專題08直線的交點坐標與距離公式（4個知識點4個拓展1個突破6種題型1個易錯點2種高考考法）（原卷版）

專題08直線的交點坐標與距離公式（4個知識點4個拓展1個突破6種題型1個易錯點2種高考考法）【目錄】倍速學習四種方法【方法一】脈絡(luò)梳理法知識點1.兩條直線的交點坐標知識點2.兩點間的距離公式知識點3.點到直線的距離公式知識點4.兩條平行線間的距離拓展1.過兩直線交點的直線方程問題的一般解法拓展2.距離公式拓展3.靈活結(jié)合幾何性質(zhì)求直線方程拓展4.與直線有關(guān)的對稱問題的解決方法突破與直線有關(guān)的對稱的應(yīng)用【方法二】實例探索法題型1.兩條直線的交點坐標的應(yīng)用題型2.方程含參數(shù)的直線過定點問題題型3.平面上兩點間距離公式的應(yīng)用題型4.運用解析法解決平面幾何問題題型5.點到直線的距離公式的應(yīng)用題型6.兩條平行直線間的距離的應(yīng)用【方法三】差異對比法易錯點.處理距離的綜合問題時分類討論不全致誤【方法四】仿真實戰(zhàn)法考法1．點到直線的距離公式考法2．兩條平行直線間的距離【方法五】成果評定法【倍速學習五種方法】【方法一】脈絡(luò)梳理法知識點1.兩條直線的交點坐標（1）一般地，將兩條直線的方程聯(lián)立，得到二元一次方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0,A2x＋B2y＋C2＝0))．若方程組有惟一解，則兩條直線相交，此解就是交點的坐標；若方程組無解，則兩條直線無公共點，此時兩條直線平行；若方程組有無數(shù)解，則兩條直線有無數(shù)個公共點，此時兩條直線重合．（2）方程λ（A1x+B1y+C1）+（A2x+B2y+C2）＝0為直線系，所有的直線恒過一個定點，其定點就是A1x+B1y+C1＝0與A2x+B2y+C2＝0的交點．【例1】分別判斷下列直線是否相交，若相交，求出它們的交點．(1)l1：2x－y＝7和l2：3x＋2y－7＝0；(2)l1：2x－6y＋4＝0和l2：4x－12y＋8＝0；(3)l1：4x＋2y＋4＝0和l2：y＝－2x＋3.【變式1】（2022秋?順義區(qū)期末）若直線x﹣ay＝0與直線2x+y﹣1＝0的交點為（1，y0），則實數(shù)a的值為（）A．﹣1 B． C．1 D．2【變式2】若直線l1：y＝kx＋k＋2與直線l2：y＝－2x＋4的交點在第一象限內(nèi)，則實數(shù)k的取值范圍是()A．k＞－eq\f(2,3) B．k＜2C．－eq\f(2,3)＜k＜2 D．k＜－eq\f(2,3)或k＞2知識點2.兩點間的距離公式(1)平面上的兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)間的距離公式|P1P2|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).(2)兩點間距離的特殊情況①原點O(0,0)與任一點P(x，y)的距離|OP|＝eq\r(x2＋y2).②當P1P2∥x軸(y1＝y(tǒng)2)時，|P1P2|＝|x2－x1|.③當P1P2∥y軸(x1＝x2)時，|P1P2|＝|y2－y1|.【例2】已知△ABC的三個頂點坐標分別是A(1，－1)，B(－1,3)，C(3,0)．(1)判斷△ABC的形狀；(2)求△ABC的面積．【變式1】（2022秋?重慶期末）已知三角形的三個頂點A（2，4），B（3，﹣6），C（5，2），則BC邊上中線的長為（）A． B． C． D．【變式2】已知點A(－3,4)，B(2，eq\r(3))，在x軸上找一點P，使|PA|＝|PB|，并求|PA|的值．知識點3.點到直線的距離公式從直線外一點到這直線的垂線段的長度叫做點到直線的距離．而這條垂線段的距離是任何點到直線中最短的距離．設(shè)直線方程為Ax+By+C＝0，直線外某點的坐標為（X0，Y0）那么這點到這直線的距離就為：d＝．【例3】(1)已知點A(a,2)(a＞0)到直線l：x－y＋3＝0的距離為1，則a的值為________．(2)求點P(3，－2)到下列直線的距離：①y＝eq\f(3,4)x＋eq\f(1,4)；②y＝6；③x＝4.【變式1】（2022秋?金水區(qū)校級期末）若直線l與直線y＝x平行，且原點到直線l的距離為2，則直線l的方程為．【變式2】．求點P0(―1,2)到下列直線的距離：(1)2x＋y―10＝0；(2)x＋y＝2；(3)y―1＝0.知識點4.兩條平行線間的距離兩平行線的距離就是指平行線上的點到另一條直線的最短距離，因為兩直線平行，所以直線上的點到另一條平行線上的點的距離都相等，若設(shè)兩條平行線的表達式為：ax+by+c＝0和ax+by+d＝0，其中c≠d，那么這兩條直線的距離為：d＝【例4】(1)兩條直線l1：3x＋y－3＝0，l2：6x＋my＋1＝0平行，則它們之間的距離為()A．4 B．eq\f(2\r(13),13)C．eq\f(5\r(13),26) D．eq\f(7\r(10),20)(2)已知直線l1過點A(0,1)，l2過點B(5,0)，如果l1∥l2，且l1與l2之間的距離為5，求l1，l2的方程．【變式1】（2022秋?濱江區(qū)校級期末）已知直線l1：2x+3my﹣m+2＝0，l2：mx+6x﹣4＝0，若l1∥l2，則l1與l2之間的距離為．【變式2】已知直線l的方程為2x－y＋1＝0.(1)求過點A(3,2)，且與直線l垂直的直線l1的方程；(2)求與直線l平行，且到點P(3,0)的距離為eq\r(5)的直線l2的方程．拓展1.過兩直線交點的直線方程問題的一般解法過兩條直線交點的直線方程的求法(1)常規(guī)解法(方程組法)：一般是先解方程組求出交點坐標，再結(jié)合其他條件寫出直線方程．(2)特殊解法(直線系法)：先設(shè)出過兩條直線交點的直線方程，再結(jié)合其他條件用待定系數(shù)法求出參數(shù)，最后確定直線方程．【例5】求過兩直線2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交點且與直線3x＋y－1＝0平行的直線方程．拓展2.距離公式1．求參數(shù)問題利用距離公式建立關(guān)于參數(shù)的方程或方程組，通過解方程或方程組求值．2．求方程的問題立足確定直線的幾何要素——點和方向，利用直線方程的各種形式，結(jié)合直線的位置關(guān)系(平行直線系、垂直直線系及過交點的直線系)，巧設(shè)直線方程，在此基礎(chǔ)上借助三種距離公式求解．3．最值問題(1)利用對稱轉(zhuǎn)化為兩點之間的距離問題．(2)利用所求式子的幾何意義轉(zhuǎn)化為點到直線的距離．(3)利用距離公式將問題轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)的最值問題，通過配方求最值．【例6】已知正方形的中心為直線2x－y＋2＝0，x＋y＋1＝0的交點，正方形一邊所在的直線l的方程為x＋3y－5＝0，求正方形其他三邊所在直線的方程．拓展3.靈活結(jié)合幾何性質(zhì)求直線方程【例7】（2023秋·高二課時練習）若直線與直線的交點位于第一象限，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A．或 B． C． D．【變式1】（2023春·重慶南岸·高二重慶市第十一中學校?？计谥校┮阎本€：過定點，則點到直線：距離的最大值是（

）A．1 B．2 C． D．【變式2】（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）若三條直線，，能構(gòu)成三角形，求a應(yīng)滿足的條件．拓展4.與直線有關(guān)的對稱問題的解決方法【例8】．（2023秋·河北邢臺·高二河北南宮中學校考階段練習）一條光線從點射出，與軸相交于點，則反射光線所在直線在軸上的截距為（

）A． B． C． D．【變式1】（2023·全國·高二專題練習）如圖，在等腰直角三角形中，，點是邊上異于的一點，光線從點出發(fā)，經(jīng)發(fā)射后又回到原點，若光線經(jīng)過的重心，則長為.【變式2】（2023·全國·高二專題練習）光線從射向軸上一點，又從反射到直線上一點，最后從點反射回到點，則BC所在的直線方程為．【變式3】（2023秋·廣西南寧·高二校考階段練習）已知直線和點(1)求點關(guān)于直線的對稱點的坐標；(2)求直線關(guān)于點對稱的直線方程.突破與直線有關(guān)的對稱的應(yīng)用【例9】（2023秋·高二單元測試）在等腰直角三角形中，，點是邊上異于的一點，光線從點出發(fā)，經(jīng)反射后又回到原點，光線經(jīng)過的重心．(1)建立適當?shù)淖鴺讼?，請求的重心的坐標?2)求點的坐標；(3)求的周長．【變式】（2023·全國·高二隨堂練習）某地兩村在一直角坐標系下的位置分別為，，一條河所在直線l的方程為．在河邊上建一座供水站分別向兩鎮(zhèn)供水，若要使所用管道最省，則供水站應(yīng)建在什么地方?【方法二】實例探索法題型1.兩條直線的交點坐標的應(yīng)用1．（2022秋?西青區(qū)校級期末）過直線l1：x﹣2y+4＝0與直線l2：x+y+1＝0的交點，且過原點的直線方程為（）A．2x﹣y＝0 B．2x+y＝0 C．x﹣2y＝0 D．x+2y＝02．（2022秋?桂林期末）已知直線l1：3x+4y﹣2＝0與l2：2x+y+2＝0的交點為P．（1）求交點P的坐標；（2）求過點P且平行于直線l3：x﹣2y﹣1＝0的直線方程．題型2.方程含參數(shù)的直線過定點問題3．（2022秋?恩陽區(qū)期中）直線l：mx﹣3m+y﹣1＝0（m∈R）過定點A，則點A的坐標為（）A．（﹣3，1） B．（﹣3，﹣1） C．（3，﹣1） D．（3，1）4．（2022秋?七里河區(qū)校級期末）已知直線l：ax+y+a+1＝0，其恒過的定點為．題型3.平面上兩點間距離公式的應(yīng)用5．（2022秋?靜海區(qū)校級期末）點P（1，m）到直線l：3x+4y﹣2＝0的距離等于3，求m的值為．6．（2022秋?潁州區(qū)校級期末）已知△ABC中，B（2，1），C（﹣2，3）．（1）求BC邊所在直線的方程；（2）直線kx﹣y+4﹣3k＝0過定點，設(shè)該定點為A，求△ABC的面積．題型4.運用解析法解決平面幾何問題7．（2023·全國·高二課堂例題）在直角三角形中，點為斜邊的中點，試建立適當?shù)闹苯亲鴺讼?，求證：．8．（2023·全國·高二隨堂練習）如圖，在等邊三角形ABC中，點D，E分別在邊BC，AC上，且，，AD，BE相交于點P．求證：.題型5.點到直線的距離公式的應(yīng)用9．已知直線l1：3x＋4ay－2＝0(a＞0)，l2：2x＋y＋2＝0.(1)當a＝1時，直線l過l1與l2的交點，且垂直于直線x―2y―1＝0，求直線l的方程；(2)求點Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)，1))到直線l1的距離d的最大值．題型6.兩條平行直線間的距離的應(yīng)用10．（2022秋?陽泉期末）若兩條直線l1：x+2y﹣6＝0與l2：x+ay﹣5＝0平行，則l1與l2間的距離是（）A． B． C． D．11．（2023春?靖江市校級月考）已知兩條直線l1：（a+1）x+2y﹣2＝0和l2：x+ay﹣1＝0，其中a∈R．若l1∥l2，則直線l1與l2之間的距離為．12．（2022秋?水磨溝區(qū)校級期末）已知直線3x+4y﹣3＝0與6x+my+14＝0相互平行，則它們之間的距離是．【方法三】差異對比法易錯點.處理距離的綜合問題時分類討論不全致誤13．（2022秋?靜海區(qū)校級期末）點P（1，m）到直線l：3x+4y﹣2＝0的距離等于3，求m的值為．【方法四】仿真實戰(zhàn)法考法1．點到直線的距離公式1．（2020?新課標Ⅲ）點（0，﹣1）到直線y＝k（x+1）距離的最大值為（）A．1 B． C． D．2考法2．兩條平行直線間的距離2．（2020?上海）已知直線l1：x+ay＝1，l2：ax+y＝1，若l1∥l2，則l1與l2的距離為．【方法五】成果評定法一．選擇題（共8小題）1．（2023秋?滄縣校級月考）若A（7，8），B（10，4），C（2，﹣4），求△ABC的面積為（）A．28 B．14 C．56 D．202．（2022秋?郊區(qū)校級期末）已知直線，若l1∥l2，則l1與l2之間的距離為（）A．1 B．2 C． D．3．（2023?武安市校級開學）已知A（4，0）到直線4x﹣3y+a＝0的距離等于3，則a的值為（）A．﹣1 B．﹣13或﹣19 C．﹣1或﹣31 D．﹣134．（2023春?樟樹市校級期末）若直線y＝x+2k+1與直線y＝﹣x+2的交點在第一象限，則實數(shù)k的取值范圍是（）A．（﹣，） B．（﹣，） C．[﹣，﹣] D．[﹣，]5．（2023?高郵市開學）兩條平行直線3x﹣y+3＝0和ax﹣y+4＝0間的距離為d，則a，d分別為（）A． B． C． D．6．（2023秋?泗陽縣校級月考）若點P（x，y）在直線2x+y﹣5＝0上，O是原點，則OP的最小值為（）A． B．2 C． D．47．（2023秋?平羅縣校級月考）已知直線l1：3x+4y﹣5＝0與l2：3x+5y﹣6＝0相交，則它們的交點是（）A．（﹣1，） B．（，1） C．（1，） D．（﹣1，﹣）8．（2022秋?舟山期末）已知點P在直線y＝x+3上，A（1，0），B（3，0），則|PA|+|PB|的最小值為（）A． B．5 C． D．二．多選題（共4小題）（多選）9．（2022秋?香坊區(qū)校級期末）已知A（3，4），B（﹣6，﹣3）（A，B?l）兩點到直線l：ax+y+1＝0的距離相等，則a的值可能為（）A． B． C．﹣1 D．1（多選）10．（2022秋?嘉興期中）下列各結(jié)論，正確的是（）A．直線x﹣y﹣1＝0與兩坐標軸交于A，B兩點，則 B．直線2x﹣y＝0與直線之間的距離為 C．直線上的點到原點的距離最小為1 D．點A（﹣1，1）與點B（2，0）到直線x﹣y＝0的距離相等（多選）11．（2022秋?益陽期末）定義點P（x0，y0）到直線l：ax+by+c＝0（a2+b2≠0）的有向距離為．已知點P1，P2到直線l的有向距離分別是d1，d2.以下命題不正確的是（）A．若d1＝d2＝1，則直線P1P2與直線l平行 B．若d1＝1，d2＝﹣1，則直線P1P2與直線l垂直 C．若d1+d2＝0，則直線P1P2與直線l垂直 D．若d1?d2≤0，則直線P1P2與直線l相交（多選）12．（2023?武安市校級開學）下列結(jié)論不正確的是（）A．過點A（1，3），B（﹣3，1）的直線的傾斜角為30° B．直線（3+m）x+4y﹣3+3m＝0（m∈R）恒過定點（﹣3，﹣3） C．直線x+2y﹣4＝0與直線2x+4y+1＝0之間的距離是 D．已知A（2，3），B（﹣1，1），點P在x軸上，則|PA|+|PB|的最小值是5三．填空題（共4小題）13．（2023秋?泗陽縣校級月考）平行直線l1：3x﹣4y+6＝0與l2：6x﹣8y+9＝0之間的距離為．14．（2023?山西開學）已知直線l經(jīng)過點（1，1），且A（﹣4，﹣1），B（﹣2，3）兩點到直線l的距離相等，則直線l的方程為．15．（2022秋?宿遷期末）過點（2，3）的直線l被兩平行直線l1：2x﹣5y+9＝0與l2：2x﹣5y﹣7＝0所截線段AB的中點恰在直線x﹣4y﹣1＝0上，則直線l的方程是．16．（2023秋?南岸區(qū)校級月考）A是直線l：y＝﹣3x上的一點，B（3，2）為定點，直線AB交x軸正半軸于點C，當△AOC面積最小時，點A的坐標是．四．解答題（共6小題）17．（2022春?崇明區(qū)校級期中）設(shè)常數(shù)a∈R，已知直線l1：（