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文檔簡介
2024/7/23新疆奎屯市第一高級中學(xué)特級教師王新敞1空間向量的基本定理如果三個向量不共面,那么對空間任一向量,存在一個唯一的有序?qū)崝?shù)對x、y、z,使ABDCO思路:作E2024/7/23新疆奎屯市第一高級中學(xué)特級教師王新敞2推論:設(shè)點(diǎn)O、A、B、C是不共面的四點(diǎn),則對空間任一點(diǎn)P,都存在唯一的有序?qū)崝?shù)對x、y、z使OABCPPP注:空間任意三個不共面向量都可以構(gòu)成空間的一個基底如:2024/7/23新疆奎屯市第一高級中學(xué)特級教師王新敞3教學(xué)過程一、幾個概念1)兩個向量的夾角的定義OAB2024/7/23新疆奎屯市第一高級中學(xué)特級教師王新敞42)兩個向量的數(shù)量積注意:①兩個向量的數(shù)量積是數(shù)量,而不是向量.②零向量與任意向量的數(shù)量積等于零。2024/7/23新疆奎屯市第一高級中學(xué)特級教師王新敞53)射影BAA1B1
根據(jù)以上定義正射影(簡稱射影)是一個向量!向量在方向上的射影的長度為2024/7/23新疆奎屯市第一高級中學(xué)特級教師王新敞64)空間向量的數(shù)量積性質(zhì)
注意:①性質(zhì)2)是證明兩向量垂直的依據(jù);②性質(zhì)3)是求向量的長度(模)的依據(jù);對于非零向量,有:2024/7/23新疆奎屯市第一高級中學(xué)特級教師王新敞75)空間向量的數(shù)量積滿足的運(yùn)算律
注意:數(shù)量積不滿足結(jié)合律2024/7/23新疆奎屯市第一高級中學(xué)特級教師王新敞8二、課堂練習(xí)2024/7/23新疆奎屯市第一高級中學(xué)特級教師王新敞9ADFCBE2024/7/23新疆奎屯市第一高級中學(xué)特級教師王新敞10三、典型例題
例1:已知m,n是平面
內(nèi)的兩條相交直線,直線l與
的交點(diǎn)為B,且
l⊥m,l⊥n,求證:l⊥
分析:由定義可知,只需證l與平面內(nèi)任意直線g垂直。nmggmn
ll要證l與g垂直,只需證l·g=0而m,n不平行,由共面向量定理知,存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x,y)使得g=xm+yn
要證l·g=0,只需l·g=xl·m+yl·n=0而l·m=0,l·n=0故l·g=02024/7/23新疆奎屯市第一高級中學(xué)特級教師王新敞11三、典型例題
例1:已知m,n是平面
內(nèi)的兩條相交直線,直線l與
的交點(diǎn)為B,且l⊥m,l⊥n,求證:l⊥
nmggmn
ll證明:在
內(nèi)作不與m、n重合的任一條直線g,在l、m、n、g上取非零向量l、m、n、g,因m與n相交,得向量m、n不平行,由共面向量定理可知,存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x,y),使
g=xm+yn,
l·g=xl·m+yl·n∵l·m=0,l·n=0∴l(xiāng)·g=0∴l(xiāng)⊥g∴l(xiāng)⊥g
這就證明了直線l垂直于平面
內(nèi)的任一條直線,所以l⊥
2024/7/23新疆奎屯市第一高級中學(xué)特級教師王新敞12例2:已知:在空間四邊形OABC中,OA⊥BC,
OB⊥AC,求證:OC⊥ABABCO
2024/7/23新疆奎屯市第一高級中學(xué)特級教師王新敞13例3如圖,已知線段在平面內(nèi),線段,線段,線段,,如果,求、之間的距離。解:由,可知.由知.
2024/7/23新疆奎屯市第一高級中學(xué)特級教師王新敞14例4已知在平行六面體中,,
,求對角線的長。解:2024/7/23新疆奎屯市第一高級中學(xué)特級教師王新敞151.已知線段、在平面內(nèi),,線段,如果,求、之間的距離.解:∵2024/7/23新疆奎屯市第一高級中學(xué)特級教師王新敞162.已知空間四邊形的每條邊和對角線的長都等于,點(diǎn)分別是邊的中點(diǎn)。求證:。證明:因?yàn)樗酝恚?024/7/23新疆奎屯市第一高級中學(xué)特級教師王新敞173.已知空間四邊形,求證:。證明:∵2024/7/23新疆奎屯市第一高級中學(xué)特級教師王新敞184.如圖,已知正方體,和相交于點(diǎn),連結(jié),求證:。2024/7/23新疆奎屯市第一高級中學(xué)特級教師王新敞19思考題:利用向量知識證明三垂線定理aAOP2024/7/23新疆奎屯市第一高級中學(xué)特級教師王新敞20已知空間四邊形的每條邊和對角線的長都等于,點(diǎn)分別是的中點(diǎn),求下列向量的數(shù)量積:作業(yè)講評2024/7/23新疆奎屯市第一高級中學(xué)特級教師王新敞21課堂小結(jié):
1.正確分清楚空
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