蘇科版八年級數(shù)學(xué)上冊講練專題2.3等腰三角形的性質(zhì)與判定(原卷版+解析)

專題2.3等腰三角形的性質(zhì)與判定【教學(xué)目標(biāo)】1、理解并掌握等腰三角形的定義，探索等腰三角形的性質(zhì)和判定方法；2、利用等腰三角形的性質(zhì)解決相應(yīng)數(shù)學(xué)問題【教學(xué)重難點】1、理解并掌握等腰三角形的定義，探索等腰三角形的性質(zhì)和判定方法；2、利用等腰三角形的性質(zhì)解決相應(yīng)數(shù)學(xué)問題3、等腰三角形的性質(zhì)和判定的探索和運用【知識亮解】知識點一等腰三角形的性質(zhì)1、等腰三角形（1）定義：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形，相等的兩邊叫做腰，另一邊叫做底邊，兩腰的夾角叫做頂角，腰和底邊的夾角叫做底角。（2）性質(zhì)①兩腰相等②兩底角相等（簡稱等邊對等角）③等腰三角形頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高線互相重合（簡稱為“三線合一”）④等腰三角形是軸對稱圖形，其頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高線所在的直線式對稱軸。證明題目中的寫法：①已知高線：∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD，∠BAD=∠CAD②已知中線：∵AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD③已知角平分線：∵AB=AC，∠BAD=∠CAD，∴AD⊥BC，BD=CD（3）等腰三角形的構(gòu)造“角平分線+平行線”構(gòu)造等腰三角形①如下左圖所示，OP評分∠AOB，CD∥OA，則△OCD是等腰三角形②如下右圖所示，OP評分∠AOB，CD∥OB，則△OCD是等腰三角形“角平分線+垂線”構(gòu)造等腰三角形如下左圖所示，已知AD是∠BAC的平分線，AD⊥BC，得出等腰三角形“角平分線+中線”構(gòu)造等腰三角形如下中圖所示，已知AD是∠BAC的平分線，D是BC中點，則△ABC是等腰三角形“中點+垂直”構(gòu)造等腰三角形（垂直平分線）如下右圖所示(5)“平行+等腰”構(gòu)造等腰三角形已知等腰△ABC，過腰或底上作腰或底的平行線亮題一等腰三角形的性質(zhì)1．（2022·福建·漳州三中八年級期中）在等腰三角形中，是的高，若，則的底角的度數(shù)為（

）A．或 B．或 C．或或 D．或或2．（2022·黑龍江大慶·中考真題）下列說法不正確的是(

)A．有兩個角是銳角的三角形是直角或鈍角三角形B．有兩條邊上的高相等的三角形是等腰三角形C．有兩個角互余的三角形是直角三角形D．底和腰相等的等腰三角形是等邊三角形3．（2022·廣西梧州·中考真題）如圖，在中，是的角平分線，過點D分別作，垂足分別是點E，F(xiàn)，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A． B． C． D．4．（2022·福建漳州·模擬預(yù)測）如圖所示的五邊形花環(huán)是用五個全等的等腰三角形拼成的，則的度數(shù)為（

）A．28° B．36° C．45° D．72°5．（2022·廣東·深圳市高級中學(xué)八年級期中）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝6cm，AB的垂直平分線交BC于點M，交AB于點E，AC的垂直平分線交BC于點N，交AC于點F，則MN的長為（）A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm6．（2022·遼寧朝陽·八年級期中）如圖，∠ABC的平分線BF與△ABC中∠ACB的相鄰?fù)饨恰螦CG的平分線相交于點F，過F作DF∥BC交AB于D，交AC于E,若BD＝8cm，DE＝3cm，則CE的長為______．7．（2022·廣西·富川瑤族自治縣教學(xué)研究室模擬預(yù)測）如圖，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，AB的垂直平分線分別交AB、AC于點D、E，連接BE．若AB=5，BC=3，則△BCE的周長是_______．8．（2022·湖南·常德市第七中學(xué)八年級期末）等腰三角形的一個外角是100°，則其底角是___________.9．（2022·云南文山·二模）如圖，在中，，、、分別是邊、、上的點，，且，，，則邊的長是______．10．（2022·河北·高陽縣教育局教研室八年級期末）如圖，直線a∥b，點M、N分別為直線a和直線b上的點，連接MN，∠DMN=70°，點P是線段MN上一動點，直線DE始終經(jīng)過點P，且與直線a、b分別交與點D、E，（1）當(dāng)△MPD與△NPE全等時，直接寫出點P的位置：___________________；（2）當(dāng)△NPE是等腰三角形時，則∠NPE的度數(shù)為___________________．11．（2022·全國·八年級）如圖在四邊形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中點，連接DE并延長交CB的延長線于點F，點G在邊BC上，且∠1＝∠2(1)說明△ADE≌△BFE的理由；(2)聯(lián)結(jié)EG，那么EG與DF的位置關(guān)系是，請說明理由．12．（2022·廣東·佛山市惠景中學(xué)三模）如圖，在△ABC中，BD⊥AC，垂足為D．(1)請用直尺和圓規(guī)按下列要求作圖：過點C作AB的垂線CM，交AB邊于點F：（不寫作法，保留作圖痕跡）(2)在（1）問圖中，若BD=CF，求證：△ABC為等腰三角形． 13．（2022·遼寧朝陽·八年級期中）已知：如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AE是△ABC的角平分線；ED平分∠AEB，交AB于點D；∠CAE＝∠B．(1)求∠B的度數(shù)．(2)如果AC＝3cm，求AB的長度．(3)猜想：ED與AB的位置關(guān)系，并證明你的猜想．14．（2020·湖南·常德市第七中學(xué)八年級期中）如圖，△ABC中，AD⊥BC，點E在AC的垂直平分線上，且BD=DE．(1)如果∠BAD=20°，求∠B的度數(shù)，求∠C的度數(shù)；(2)如果△ABC的周長為13cm，AC=6cm，求△ABE的周長；15．（2022·浙江溫州·中考真題）如圖，是的角平分線，，交于點E．(1)求證：．(2)當(dāng)時，請判斷與的大小關(guān)系，并說明理由．知識點二等腰三角形的判定等腰三角形的判定等腰三角形的判定①有兩條邊相等的三角形是等腰三角形。②有兩個角相等的三角形是等腰三角形。（簡稱“等角對等邊”）總結(jié)：亮題二等腰三角形的性質(zhì)1．（2022·陜西延安·八年級期末）如圖，在中，，直線DE，F(xiàn)G分別是AB，AC的垂直平分線，則的度數(shù)為（

）A．80° B．70° C．65° D．60°2．（2022·河北秦皇島·八年級期末）如圖，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝4，點M，N在邊AB上，CM＝CN．若MN＝2，則AM＝(

)A．1 B．2 C．3 D．43．（2022·湖南邵陽·八年級期末）如圖，中，DE是線段AC的垂直平分線，且分別交BC，AC于點D，E，，，則（

）A．40° B．45° C．50° D．55°4．（2022·遼寧本溪·八年級期中）如圖，已知，平分，點，，分別是射線，，上的動點（，不與點重合）連接，連交射線于點，且，當(dāng)是等腰三角形時，則的度數(shù)為（

）A．或或 B．或 C．或 D．或5．（2022·甘肅武威·八年級期中）如圖，在四邊形ABCD中，，，，E是AC的中點，連接BE，BD，則的度數(shù)為（

）A．15° B．14° C．12° D．10°6．（2022·浙江紹興·中考真題）如圖，在中，，，以點為圓心，長為半徑作弧，交射線于點，連接，則的度數(shù)是______．7．（2022·河北保定·一模）將一副三角尺如圖所示疊放在一起，若，則（1）________；（2）陰影部分的面積是________．8．（2022·貴州畢節(jié)·一模）如圖，P為△ABC邊BC上的一點，且PC＝2PB，已知∠ABC＝45°，∠APC＝60°，則∠ACB的度數(shù)是_____°．9．（2022·江蘇南京·一模）如圖，在正五邊形ABCDE中，M是AB的中點，連接AC，DM交于點N，則∠CND的度數(shù)是_____．10．（2022·上?！て吣昙墕卧獪y試）如圖，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分線相交于點D，過點D作DE∥AB交BC于點E，DF∥AC交BC于點F，若BC＝a，AB＝c，AC＝b，則△DEF的周長為_____．11．（2022·浙江·金華市第九中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，AB＝DC，∠B＝∠C，E，F(xiàn)是邊BC上的兩點，且BE＝CF．(1)求證：△ABF≌△DCE．(2)若∠APE＝70°，求∠ADP的度數(shù)．12．（2022·河北唐山·八年級期末）已知：如圖，在中，，，，垂足分別為D、E，與交于點O．發(fā)現(xiàn)：與有何數(shù)量關(guān)系？并說明理由；探索：判斷的形狀，并說明理由；拓展：連接并延長，交于點F，請你直接寫出一條關(guān)于的結(jié)論．13．（2021·浙江溫州·一模）我們把端點都在格點上的線段叫做格點線段，如圖，在6×6的方格紙中，有一格點線段AB，請按要求畫圖．(1)在圖1中畫格點線段AC，BC，使得AC⊥BC．(2)在圖2中畫一格點線段EF，使得EF將AB平分，并且與AB的夾角是45°．14．（2022·遼寧遼寧·二模）綜合與實踐：(1)問題發(fā)現(xiàn)如圖1，和均為等邊三角形，點A，D，E在同一直線上，連接BE．請寫出的度數(shù)及線段之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．(2)類比探究：如圖2，和均為等腰直角三角形，，點A，D，E在同一直線上，CM為中DE邊上的高，連接BE．填空：①的度數(shù)為_______；②線段之間的數(shù)量關(guān)系為_________，并說明理由．(3)拓展延伸；在（2）的條件下，若，求四邊形ABEC的面積．15．（2022·廣東·江門市第二中學(xué)八年級開學(xué)考試）已知，在△ABC中，∠BAC＝2∠B，E是AB上一點，AE＝AC，AD⊥CE，垂足為D，交BC于點F．(1)如圖1，若∠BCE＝30°，試判斷△ABC的形狀，并說明理由；(2)如圖2，若AD＝4，求BC的長．【亮點訓(xùn)練】1．（2022·云南臨滄·八年級期末）如圖，在Rt△ABC中，斜邊AB的垂直平分線交邊AB于點E，交邊BC于點D，如果∠ABC=26°，那么∠CAD的度數(shù)為（

）A．26° B．38° C．64° D．32°2．（2022·山東臨沂·八年級期末）如圖，E為△ABC內(nèi)一點，BE平分∠ABC，CD⊥BE，垂足為E，交AB于點D，∠A=∠ACD，CE=1，BC=3，則AB的長為（

）A．4 B．5 C．5.5 D．63．（2022·山東濰坊·八年級期末）如圖，在△ABC中，點D，E在邊BC上，BD＝CE，則添加下列條件后，仍不能證明△ABD≌△ACE的是（

）A．AB＝AC B．∠B＝∠C C．AD＝AE D．∠BAD＝∠CAE4．（2022·河北石家莊·八年級期末）如圖，在中，，垂足為D，EF垂直平分AC，交AC于點F，交BC于點E，，若的周長為26cm，，則DC的長為（

）A．4 B．8 C．6 D．75．（2022·云南德宏·八年級期末）以下說法中，正確的命題的個數(shù)為（

）①三角形的中線、高、角平分線都是直線；②三角形的一個外角等于兩個內(nèi)角的和；③有兩條邊和一角對應(yīng)相等的兩個三角形全等；④三角形具有穩(wěn)定性；⑤如果三角形的一個外角的平分線平行于三角形的一邊，那么這個三角形是等腰三角形A．2 B．3 C．4 D．56．（2022·陜西渭南·一模）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝120°，AD是△ABC的中線，AE是∠BAD的平分線，過點D作DF∥AB交AE的延長線于點F，則DF的長為_____．7．（2022·河北唐山·八年級期末）已知：如圖，D為的邊BC延長線上一點，和的角平分線交于點O，過點О作BC的平行線，分別交AB，AC于點E，F(xiàn)，若，，則__________．8．（2022·云南曲靖·八年級期末）已知a、b為等腰三角形的兩邊長，且滿足，則等腰三角形的周長是______．9．（2022·天津西青·八年級期末）如圖，在一個三角形紙片ABC中，，，點D在邊BC上，將沿直線AD折疊，點B恰好落在AC邊上的點E處．若，則AC的長是______．10．（2022·湖北荊州·八年級期末）如圖，△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，MN經(jīng)過點O，與AB，AC相交于點M，N，且MN∥BC，若AB＝5cm，AC＝6cm，則△AMN的周長為_______．11．（2022·江蘇鹽城·二模）已知：如圖，，，AC和BD相交于點O．點M是BC的中點，連接OM．(1)求證：；(2)求的度數(shù)．12．（2022·廣西百色·八年級期末）如圖，已知AD是△ABC的角平分線，DE，DF分別是△ABD和△ACD的高，AD與EF相交于點M．(1)求證：△ADE≌△ADF；(2)求證：AD垂直平分EF．13．（2022·湖南岳陽·八年級期末）已知：如圖所示，Rt△ABC中，，，O為BC的中點．(1)寫出點O到△ABC的三個頂點A、B、C的距離的關(guān)系（不要求證明）(2)如果點M、N分別在線段AC、AB上移動，且在移動中保持．試判斷△OMN的形狀，并證明你的結(jié)論．(3)如果點M、N分別在線段CA、AB的延長線上移動，且在移動中保持，試判斷（2）中結(jié)論是否依然成立，如果是請給出證明．14．（2022·浙江溫州·模擬預(yù)測）如圖，在6×4的方格紙ABCD中，請按要求畫格點三角形（端點在格點上），且三角形的各個頂點均不與點A，B，C，D重合，各邊不落在格線上．(1)在圖1中畫格點△EFG，使三角形的各頂點落在四邊形ABCD的邊上，且使它為等腰三角形．(2)在圖2中畫格點△EFG和△MNH，且使得它們?nèi)龋織l對應(yīng)邊都相互垂直．15．（2022·海南華僑中學(xué)八年級期末）如圖，在中，，，AD是BC的中線，．(1)求證：(2)是什么形狀的三角形？請說明理由．【培優(yōu)檢測】1．（2022·廣東深圳·二模）如圖，在中，按以下步驟作圖：①分別以點，為圓心，大于長為半徑作弧，兩弧交于，兩點；②作直線交于點，連接．若，，則的度數(shù)為（

）A．72 B．68 C．75 D．802．（2022·湖南長沙·八年級期末）如圖，中，，于點D，于點E，于點F，，則BF的長為（

）A．5 B．6 C．7 D．83．（2022·山東濟寧·八年級期末）在△ABC中，已知AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分線MN交AC于D．下列結(jié)論中：①∠C=72°；②BD是△ABC的中線；③∠BDC=100°；④△ABD是等腰三角形；⑤AD=BD=BC．正確的序號有（

）A．①③④ B．①④⑤ C．①②⑤ D．②④⑤4．（2022年浙江省溫州市中學(xué)自主招生模擬數(shù)學(xué)試題）如圖，將△ABC沿DE折疊，使點A與BC邊的中點F重合，下列結(jié)論中：①EF∥AB且2EF＝AB；②∠BAF＝∠CAF；③S四邊形ADEF＝AF·DE；④∠BDF＋∠FEC＝2∠BAC，正確的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．45．（2022·山東臨沂·八年級期末）如圖，在四邊形ABCD中，AC平分∠BAD，AD=AC，在AC上截取AE=AB，連接DE，BE，并延長BE交CD于點F，以下結(jié)論：①△BAC≌△EAD；②∠CBE=∠CDE；③CF=EF；其中正確的有（

）個．A．0 B．1 C．2 D．36．（2022·黑龍江牡丹江·八年級期末）在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分線交AB于點D，交直線AC于點E，∠AEB=80°，那么∠BAC等于________．7．（2022·山東·武城縣教育教學(xué)研究中心一模）如圖，在四邊形ABCD中，，，其中，那么______．8．（2022·陜西延安·八年級期末）如圖，在中，直線垂直平分BC交AC于點Q，BP平分交直線于點P.若，，則___________.9．（2022·安徽宿州·八年級期中）如圖，，點A是BO延長線上的一點，OA＝10cm，動點P從點A出發(fā)沿AB以2cm/s的速度移動，動點Q從點O出發(fā)沿OC以1cm/s的速度移動，如果點P，Q同時出發(fā)，用t（s）表示移動的時間，當(dāng)t＝________時，△POQ是等腰三角形．10．（2022·青?！の鲗幨薪逃茖W(xué)研究院八年級期末）如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝8cm，BD是△ABC的高，動點P在線段AB上由A向B運動，速度為1cm/s；動點Q在線段BC上由B向C運動，速度為2cm/s．動點P，Q同時出發(fā)，當(dāng)一個點停止運動時，另一個點也隨之停止．連接AQ，交BD于點E．設(shè)點P的運動時間為t秒，當(dāng)∠BPE＝∠BQE時，______秒．11．（2022·廣東中山·三模）新定義：頂角相等且頂角頂點重合的兩個等腰三角形互為“兄弟三角形”．(1)如圖1，和互為“兄弟三角形”，點A為重合的頂角頂點．求證：．(2)如圖2，和互為“兄弟三角形”，點A為重合的頂角頂點，點D、E均在外，連接BD、CE交于點M，連接AM，求證：AM平分．12．（2021·湖南·常德市第七中學(xué)八年級期中）如圖，中，，EF垂直平分，交于點，交于點，且．(1)若，求的度數(shù)；(2)若周長，，求長．13．（2022·廣東深圳·二模）如圖，已知射線BC⊥AB，以AB為斜邊作Rt△ABD，延長AD到E，使得AD＝DE，連接BE，BF平分∠CBE交AE于點F．(1)求證：BD＝DF；(2)若AB＝2，以AE為邊向下作∠AEG＝45°，交射線BC于點G，求BG的長．14．（2022·湖南·常德市第七中學(xué)八年級期末）已知：在△ABC中，∠B=60°，D、E分別為AB、BC上的點，且AE、CD交于點F．(1)如圖1，若AE、CD為△ABC的角平分線．①求∠AFC的度數(shù)；②若AD=5，CE=3，求AC的長(2)如圖2，若∠FAC=∠FCA=30°，求證：AD=CE15．（2022·河南平頂山·八年級期中）(1)閱讀理解：我們知道，只用直尺和圓規(guī)不能解決的三個經(jīng)典的希臘問題之一是三等分任意角，但是這個任務(wù)可以借助如圖所示的一邊上有刻度的勾尺完成，勾尺的直角頂點為，“寬臂”的寬度，（這個條件很重要哦?。┕闯叩囊贿厺M足，，三點在同一直線上且．如圖所示，下面以三等分為例說明利用勾尺三等分銳角的過程：第一步：畫直線使，且這兩條平行線之間的距離等于（說明：兩條平行線中的一條直線上任意一點，到另一條直線的距離，就是這兩條平行線之間的距離）；第二步：移動勾尺到合適位置，使其頂點落在上，使勾尺的邊經(jīng)過點，同時讓點落在的邊上；第三步：標(biāo)記此時點和點所在位置，作射線和射線．請完成第三步操作，圖中的三等分線是射線________、________．(2)在（1）的圖中，過點做于點，根據(jù)（1）中第一步的操作可知，請你證明．專題2.3等腰三角形的性質(zhì)與判定【教學(xué)目標(biāo)】1、理解并掌握等腰三角形的定義，探索等腰三角形的性質(zhì)和判定方法；2、利用等腰三角形的性質(zhì)解決相應(yīng)數(shù)學(xué)問題【教學(xué)重難點】1、理解并掌握等腰三角形的定義，探索等腰三角形的性質(zhì)和判定方法；2、利用等腰三角形的性質(zhì)解決相應(yīng)數(shù)學(xué)問題3、等腰三角形的性質(zhì)和判定的探索和運用【知識亮解】知識點一等腰三角形的性質(zhì)1、等腰三角形（1）定義：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形，相等的兩邊叫做腰，另一邊叫做底邊，兩腰的夾角叫做頂角，腰和底邊的夾角叫做底角。（2）性質(zhì)①兩腰相等②兩底角相等（簡稱等邊對等角）③等腰三角形頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高線互相重合（簡稱為“三線合一”）④等腰三角形是軸對稱圖形，其頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高線所在的直線式對稱軸。證明題目中的寫法：①已知高線：∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD，∠BAD=∠CAD②已知中線：∵AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD③已知角平分線：∵AB=AC，∠BAD=∠CAD，∴AD⊥BC，BD=CD（3）等腰三角形的構(gòu)造“角平分線+平行線”構(gòu)造等腰三角形①如下左圖所示，OP評分∠AOB，CD∥OA，則△OCD是等腰三角形②如下右圖所示，OP評分∠AOB，CD∥OB，則△OCD是等腰三角形“角平分線+垂線”構(gòu)造等腰三角形如下左圖所示，已知AD是∠BAC的平分線，AD⊥BC，得出等腰三角形“角平分線+中線”構(gòu)造等腰三角形如下中圖所示，已知AD是∠BAC的平分線，D是BC中點，則△ABC是等腰三角形“中點+垂直”構(gòu)造等腰三角形（垂直平分線）如下右圖所示(5)“平行+等腰”構(gòu)造等腰三角形已知等腰△ABC，過腰或底上作腰或底的平行線亮題一等腰三角形的性質(zhì)1．（2022·福建·漳州三中八年級期中）在等腰三角形中，是的高，若，則的底角的度數(shù)為（

）A．或 B．或 C．或或 D．或或【答案】B【解析】【分析】根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得，從而得到，再利用等邊對等角的性質(zhì)可得，然后利用直角三角形兩銳角互余求解即可．【詳解】解：如圖，，，，∵，，．如圖，當(dāng)，垂直于延長線，∵，∴，∴，底角為；當(dāng)，垂直于，；底角為，故選：D．【點睛】本題考查了等腰三角形三線合一的性質(zhì)，等邊對等角的性質(zhì)，含30度直角三角形的性質(zhì)，得出是解題的關(guān)鍵．2．（2022·黑龍江大慶·中考真題）下列說法不正確的是(

)A．有兩個角是銳角的三角形是直角或鈍角三角形B．有兩條邊上的高相等的三角形是等腰三角形C．有兩個角互余的三角形是直角三角形D．底和腰相等的等腰三角形是等邊三角形【答案】A【解析】【分析】利用等腰三角形的性質(zhì)與判定、等邊三角形的性質(zhì)與判定、直角三角形的判定，對各選項逐項分析可得出正確答案．【詳解】解：A、設(shè)∠1、∠2為銳角，因為：∠1+∠2+∠3=180°，所以：∠3可以為銳角、直角、鈍角，所以該三角形可以是銳角三角形，也可以是直角或鈍角三角形，故A選項不正確，符合題意；B、如圖，在△ABC中，BE⊥AC，CD⊥AB，且BE=CD．∵BE⊥AC，CD⊥AB，∴∠CDB=∠BEC=90°，在Rt△BCD與Rt△CBE中，，∴Rt△BCD≌Rt△CBE（HL），∴∠ABC=∠ACB，∴AB=AC，即△ABC是等腰三角形．，故B選項正確，不符合題意；C、根據(jù)直角三角形的判定：有兩個角互余的三角形是直角三角形，，故C選項正確，不符合題意；D、底和腰相等的等腰三角形是等邊三角形，故D選項正確，不符合題意；故選：A．【點睛】本題綜合考查了等腰三角形的性質(zhì)與判定、等邊三角形的性質(zhì)與判定、直角三角形的判定，要求學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中掌握三角形的各種性質(zhì)及推論，不斷提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的能力．3．（2022·廣西梧州·中考真題）如圖，在中，是的角平分線，過點D分別作，垂足分別是點E，F(xiàn)，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)等腰三角形底邊上的高線、頂角的角平分線、底邊上的中線這三線合一及角平分線的性質(zhì)即可判斷求解．【詳解】解：∵是的角平分線，∴，∴，故選項A、D結(jié)論正確，不符合題意；又是的角平分線，，∴，故選項B結(jié)論正確，不符合題意；由已知條件推不出，故選項C結(jié)論錯誤，符合題意；故選：C．【點睛】本題考察了等腰三角形的性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題，熟練掌握其性質(zhì)即可．4．（2022·福建漳州·模擬預(yù)測）如圖所示的五邊形花環(huán)是用五個全等的等腰三角形拼成的，則的度數(shù)為（

）A．28° B．36° C．45° D．72°【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意可得五個全等的等腰三角形拼成內(nèi)外兩個正五邊形，利用正多邊形內(nèi)角和可得∠EAB=∠ACD=，再由鄰補角得出∠ACB=∠EAC=，結(jié)合圖形代入求解即可．【詳解】解：如圖所示，五個全等的等腰三角形拼成內(nèi)外兩個正五邊形，∴∠EAB=∠ACD=，∴∠ACB=∠EAC=180°，∴∠BAC=∠EAB-∠EAC=108°，故選：B．【點睛】題目主要考查正多邊形內(nèi)角和及等腰三角形的性質(zhì)，鄰補角等，理解題意，熟練掌握運用正多邊形內(nèi)角和的計算公式是解題關(guān)鍵．5．（2022·廣東·深圳市高級中學(xué)八年級期中）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝6cm，AB的垂直平分線交BC于點M，交AB于點E，AC的垂直平分線交BC于點N，交AC于點F，則MN的長為（）A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm【答案】C【解析】【分析】此類題要通過作輔助線來溝通各角之間的關(guān)系，首先求出△BMA與△CNA是等腰三角形，再證明△MAN為等邊三角形即可．【詳解】連接AM，AN，∵AB的垂直平分線交BC于M，交AB于E，AC的垂直平分線交BC于N，交AC于F，∴BM=AM，CN=AN，∴∠MAB=∠B，∠CAN=∠C，∵∠BAC=120°，AB=AC，∴∠B=∠C=30°，∴∠BAM+∠CAN=60°，∠AMN=∠ANM=60°，∴△AMN是等邊三角形，∴AM=AN=MN，∴BM=MN=NC，∵BC=6，∴MN=2．故選：C．【點睛】本題考查的知識點為線段的垂直平分線性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)；正確作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵．6．（2022·遼寧朝陽·八年級期中）如圖，∠ABC的平分線BF與△ABC中∠ACB的相鄰?fù)饨恰螦CG的平分線相交于點F，過F作DF∥BC交AB于D，交AC于E,若BD＝8cm，DE＝3cm，則CE的長為______．【答案】5cm【解析】【分析】只要證明△BDF和△CEF為等腰三角形，即可解決問題．【詳解】證明：∵BF、CF分別平分∠ABC、∠ACG，∴∠DBF＝∠CBF，∠FCE＝∠FCG，∵DEBC，∴∠DFB＝∠CBF，∠EFC＝∠FCG，∴∠DBF＝∠DFB，∠FCE＝∠EFC，∴BD＝FD，EF＝CE，∴△BDF和△CEF為等腰三角形；∴EF＝DF﹣DE＝BD﹣DE＝8﹣3＝5（cm），∴EC＝5cm．故答案為：5cm【點睛】本題考查等腰三角形的判定和性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是證明等腰三角形，屬于基礎(chǔ)題．7．（2022·廣西·富川瑤族自治縣教學(xué)研究室模擬預(yù)測）如圖，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，AB的垂直平分線分別交AB、AC于點D、E，連接BE．若AB=5，BC=3，則△BCE的周長是_______．【答案】8【解析】【分析】根據(jù)等角對等邊得出，根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)得出AE=BE，然后利用線段的和差轉(zhuǎn)換計算即可．【詳解】解：∵∠ABC=∠ACB，∴，∵DE垂直平分線段AB，∴AE=BE，∵BC=3，∴BC+CE+BE=BC+CE+AE=BC+AC=3+5=8．故答案為8．【點睛】本題主要考查等腰三角形判定與性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．8．（2022·湖南·常德市第七中學(xué)八年級期末）等腰三角形的一個外角是100°，則其底角是___________.【答案】80°或50°【解析】【分析】等腰三角形的一個外角等于100°，則等腰三角形的一個內(nèi)角為80°，但已知沒有明確此角是頂角還是底角，所以應(yīng)分兩種情況進行分類討論．【詳解】解：∵等腰三角形的一個外角等于100°，∴等腰三角形的一個內(nèi)角為80°，①當(dāng)80°為頂角時，其他兩角都為50°、50°，②當(dāng)80°為底角時，其他兩角為80°、20°，所以等腰三角形的底角可以是80°或50°，故答案為：80°或50°．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理；在解決與等腰三角形有關(guān)的問題時，由于等腰三角形所具有的特殊性質(zhì)，很多題目在已知不明確的情況下，要進行分類討論，才能正確解題，因此，解決和等腰三角形有關(guān)的邊角問題時，要仔細(xì)認(rèn)真，避免出錯．9．（2022·云南文山·二模）如圖，在中，，、、分別是邊、、上的點，，且，，，則邊的長是______．【答案】13【解析】【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，可求得∠B=∠C．再證明∠BDE=∠CFD，從而證△EBD≌△DCF，最后求出BC的長即可．【詳解】解：∵，∴∠B=∠C，∵∠CDF+∠EDF+∠BDE=180°，∠CDF+∠C+∠CFD=180°，，∴∠BDE=∠CFD，在△EBD和△DCF中，∴△EBD≌△DCF（AAS），∴CD=BE=8，BD=CF=5，∴BC=BD+CD=5+8=13，故答案為：13．【點睛】此題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，此題難度不大，解題的關(guān)鍵是能證明△EBD≌△DCF．10．（2022·河北·高陽縣教育局教研室八年級期末）如圖，直線a∥b，點M、N分別為直線a和直線b上的點，連接MN，∠DMN=70°，點P是線段MN上一動點，直線DE始終經(jīng)過點P，且與直線a、b分別交與點D、E，（1）當(dāng)△MPD與△NPE全等時，直接寫出點P的位置：___________________；（2）當(dāng)△NPE是等腰三角形時，則∠NPE的度數(shù)為___________________．【答案】

MN中點處

70°或40°或55°【解析】【分析】（1）根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等得到MP=NP，即點P是MN的中點；（2）需要分類討論：PN=PE、PE=NE、PN=NE．【詳解】（1）∵a//b∴∠DMN=∠PNE，∠MDE=∠DEN，∴當(dāng)△MPD與△NPE全等時，即△MPD≌△NPE時MP=NP，即點P是MN的中點．故答案為：MN中點處（2）①若PN=PE時，∵∠DMN=∠PNE=70°，∴∠DMN=∠PNE=∠PEN=70°．∴∠NPE=180°-∠PNE-∠PEN=180°-70°-70°=40°．∴∠NPE=40°；②若EP=EN時，則∠NPE=∠PNE=∠DMN=70°；③若NP=NE時，則∠PEN=∠NPE，此時2∠NPE=180°-∠PNE=180°-∠DMN=180°-70°=110°∴∠NPE=55°；綜上所述，∠NPE的值是40°或70°或55°．故答案為：40°或70°或55°．【點睛】本題考查了等腰三角形的分類討論，解題關(guān)鍵是理解等腰三角形在沒有指明底與腰時需要分類討論．11．（2022·全國·八年級）如圖在四邊形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中點，連接DE并延長交CB的延長線于點F，點G在邊BC上，且∠1＝∠2(1)說明△ADE≌△BFE的理由；(2)聯(lián)結(jié)EG，那么EG與DF的位置關(guān)系是，請說明理由．【答案】(1)見解析(2)EG⊥DF，見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)及中點的性質(zhì)，利用ASA即可求解．（2）根據(jù)角的等量關(guān)系可得DG=FG，可得三角形DGF是等腰三角形，由根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得DE=EF，進而可求解．(1)解：∵AD∥BC，∴∠1＝∠F，∵E是AB的中點，∴AE＝BE，在△ADE和△BFE中，，∴△ADE≌△BFE（ASA）．(2)EG⊥DF，理由如下：∵∠1＝∠F，∠1＝∠2，∴∠2＝∠F，∴DG＝FG，∴△DGF是等腰三角形，由（1）知：△ADE≌△BFE，∴DE＝EF，∴EG⊥DF，故答案為：EG⊥DF．【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，以及等腰三角形的三線合一等知識，找出全等所需的條件是解題的關(guān)鍵．12．（2022·廣東·佛山市惠景中學(xué)三模）如圖，在△ABC中，BD⊥AC，垂足為D．(1)請用直尺和圓規(guī)按下列要求作圖：過點C作AB的垂線CM，交AB邊于點F：（不寫作法，保留作圖痕跡）(2)在（1）問圖中，若BD=CF，求證：△ABC為等腰三角形．【答案】(1)見解析(2)見解析【解析】【分析】（1）按照尺規(guī)作圖作垂線的方法作答即可；（2）證明Rt△BFC≌Rt△CDB即可．(1)作圖如下：作圖方法：以C為圓心、BC為半徑作弧交AB于點N，再分別與B、N為圓心，以大于BN一半的長度畫弧，兩弧交于點M，連接CM，交AB于點F，即CM即為所求．∵CM是線段BN的垂直平分線，∴CM⊥AB；即CM即為所求；(2)證明∵BD⊥AC，CF⊥AB，∴∠BFC=∠BDC=90°，則在Rt△BFC和Rt△CDB中，有BC=BC，BD=CF，∴Rt△BFC≌Rt△CDB，∴∠B=∠C，∴AB=AC，∴△ABC是等腰三角形．【點睛】本題考查了尺規(guī)作圖---作垂線，還考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握尺規(guī)作圖做垂線的方法是解答本題的關(guān)鍵．13．（2022·遼寧朝陽·八年級期中）已知：如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AE是△ABC的角平分線；ED平分∠AEB，交AB于點D；∠CAE＝∠B．(1)求∠B的度數(shù)．(2)如果AC＝3cm，求AB的長度．(3)猜想：ED與AB的位置關(guān)系，并證明你的猜想．【答案】(1)30°(2)6cm(3)ED⊥AB，理由見解析【解析】【分析】（1）先由角平分線的定義及已知條件得出∠CAE＝∠EAB＝∠B，再根據(jù)直角三角形兩銳角互余得出∠CAE＋∠EAB＋∠B＝3∠B＝90°，那么∠B＝30°；（2）根據(jù)30°角所對的直角邊等于斜邊的一半得出AB＝2AC＝6cm；（3）先由∠EAB＝∠B，根據(jù)等角對等邊得出EB＝EA，又ED平分∠AEB，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得到ED⊥AB．(1)∵AE是△ABC的角平分線，∴∠CAE＝∠EAB，∵∠CAE＝∠B，∴∠CAE＝∠EAB＝∠B．∵在△ABC中，∠C＝90°，∴∠CAE＋∠EAB＋∠B＝3∠B＝90°，∴∠B＝30°；(2)∵在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝3cm，∴AB＝2AC＝6cm；(3)猜想：ED⊥AB．理由如下：∵∠EAB＝∠B，∴EB＝EA，∵ED平分∠AEB，∴ED⊥AB．【點睛】本題考查了含30度角的直角三角形的性質(zhì)：在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半．直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，等腰三角形的判定，熟記性質(zhì)與判定定理是解題的關(guān)鍵．14．（2020·湖南·常德市第七中學(xué)八年級期中）如圖，△ABC中，AD⊥BC，點E在AC的垂直平分線上，且BD=DE．(1)如果∠BAD=20°，求∠B的度數(shù)，求∠C的度數(shù)；(2)如果△ABC的周長為13cm，AC=6cm，求△ABE的周長；【答案】(1)∠B＝70°，∠C＝35°；(2)△ABE的周長為7cm；【解析】【分析】（1）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)求出AB=AE，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可求∠B＝∠AEB，再根據(jù)三角外角的性質(zhì)求出∠C即可；（2）通過線段的等量代換即可求解．(1)解：∵AD⊥BC，BD=DE，∴AD垂直平分BE，∴AB＝AE，∴∠BAD＝∠EAD＝20°，∴∠BAE＝40°，∴∠AEB＝∠B＝，∵點E在AC的垂直平分線上，∴AE=EC，∴∠C=∠EAC=∠AEB=35°；(2)解：∵△ABC的周長為13cm，AC=6cm，∴AB+BC=13-6=7(cm)，∴△ABE的周長=AB+BE+AE=AB+BE+EC=AB+BC=7(cm)．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生綜合運行性質(zhì)進行推理和計算的能力．15．（2022·浙江溫州·中考真題）如圖，是的角平分線，，交于點E．(1)求證：．(2)當(dāng)時，請判斷與的大小關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)見解析(2)相等，見解析【解析】【分析】（1）利用角平分線的定義和平行線的性質(zhì)可得結(jié)論；

（2）利用平行線的性質(zhì)可得，

則AD=

AE，從而有CD

=

BE，由(1)

得，，可知BE

=

DE，等量代換即可．(1)證明：∵是的角平分線，∴．∵，∴，∴．(2)．理由如下：∵，∴．∵，∴，∴，∴，∴，即．由（1）得，∴，∴．【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的定義等知識，熟練掌握平行與角平分線可推出等腰三角形是解題的關(guān)鍵．知識點二等腰三角形的判定等腰三角形的判定等腰三角形的判定①有兩條邊相等的三角形是等腰三角形。②有兩個角相等的三角形是等腰三角形。（簡稱“等角對等邊”）總結(jié)：亮題二等腰三角形的性質(zhì)1．（2022·陜西延安·八年級期末）如圖，在中，，直線DE，F(xiàn)G分別是AB，AC的垂直平分線，則的度數(shù)為（

）A．80° B．70° C．65° D．60°【答案】A【解析】【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)證明∠EAB=∠B，∠FAC=∠C，由三角形內(nèi)角和定理求出∠B+∠C=180°-∠BAC=50°，則∠EAB+∠FAC=50°，再由∠BAC=∠EAF+∠EAB+∠FAC，即可得到∠EAF=80°．【詳解】解：∵DE，F(xiàn)G分別是AB，AC的垂直平分線，∴EB=EA，F(xiàn)A=FC，∴∠EAB=∠B，∠FAC=∠C，∵∠BAC=130°，∴∠B+∠C=180°-∠BAC=50°，∴∠EAB+∠FAC=50°，又∵∠BAC=∠EAF+∠EAB+∠FAC，∴∠EAF=80°，故選A．【點睛】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角和定理，熟知線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2022·河北秦皇島·八年級期末）如圖，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝4，點M，N在邊AB上，CM＝CN．若MN＝2，則AM＝(

)A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】【分析】過點C作CD⊥AB于點D，根據(jù)∠A=60°，得到∠ACD=30°，則有AD=AC，在等腰△CMN中，CD⊥MN，CM=CN，則有MD=ND，即可求出AM．【詳解】過點C作CD⊥AB于點D，如圖，∵CD⊥AB，∠A=60°，∴在Rt△ACD中，有∠ACD=30°，∴AD=AC，又∵AC=4，∴AD=2，∵△MCN中，CM=CN，CD⊥AB，∴CD是等腰△CMN底邊的中線，∴MD=ND=MN，又∵MN=2，∴MD=1，∴AM=AD-MD=2-1=1，故選：A．【點睛】本題考查了含特殊角的直角三角形的性質(zhì)和等腰三角形的判定和性質(zhì)．過C點作AB的垂線是解答本題的關(guān)鍵．3．（2022·湖南邵陽·八年級期末）如圖，中，DE是線段AC的垂直平分線，且分別交BC，AC于點D，E，，，則（

）A．40° B．45° C．50° D．55°【答案】B【解析】【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出AD=CD，求出∠DAC的度數(shù)，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠BAC，即可得出答案．【詳解】∵DE是AC的垂直平分線且分別交BC，AC于點D和E，∴AD=CD，∴∠C=∠DAC，∵∠C=40°，∴∠DAC=40°，在△ABC中，∠B=55°，∠C=40°，∴∠BAC=180°-∠B-∠C=85°，∴∠BAD=∠BAC-∠DAC=85°-40°=45°故選：B．【點睛】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理等知識點，能求出AD=CD是解此題的關(guān)鍵．4．（2022·遼寧本溪·八年級期中）如圖，已知，平分，點，，分別是射線，，上的動點（，不與點重合）連接，連交射線于點，且，當(dāng)是等腰三角形時，則的度數(shù)為（

）A．或或 B．或 C．或 D．或【答案】C【解析】【分析】分兩種情況：①當(dāng)，即時，②當(dāng)，即時，運用平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義，可得的度數(shù)，根據(jù)、的度數(shù)以及的內(nèi)角和即可求解．【詳解】解：∵，OE平分，∴．∵，∴，當(dāng)，即時，∵，∴．∵，∴，∴；當(dāng)，即時，∵，，∴．∵，∴．綜上所述，的度數(shù)為或．故選：C．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理和平行線的性質(zhì)的應(yīng)用，利用平行線以及角平分線的性質(zhì)求出的度數(shù)是關(guān)鍵，注意分類討論思想的運用．5．（2022·甘肅武威·八年級期中）如圖，在四邊形ABCD中，，，，E是AC的中點，連接BE，BD，則的度數(shù)為（

）A．15° B．14° C．12° D．10°【答案】A【解析】【分析】連接，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得，，，從而得到為等邊三角形，，由等腰三角形的性質(zhì)可得，，得到，即可求解．【詳解】解：連接，如下圖：∵，E是AC的中點，∴，又∵，，∴，∴，為等邊三角形，∴，，∴，又∵，∴，故選：A【點睛】此題考查了直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．（2022·浙江紹興·中考真題）如圖，在中，，，以點為圓心，長為半徑作弧，交射線于點，連接，則的度數(shù)是______．【答案】10°或100°【解析】【分析】分兩種情況畫圖，由作圖可知得，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理解答即可．【詳解】解：如圖，點即為所求；在中，，，，由作圖可知：，，；由作圖可知：，，，，．綜上所述：的度數(shù)是或．故答案為：或．【點睛】本題考查了作圖復(fù)雜作圖，三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握基本作圖方法．7．（2022·河北保定·一模）將一副三角尺如圖所示疊放在一起，若，則（1）________；（2）陰影部分的面積是________．【答案】

4

8【解析】【分析】（1）利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)，就可以得出結(jié)果；（2）證得陰影部分是等腰直角三角形就可以求出其面積．【詳解】解：（1）由圖可知：在中，，∴．∵cm，∴cm．故答案為：4．（2）由圖可知：，∴，∴．又∵，∴是等腰直角三角形，∴．由（1）知：cm，∴cm．∴陰影部分的面積為：．故答案為：8．【點睛】本題考查了含30°角的直角三角形中30°角所對的直角邊是斜邊的一半、等腰直角三角形，平行線的性質(zhì)與判定、直角三角形的面積公式等知識．正確運用含30°的直角三角形的性質(zhì)和判斷出陰影部分是等腰直角三角形是解決本題的關(guān)鍵．8．（2022·貴州畢節(jié)·一模）如圖，P為△ABC邊BC上的一點，且PC＝2PB，已知∠ABC＝45°，∠APC＝60°，則∠ACB的度數(shù)是_____°．【答案】75【解析】【分析】過C作AP的垂線CD，垂足為點D．連接BD，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠DCP＝30°，求證PB＝PD；再根據(jù)三角形外角性質(zhì)求證BD＝AD，再利用△BPD是等腰三角形，然后可得AD＝DC，∠ACD＝45°從而求出∠ACB的度數(shù)．【詳解】解：過C作AP的垂線CD，垂足為點D．連接BD，∵△PCD中，∠CDP＝90°，∠APC＝60°，∴∠DCP＝90°－∠APC＝30°，∴PC＝2PD，∵PC＝2PB，∴BP＝PD，∴△BPD是等腰三角形，∴∠BDP＝∠DBP，∵∠BDP＋∠DBP＝∠APC＝60°，∴∠BDP＝∠DBP＝30°，∵∠ABP＝45°，∴∠ABD＝∠ABP－∠DBP＝15°，∵∠BAP＝∠APC﹣∠ABC＝60°﹣45°＝15°，∴∠ABD＝∠BAD＝15°，∴BD＝AD，∵∠DBP＝30°，∠DCP＝30°，∴BD＝DC，∴△BDC是等腰三角形，∵BD＝AD，∴AD＝DC，∵∠CDA＝90°，∴△ADC是等腰直角三角形，∴∠ACD＝45°，∴∠ACB＝∠DCP+∠ACD＝75°，故答案為：75．【點睛】此題主要考查三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)等知識點，添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解解決此題的關(guān)鍵．9．（2022·江蘇南京·一模）如圖，在正五邊形ABCDE中，M是AB的中點，連接AC，DM交于點N，則∠CND的度數(shù)是_____．【答案】【解析】【分析】連接BD，AD，根據(jù)正五邊形的性質(zhì)得到AB＝BC＝CD＝AE＝DE，∠BCD＝∠E，∠ABC＝108°，證明△BCD≌△AED，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BD＝AD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到DM⊥AB，求得∠AMN＝90°，于是得到結(jié)論．【詳解】解：連接BD，AD，在正五邊形ABCDE中，AB＝BC＝CD＝AE＝DE，∠BCD＝∠E，∠ABC＝＝108°，∴＝36°，在△BCD與△AED中，，∴△BCD≌△AED（SAS），∴BD＝AD，∵M是AB的中點，∴BM＝AM，∴DM⊥AB，∴∠AMN＝90°，∴∠CND＝∠ANM＝90°﹣36°＝54°，故答案為：54°．【點睛】本題考查了正多邊形，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．10．（2022·上海·七年級單元測試）如圖，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分線相交于點D，過點D作DE∥AB交BC于點E，DF∥AC交BC于點F，若BC＝a，AB＝c，AC＝b，則△DEF的周長為_____．【答案】a【解析】【分析】根據(jù)角平分線的定義可得∠ABD＝∠EBD，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠ABD＝∠EDB，然后求出∠EBD＝∠EDB，根據(jù)等角對等邊的性質(zhì)可得BE＝DE，同理可得CF＝DF，然后求出△DEF的周長＝BC，代入數(shù)據(jù)即可得解．【詳解】解：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠EBD，∵DE∥AB，∴∠ABD＝∠EDB，∴∠EBD＝∠EDB，∴BE＝DE，同理可得：CF＝DF，∴△DEF的周長＝DE+EF+DF＝BE+EF+CF＝BC，∵BC＝a，∴△DEF的周長＝a．故答案為：a．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)與判定，主要利用了角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，等角對等邊的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．11．（2022·浙江·金華市第九中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，AB＝DC，∠B＝∠C，E，F(xiàn)是邊BC上的兩點，且BE＝CF．(1)求證：△ABF≌△DCE．(2)若∠APE＝70°，求∠ADP的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)35°【解析】(1)證明：∵BE=CF，∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE，在△ABF和△DCE中，∴△ABF≌△DCE；(2)∵△ABF≌△DCE，∴AF=DE，∠AFB=∠DEC，∴PE=PF，∴AF-PF=DE-PE，即PA=PD，∴∠PAD=∠PDA，又∵∠APE=∠PAD+∠PDA，∴∠PDA=∠APE=35°．【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)以及等腰三角形的判定和性質(zhì)，利用全等三角形的性質(zhì)得到∠PAD=∠PDA是解決問題的關(guān)鍵．12．（2022·河北唐山·八年級期末）已知：如圖，在中，，，，垂足分別為D、E，與交于點O．發(fā)現(xiàn)：與有何數(shù)量關(guān)系？并說明理由；探索：判斷的形狀，并說明理由；拓展：連接并延長，交于點F，請你直接寫出一條關(guān)于的結(jié)論．【答案】發(fā)現(xiàn)：BD=CE，理由見詳解；探索：△BOC是等腰三角形，理由見詳解；拓展：AF⊥BC，理由見詳解（或者AF平分∠BAC，證明過程同AF⊥BC的證明過程）【解析】【分析】（1）利用AAS定理證明，即可得BD=CE；（2）結(jié)合“發(fā)現(xiàn)”中已經(jīng)證得，可知∠DBC=∠ECB，即有有OC=OB，即△BOC是等腰三角形；（3）在“探索”中已經(jīng)證得BO=CO，即根據(jù)AB=AC，AO=AO，得，則有∠EAO=∠DAO，再結(jié)合AB=AC，AF=AF，得，即有∠AFB=∠AFC=90°，即可得AF⊥BC．【詳解】發(fā)現(xiàn)：BD=CE，理由如下：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，又∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠CEB=∠BDC=90°，又有BC=CB，∴，∴BD=CE，得證；探索：△BOC是等腰三角形，理由如下：在“發(fā)現(xiàn)”中已經(jīng)證得，∴∠DBC=∠ECB，∴有OC=OB，即△BOC是等腰三角形，得證；拓展：AF⊥BC，理由如下：如圖：在“探索”中已經(jīng)證得BO=CO，又∵AB=AC，AO=AO，∴，∴∠EAO=∠DAO，∴AF平分∠BAC，又∵AB=AC，AF=AF，∴，∴∠AFB=∠AFC=90°，∴AF⊥BC．【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)、角平分線的判定等知識，掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．13．（2021·浙江溫州·一模）我們把端點都在格點上的線段叫做格點線段，如圖，在6×6的方格紙中，有一格點線段AB，請按要求畫圖．(1)在圖1中畫格點線段AC，BC，使得AC⊥BC．(2)在圖2中畫一格點線段EF，使得EF將AB平分，并且與AB的夾角是45°．【答案】(1)見解析(2)見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)題意畫出圖形即可（答案不唯一）；（2）利用等腰直角三角形的性質(zhì)，構(gòu)建圖形即可；(1)解：如圖1中，點C，點C′，點C″即為所求（答案不唯一）．；(2)解：如圖2中，線段EF即為所求．．【點睛】本題考查作圖-應(yīng)用與設(shè)計作圖，等腰三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題．14．（2022·遼寧遼寧·二模）綜合與實踐：(1)問題發(fā)現(xiàn)如圖1，和均為等邊三角形，點A，D，E在同一直線上，連接BE．請寫出的度數(shù)及線段之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．(2)類比探究：如圖2，和均為等腰直角三角形，，點A，D，E在同一直線上，CM為中DE邊上的高，連接BE．填空：①的度數(shù)為_______；②線段之間的數(shù)量關(guān)系為_________，并說明理由．(3)拓展延伸；在（2）的條件下，若，求四邊形ABEC的面積．【答案】(1)∠AEB=60°，AD=BE，理由見解析(2)①90°，②AE=BE+2CM，理由見解析(3)35【解析】【分析】（1）先得出∠ACD=∠BCE，進而用SAS判斷出△ACD≌△BCE，即可得出結(jié)論；（2）①同（1）的方法，即可得出結(jié)論；②由△ACD≌△BCE得出AD=BE，再判斷出DM=CM，即可得出結(jié)論．（3）根據(jù)（2）的結(jié)論求得AE＝10，再根據(jù)四邊形ABEC的面積＝△ACE的面積+△ABE的面積，通過計算即可求解．(1)解：∵△ACB和△DCE是等邊三角形，∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴∠ADC=∠BEC，AD=BE，∵△CDE是等邊三角形，∴∠CDE=∠CED=60°，∴∠ADC=180°-∠CDE=120°，∴∠BEC=120°，∴∠AEB=∠BEC-∠CED=120°-60°=60°；(2)解：同（1）的方法得，△ACD≌△BCE（SAS），∴∠ADC=∠BEC，∵△DCE是等腰直角三角形，∴∠CDE=∠CED=45°，∴∠ADC=180°-∠CDE=135°，∴∠BEC=135°，∴∠AEB=∠BEC-∠CED=135°-45°=90°；②∵△ACD≌△BCE，∴AD=BE，∵CD=CE，CM⊥DE，∴DM=ME，在Rt△DCE中，CM⊥DE，∠CDM=45°，∴∠DCM=∠CDM=45°，∴DM=CM，∴DM=ME=CM，∴AE=AD+DE=BE+2CM．(3)解：由（2）得：∠AEB=90°，AD=BE=4，∵△DCE均為等腰直角三角形，CM為△DCE中DE邊上的高，∴CM⊥AE，∠CDE=∠CED=45°，∴∠CDE=∠CED=∠DCM=∠ECM=45°，∴CM=DM=ME，∴DE＝2CM＝6，∴AE＝AD+DE＝4+6＝10，∴四邊形ABEC的面積＝△ACE的面積+△ABE的面積＝AE×CM+AE×BE＝×10×3+×10×4＝35；故答案為：35．【點睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，判斷出△ACD≌△BCE是解本題的關(guān)鍵．15．（2022·廣東·江門市第二中學(xué)八年級開學(xué)考試）已知，在△ABC中，∠BAC＝2∠B，E是AB上一點，AE＝AC，AD⊥CE，垂足為D，交BC于點F．(1)如圖1，若∠BCE＝30°，試判斷△ABC的形狀，并說明理由；(2)如圖2，若AD＝4，求BC的長．【答案】(1)△ABC為直角三角形，理由見解析(2)8【解析】【分析】（1）根據(jù)已知求得∠BAD＝∠CAD＝∠B，由∠BCE＝30°，∠CDF＝90°，求得∠AFC＝∠B+∠BAF＝60°，即可求出∠ACD＝60°，得到△ABC為直角三角形；（2）過C作CG∥AB交AD的延長線于點G．于是得到∠B＝∠BCG，∠BAF＝∠CAF＝∠G，求得∠BCG＝∠G，根據(jù)等式的性質(zhì)得到AG＝BC，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．(1)解：△ABC為直角三角形，理由如下：∵AE＝AC，AD⊥CE，∴∠ADC＝∠CDF＝90°，∴∠BAC＝2∠EAD＝2∠CAD，又∵∠BAC＝2∠B，∴∠BAD＝∠CAD＝∠B，∵∠BCE＝30°，∠CDF＝90°，∴∠AFC＝∠B+∠BAF＝60°，∴∠BAF＝∠B＝∠CAD＝30°，∵∠ADC＝90°，∴∠ACD＝60°，∴∠BCA＝90°，即△ABC為直角三角形；(2)如圖2，過C作CG∥AB交AD的延長線于點G．則：∠B＝∠BCG，∠BAF＝∠CAF＝∠G，又∵∠BAF＝∠B，∴∠BCG＝∠G，∴CA＝CG，F(xiàn)A＝FB，F(xiàn)C＝FG，∴AG＝BC，在△ACG中，CA＝CG，AG⊥CD，∴AG＝2AD＝2DG，∴BC＝2AD，∵AD＝4，∴BC＝2AD＝8．【點睛】此題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的判定和性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【亮點訓(xùn)練】1．（2022·云南臨滄·八年級期末）如圖，在Rt△ABC中，斜邊AB的垂直平分線交邊AB于點E，交邊BC于點D，如果∠ABC=26°，那么∠CAD的度數(shù)為（

）A．26° B．38° C．64° D．32°【答案】B【解析】【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得，再利用等腰三角形的性質(zhì)和直角三角形兩銳角互余即可求解．【詳解】解：∵斜邊AB的垂直平分線交邊AB于點E，交邊BC于點D，∴，∴，∴，故選：B．【點睛】本題考查線段垂直平分線的性質(zhì)，線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等．2．（2022·山東臨沂·八年級期末）如圖，E為△ABC內(nèi)一點，BE平分∠ABC，CD⊥BE，垂足為E，交AB于點D，∠A=∠ACD，CE=1，BC=3，則AB的長為（

）A．4 B．5 C．5.5 D．6【答案】B【解析】【分析】根據(jù)角平分線的定義得到，根據(jù)垂直的定義得到，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，，求得，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，于是得到結(jié)論．【詳解】解：平分，，，，在與中，，，，，，，，，故選：B．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的定義，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．3．（2022·山東濰坊·八年級期末）如圖，在△ABC中，點D，E在邊BC上，BD＝CE，則添加下列條件后，仍不能證明△ABD≌△ACE的是（

）A．AB＝AC B．∠B＝∠C C．AD＝AE D．∠BAD＝∠CAE【答案】D【解析】【分析】根據(jù)全等三角形的判定定理SAS，ASA，AAS，SSS，對每一個選項進行判斷即可．【詳解】解：A、∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE（SAS），故A選項不符合題意；B、∵∠B=∠C，∴AB=AC，∵在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE（SAS），故B選項不符合題意；C、∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED，∴∠ADB=∠AEC，∵在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE（SAS），故C選項不符合題意；D、∠BAD＝∠CAE不能得到△ABD≌△ACE，故D選項符合題意；故選D．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，等腰三角形的性質(zhì)：①等邊對等角，②等腰三角形底邊上的高，底邊上的中線，頂角的平分線三線重合．4．（2022·河北石家莊·八年級期末）如圖，在中，，垂足為D，EF垂直平分AC，交AC于點F，交BC于點E，，若的周長為26cm，，則DC的長為（

）A．4 B．8 C．6 D．7【答案】B【解析】【分析】根據(jù)線段垂直平分線和等腰三角形性質(zhì)得出AB＝AE＝CE，能推出2DE+2EC＝16（cm），即可得出答案．【詳解】∵AD⊥BC，BD＝DE，EF垂直平分AC，∴AB＝AE＝EC，∵△ABC周長26cm，AF＝5cm，∴AC＝10（cm），∴AB+BC＝16（cm），∴AB+BE+EC＝16（cm），即2DE+2EC＝16（cm），∴DE+EC＝8（cm），∴DC＝DE+EC＝8（cm），故選：B【點睛】本題主要考查三角形的線段長度，解題的關(guān)鍵是熟知等腰三角形的性質(zhì)及垂直平分線的性質(zhì)．5．（2022·云南德宏·八年級期末）以下說法中，正確的命題的個數(shù)為（

）①三角形的中線、高、角平分線都是直線；②三角形的一個外角等于兩個內(nèi)角的和；③有兩條邊和一角對應(yīng)相等的兩個三角形全等；④三角形具有穩(wěn)定性；⑤如果三角形的一個外角的平分線平行于三角形的一邊，那么這個三角形是等腰三角形A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【解析】【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、三角形的全等以及三角形的外角的性質(zhì)對各選項分析判斷即可得解．【詳解】解：三角形的中線、高、角平分線都是線段，故①選項錯誤，不符合題意；三角形的一個外角等于它不相鄰的兩個內(nèi)角之和，故②選項錯誤，不符合題意；有兩邊及一角對應(yīng)相等的兩個三角形不一定全等，必須是夾角，故③選項錯誤，不符合題意；三角形具有穩(wěn)定性正確，故④選項正確，符合題意；如果三角形的一個外角平分線平行三角形的一邊，那么這個三角形是等腰三角形正確，故⑤選項正確，符合題意；故選：A．【點睛】本題考查三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)以及三角形的外角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．6．（2022·陜西渭南·一模）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝120°，AD是△ABC的中線，AE是∠BAD的平分線，過點D作DF∥AB交AE的延長線于點F，則DF的長為_____．【答案】2【解析】【分析】根據(jù)已知條件，△ABC是等腰三角形，D為底邊的中點，可得AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，根據(jù)AE是∠BAD的角平分線，進而可得∠DAF＝∠F，AD＝DF，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)求得AD的長，即可求得的長．【詳解】解：∵△ABC是等腰三角形，D為底邊的中點，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，∵∠BAC＝120°，∴∠BAD＝60°，∠ADB＝90°，∵AE是∠BAD的角平分線，∴∠DAE＝∠EAB＝30°，∵DF∥AB，∴∠F＝∠BAE＝30°，∴∠DAF＝∠F＝30°，∴AD＝DF，∵AB＝6，∠B＝30°，∴ADAB＝2，∴DF＝2，故答案為：2．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)與判定，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，掌握含30度角的直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．（2022·河北唐山·八年級期末）已知：如圖，D為的邊BC延長線上一點，和的角平分線交于點O，過點О作BC的平行線，分別交AB，AC于點E，F(xiàn)，若，，則__________．【答案】2【解析】【分析】根據(jù)已知角平分線和平行線可證明等腰三角形，所以根據(jù)已知易證△BEO與△CFO是等腰三角形，即可解答．【詳解】解：∵BO平分∠ABC，∴∠ABO＝∠OBC，∵OEBC，∴∠OBC＝∠EOB，∴∠ABO＝∠EOB，∴EB＝EO＝5，∵CO平分∠ACD，∴∠ACO＝∠OCD，∵OEBC，∴∠EOC＝∠OCD，∴∠ACO＝∠EOC，∴FO＝FC＝3，∴EF＝EO﹣FO＝5﹣3＝2，故答案為：2．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握已知角平分線和平行線可證明等腰三角形，是解題的關(guān)鍵．8．（2022·云南曲靖·八年級期末）已知a、b為等腰三角形的兩邊長，且滿足，則等腰三角形的周長是______．【答案】18或15【解析】【分析】直接利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得出a，b的值，再利用等腰三角形的性質(zhì)得出答案．【詳解】解∶∵（a-7）2+|b-4|=0，∴a-7=0，b-4=0，解得：a=7，b=4，∵等腰三角形的兩邊長分別為a，b，∴當(dāng)a為腰長時，∴等腰三角形的周長為：7+7+4=18，當(dāng)b為腰長時，等腰三角形的周長為：7+4+4=15，故此等腰三角形的周長為18或15．故答案為：18或15．【點睛】此題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)以及非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，正確分情況討論是解題關(guān)鍵．9．（2022·天津西青·八年級期末）如圖，在一個三角形紙片ABC中，，，點D在邊BC上，將沿直線AD折疊，點B恰好落在AC邊上的點E處．若，則AC的長是______．【答案】6【解析】【分析】由折疊性質(zhì)可知，，由，可得是等腰三角形，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可求的長，進而可求的長．【詳解】解：由折疊性質(zhì)可知，∵∴是等腰三角形∵∴∴故答案為：6．【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)．解題的關(guān)鍵在于熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)．10．（2022·湖北荊州·八年級期末）如圖，△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，MN經(jīng)過點O，與AB，AC相交于點M，N，且MN∥BC，若AB＝5cm，AC＝6cm，則△AMN的周長為_______．【答案】11cm【解析】【分析】由題意易得，然后由平行線的性質(zhì)可得，則有，進而可得，最后問題可求解．【詳解】解：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴，∵MN∥BC，∴，∴，∴，∵AB＝5cm，AC＝6cm，∴；故答案為11cm．【點睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)、角平分線的定義及等腰三角形的判定，熟練掌握平行線的性質(zhì)、角平分線的定義及等腰三角形的判定是解題的關(guān)鍵．11．（2022·江蘇鹽城·二模）已知：如圖，，，AC和BD相交于點O．點M是BC的中點，連接OM．(1)求證：；(2)求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)【解析】【分析】（1）根據(jù)邊邊邊直接證明兩三角形全等即可；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，進而證明是等腰三角形，根據(jù)三線合一可得，即可求得．(1)證明：在和中，，∴（SSS）．(2)解：由（1）得：，∴OB=OC∴是等腰三角形．∵點M是BC的中點，∴，∴．【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)與判定，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．12．（2022·廣西百色·八年級期末）如圖，已知AD是△ABC的角平分線，DE，DF分別是△ABD和△ACD的高，AD與EF相交于點M．(1)求證：△ADE≌△ADF；(2)求證：AD垂直平分EF．【答案】(1)見解析(2)見解析【解析】【分析】（1）由角平分線的性質(zhì)定理可得DE＝DF，然后根據(jù)“HL”可進行求證；（2）由（1）可得AE＝AF，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可求證．(1)證明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF．∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠AED＝∠AFD＝90°，∴在Rt△ADE和Rt△ADF中，，∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）；(2)證明：∵Rt△ADE≌Rt△ADF∴AE＝AF又∵AD是△ABC的角平分線∴AD是線段EF的垂直平分線．【點睛】本題主要考查角平分線的性質(zhì)定理、“HL”及等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握角平分線的性質(zhì)定理、“HL”及等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．13．（2022·湖南岳陽·八年級期末）已知：如圖所示，Rt△ABC中，，，O為BC的中點．(1)寫出點O到△ABC的三個頂點A、B、C的距離的關(guān)系（不要求證明）(2)如果點M、N分別在線段AC、AB上移動，且在移動中保持．試判斷△OMN的形狀，并證明你的結(jié)論．(3)如果點M、N分別在線段CA、AB的延長線上移動，且在移動中保持，試判斷（2）中結(jié)論是否依然成立，如果是請給出證明．【答案】(1)(2)△OMN是等腰直角三角形；見解析(3)成立；見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)即可解答；（2）連接OA，證明，利用全等三角形的性質(zhì)推出，通過角度等量代換推出即可解答；（3）連接OA，與（2）同理，證明，利用全等三角形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)可以解答．(1)解：如圖1，連接OA，Rt△ABC中，，O為BC的中點，AO為Rt△ABC斜邊的中線，，；(2)△OMN是等腰直角三角形，證明如下：Rt△ABC中，，，，，，，，，在和中，，，，，，，△OMN是等腰直角三角形；(3)結(jié)論成立，證明如下：如圖2，連接OA，，，，，，，，，在和中，，，，，，，△OMN是等腰直角三角形；【點睛】本題考查直角三角形斜邊中線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)等，根據(jù)題意綜合運用上述知識是解題的關(guān)鍵．14．（2022·浙江溫州·模擬預(yù)測）如圖，在6×4的方格紙ABCD中，請按要求畫格點三角形（端點在格點上），且三角形的各個頂點均不與點A，B，C，D重合，各邊不落在格線上．(1)在圖1中畫格點△EFG，使三角形的各頂點落在四邊形ABCD的邊上，且使它為等腰三角形．(2)在圖2中畫格點△EFG和△MNH，且使得它們?nèi)?，每條對應(yīng)邊都相互垂直．【答案】(1)見解析（答案不唯一，只要符合要求即可）(2)見解析（答案不唯一，只要符合題目要求即可）【解析】【分析】（1）根據(jù)題目要求畫△EFG即可；（2）根據(jù)題意要求畫出兩個格點三角形即可．(1)這樣的等腰三角形的頂點一定在四邊形某條邊的中點上，如圖所示：(2)根據(jù)題意可以畫出如圖所示的圖形：【點睛】本題主要考查了作圖——應(yīng)用于設(shè)計作圖，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題．15．（2022·海南華僑中學(xué)八年級期末）如圖，在中，，，AD是BC的中線，．(1)求證：(2)是什么形狀的三角形？請說明理由．【答案】(1)見解析(2)為等腰直角三角形，理由見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)條件證明即可得