核心素養(yǎng)訓(xùn)練（解析版） - 2021屆高三數(shù)學(xué)三輪復(fù)習(xí)精要（新高考地區(qū)專用）

2021屆高三數(shù)學(xué)三輪復(fù)習(xí)精要(新高考地區(qū)專用)

專題06核心素養(yǎng)訓(xùn)練

1.2020年1月15日教育部制定出臺(tái)了《關(guān)于在部分高校開(kāi)展基礎(chǔ)學(xué)科招生改革試點(diǎn)工作的意見(jiàn)》(也稱“強(qiáng)

基計(jì)劃')，《意見(jiàn)》宣布：2020年起不再組織開(kāi)展高校自主招生工作，改為實(shí)行強(qiáng)基計(jì)劃.強(qiáng)基計(jì)劃上要選拔

培養(yǎng)有志于服務(wù)國(guó)家重大戰(zhàn)略需求且綜合素質(zhì)優(yōu)秀或基礎(chǔ)學(xué)科拔尖的學(xué)生.據(jù)悉強(qiáng)基計(jì)劃的?？加稍圏c(diǎn)高校

自主命題，?？歼^(guò)程中通過(guò)筆試后才能進(jìn)入面試環(huán)節(jié).已知甲、乙兩所大學(xué)的筆試環(huán)節(jié)都設(shè)有三門考試科目

且每門科目是否通過(guò)相互獨(dú)立.若某考生報(bào)考甲大學(xué)，每門科目通過(guò)的概率均為g，該考生報(bào)考乙大學(xué)，每

12

門科目通過(guò)的概率依次為二，不小，其中Ovmvl.

63

2

(1)若相=一,分別求出該考生報(bào)考甲、乙兩所大學(xué)在筆試環(huán)節(jié)恰好通過(guò)一門科目的概率；

3

(2)強(qiáng)基計(jì)劃規(guī)定每名考生只能報(bào)考一所試點(diǎn)高校，若以筆試過(guò)程中通過(guò)科目數(shù)的數(shù)學(xué)期望為依據(jù)作出決

策，當(dāng)該考生更希望通過(guò)乙大學(xué)的筆試時(shí)，求加的范圍.

372

【答案】(1)—，—；(2)—<<1.

8183

(1)設(shè)該考生報(bào)考甲大學(xué)恰好通過(guò)一門筆試科目為事件A，則P(A)=C；=|，

1門Y521217

該考生報(bào)考乙大學(xué)恰好通過(guò)一門筆試科目為事件B，則?(3)=±x-\+±x-x-x2=—^—-.

6⑶6335418

(2)設(shè)該考生報(bào)考甲大學(xué)通過(guò)的科目數(shù)為X，根據(jù)題意可知，X則E(X)=3X4=2,

<2)22

報(bào)將乙大學(xué)通過(guò)的科目數(shù)為y,隨機(jī)變量y滿足概率為：

p(y=O)=|xi(l-m)=-^-(l-m),

63lo

a、,八11八、52“、51111

?(丫=1)=-x—(1—加)+—x—(1—加)+—x—加=-----m,

636363183

…c、12”、115211

P(Y=2)=—x—(l-m)+—x—m+—x—m=—+—m,

63636392

121

P(y=3)=—x—/??=—m,

639

隨機(jī)變量y的分布列：

Y0123

111111

P—(1-m)---------m—+—m-m

18V7183929

…111215

￡(r)=--------m-\+—-+m,

183936

53

因?yàn)樵摽忌Ｍㄟ^(guò)乙大學(xué)的筆試，???￡(￥)＞￡(X),則二+機(jī)＞二，

62

2

所以〃2的范圍為：一＜/舞＜1.

3

2.黨中央，國(guó)務(wù)院高度重視新冠病毒核酸檢測(cè)工作，中央應(yīng)對(duì)新型冠狀病毒感染肺炎疫情工作領(lǐng)導(dǎo)小組會(huì)

議作出部署，要求盡力擴(kuò)大核酸檢測(cè)范圍，著力提升檢測(cè)能力.根據(jù)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，疑似病例核酸檢測(cè)呈陽(yáng)性的

概率為現(xiàn)有4例疑似病例，分別對(duì)其取樣、檢測(cè)，既可以逐個(gè)化驗(yàn)，也可以將若干個(gè)樣本混合

在一起化驗(yàn)，混合樣本中只要有病毒，則化驗(yàn)結(jié)果呈陽(yáng)性.若混合樣本呈陽(yáng)性，則需將該組中備用的樣本再

逐個(gè)化驗(yàn)；若混合樣本呈陰性，則判定該組各個(gè)樣本均為陰性，無(wú)需再化驗(yàn).現(xiàn)有以下三種方案：方案一：4

個(gè)樣本逐個(gè)化驗(yàn)；方案二：4個(gè)樣本混合在一起化驗(yàn)；方案三：4個(gè)樣本均分為兩組，分別混合在一起化

驗(yàn).在新冠肺炎爆發(fā)初期，由于檢測(cè)能力不足，化驗(yàn)次數(shù)的期望值越小，則方案越“優(yōu)”.

(1)若。按方案一，求4例疑似病例中恰有2例呈陽(yáng)性的概率；

(2)若0=L，現(xiàn)將該4例疑似病例樣本進(jìn)行化驗(yàn)，試比較以上三個(gè)方案中哪個(gè)最"優(yōu)并說(shuō)明理由.

Q

【答案】(1)—:(2)方案二最優(yōu)，理由見(jiàn)解析.

27

(1)用X表示4例疑似病例中化驗(yàn)呈陽(yáng)性的人數(shù)，則隨機(jī)變量X~

=

由題意可知：尸(x=2)=C：d^7

(2)方案一：若逐個(gè)檢驗(yàn)，則檢驗(yàn)次數(shù)為4.

方案二：混合一起檢驗(yàn)，記檢驗(yàn)次數(shù)為X,則X=1,5.

81x81_6561

loooo_10000

3439

p(X=5)=1—P(X=1)=

10000

6561「343923756

E(X)=lx

1000010000—10000

方案三：每組的兩個(gè)樣本混合在一起化驗(yàn)，若結(jié)果呈陰性，則檢測(cè)次數(shù)為1,

其概率為1-：I喘

若結(jié)果呈陽(yáng)性，則檢測(cè)次數(shù)為3,其概率為1一型=里

100100

設(shè)方案三檢測(cè)次數(shù)為隨機(jī)變量Y,則Y=2,4,6

818181x816561

p(y=2)=-------X----------=

1001001000010000

叩=4）=粉卷2=2x81x193078

1000010000

叩二句噎喘=贏

則M2,疏+小2x81x1919x1927600

X

100001000010000

由￡（X）＜E（F）＜4,

知方案二最優(yōu).

3.某地區(qū)在一次考試后，從全體考生中隨機(jī)抽取44名，獲取他們本次考試的數(shù)學(xué)成績(jī)（x）和物理成績(jī)。）,

繪制成如圖散點(diǎn)圖：

根據(jù)散點(diǎn)圖可以看出y與x之間有線性相關(guān)關(guān)系，但圖中有兩個(gè)異常點(diǎn)4B.經(jīng)調(diào)查得知，/考生由于重

感冒導(dǎo)致物理考試發(fā)揮失常，8考生因故未能參加物理考試.為了使分析結(jié)果更科學(xué)準(zhǔn)確，剔除這兩組數(shù)據(jù)

424242

后，對(duì)剩下的數(shù)據(jù)作處理，得到一些統(tǒng)計(jì)的值：?,=4641,￡%=3108,?身=350350,

i=l/=!i=l

|（x,.-x）2-13814.5,Z（x-y）2=5250,其中孫川分別表示這42名同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)、物理成績(jī)，i=1,

2,42,y與x的相關(guān)系數(shù)廠=0.82.

（1）若不剔除/，8兩名考生的數(shù)據(jù)，用44組數(shù)據(jù)作回歸分析，設(shè)此時(shí)夕與x的相關(guān)系數(shù)為ro.試判斷ro

與r的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由：

（2）求y關(guān)于x的線性回歸方程（系數(shù)精確到0.01）,并估計(jì)如果8考生加了這次物理考試（已知8考生

的數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)?25分)，物理成績(jī)是多少？(精確到個(gè)位)；

(3)從概率統(tǒng)計(jì)規(guī)律看，本次考試該地區(qū)的物理成績(jī)《服從正態(tài)分布以剔除后的物理成績(jī)作

為樣本，用樣本平均數(shù)歹作為〃的估計(jì)值，用樣本方差S作為〃的估計(jì)值.試求該地區(qū)5000名考生中，物

理成績(jī)位于區(qū)間(62.8,85.2)的人數(shù)Z的數(shù)學(xué)期望.

—X)(K—y)

附：i：回歸方程y=Q+bx中：b=~—=y—hx

—x)2

f=l

口若J~N(〃,cr2),則P(〃一cr<J</J+CT)?0.6826,P(/z—2cr<</J+2cr)?0.9544

□V125?11.2

【答案】理由詳見(jiàn)解析；(2)y=0.50x+18.64，81分；(3)3413.

(1)ro<r.

理由如下：由圖可知，y與x成正相關(guān)關(guān)系，

①異常點(diǎn)A,B會(huì)降低變量之間的線性相關(guān)程度.

②44個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)與其回歸直線的總偏差更大，回歸效果更差，所以相關(guān)系數(shù)更小.

③42個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)與其回歸直線的總偏差更小，回歸效果更好，所以相關(guān)系數(shù)更大.

?42個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)更貼近其回歸直線I.

⑤44個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)與其回歸直線更離散.

(2)由題中數(shù)據(jù)可得：

_142_42

%=萬(wàn)￡玉=110.5,、=￡凹=74,

i=ii=i

4242__

所以￡（%-元）（%-刃=）=350350-42x110.5x74=6916,

/=1z=l

.￡（—）（—）6916

42

乂因?yàn)閆（a一元）2=13814.5,所以b=0--------------=?0.501,

/=1之…13814.5

i=l

a==74-0.501x110.5-18.64-所以y=0.50x4-18.64-

將x=125代入，得y=0.50x125+18.64=62.5+18.64^81,

所以估計(jì)B同學(xué)的物理成績(jī)約為81分.

_42142_1

(3)y=Ey=74]=而E(y—y)2=^x5250=125,

i=\42j=]42

所以。?N(74,125),又因?yàn)?/p>

所以P(62.8<J<85.2)=P(74-11.2<J<74+11.2)=0.6826,

因?yàn)閆~8(5000,0.6826),所以E(Z)=5000x0.6826=3413,

即該地區(qū)本次考試物理成績(jī)位于區(qū)間（62.8,85.2）的數(shù)學(xué)期望為3413.

4.【河南省2021屆普通高中畢業(yè)班高考適應(yīng)性測(cè)試】直播帶貨是扶貧助農(nóng)的一種新模式，這種模式是利用

主流媒體的公信力，聚合銷售主播的力量助力打通農(nóng)產(chǎn)品產(chǎn)銷鏈條，切實(shí)助力貧困地區(qū)農(nóng)民脫貧增收.某

貧困地區(qū)有統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)顯示,2020年該地利用網(wǎng)絡(luò)直播形式銷售農(nóng)產(chǎn)品的銷售主播年齡等級(jí)分布如圖1所示，

一周內(nèi)使用直播銷售的頻率分布扇形圖如圖2所示.若將銷售主播按照年齡分為“年輕人”（20歲?39歲）

和“非年輕人”（19歲及以下或者40歲及以上）兩類，將一周內(nèi)使用的次數(shù)為6次或6次以上的稱為“經(jīng)常使

”則”經(jīng)常使用直播銷售用戶”

圖1

直播銷售使用頻率分布

圖2

(1)現(xiàn)對(duì)該地相關(guān)居民進(jìn)行“經(jīng)常使用網(wǎng)絡(luò)直播銷售與年齡關(guān)系''的調(diào)查，采用隨機(jī)抽樣的方法，抽取一個(gè)

容量為200的樣本，請(qǐng)你根據(jù)圖表中的數(shù)據(jù)，完成2x2列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有85%的把握認(rèn)為

經(jīng)常使用網(wǎng)絡(luò)直播銷售與年齡有關(guān)？

使用直播銷售情況與年齡列聯(lián)表

年輕人非年輕人合計(jì)

經(jīng)常使用直播銷售用戶

不常使用直播銷售用戶

合計(jì)

(2)某投資公司在2021年年初準(zhǔn)備將1000萬(wàn)元投資到“銷售該地區(qū)農(nóng)產(chǎn)品”的項(xiàng)目上，現(xiàn)有兩種銷售方案

供選擇：

方案一：線下銷售.根據(jù)市場(chǎng)調(diào)研，利用傳統(tǒng)的線下銷售，到年底可能獲利30%,可能虧損15%,也可能

711

不賠不賺，且這三種情況發(fā)生的概率分別為一，一，一；

10510

方案二：線上直播銷售.根據(jù)市場(chǎng)調(diào)研，利用線上直播銷售，到年底可能獲利50%,可能虧損30%,也可

331

能不賠不賺，且這三種情況發(fā)生的概率分別為一，一，一.

51010

針對(duì)以上兩種銷售方案，請(qǐng)你從期望和方差的角度為投資公司選擇一個(gè)合理的方案，并說(shuō)明理由.

參考數(shù)據(jù)：獨(dú)立性檢驗(yàn)臨界值表

pg.kj0.150.100.0500.0250.010

k。2.0722.7063.8415.0246.635

廿小“2n(ad—be)?,」

其中，K~----------------------------------,n-a+h+c+d.

(〃+b)(c+，)(〃+c)(b+d)

【答案】（I）2x2列聯(lián)表見(jiàn)解析，有85%的把握認(rèn)為經(jīng)常使用網(wǎng)絡(luò)直播銷售與年齡有關(guān)；（2）選方窠一,

理由見(jiàn)解析.

（1）由圖1知，“年輕人”占比為45為％+34.5%=80%,BPW200x80%=160（人），“非年輕人”有

200-160=40(人)

由圖2知，“經(jīng)常使用直播銷售用戶”占比為30.1%+19.2%+10.7%=60%，即有200x60%=120（人），“不

常使用直播銷售用戶”有200-120=80（人）.

“經(jīng)常使用直播銷售用戶的年輕人“有中有120x3=100（人），“經(jīng)常使用直播銷售用戶的非年輕人”有

6

120-100=20(人)

補(bǔ)全的列聯(lián)表如下:

年輕人非年輕人合計(jì)

經(jīng)常使用直播銷售用戶10020120

不常使用直播銷售用戶602080

合計(jì)16040200

于是a=100,Z>=20,c=60,d=20.

,K?=200x(100x20-60x2”=25.>2072,

120x80x160x4012

即有85%的把握認(rèn)為經(jīng)常使用網(wǎng)絡(luò)直播銷售與年齡有關(guān).

（2）若按方案設(shè)獲利X1萬(wàn)元，則X1可取的值為行300,—150,0,X,的分布列為:

X1300-1500

71

P

105lo

7!!

E(X1)=300x—+(-150)x-+0x—=180(萬(wàn)元),

7ii

222

D(XI)=(300-180)X—+(-150-180)X-+(0-180)X—

7ii

=1202x-+3302x-+1802x—=35100

10510

若按方案二，設(shè)獲利乂2萬(wàn)元，則X2可取的值為500,-300,0,X2的分布列為:

X?500-3000

331

P

51010

（萬(wàn)元）,

232321

D（X2）=（500-210）xj+（-300-210）x^+（0-210）x—

331

=2902x-+5102x—+2102x—=132900

51010

Q￡（X1）＜E（X2）,D（X1）＜D（X2）,

由方案二的方差要比方案一的方差大得多，從穩(wěn)定性方面看方案一線下銷售更穩(wěn)妥，故選方案-.

5.射擊是使用某種特定型號(hào)的槍支對(duì)各種預(yù)先設(shè)置的目標(biāo)進(jìn)行射擊，以命中精確度計(jì)算成績(jī)的一項(xiàng)體育運(yùn)

動(dòng).射擊運(yùn)動(dòng)不僅能鍛煉身體，而且可以培養(yǎng)細(xì)致、沉著、堅(jiān)毅等優(yōu)良品質(zhì)，有益于身心健康.為了度過(guò)愉快

的假期，感受體育運(yùn)動(dòng)的美好，法外狂徒張三來(lái)到私人靶場(chǎng)體驗(yàn)射擊運(yùn)動(dòng).

（1）已知用于射擊打靶的某型號(hào)步槍的彈夾中一共有發(fā)子彈，假設(shè)張三每次打靶的命中率均為

靶場(chǎng)主規(guī)定：一旦出現(xiàn)子彈脫靶或者子彈打光耗盡的現(xiàn)象便立刻停止射擊.記標(biāo)靶上的子彈

數(shù)量為隨機(jī)變量X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

（2）張三在休息之余用手機(jī)逛B站刷到了著名電視劇《津門飛鷹》中的經(jīng)典橋段：中國(guó)隊(duì)長(zhǎng)燕雙鷹和三合

會(huì)何五姑玩起了俄羅斯輪盤.這讓張三不由得想起了半人半鬼，神槍第一的那句家喻戶曉的神話“我賭你的槍

里沒(méi)有子彈”.由此，在接下來(lái)的射擊體驗(yàn)中，張三利用自己的人脈關(guān)系想辦法找人更換了一把型號(hào)為M191

7,彈容為6發(fā)的左輪手槍，彈巢中有團(tuán)發(fā)實(shí)彈，其余均為空包彈.現(xiàn)規(guī)定：每次射擊后，都需要在下一次

射擊之前填充一發(fā)空包彈.假設(shè)每次射擊相互獨(dú)立且均隨機(jī).在進(jìn)行eN）次射擊后，記彈巢中空包彈的

發(fā)數(shù)X“.

（「）當(dāng)〃eN*時(shí)，探究數(shù)學(xué)期望E（X.）和￡（X,T）之間的關(guān)系；

（□）若無(wú)論加取何值，當(dāng)射擊次數(shù)達(dá)到一定程度后都可近似認(rèn)為槍中沒(méi)有實(shí)彈（以彈巢中實(shí)彈的發(fā)數(shù)的

數(shù)學(xué)期望為決策依據(jù)，當(dāng)彈巢中實(shí)彈的發(fā)數(shù)的數(shù)學(xué)期望<1時(shí)可近似認(rèn)為槍中沒(méi)有實(shí)彈），求該種情況下最

小的射擊次數(shù)斯.（參考數(shù)據(jù)：lg2ao.301、lg3ko.477）

4十］u

【答案】⑴分布列見(jiàn)詳解；數(shù)學(xué)期望為［］；；（2）（i）E（X?）=|E（X?_1）+l（ne^,）：（ii）10.

（1）由題意，X的所有可能取值為：0，1，2,…，k-\,k,

因?yàn)閺埲看未虬械拿新示鶠椤ǎ?<〃<1）,

則尸(X=m)=p"'(l_p)(如=0,1,2,…，左一1),P(X=k)=pk,

所以X的分布列為

X012k-1k

P1-Pp(l-p)PF-P)…產(chǎn)(I-P)Pk

所以X的數(shù)學(xué)期望為￡(X)=p(l-p)+2p2(l-p)+3p3(「p)+...+("i)pi(l-0+W,

令A(yù)7=p+2P2+3p3+…+(左-1)P*T①，

則pM=p2+2p3+3p4+...+(Jl-l)pk@,

所以①一②可得,(1-P)M=p+p2+p3+...+pl_(4_l)p*

AA+1

則E(x)=〃(l_p)+Az/=P^P__(k-l)pk+kpk=p_P_

]—p1—/?

（2）（i）第〃次射擊后，可能包含兩種情況：第〃次射出空包彈或第〃次射出實(shí)彈;

因?yàn)榈凇ù紊鋼羟埃Ｓ嗫瞻鼜椀钠谕麨镋（X,i）,

若第"次射出空包彈，則此時(shí)對(duì)應(yīng)的概率為因?yàn)樯鋼艉笠畛湟话l(fā)空包彈，所以此時(shí)空包彈的

6

數(shù)量為E(X“T)—1+1=￡(X.J

若第〃次射出實(shí)彈，則此時(shí)對(duì)應(yīng)的概率為1-￡（X"J,所以此時(shí)空包彈的數(shù)量為E（X,i）+l；

6

綜上，E(X.)=^^?E(X“T)+[i—^^][E(X,T)+f|=《E(X“T)+l；

OOO

(ii)因?yàn)楫?dāng)〃=0時(shí).，彈夾中有6-機(jī)發(fā)空包彈，則E(X0)=6—根；

由(i)可知:E(X“)=|E(X,i)+l(〃eN)則E(X“+J-6=|[E(X,J-6](〃WN),所以

(￡(X“)一6}(〃eN)是首項(xiàng)為一〃?，公比為|的等比數(shù)列，

則E(X,)-6=-〃(|)，即E(X")=6一〃《|(〃cN),

,5丫

因此彈巢中實(shí)彈的發(fā)數(shù)的期望為6-E(X“)=m—

<6j

為使彈巢中實(shí)彈的發(fā)數(shù)的數(shù)學(xué)期望小于1，只需?＜1，則團(tuán)＜('),所以地產(chǎn)＜“

為使bg67"<〃恒成立，只需log6m<n,

5~

V、Jmax

log6」g6.電6.Ig2+lg3.Ig2+lg3

而w”

?尼

V5/max6Ig6-lg5Ig2+lg3-l+lg221g2+lg3-l

0.301+0.477

?9.848,

0.602+0.477-1

又neN,所以最小的射擊次數(shù)%=10?

6.【2021年1月普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試適應(yīng)性測(cè)試】北京大興國(guó)際機(jī)場(chǎng)的顯著特點(diǎn)之一是各種彎

曲空間的運(yùn)用.刻畫(huà)空間的彎曲性是兒何研究的重要內(nèi)容.用曲率刻畫(huà)空間彎曲性，規(guī)定：多面體頂點(diǎn)的

曲率等于2%與多面體在該點(diǎn)的面角之和的差(多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角，角度用弧度制)，多

面體面上非頂點(diǎn)的曲率均為零，多面體的總曲率等于該多面體各頂點(diǎn)的曲率之和.例如：正四面體在每個(gè)

TT7T

頂點(diǎn)有3個(gè)面角，每個(gè)面角是一，所以正四面體在各頂點(diǎn)的曲率為2%-3x—=?,故其總曲率為4萬(wàn).

33

(1)求四棱錐的總曲率；

(2)若多面體滿足：頂點(diǎn)數(shù)-棱數(shù)+面數(shù)=2,證明：這類多面體的總曲率是常數(shù).

【答案】(1)4%；(2)證明見(jiàn)解析.

(1)由題可知：四棱錐的總曲率等于四棱錐各頂點(diǎn)的曲率之和.

可以從整個(gè)多面體的角度考慮，所有頂點(diǎn)相關(guān)的面角就是多面體的所有多邊形表面的內(nèi)角的集合.由圖可知:

四棱錐共有5個(gè)頂點(diǎn)，5個(gè)面，其中4個(gè)為三角形，1個(gè)為四邊形.

所以四棱錐的表面內(nèi)角和由4個(gè)為三角形，1個(gè)為四邊形組成，

則其總曲率為：2"*5-(4"+2%)=4萬(wàn).

(2)設(shè)頂點(diǎn)數(shù)、棱數(shù)、面數(shù)分別為〃、/、〃？，所以有“一/+加=2

設(shè)第i個(gè)面的棱數(shù)為玉，所以％+w+???+/=21

所以總曲率為：

271n一乃[(王一2)+(x,—2)+—,+一2)]

=27m—7i（21—2m）

=2乃（“一/+加）=4萬(wàn)

所以這類多面體的總曲率是常數(shù).

7.如圖所示，四棱柱A3CD—AgCQ的底面是菱形，側(cè)棱垂直于底面，點(diǎn)￡，尸分別在棱4A，CC」,

且滿足=CF=；CC『平面5所與平面ABC的交線為/.

（1）證明：直線/，平面8。。；

（2）已知所=2,8,=4,設(shè)BE與平面所成的角為。，求sin。的取值范圍.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）

（1）如圖，連接AC,與BQ交于點(diǎn)0.

由條件可知AE〃b，且AE=C/，所以AC〃Eb，

因?yàn)镋Fu平面BEF，所以AC//平面BEF.

因?yàn)槠矫鍮EEI平面A8C=/,所以AC〃/.

因?yàn)樗睦庵鵄BC。-A用GA的底面是菱形，且側(cè)棱垂直于底面,

所以AClBBt,

乂BDcBB]=B,所以ACL平面

所以/，平面3。?！?/p>

(2)如圖所示，以0為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以礪，質(zhì)的方向?yàn)閄,y軸的1E方向建立空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)BD=2a，因?yàn)锽D<BR,所以0<a<2.

則OB=a，DD、=4BD；-BD?=254-/.

所以B(a,O,O),C(O,1,O),rfo,l,|V4-a2

由(1)可知反=(0,1,0)是平面B。。的一個(gè)法向量,

而B(niǎo)F=

所以sin"gs＜南麗土詞阿一匹^一萬(wàn)言

,、加33

當(dāng)0<。<2時(shí)，—<,—

5425+5〃5

即sin0G

8.已知梯形BEEC如圖1所示，其中BF//EC,EC=3,BF=2,四邊形ABC。是邊長(zhǎng)為1的正方形,

沿AO將四邊形EZM/折起，使得平面EZMF，平面A3CO,得到如圖2所示的幾何體.

（1）求證：平面AECJ_平面8OE；

（2）若點(diǎn)〃在線段3。上，且石〃與平面跳萬(wàn)所成角的正弦值為逅，求線段。〃的長(zhǎng)度.

9

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）二.

2

（1）,??平面EZME_L平面ABC。，DEu平面ED4產(chǎn)

平面EDAFA平面ABCD=AD,DELAD

：.OE_L平面ABCD

?；ACu平面ABC。,DE1AC

?.?四邊形ABC。是正方形，ACA.BD

?:DE、BDu平面BDE，￡>Ec5￡>=。，ACJ_平面BOE

ACu平面ACE.??平面AEC_L平面BDE

(2)建系如圖

設(shè)平面5所的法向量7=(x,y,z),￡(0,0,2),F(1,0,1),8(1,1,0)

EFn=0_/、

<_.一，則”=(1,1,1)

BF〃=0

UUU

設(shè)H(a,a,0),EH=(a,a,-2)

cos(￡77,“=2a—2一也

GJ2/+4一9

17

解得。=—或〃=—(舍)

24

〃N，。，?3也

2

9.如圖，四棱錐產(chǎn)一ABC。的底面ABC。內(nèi)接于半徑為2的圓O,A8為圓。的直徑，AB//CD,

2DC=AB,E為AB上一點(diǎn)、,且PE_L平面ABC。，ED=?

p

DC

（1）求證：PA工DE；

n

（2）若直線依與平面ABC。所成的角為:，求二面角C—PB—。的余弦值.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）士叵

35

解：(1)連接CO,

?；AB//CD,2DC=AB,

AOICID,且AO=CZ),

二四邊形ADCO是平行四邊形.

連接DO,

?.?圓。的半徑為2,

:.AO=OC=DC=AD=DO=2,

AAO。為等邊三角形，

...在△AOD中，A。邊匕的高為ADsin巳=2sinC=8.

33

ED=g，

QE為AO邊上高，

:.DELAO.

-：PE_L平面AB8,

DEu平面ABC。，

PEA.DE，

又OELAE，

AE<PEu平面/^4E，且AEcPE=E,

二OE_L平面QAE.

PAu平面B鉆，

PAA.DE

(2)由PE_L平面ABCD可知，

ZPBE為直線P8與平面ABC。所成的角，

*/PE=EB=3.

乂由(1)知，ED,EB，EP兩兩垂直，

如圖，可以以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，以ED,EB，石尸所在直線分別為x,V,z軸建立空間直角坐標(biāo)系E一盯z.

則3(0,3,0),C(V3,2,0),r>(A0,0),尸(0,0,3),

.?.麗=(6,-3,0),而=((),3,-3),5C=(V3,-l,0),

設(shè)平面P8D的法向量為勺=(%,y,zj,

BD?-0,

兩，=0,

石X]-3必=0,

3y—3ZI=0,

得小=島，

E=4，

令y=1，

則點(diǎn)=（瘋1,1）.

設(shè)平面PBC的法向量為々=（%，%，Z2），

BD-n-,=0,

則〈—.一，

PB%=。,

也々-％=0,

得《

3y2-322=0,

令尤2=1，

則必=，z、—5/3，

/——\晨a3G3V105

?*2/同同本x幣35■

易知二面角C—PB—O為銳二面角，

二二面角C-P5—D的余弦值為主叵.

35

10.如圖，BE,CO為圓柱的母線，口48。是底面圓的內(nèi)接正三角形，"為8c的中點(diǎn).

（1）證明：平面/EN」平面8C0E；

（2）設(shè)BC=BE,圓柱的體積為88萬(wàn)，求四棱錐/-88E的體積.

【答案】（1）證明見(jiàn)詳解；（2）12

（1）根據(jù)題意可得，AMYBC.

又「BE為圓柱的母線，.?.3EL平面ABC.

：.BE工AM，QBCIBE=B,

.?.AM_L平面BCDE.

又「AMu平面AEM，

平面AEM_L平面BCDE.

（2）由題可設(shè)BC=BE=f,

山口45。是底面圓的內(nèi)接正三角形易得

AM=旦,底面圓的半徑r=

23

??腺柱—7tv~?BE——7vt'—8\/3^r./=2-^3

由（1）可知，AM_L平面BCDE.

11,

2

VA-BCDE--BCBEAM=-t-AM^12.

\nx+a

11.【河南省鄭州市2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期第一次質(zhì)量檢測(cè)】已知函數(shù)/（X）

x

（1）若函數(shù)“X）的圖象在尤=1處的切線為y=l,求的極值；

2

（2）若嚏一1恒成立，求實(shí)數(shù)&的取值范圍.

【答案】（1）/（x）的極大值為1，不存在極小值；（2）?<3.

/、\1-6Z-Inx

（1）f（x）=——,一,

X

由題意可得：/（1）===0,解得：a=\

此時(shí)函數(shù)/（l）=a=l.

函數(shù)的圖象在x=l處的切線為y=l成立

所以〃X）=--------，/（x）=1一，

由r（x）>o可得0cxe1,由r（x）<?？傻?>1，

所以了（力在（0,1）上單調(diào)遞增，在。，內(nèi)）上單調(diào)遞減.

所以/（X）的極大值為./（1）=1,不存在極小值.

（2）由fix）<ex+2_］可得1n+--1

XXX

分離?？傻茫篴<-lj—lnx+2（x>0）

令尸(x)=x(e"——lnx+2,x>0

vxv

F'(x)=e-1+xe--=e(x+l)-史11+-j,x>0

xx

h(x\-ex--,x>0.

x

令"(xbe'-iy〉。

所以/?(x)在(0,y)上單調(diào)遞增

(g)—\[e—2<0,=e—]>0,

h

存在唯一的，使得力(毛)=6%-，=0

當(dāng)0cx</時(shí)，/z(x)<0,即。<x)vO,

當(dāng)時(shí)，/z(x)>0,即b'(x)>0,

故廠(x)在(0,%)上單調(diào)遞減，在(七,小)匕單調(diào)遞增.

F(x)min=X。(e*T)一砥+2=蒞1-跖Tn%+2，

由于歷(x<))=e*-L=0,得x()e而=1,

xo

再對(duì)x°e'。=1兩邊取對(duì)數(shù)可得：/+InX。=0

所以尸(X%M=x()e"-^-10^4-2=1-0+2=3,

所以

即實(shí)數(shù)a的取值范圍。43

12.己知函數(shù)/(x)=g%2+

(1)討論函數(shù)〃x)的單調(diào)性；

(2)若恒成立，求正實(shí)數(shù)”的取值范圍、

【答案】⑴當(dāng)°40時(shí)，“X)在定義域(0,+8)匕單調(diào)遞增；當(dāng)a>0時(shí)，/(%)在(0,a)上單調(diào)遞減,

在3,吩)上單調(diào)遞增；(2)0<a<l.

解：(1)定義域?yàn)?0,7)，

/，(x)=x，+j=-+(j)x-a=(x+l)(xi)

XXX

當(dāng)”40時(shí),在(0,+8)上/'(x)20,

所以/(X)在定義域(0,+8)I二單調(diào)遞增；

當(dāng)a>0時(shí)，令/'(x)>0有兀>。，

令/'(%)<。有()<為<。，

所以/(x)在(0,。)上單調(diào)遞減，在3y。)上單調(diào)遞增.

2

⑵令g(x)="X)—5，由⑴及。為正數(shù)知，

2

g(x)=在尤=a處取最小值，

2

所以/(X)〉"I■恒成立等價(jià)于g(a)>。，

即—alna+(1—a)a>0,

整理得加。+。一1<0

令Mx)=/nx+x-l,

易知//(￡)為增函數(shù)，

且〃⑴=0,

所以//汝+。一1<0的a的取值范圍是0<a<1

13.已知函數(shù)/(x)=ln(x-l)-ar+a,(a^O).

(1)討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

(2)若函數(shù)y=/(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，求。的取值范圍.

【答案】(1)答案見(jiàn)解析；(2)fo,-\

Iej

(1)/(x)定義域?yàn)?1,+oo),/"(x)=—1——a=^+'

x-1X-

令r(x)=o,解得：%=—=i+-,

ClCl

當(dāng)”0時(shí)，.f'(x)>0在(1,+8)上恒成立，.?"(X)在a”)上單調(diào)遞增；

當(dāng)a>0時(shí)，若xw“，色小)時(shí)，/'(x)>0：若xe1g1,+oo)時(shí)，,f'(x)<0；

??./(X)在［1,—［上單調(diào)遞增，在［一,+8)上單調(diào)遞減；

綜上所述：當(dāng)a<0時(shí)，〃x)在(1,m)上單調(diào)遞增；當(dāng)a>0時(shí)，/(x)在(1,誓)上單調(diào)遞增，在

(—,+<?)上單調(diào)遞減.

(2)令/(x)=0,則In(x-l)=a(x-l),

過(guò)點(diǎn)(1,0)作)=ln(x—l)的切線，設(shè)切點(diǎn)為?,ln(f—1)),

則切線斜率女=—!一=ln<7)一0,解得：r=e+l,???切線斜率k=1,

t-lt-\e

若y=/(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，則y=ln(x-l)與y=a(x-l)有兩個(gè)不同的交點(diǎn),如下圖所示：

由圖象可知：當(dāng)時(shí)，y=ln(x—l)與y=a(x-l)有兩個(gè)不同的交點(diǎn),

即若函數(shù)y=/(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，4的取值范圍為.

14.【預(yù)測(cè)卷01-2021年高考數(shù)學(xué)金榜預(yù)測(cè)卷(山東、海南專用)】已知函數(shù)

/(X)=\wc-kx(keR),g(x)=x(e*-2).

(1)若/(X)有唯一零點(diǎn)，求上的取值范圍；

(2)若g(x)-恒成立,求人的取值范圍.

【答案】(1)&=,或RWO；(2)k31.

e

(1)由〃彳卜山一區(qū)有唯一零點(diǎn)，

Inr

可得方程hu—H=O,即k=—有唯一實(shí)根，

1-lnx

令/z(x)=-，則/(x)=——5—,

由7/(x)>0,得0<x<e,由/i,(x)<0,得x>e,

.?/(x)在(O,e)上單調(diào)遞增，在(e,+c。)上單調(diào)遞減.

/.<h(e\=-,

e

又可1)=0,所以當(dāng)0cx<1時(shí)，〃(x)<0；

InV

又當(dāng)時(shí)，//(%)=—^>0,

y

i

234x

由〃(％)=也得圖象可知，％或女<0.

xe

(2)-2)-(lnx-Ax)?l恒成立，且x>0,

2匕丸二一/+2恒成立，

令〃(x)=-Inx-x2ex,則〃'(x)=---(2xex+x2ex)=-〃-xe*(2+x)<0(x>0),

XX

.?.4(x)在(0,+8)單調(diào)遞減，

又〃>0,/z(l)=-e<0,

由零點(diǎn)存在性定理知，存在唯一零點(diǎn)X。使"(天)=0,即一1叫)=$20*。，

兩邊取對(duì)數(shù)可得111(-1叫)=21叫+/，即In(-1叫))+(-1叫)=/+1叫)，

由函數(shù)y=x+lnx為單調(diào)增函數(shù)，可得當(dāng)=-1叫)，

所以當(dāng)0<x<x()時(shí)，〃(x)>0，(p(x)>0,當(dāng)x>x()時(shí)，〃(x)<0,(p'(x)<0,

所以e(x)在(0,毛)上單調(diào)遞增，在(%,+8)上單調(diào)遞減，

40(4)=l+^b+2=-~---+2=1,

所以攵2。(%)=1,

即女的取值范圍為&31.

15.已知函數(shù)〃%)=土二2—2(a€R).

sinx

(1)若曲線y=/(x)在點(diǎn)處的切線經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，求實(shí)數(shù)。；

(2)當(dāng)。＞0時(shí)，判斷函數(shù)/(x)在xc(0,i)上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由.

【答案】(1)a=---2；(2)答案不唯一，具體見(jiàn)解析.

4

2xsinx-(x2-6f)cosx

⑴八幻=

sin2x

所以/(X)在點(diǎn)處的切線方程為y=G,

所以二，即貯?_。_2=日,。=_片_2；

.⑴2424

(2)因?yàn)閄￡(0,?),

所以sin%>0,

f一。C

所以------2=0可轉(zhuǎn)化為d-?！?sinx=0，

sinx

設(shè)g(x)=x2-?-2sinx,

則g(x)=2x-2cosx

當(dāng)/，4)時(shí)，g，(x)>0,

71

所以g(x)在區(qū)間,,乃上單調(diào)遞增.

當(dāng)不￡0,一時(shí)，設(shè)〃(x)=g'(x)=2x-2cosx,

I2j

此時(shí)"(x)=2+2sinx>0,

所以g'(x)在xe[o,]j時(shí)單調(diào)遞增，

又g'(0)=_2<0,g'^=7r>0,

所以存在/使得g'(尤)=0fixe?,與)時(shí)g(x)單調(diào)遞減，

xe玉>，|^時(shí)g(x)單調(diào)遞增.

綜上，對(duì)于連續(xù)函數(shù)g(x),在xe(O,Xo)時(shí)，g(x)單調(diào)遞減，

在xe(xo,乃)時(shí)，g(x)單調(diào)遞增.

又因?yàn)間(0)=—a<0,

所以當(dāng)g(;r)=%2-a>0,即。<乃2時(shí)，函數(shù)g(x)有唯一零點(diǎn)在區(qū)間(小,左)上，

當(dāng)gm)=/—a?o,即“2儲(chǔ)時(shí)，函數(shù)g(x)在區(qū)間(0,不)上無(wú)零點(diǎn)，

綜上可知，當(dāng)0<“<乃2時(shí)，函數(shù)/(X)在(0,萬(wàn))上有1個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)a2/時(shí),函數(shù)“力在(0,%)上沒(méi)有零點(diǎn).

16.已知橢圓+(a>b>)的離心率6=白，原點(diǎn)到過(guò)點(diǎn)A(a,0),8(0,-3的直線的距離

是述

5

（1）求橢圓。的方程;

（2）如果直線>="+1（左。0）交橢圓。于不同的兩點(diǎn)石，F(xiàn),且E，尸都在以B為圓心的圓上，求

上的值.

r22歷

【答案】（1）—+^-=1：（2）k=±—.

1644

解：⑴因?yàn)椤?正，。2_從=。2,所以。=2江

a2

因?yàn)樵c(diǎn)到直線力6:±-2=1的距離4=史5,解得a=4,b=2.

aby]a2+b25

X2y2

故所求橢圓C的方程為—+^-=1.

164

y=Ax+1

（2）由題意y2消去y,整理得（1+4左2）/+8日-12=0.可知A>0.

1164

設(shè)E（七,必），/（七,％），EF的中點(diǎn)是“（而，％），則與=土產(chǎn)=三2,％="M+1=TT',

因?yàn)镋,尸都在以8為圓心的圓上，且8（0,—2）,

所以取上2M=T,

如

_Abk

所以%+kyM+2k=0.§,\i+2k=0.

1+4化1+4左

i歷

又因?yàn)榕?,所以二=一.所以2=±注.

84

2

17.【陜西省榆林市2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期第一次高考模擬】己知橢圓「：/+二=1（。>1）與拋物線

a

。：/=2〃），（〃〉0）有相同的焦點(diǎn)/，拋物線。的準(zhǔn)線交橢圓「于A，B兩點(diǎn),且|AB|=L

（1）求桶圓「與拋物線。的方程；

（2）。為坐標(biāo)原點(diǎn)，若P為橢圓「上任意一點(diǎn)，以P為圓心，OP為半徑的圓P與橢圓「的焦點(diǎn)/為圓心，

以不為半徑的圓尸交