CD交CD的延長(zhǎng)線于F．(1)求證：△ABE≌△ADF；(2)若BC=8cm，DF=3cm，求CD的長(zhǎng)．13．（2022·山西臨汾·八年級(jí)期末）教材呈現(xiàn)：如圖是華師版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)教材第96頁的部分內(nèi)容．請(qǐng)根據(jù)教材中的分析，(1)結(jié)合圖①，寫出“角平分線的性質(zhì)定理”完整的證明過程．(2)定理應(yīng)用：如圖②，點(diǎn)P是的角平分線上一點(diǎn)，，垂足為點(diǎn)D，且，點(diǎn)M是射線上一動(dòng)點(diǎn)，求的最小值．14．（2022·全國·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知，點(diǎn)C在的平分線上，點(diǎn)B、D分別在、上，連接、．(1)如圖1，若，請(qǐng)直接寫出線段與的數(shù)量關(guān)系；(2)如圖2，，鄭么（1）中探究的結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)給出證明：若不成立，請(qǐng)說明理由．15．（2021·重慶·七年級(jí)階段練習(xí)）如圖，已知AM∥BN，∠A＝60°，點(diǎn)P是射線AM上一動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)A不重合），BC、BD分別平分∠ABP和∠PBN，分別交射線AM于點(diǎn)C、D．(1)∠CBD＝_____；(2)若點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到某處時(shí)，恰有∠ACB＝∠ABD，此時(shí)AB與BD有何位置關(guān)系？請(qǐng)說明理由．(3)在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過程中，∠APB與∠ADB之間的關(guān)系是否發(fā)生變化？若不變，請(qǐng)寫出它們的關(guān)系并說明理由；若變化，請(qǐng)寫出變化規(guī)律．專題2.2角平分線的性質(zhì)與判定【教學(xué)目標(biāo)】1、利用尺規(guī)作已知角的平分線的方法；2、理解角的平分線的性質(zhì)并初步運(yùn)用?！窘虒W(xué)重難點(diǎn)】1、掌握角平分線的尺規(guī)作圖；2、理解角的平分線的性質(zhì)并初步運(yùn)用；3、對(duì)角平分線的性質(zhì)定理中點(diǎn)到角兩邊的距離的理解?！局R(shí)亮解】知識(shí)點(diǎn)角平分線的性質(zhì)與判定角的平分線的性質(zhì)：角的平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等.用符號(hào)語言表示角的平分線的性質(zhì)定理：

若CD平分∠ADB，點(diǎn)P是CD上一點(diǎn)，且PE⊥AD于點(diǎn)E，PF⊥BD于點(diǎn)F，則PE＝PF.2、角的平分線的判定：角平分線的判定：角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.用符號(hào)語言表示角的平分線的判定：

若PE⊥AD于點(diǎn)E，PF⊥BD于點(diǎn)F，PE＝PF，則PD平分∠ADB3、角的平分線的尺規(guī)作圖角平分線的尺規(guī)作圖步驟：（1）以O(shè)為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，交OA于D，交OB于E.

（2）分別以D、E為圓心，大于DE的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧在∠AOB內(nèi)部交于點(diǎn)C.

（3）畫射線OC，射線OC即為所求.4、三角形的角平分線：三角形的三個(gè)內(nèi)角的角平分線交于一點(diǎn)，且到三邊的距離相等。角平分線的性質(zhì)定理與判定定理的區(qū)別與聯(lián)系：角平分線的性質(zhì)定理中的題設(shè)“在角的平分線上的點(diǎn)”，這個(gè)點(diǎn)不是一個(gè)點(diǎn)，實(shí)際上是指角平分線上的任意一點(diǎn)，或者說是角平分線上的所有點(diǎn)都具有“到角兩邊的距離相等”的性質(zhì)。角平分線的性質(zhì)定理與判定定理是兩個(gè)互逆定理，是兩個(gè)互逆的真命題。要從題設(shè)、條件與結(jié)論的關(guān)系上理解它們的區(qū)別和聯(lián)系。點(diǎn)在角平分線上點(diǎn)到這個(gè)叫的兩邊的距離相等。角平分線的性質(zhì)定理與判定定理在應(yīng)用時(shí)的作用不同。性質(zhì)定理的結(jié)論是確定點(diǎn)到角的兩邊的距離相等的問題。判定定理的結(jié)論是判定點(diǎn)是否在角平分線上的問題?！纠?】★如圖，點(diǎn)P在∠AOB內(nèi)，因?yàn)镻M⊥OA，PN⊥OB，垂足分別是M、N，PM＝PN，所以O(shè)P平分∠AOB，理由是．【分析】由在角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上，可求解．【解析】∵PM⊥OA，PN⊥OB，PM＝PN，∴OPOP平分∠AOB，（在角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上）故答案為：在角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上．【例2】★如圖，BD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，垂足為E，AB＝6，BC＝4，DE＝2，則△ABC的面積為（）A．4 B．6 C．8 D．10【分析】作DF⊥BC于F，如圖，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到DF＝DE＝2，然后根據(jù)三角形面積公式，利用S△ABC＝S△ABD+S△BCD進(jìn)行計(jì)算．【解析】作DF⊥BC于F，如圖，∵BD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，DF⊥BC，∴DF＝DE＝2，∴S△ABC＝S△ABD+S△BCD6×24×2＝10．故選：D．【例3】★如圖，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB于E，若AB＝18，AC＝12，△ABC的面積等于30，則DE＝．【分析】作DF⊥AC于F，如圖，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到DF＝DE，再利用三角形面積公式得到DE×18DF×12＝30，然后解方程即可．【解析】過點(diǎn)D作DF⊥AC于F，如圖，∵AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DF＝DE，∵S△ABD+S△ACD＝S△ABC，∴DE×18DF×12＝30，即9DE+6DE＝30，∴DE＝2．故答案為2．【例4】★（2020?南京）如圖，線段AB、BC的垂直平分線11、l2相交于點(diǎn)O，若∠1＝39°，則∠AOC＝．【分析】過O作射線BP，根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得AO＝OB＝OC和∠BDO＝∠BEO＝90°，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和為360°得∠DOE+∠ABC＝180°，根據(jù)外角的性質(zhì)得∠AOP＝∠A+∠ABO，∠COP＝∠C+∠OBC，相加可得結(jié)論．【解析】過O作射線BP，∵線段AB、BC的垂直平分線11、l2相交于點(diǎn)O，∴AO＝OB＝OC，∠BDO＝∠BEO＝90°，∴∠DOE+∠ABC＝180°，∵∠DOE+∠1＝180°，∴∠ABC＝∠1＝39°，∵OA＝OB＝OC，∴∠A＝∠ABO，∠OBC＝∠C，∵∠AOP＝∠A+∠ABO，∠COP＝∠C+∠OBC，∴∠AOC＝∠AOP+∠COP＝∠A+∠ABC+∠C＝2×39°＝78°，故答案為：78°．【例5】★如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，以點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交AB、AC于點(diǎn)D，E，再分別以點(diǎn)D、E為圓心，大于DE為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)F，作射線AF交邊BC于點(diǎn)G，若BG＝1，AC＝4，則△ACG的面積是（）A．1 B． C．2 D．【答案】C【解析】利用基本作圖得到AG平分∠BAC，利用角平分線的性質(zhì)得到G點(diǎn)到AC的距離為1，然后根據(jù)三角形面積公式計(jì)算△ACG的面積．由作法得AG平分∠BAC，∴G點(diǎn)到AC的距離等于BG的長(zhǎng)，即G點(diǎn)到AC的距離為1，所以△ACG的面積＝×4×1＝2．【例6】★如圖，△ABC中，∠ABC＝30°，∠ACB＝50°，DE、FG分別為AB、AC的垂直平分線，E、G分別為垂足．（1）求∠DAF的度數(shù)；（2）若△DAF的周長(zhǎng)為10，求BC的長(zhǎng)．【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠BAC，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到DA＝DB，F(xiàn)A＝FC，得到∠DAB＝∠ABC＝30°，∠FAC＝∠ACB＝50°，結(jié)合圖形計(jì)算，得到答案；（2）根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公式計(jì)算即可．【解析】（1）∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣30°﹣50°＝100°，∵DE是AB的垂直平分線，∴DA＝DB，∴∠DAB＝∠ABC＝30°，∵FG是AC的垂直平分線，∴FA＝FC，∴∠FAC＝∠ACB＝50°，∴∠DAF＝∠BAC﹣（∠DAB+∠FAC）＝20°；（2）∵△DAF的周長(zhǎng)為10，∴AD+DF+FC＝10，∴BC＝BD+DF+FC＝AD+DF+FC＝10．【例7】★★（1）班同學(xué)上數(shù)學(xué)活動(dòng)課，利用角尺平分一個(gè)角（如圖所示）．設(shè)計(jì)了如下方案：

（Ⅰ）∠AOB是一個(gè)任意角，將角尺的直角頂點(diǎn)P介于射線OA、OB之間，移動(dòng)角尺使角尺兩邊相同的刻度與M、N重合，即PM=PN，過角尺頂點(diǎn)P的射線OP就是∠AOB的平分線．

（Ⅱ）∠AOB是一個(gè)任意角，在邊OA、OB上分別取OM=ON，將角尺的直角頂點(diǎn)P介于射線OA、OB之間，移動(dòng)角尺使角尺兩邊相同的刻度與M、N重合，即PM=PN，過角尺頂點(diǎn)P的射線OP就是∠AOB的平分線．

（1）方案（Ⅰ）、方案（Ⅱ）是否可行？若可行，請(qǐng)證明；若不可行，請(qǐng)說明理由；

（2）在方案（Ⅰ）PM=PN的情況下，繼續(xù)移動(dòng)角尺，同時(shí)使PM⊥OA，PN⊥OB．此方案是否可行？請(qǐng)說明理由．【解析】（1）方案（Ⅰ）中判定PM=PN并不能判斷P就是∠AOB的角平分線，關(guān)鍵是缺少△OPM≌△OPN的條件，只有“邊邊”的條件；

方案（Ⅱ）中△OPM和△OPN是全等三角形（三邊相等），則∠MOP=∠NOP，所以O(shè)P為∠AOB的角平分線；（2）可行．此時(shí)△OPM和△OPN都是直角三角形，可以利用HL證明它們?nèi)?，然后利用全等三角形的性質(zhì)即可證明OP為∠AOB的角平分線．【答案】（1）方案（Ⅰ）不可行．缺少證明三角形全等的條件，

∵只有OP=OP，PM=PN不能判斷△OPM≌△OPN，∴就不能判定OP就是∠AOB的平分線；

方案（Ⅱ）可行．證明：在△OPM和△OPN中，，∴△OPM≌△OPN（SSS），∴∠AOP=∠BOP（全等三角形對(duì)應(yīng)角相等），∴OP就是∠AOB的平分線．（2）當(dāng)∠AOB是直角時(shí)，此方案可行；

∵四邊形內(nèi)角和為360°，∠OMP=∠ONP=90°，∠MPN=90°，∴∠AOB=90°，

∵PM=PN，∴OP為∠AOB的平分線．（到角兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的角平分線上），

當(dāng)∠AOB不為直角時(shí)，此方案不可行；

因?yàn)椤螦OB必為90°，如果不是90°，則不能找到同時(shí)使PM⊥OA，PN⊥OB的點(diǎn)P的位置．點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，是一個(gè)開放性試題，可以提高學(xué)生解決實(shí)際的能力．【例8】★★已知如圖，在△ABC中，∠B=60°，AD、CE是△ABC的角平分線，并且它們交于點(diǎn)O，

（1）求：∠AOC的度數(shù)；

（2）求證：AC=AE+CD．【解析】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠BAC+∠ACB，再根據(jù)角平分線的定義求出∠OAC+∠OCA，然后在△AOC中，利用三角形的內(nèi)角和定理列式計(jì)算即可得解；

（2）在AC上截取AF=AE，利用“邊角邊”證明△AOE和△AOF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠AOF=∠AOE，根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義求出∠AOE=60°，再求出∠COF=60°，然后求出∠COD=∠COF，然后利用“角邊角”證明△COD和△COF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得CF=CD，再根據(jù)AC=AF+CF整理即可得證．【答案】（1）∵∠B=60°，∴∠BAC+∠ACB=180°-60°=120°，

∵AD、CE是△ABC的角平分線，在△AOC中，∠AOC=180°-（∠OAC+∠OCA）=180°-60°=120°；（2）證明：如圖，在AC上截取AF=AE，∵AD是△ABC的角平分線，∴∠OAE=∠OAF，

在△AOE和△AOF中，，∴△AOE≌△AOF（SAS），∴∠AOF=∠AOE，∵∠AOE=180°-∠AOC=180°-120°=60°，∴∠AOF=60°，∵∠COF=∠AOC-∠AOF=120°-60°=60°，∠COD=∠AOE=60°，∴∠COD=∠COF，∵CE是△ABC的平分線，∴∠OCD=∠OCF，

在△COD和△COF中，∴△COD≌△COF（ASA），∴CF=CD，∵AC=AF+CF，∴AC=AE+CD．【例9】★★如圖，在△ABC中，∠BAC=60°，∠ACB=40°，P、Q分別在BC、CA上，并且AP、BQ分別是∠BAC、∠ABC的角平分線．求證：

（1）BQ=CQ；

（2）BQ+AQ=AB+BP．【解析】（1）由三角形的內(nèi)角和就可以得出∠ABC=80°，再由角平分線就可以得出∠QBC=40°，就有∠QBC=∠C而得出結(jié)論；

（2）延長(zhǎng)AB至M，使得BM=BP，連結(jié)MP，根據(jù)條件就可以得出∠M=∠C，進(jìn)而證明△AMP≌△ACP可以得出結(jié)論．【答案】證明：（1）∵BQ是∠ABC的角平分線，∴∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，且∠BAC=60°，∠ACB=40°，∴∠ABC=80°，∴，∴∠QBC=∠C，∴BQ=CQ；

（2）延長(zhǎng)AB至M，使得BM=BP，連結(jié)MP．∴∠M=∠BPM，

∵△ABC中∠BAC=60°，∠C=40°，∴∠ABC=80°，

∵BQ平分∠ABC，∴∠QBC=40°=∠C，∴BQ=CQ，

∵∠ABC=∠M+∠BPM，∴∠M=∠BPM=40°=∠C，

∵AP平分∠BAC，∴∠MAP=∠CAP，

在△AMP和△ACP中，，∴△AMP≌△ACP，∴AM=AC，

∵AM=AB+BM=AB+BP，AC=AQ+QC=AQ+BQ，∴AB+BP=AQ+BQ．【亮點(diǎn)訓(xùn)練】1．（2022·全國·八年級(jí)）如圖，是的三條角平分線的交點(diǎn)，連接、、，若面積分別為、、，則（

）A． B． C． D．無法確定與的大小【答案】A【解析】【分析】過點(diǎn)作于，于，于，如圖，利用角平分線的性質(zhì)得到，再利用三角形面積公式得到，，，然后根據(jù)三角形三邊的關(guān)系求解．【詳解】解：過點(diǎn)作于，于，于，如圖，是的三條角平分線的交點(diǎn)，，，，，，，．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的性質(zhì)，三角形面積，熟練掌握解平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2022·全國·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以頂點(diǎn)A為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交AC，AB邊于點(diǎn)M，N，再分別以點(diǎn)M，N為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P，作射線AP交BC邊于點(diǎn)D，若BD＝5，則CD的長(zhǎng)可能是（

）A．7 B．6 C．5 D．4【答案】D【解析】【分析】過點(diǎn)作，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離垂線段最短可得即可求解．【詳解】由作圖可知，是的角平分線，過點(diǎn)作，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離垂線段最短可得故選D【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，垂線段最短，理解題意，是的角平分線是解題的關(guān)鍵．3．（2022·遼寧本溪·八年級(jí)期中）如圖，在中，，是的角平分線，若，，則的面積是（

）A．24 B．12 C．15 D．10【答案】B【解析】【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)計(jì)算出的高DE，從而計(jì)算出的面積．【詳解】過點(diǎn)D做于點(diǎn)E，如圖∵∴∵，，且是的角平分線∴∵∴故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握角平分線的性質(zhì)并作出輔助線，從而完成求解．4．（2022·廣東·化州市第一中學(xué)八年級(jí)期中）如圖，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB于點(diǎn)E，S△ABC＝9，DE＝2，AB＝5，則AC的長(zhǎng)是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解析】【分析】過D作DF⊥AC于點(diǎn)F，首先根據(jù)角平分線的性質(zhì)可求出DF，再根據(jù)三角形面積公式求出△ABD的面積，即可求出△ADC面積，據(jù)此即可求出答案．【詳解】解：如圖：過D作DF⊥AC于點(diǎn)F，∵AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，∴DE=DF=2，，△ABC的面積為9，∴△ADC的面積為9?5=4，∴，∴AC=4，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是角平分線的性質(zhì)，熟知角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等是解答此題的關(guān)鍵．5．（2022·云南紅河·八年級(jí)期末）如圖，的平分線與的垂直平分線相交于點(diǎn)，，，垂足分別為，，，則的值為（

）A．1 B． C．2 D．3【答案】D【解析】【分析】首先連接CD，BD，由∠BAC的平分線與BC的垂直平分線相交于點(diǎn)D，DE⊥AB，DF⊥AC，根據(jù)角平分線的性質(zhì)與線段垂直平分線的性質(zhì)，易得CD=BD，DF=DE，繼而可得AF=AE，易證得Rt△CDF≌Rt△BDE，則可得BE=CF，繼而求得答案．【詳解】如圖，連接CD，BD，∵AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DF=DE，∠F=∠DEB=90°，∠ADF=∠ADE，∴AE=AF，∵DG是BC的垂直平分線，∴CD=BD，在Rt△CDF和Rt△BDE中，，∴Rt△CDF≌Rt△BDE（HL），∴BE=CF，∴AB=AE+BE=AF+BE=AC+CF+BE=AC+2BE，∵AB=11cm，AC=5cm，∴BE=3cm．故應(yīng)選D．【點(diǎn)睛】此題考查線段垂直平分線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)．解題關(guān)鍵在于注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．6．（2022·湖南郴州·中考真題）如圖．在中，，．以點(diǎn)A為圓心，以任意長(zhǎng)為半徑作弧交AB，AC于D，E兩點(diǎn)；分別以點(diǎn)D，E為圓心，以大于長(zhǎng)為半徑作弧，在內(nèi)兩弧相交于點(diǎn)P；作射線AP交BC于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作，垂足用G．若，則的周長(zhǎng)等于________cm．【答案】8【解析】【分析】由角平分線的性質(zhì)，得到，然后求出的周長(zhǎng)即可．【詳解】解：根據(jù)題意，在中，，，由角平分線的性質(zhì)，得，∴的周長(zhǎng)為：；故答案為：8【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握角平分線的性質(zhì)．7．（2022·全國·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在中，，AD是的角平分線，過點(diǎn)D作，若，則______．【答案】7【解析】【分析】先利用角平分線性質(zhì)證明CD=DE，再求出的值即可．【詳解】解：∵AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，，DE⊥AB，∴CD=ED．∵，∴BD+CD=7，∴，故答案為：7．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握角平分線的性質(zhì)．8．（2022·全國·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，AC平分∠DAB，，，若△ACD的面積為16，則△ABC的面積為________．【答案】12【解析】【分析】過點(diǎn)C作CE⊥AB于E，過點(diǎn)C作CF⊥AD于F，由角平分線的性質(zhì)可得CE=CF，由△ACD的面積和底求得高CF的值，便可解答；【詳解】解：如圖，過點(diǎn)C作CE⊥AB于E，過點(diǎn)C作CF⊥AD于F，∵AC平分∠DAB，CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE=CF，∵AD=8，△ACD面積=16，∴CF=4，∵AB=6，CE=CF=4，∴△ACB面積=12，故答案為：12；【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)（角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等）；掌握角平分線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．9．（2022·江蘇無錫·模擬預(yù)測(cè)）如圖，平分，于點(diǎn)，，點(diǎn)是射線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若，則的取值范圍是______．【答案】【解析】【詳解】解：如圖，過點(diǎn)P作PB⊥OM于B，∵平分，，PB⊥OM，∴PB=PA=3，∵點(diǎn)是射線上一個(gè)任意點(diǎn)，∴PQ≥PB，∴m≥3，故答案為：m≥3．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的性質(zhì)，垂直線段最短，解題的關(guān)鍵是熟練作PB⊥OM于B，證得PB=PA=3．10．（2022·黑龍江哈爾濱·三模）如圖，在△ABC中，高AE交BC于點(diǎn)E，若，，△ABC的面積為10，則AB的長(zhǎng)為___________．【答案】4【解析】【分析】以AC為邊，點(diǎn)C為頂點(diǎn)作，延長(zhǎng)BA與CD交于點(diǎn)D，先通過角度等量代換證明，再依據(jù)角平分線的性質(zhì)證明，進(jìn)而證明，得出，最后利用三角形面積公式即可求解．【詳解】解：如圖，以AC為邊，點(diǎn)C為頂點(diǎn)作，延長(zhǎng)BA與CD交于點(diǎn)D，則，∵，∴，即，∴，∵，，AC平分，∴．在和中，，，∴，∴，∴，∴，∴．故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形面積公式等，通過作輔助線構(gòu)造是解題的關(guān)鍵．11．（2022·廣東·中考真題）如圖，已知，點(diǎn)P在上，，，垂足分別為D，E．求證：．【答案】見解析【解析】【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)得，再用HL證明．【詳解】證明：∵，∴為的角平分線，又∵點(diǎn)P在上，，，∴，，又∵（公共邊），∴．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定，利用合適的條件證明三角形全等是本題的關(guān)鍵．12．（2022·陜西·交大附中分校八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB=AC，過頂點(diǎn)A作AD⊥BC交BC于點(diǎn)D．請(qǐng)用尺規(guī)作圖法在AD邊上求作一點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到AB的距離等于PD的長(zhǎng)．（保留作圖痕跡，不寫作法）【答案】見解析【解析】【分析】作∠ABC的角平分線交AD于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求，根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理可得到點(diǎn)P到AB的距離等于PD的長(zhǎng)．【詳解】解：如圖，點(diǎn)P即為所求．．【點(diǎn)睛】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，角平分線的性質(zhì)定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．13．（2022·云南·紅河縣教育科學(xué)研究室八年級(jí)期末）如圖，在中，，AD是的平分線，，垂足為點(diǎn)E．若，，求BE的長(zhǎng)．【答案】【解析】【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)可知CD=DE，再證明≌R（HL），即可得到AE=AC，則問題得解．【詳解】解：∵AD是的平分線，，，∴，在和中，，∴≌R（HL），∴．∵，，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，利用角平分線的性質(zhì)得到CD=DE是解答本題的關(guān)鍵．14．（2022·山東·青島三十九中八年級(jí)期中）如圖，在中，，是的平分線，于，在上，且．(1)求證：；(2)若，，不用寫過程直接給出的值．【答案】(1)見解析(2)1【解析】【分析】（1）根據(jù)，是的平分線，于，得到DE=DC，結(jié)合，證明△CDF≌△EDB即可．（1）先證明△CDA≌△EDA，得到AE=AC=AF+CF=AF+BE，結(jié)合AB=AE+BE=AF+BE+BE，代入計(jì)算即可．(1)∵，是的平分線，于，∴DE=DC，∵，∴△CDF≌△EDB，∴．(2)∵，是的平分線，于，∴DE=DC，∵，∴△CDA≌△EDA，∴AE=AC=AF+CF=AF+BE，∴AB=AE+BE=AF+BE+BE，∴8=6+BE+BE，解得BE=1，故CF=1．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)定理，三角形全等的判定和性質(zhì)，熟練掌握三角形全等的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．15．（2022·全國·八年級(jí)）如圖，在中，的平分線與的外角的平分線交于點(diǎn)，于點(diǎn)，，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．(1)若點(diǎn)到直線的距離為5cm，求點(diǎn)到直線的距離；(2)求證：點(diǎn)在的平分線上．【答案】(1)5cm；(2)見解析．【解析】【分析】（1）過點(diǎn)作于，根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可解答；（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到，進(jìn)而得到，根據(jù)角平分線的判定定理即可證明．(1)解：過點(diǎn)作于，點(diǎn)在的平分線，，，cm，即點(diǎn)到直線的距離為；(2)證明：點(diǎn)在的平分線，，，，同理：，，，，點(diǎn)在的平分線上．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)與判定，熟知角平分線的性質(zhì)定理和判定定理，根據(jù)題意添加輔助線是解題關(guān)鍵．【培優(yōu)檢測(cè)】1．（2022·全國·八年級(jí)）如圖，已知△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB，交BC于點(diǎn)D，DE⊥AB于點(diǎn)E，且AB＝10，則△DEB的周長(zhǎng)為（）A．9 B．5 C．10 D．不能確定【答案】C【解析】【分析】先利用角平分線的性質(zhì)得到DE＝DC，再證明Rt△ACD≌Rt△AED得到AC＝AE，然后利用等線段代換得到△DEB的周長(zhǎng)＝AB．【詳解】∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE＝DC，在Rt△ACD和Rt△AED中∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AC＝AE，∵AC＝BC，∴BC＝AE，∴△DEB的周長(zhǎng)＝BD+DE+BE＝BD+CD+BE＝BC+BE＝AE+BE＝AB＝10．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是利用全等把所求的三角形的周長(zhǎng)的各邊整理到已知的線段上，難度適中．2．（2022·四川南充·中考真題）如圖，在中，的平分線交于點(diǎn)D，DE//AB，交于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到CD=DF=3，故B正確；根據(jù)平行線的性質(zhì)及角平分線得到AE=DE=5，故C正確；由此判斷D正確；再證明△BDF≌△DEC，求出BF=CD=3，故A錯(cuò)誤．【詳解】解：在中，的平分線交于點(diǎn)D，，∴CD=DF=3，故B正確；∵DE=5，∴CE=4，∵DE//AB，∴∠ADE=∠DAF，∵∠CAD=∠BAD，∴∠CAD=∠ADE，∴AE=DE=5，故C正確；∴AC=AE+CE=9，故D正確；∵∠B=∠CDE，∠BFD=∠C=90°，CD=DF，∴△BDF≌△DEC，

∴BF=CD=3，故A錯(cuò)誤；故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查了角平分線的性質(zhì)定理，平行線的性質(zhì)，等邊對(duì)等角證明角相等，全等三角形的判定及性質(zhì)，熟記各知識(shí)點(diǎn)并綜合應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．3．（2022·山東濟(jì)南·一模）如圖，在中，，以頂點(diǎn)為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交，于點(diǎn)，，再分別以點(diǎn)，為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)，作射線交邊于點(diǎn)，點(diǎn)在上．若，，，當(dāng)最小時(shí)，的面積是（

）A．2 B．1 C．6 D．7【答案】B【解析】【分析】由點(diǎn)為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，最短時(shí)，如圖，由題意知，是的角平分線，由角平分線的性質(zhì)可得，證明，則有，由求出的值，根據(jù)計(jì)算求解即可．【詳解】解：由點(diǎn)為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，最短時(shí)，，如圖，由基本尺規(guī)作圖可知，是的角平分線，∵，，∴，在和中∵∴∴，∴，∴故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的作法，角平分線的性質(zhì)，垂線段最短，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用．4．（2022·河南周口·八年級(jí)期末）如圖，的三條角平分線交于點(diǎn)，邊、、的長(zhǎng)分別是40、30、20，則等于（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】過O分別作OE⊥CB，F(xiàn)O⊥AB，OD⊥AC，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得EO＝DO＝FO，再根據(jù)三角形的面積公式可得S△ABO：S△BCO：S△CAO＝40：30：20＝4：3：2．【詳解】解：過O分別作OE⊥CB，F(xiàn)O⊥AB，OD⊥AC，∵BO是∠ABC平分線，∴EO＝FO，∵CO是∠ACB平分線，∴EO＝DO，∴EO＝DO＝FO，∵S△ABO＝AB?FO，S△BCO＝CB?EO，S△CAO＝AC?DO，∴S△ABO：S△BCO：S△CAO＝40：30：20＝4：3：2．故選：B【點(diǎn)睛】此題主要考查了角平分線的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等．5．（2022·重慶長(zhǎng)壽·八年級(jí)期末）如圖，已知，AP平分∠DAB，BP平分∠ABC，點(diǎn)P恰好在CD上，則下面結(jié)論：①；②點(diǎn)P到AD、BC的距離相等；③PD＝PC；④AD＋BC＝AB；⑤PA＝PB．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解析】【分析】由平行線的性質(zhì)及角平分線定義得出∠DAB+∠ABC=180°，∠DAP=∠PAB，∠ABP=∠PBC，那么∠PAB+∠ABP=90°，AP⊥BP，判斷結(jié)論①正確；由AP平分∠DAB，BP平分∠ABC，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出點(diǎn)P到AD、AB、BC的距離相等判斷結(jié)論②正確；延長(zhǎng)AP與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，利用ASA證明△APB≌△EPB，得出AP=EP，再根據(jù)AAS證明△APD≌△EPC，得出PD=PC，AD=EC，判斷結(jié)論③正確；由BP是AE的垂直平分線，得出AB=BE，再根據(jù)BE=EC+BC，AD=EC，判斷結(jié)論④正確；當(dāng)PA＝PB時(shí)，則∠ABP=∠BAP=45°，得到∠BAD=∠ABC=90°，由此判斷⑤錯(cuò)誤．【詳解】解：在四邊形ABCD中，，AP平分∠DAB，BP平分∠ABC，∴∠DAB+∠ABC=180°，∠DAP=∠PAB，∠ABP=∠PBC，∴∠PAB+∠ABP=90°，∴AP⊥BP，故結(jié)論①正確；∵AP平分∠DAB，∴點(diǎn)P到AB、AD的距離相等，∵BP平分∠ABC，∴點(diǎn)P到AB、BC的距離相等，故結(jié)論②正確；如圖，延長(zhǎng)AP與BC交于點(diǎn)E，∵∠APB=∠EPB=90°，BP=BP，∠ABP=∠ЕВР，∴△АP?！铡鳔Η钵?АSА)，∴AP=EP，∵AD∥BC，∴∠D=∠ECP，∠DAP=∠E，∴△APD≌△EPC(AAS)，∴PD=PC，AD=EC，故結(jié)論③正確；∵AP=EP，BP⊥AE，∴BP是AE的垂直平分線，∴AB=BE，∵BE=EC+BC，AD=EC，∴AD+BC=AB，故結(jié)論④正確；當(dāng)PA＝PB時(shí)，則∠ABP=∠BAP=45°，∵AP平分∠DAB，BP平分∠ABC，∴∠BAD=∠ABC=90°，由已知不能確定∠BAD=∠ABC=90°，故不能判斷⑤正確，故⑤錯(cuò)誤；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，平行線的性質(zhì)的運(yùn)用，準(zhǔn)確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．6．（2022·廣東梅州·八年級(jí)期中）如圖，在△ABC中，，AD平分∠BAC，交BC于點(diǎn)D．若，，則△ABD的面積為_________．【答案】44【解析】【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)可以得到CD=DE，根據(jù)BD=6，BC=10，可以得到CD的長(zhǎng)，從而可以得到DE的長(zhǎng)，然后根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算即可．【詳解】解：作DE⊥AB于點(diǎn)E，∵AD平分∠BAC，∠C=9°，∠DEA=90°，∴DC=DE，∵BD=6，BC=10，AB=22，∴CD=BCBD=106=4，∴DE=4，∴△ABD的面積為：，故答案為：44．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的性質(zhì)、三角形的面積、利用數(shù)形結(jié)合的思想解答是解答本題的關(guān)鍵．7．（2022·全國·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠B＝47°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分線交于點(diǎn)E，則∠ABE＝_____°．【答案】23.5##【解析】【分析】首先作EM⊥BD、EN⊥BF、EO⊥AC垂足分別為M、N、O，再利用角平分線的性質(zhì)得出BE為∠ABC的角平分線，即可求解．【詳解】解：作EM⊥BD、EN⊥BF、EO⊥AC垂足分別為M、N、O，如圖所示，∵AE、CE是∠DAC和∠ACF的平分線，∴EM＝EO，EO＝EN，∴EM＝EN，∴BE是∠ABC的角平分線，∴∠ABE＝∠ABC＝23.5°．故答案為：23.5．【點(diǎn)睛】此題考查角平分線的性質(zhì)：在角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上，反之也是成立的．解題關(guān)鍵是利用角平分線的判定定理．8．（2022·廣東茂名·八年級(jí)期中）如圖，Rt△ABC的兩直角邊AB，BC長(zhǎng)分別為6，8，其三條角平分線交于點(diǎn)O，將△ABC分為三個(gè)三角形，則S△ABO：S△BCO：S△CAO=______________．【答案】3：4：5【解析】【詳解】解：如圖：過點(diǎn)O作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，∵三條角平分線將△ABC分為三個(gè)三角形，∴OE＝OF＝OD，∴S△ABO：S△BCO：S△CAO＝?AB?OE：?BC?OF：?AC?OD＝AB：BC：AC＝6：8：10=3：4：5．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，理解角平分線上的點(diǎn)到兩邊距離相等是解答本題的關(guān)鍵.9．（2022·山東菏澤·八年級(jí)期末）已知，如圖DC平分，DB平分的外角，若，則__________．【答案】【解析】【分析】如圖所示，過點(diǎn)D作DG⊥BE交BE延長(zhǎng)線于G，DF⊥AB于F，DH⊥AC交CA延長(zhǎng)線于H，由角平分線的性質(zhì)可得DF=DH，證明Rt△AFD≌Rt△AHD得到∠HAD=∠FAD；然后根據(jù)角平分線的定義和三角形外角的性質(zhì)求出∠BAC=2∠BDC=40°，即可得到答案．【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)D作DG⊥BE交BE延長(zhǎng)線于G，DF⊥AB于F，DH⊥AC交CA延長(zhǎng)線于H，∵CD、BD分別是∠ACB和∠ABE的角平分線，∴DF=DG，DH=DG，∴DF=DH，又∵AD=AD，∴Rt△AFD≌Rt△AHD（HL），∴∠HAD=∠FAD；∵CD、BD分別是∠ACB和∠ABE的角平分線，∴，，∵∠BAC+∠ACB=∠ABE，∠BDC+∠BCD=∠DBE，∴∠BAC+2∠BCD=2∠BCD+2∠BDC，∴∠BAC=2∠BDC=40°，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)與定義，全等三角形的性質(zhì)與判定，三角形外角的性質(zhì)，熟知角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10．（2022·河南商丘·八年級(jí)期末）如圖，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分線AE、BF相交于點(diǎn)O，AE交BC于點(diǎn)E，BF交AC于點(diǎn)F，過點(diǎn)O作OD⊥BC于點(diǎn)D，則下列三個(gè)結(jié)論：①∠AOB＝90°+∠C；②當(dāng)∠C＝60°時(shí)，AF+BE＝AB；③若OD＝a，AB+BC+CA＝2b，則S△ABC＝ab．其中正確的是_____．【答案】①②【解析】【分析】利用角平分線的定義和三角形內(nèi)角和定理可得①正確；構(gòu)造全等三角形，即可確定②正確；利用角平分線性質(zhì)，通過等面積法，分解成三個(gè)三角形表示即可確定③錯(cuò)誤．【詳解】解：∵∠BAC和∠ABC的平分線AE、BF相交于點(diǎn)O，∴∠OBA＝，，∴∠AOB＝180°﹣∠OBA﹣∠OAB＝＝＝＝，故①正確；∵∠C＝60°，∴∠BAC+∠ABC＝120°，∵AE、BF分別平分∠BAC與∠ABC，∴∠OAB+∠OBA＝＝60°，∴∠AOB＝120°，∴∠AOF＝60°，∴∠BOE＝60°，如圖，在AB上取一點(diǎn)H，使BH＝BE，∵BF是∠ABC的角平分線，∴∠HBO＝∠EBO，在△HBO與△EBO中，，∴△HBO≌△EBO（SAS），∴∠BOH＝∠BOE＝60°，∴∠AOH＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠AOH＝∠AOF，在△HAO與△FAO中，，∴△HAO≌△FAO（ASA），∴AH＝AF，∴AB＝BH+AH＝BE+AF，故②正確；作OH⊥AC于H，OM⊥AB于M，∵∠BAC與∠ABC的平分線相交于點(diǎn)O，∴點(diǎn)O在∠C的平分線上，∴OH＝OM＝OD＝a，∵AB+AC+BC＝2b，∴＝＝ab，故③錯(cuò)誤，故答案為：①②．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的定義和性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的面積等知識(shí)，結(jié)合問題作出恰當(dāng)?shù)妮o助線是解決問題的關(guān)鍵．11．（2022·廣東·化州市第一中學(xué)八年級(jí)期中）如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于點(diǎn)E，點(diǎn)F在AC上，BD＝DF．(1)求證：CF＝EB；(2)若AB＝12，AF＝8，求CF的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)CF＝2【解析】【分析】（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得DE=CD，再根據(jù)HL證明Rt△CDF≌Rt△EDB，從而得出CF=EB；（2）設(shè)CF=x，則AE=12-x，證明Rt△ACD≌Rt△AED，則AC＝AE，即，計(jì)算求解即可．(1)證明：∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于E，∴DE＝DC．在Rt△CDF與Rt△EDB中，，∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL），∴CF＝EB．(2)解：設(shè)CF＝x，則AE＝12-x，∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB，∴CD＝DE．在Rt△ACD與Rt△AED中，，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AC＝AE，即8+x＝12-x，解得