第01講 函數(shù)的概念及其表示（十六大題型）（講義）2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測(cè)（新教材新高考）含解析

第01講函數(shù)的概念及其表示（十六大題型）（講義）-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測(cè)（新教材新高考）第01講函數(shù)的概念及其表示目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01考情透視·目標(biāo)導(dǎo)航 202知識(shí)導(dǎo)圖·思維引航 303考點(diǎn)突破·題型探究 4知識(shí)點(diǎn)1：函數(shù)的概念 4知識(shí)點(diǎn)2：函數(shù)的三要素 4知識(shí)點(diǎn)3：函數(shù)的表示法 5知識(shí)點(diǎn)4：分段函數(shù) 5解題方法總結(jié) 5題型一：函數(shù)的概念 6題型二：同一函數(shù)的判斷 7題型三：給出函數(shù)解析式求解定義域 8題型四：抽象函數(shù)定義域 8題型五：函數(shù)定義域的綜合應(yīng)用 9題型六：待定系數(shù)法求解析式 10題型七：換元法求解析式 10題型八：方程組消元法求解析式 11題型九：賦值法求解析式 11題型十：求值域的7個(gè)基本方法 12題型十一：數(shù)形結(jié)合求值域 15題型十二：值域與求參問(wèn)題 15題型十三：判別式法求值域 16題型十四：三角換元法求值域 16題型十五：分段函數(shù)求值、求參數(shù)問(wèn)題 17題型十六：分段函數(shù)與方程、不等式 1704真題練習(xí)·命題洞見(jiàn) 1805課本典例·高考素材 1806易錯(cuò)分析·答題模板 20易錯(cuò)點(diǎn)：錯(cuò)求抽象函數(shù)的定義域 20答題模板：求抽象函數(shù)的定義域 20

考點(diǎn)要求考題統(tǒng)計(jì)考情分析（1）了解函數(shù)的含義，會(huì)求簡(jiǎn)單函數(shù)的定義域和值域．（2）在實(shí)際情景中，會(huì)根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ǎㄈ鐖D象法、列表法、解析法）表示函數(shù)．（3）了解簡(jiǎn)單的分段函數(shù)，并會(huì)簡(jiǎn)單的應(yīng)用．2024年上海卷第2題，5分2024年I卷第8題，5分2023年北京卷第15題，5分2022年浙江卷第14題，5分2021年浙江卷第12題，5分高考對(duì)函數(shù)的概念及其表示的考查相對(duì)穩(wěn)定，考查內(nèi)容、頻率、題型、難度均變化不大．高考對(duì)本節(jié)的考查不會(huì)有大的變化，仍將以分段函數(shù)、定義域、值域及最值為主，綜合考查不等式與函數(shù)的性質(zhì)．復(fù)習(xí)目標(biāo)：1、掌握函數(shù)的概念，了解構(gòu)成函數(shù)的要素2、會(huì)求常見(jiàn)函數(shù)的定義域和值域3、掌握求函數(shù)解析式的方法

知識(shí)點(diǎn)1：函數(shù)的概念（1）一般地，給定非空數(shù)集，，按照某個(gè)對(duì)應(yīng)法則，使得中任意元素，都有中唯一確定的與之對(duì)應(yīng)，那么從集合到集合的這個(gè)對(duì)應(yīng)，叫做從集合到集合的一個(gè)函數(shù)．記作：，．集合叫做函數(shù)的定義域，記為，集合，叫做值域，記為．（2）函數(shù)的實(shí)質(zhì)是從一個(gè)非空集合到另一個(gè)非空集合的映射．【診斷自測(cè)】下列圖象中，y不是x的函數(shù)的是（

）A．

B．

C．

D．

知識(shí)點(diǎn)2：函數(shù)的三要素（1）函數(shù)的三要素：定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系、值域．（2）如果兩個(gè)函數(shù)的定義域相同，并且對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致，則這兩個(gè)函數(shù)為同一個(gè)函數(shù)．【診斷自測(cè)】下列四組函數(shù)：①；②；③；④；其中表示同一函數(shù)的是（

）A．②④ B．②③ C．①③ D．③④知識(shí)點(diǎn)3：函數(shù)的表示法表示函數(shù)的常用方法有解析法、圖象法和列表法．【診斷自測(cè)】已知函數(shù)，則（

）A． B．C． D．知識(shí)點(diǎn)4：分段函數(shù)若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因?qū)?yīng)關(guān)系不同而分別用幾個(gè)不同的式子來(lái)表示，這種函數(shù)稱(chēng)為分段函數(shù)．【診斷自測(cè)】（2024·吉林·模擬預(yù)測(cè)）已知若，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．1 B．4 C．1或4 D．2解題方法總結(jié)1、基本的函數(shù)定義域限制求解函數(shù)的定義域應(yīng)注意：（1）分式的分母不為零；（2）偶次方根的被開(kāi)方數(shù)大于或等于零：（3）對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零，底數(shù)大于零且不等于1；（4）零次冪或負(fù)指數(shù)次冪的底數(shù)不為零；（5）三角函數(shù)中的正切的定義域是且；（6）已知的定義域求解的定義域，或已知的定義域求的定義域，遵循兩點(diǎn)：①定義域是指自變量的取值范圍；=2\*GB3②在同一對(duì)應(yīng)法則∫下，括號(hào)內(nèi)式子的范圍相同；（7）對(duì)于實(shí)際問(wèn)題中函數(shù)的定義域，還需根據(jù)實(shí)際意義再限制，從而得到實(shí)際問(wèn)題函數(shù)的定義域．2、基本初等函數(shù)的值域（1）的值域是．（2）的值域是：當(dāng)時(shí)，值域?yàn)椋划?dāng)時(shí)，值域?yàn)椋?）的值域是．（4）且的值域是．（5）且的值域是．題型一：函數(shù)的概念【典例1-1】下列對(duì)應(yīng)是從集合A到集合B的函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【典例1-2】已知是定義在有限實(shí)數(shù)集A上的函數(shù)，且，若函數(shù)的圖象繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后與原圖象重合，則的值可能是（

）A．0 B． C． D．【方法技巧】利用函數(shù)概念判斷：（1）A，B是非空的實(shí)數(shù)集；（2）數(shù)集A中的任何一個(gè)元素在數(shù)集B中只有一個(gè)元素與之對(duì)應(yīng)，即“多對(duì)一”，不能“一對(duì)多”，而數(shù)集B中有可能存在與數(shù)集A中元素不對(duì)應(yīng)的元素.【變式1-1】（2024·高三·上海虹口·期中）若函數(shù)的圖像繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后與原圖像重合，則在以下各項(xiàng)中，的定義域不可能是（

）A． B．C． D．R【變式1-2】將函數(shù)的圖象繞著原點(diǎn)沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角得到曲線，已知曲線始終保持為函數(shù)圖象，則的最大值為（

）A． B． C．1 D．【變式1-3】存在定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，滿(mǎn)足對(duì)任意，使得下列等式成立的是（

）A． B．C． D．題型二：同一函數(shù)的判斷【典例2-1】下列各組函數(shù)相等的是（

）A．， B．，C．， D．，【典例2-2】（多選題）下列各項(xiàng)不能表示同一個(gè)函數(shù)的是（

）A．與 B．與C．與 D．與【方法技巧】當(dāng)且僅當(dāng)給定兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)法則完全相同時(shí)，才表示同一函數(shù)，否則表示不同的函數(shù)．【變式2-1】（多選題）下列各組函數(shù)表示的是不同函數(shù)的是（

）A．與B．與C．與D．與【變式2-2】以下四組函數(shù)中，表示同一個(gè)函數(shù)的是（

）A．與B．與C．與D．與【變式2-3】（多選題）（2024·高三·浙江金華·期末）已知函數(shù)，．（

）A．若，則B．若，則C．對(duì)于，若，則D．對(duì)于，若，則題型三：給出函數(shù)解析式求解定義域【典例3-1】（2024·北京通州·二模）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋镜淅?-2】已知等腰三角形的周長(zhǎng)為，底邊長(zhǎng)是腰長(zhǎng)的函數(shù)，則函數(shù)的定義域?yàn)?A． B． C． D．【方法技巧】對(duì)求函數(shù)定義域問(wèn)題的思路是：（1）先列出使式子有意義的不等式或不等式組；（2）解不等式組；（3）將解集寫(xiě)成集合或區(qū)間的形式．【變式3-1】函數(shù)的定義域是.【變式3-2】（2024·北京懷柔·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)的定義域是.【變式3-3】（2024·北京平谷·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)的定義域是題型四：抽象函數(shù)定義域【典例4-1】已知函數(shù)的定義域是，則函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B．C． D．【典例4-2】已知的定義域?yàn)?，則的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B．C． D．【方法技巧】1、抽象函數(shù)的定義域求法：（1）若的定義域?yàn)椋笾械慕獾姆秶?，即為的定義域．（2）已知的定義域，求的定義域，則用換元法求解.2、若函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過(guò)四則運(yùn)算結(jié)合而成的，其定義域?yàn)楦骰竞瘮?shù)定義域的交集，即先求出各個(gè)函數(shù)的定義域，再取交集．【變式4-1】（2024·高三·河北邢臺(tái)·期末）若函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t函數(shù)的定義域?yàn)椋咀兪?-2】已知函數(shù)的定義域?yàn)?，求的定義域.【變式4-3】（1）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)椋?）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)椋}型五：函數(shù)定義域的綜合應(yīng)用【典例5-1】已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B．或C． D．或【典例5-2】若函數(shù)的定義域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【方法技巧】對(duì)函數(shù)定義域的應(yīng)用，是逆向思維問(wèn)題，常常轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題求解，必要時(shí)對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論．【變式5-1】（2024·高三·上海嘉定·期中）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【變式5-2】若函數(shù)的定義域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．【變式5-3】當(dāng)時(shí)，函數(shù)和有意義，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.題型六：待定系數(shù)法求解析式【典例6-1】一次函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，則.【典例6-2】已知二次函數(shù)滿(mǎn)足，，則不等式的解集為．【方法技巧】當(dāng)已知函數(shù)的類(lèi)型時(shí)，可用待定系數(shù)法求解．【變式6-1】已知函數(shù)是一次函數(shù)，且，則的解析式為.【變式6-2】已知二次函數(shù)，其圖象過(guò)點(diǎn)，且滿(mǎn)足，則的解析式為.題型七：換元法求解析式【典例7-1】已知f(x＋)＝x2＋，則函數(shù)f(x)＝．【典例7-2】已知，則（

）A． B．C． D．【方法技巧】當(dāng)已知表達(dá)式為時(shí)，可考慮配湊法或換元法．【變式7-1】設(shè)是定義在上的函數(shù)，且有唯一解或無(wú)解，且對(duì)任意，均有，請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)符合條件的.【變式7-2】若是定義域?yàn)樯系膯握{(diào)函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)都有，其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則（）A．4 B．C． D．【變式7-3】（2024·高三·江西·期中）設(shè)是定義在上的單調(diào)函數(shù)，若，則不等式的解集為.【變式7-4】設(shè)是定義在上的單調(diào)增函數(shù)，且滿(mǎn)足，若對(duì)于任意非零實(shí)數(shù)都有，則.題型八：方程組消元法求解析式【典例8-1】已知為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，且滿(mǎn)足，則=（

）A． B．C． D．【典例8-2】已知，那么．【方法技巧】若已知成對(duì)出現(xiàn)，或，等類(lèi)型的抽象函數(shù)表達(dá)式，則常用解方程組法構(gòu)造另一個(gè)方程，消元的方法求出．【變式8-1】（2024·高三·遼寧丹東·期中）若，函數(shù)滿(mǎn)足，則．【變式8-2】已知滿(mǎn)足，則．【變式8-3】（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)對(duì)定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，則.題型九：賦值法求解析式【典例9-1】已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，且，，請(qǐng)寫(xiě)出滿(mǎn)足條件的一個(gè)（答案不唯一）．【典例9-2】已知函數(shù)，且，，則函數(shù)的一個(gè)解析式為.【方法技巧】若已知抽象函數(shù)表達(dá)式，則常用賦值法【變式9-1】已知函數(shù)滿(mǎn)足，則的解析式可以是（寫(xiě)出滿(mǎn)足條件的一個(gè)解析式即可）．【變式9-2】（2024·高三·江蘇揚(yáng)州·開(kāi)學(xué)考試）寫(xiě)出滿(mǎn)足的函數(shù)的解析式．【變式9-3】對(duì)，函數(shù)都滿(mǎn)足：①；②；③；則．【變式9-4】設(shè)偶函數(shù)f(x)滿(mǎn)足：，且當(dāng)時(shí)時(shí)，，則．題型十：求值域的7個(gè)基本方法【典例10-1】求下列函數(shù)的值域：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)；【典例10-2】求下列函數(shù)的值域．(1)；(2)；(3)；(4)；(5)（）．【方法技巧】函數(shù)值域的求法主要有以下幾種（1）觀察法：根據(jù)最基本函數(shù)值域（如≥0，及函數(shù)的圖像、性質(zhì)、簡(jiǎn)單的計(jì)算、推理，憑觀察能直接得到些簡(jiǎn)單的復(fù)合函數(shù)的值域．（2）配方法：對(duì)于形如的值域問(wèn)題可充分利用二次函數(shù)可配方的特點(diǎn)，結(jié)合二次函數(shù)的定義城求出函數(shù)的值域．（3）圖像法：根據(jù)所給數(shù)學(xué)式子的特征，構(gòu)造合適的幾何模型．（4）基本不等式法：注意使用基本不等式的條件，即一正、二定、三相等．（5）換元法：分為三角換元法與代數(shù)換元法，對(duì)于形的值城，可通過(guò)換元將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次型函數(shù)．（6）分離常數(shù)法：對(duì)某些齊次分式型的函數(shù)進(jìn)行常數(shù)化處理，使函數(shù)解析式簡(jiǎn)化內(nèi)便于分析．（7）單調(diào)性法：先確定函數(shù)在定義域（或它的子集）內(nèi)的單調(diào)性，再求出值域．對(duì)于形如或的函數(shù)，當(dāng)ac>0時(shí)可利用單調(diào)性法．【變式10-1】求下列函數(shù)的值域．（1）求函數(shù)的值域．（2）求函數(shù)的值域．（3）求函數(shù)，的值域．【變式10-2】求下列函數(shù)的值域：(1)；(2)；(3).【變式10-3】求下列函數(shù)的值域（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）（9）；（10）.題型十一：數(shù)形結(jié)合求值域【典例11-1】函數(shù)的值域?yàn)椤镜淅?1-2】函數(shù)的值域?yàn)?【方法技巧】根據(jù)所給數(shù)學(xué)式子的特征，構(gòu)造合適的幾何圖形模型．【變式11-1】函數(shù)的值域是．【變式11-2】函數(shù)的值域是．【變式11-3】函數(shù)的值域?yàn)?【變式11-4】函數(shù)的值域?yàn)?題型十二：值域與求參問(wèn)題【典例12-1】若函數(shù)的值域?yàn)?，則的值為.【典例12-2】若函數(shù)的值域?yàn)椋瑒t的取值范圍為（

）A． B． C． D．【方法技巧】值域與求參問(wèn)題通常采用分類(lèi)討論，數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化化歸等方法解決.【變式12-1】已知函數(shù)的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【變式12-2】定義若函數(shù)，則的最大值為；若在區(qū)間上的值域?yàn)?，則的最大值為．【變式12-3】（2024·上海青浦·一模）已知函數(shù)的值域?yàn)椋瑒t實(shí)數(shù)的取值范圍為．題型十三：判別式法求值域【典例13-1】函數(shù)，的值域?yàn)椋镜淅?3-2】函數(shù)的值域是．【方法技巧】判別式法：把函數(shù)解析式化為關(guān)于x的―元二次方程，利用一元二次方程的判別式求值域，一般地，形如，或的函數(shù)值域問(wèn)題可運(yùn)用判別式法（注意x的取值范圍必須為實(shí)數(shù)集R）．【變式13-1】已知，且，則的取值范圍是.【變式13-2】已知，函數(shù)的最大值為，則實(shí)數(shù)的值為.【變式13-3】函數(shù)的值域是.題型十四：三角換元法求值域【典例14-1】求函數(shù)的值域.【典例14-2】（2024·高三·河南·期中）函數(shù)的值域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【方法技巧】充分利用三角函數(shù)的有界性，求出值域．因?yàn)槌３霈F(xiàn)反解出y的表達(dá)式的過(guò)程，故又常稱(chēng)此為反解有界性法．【變式14-1】（2024·上海徐匯·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)的值域?yàn)?題型十五：分段函數(shù)求值、求參數(shù)問(wèn)題【典例15-1】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則（

）A． B．0 C． D．1【典例15-2】已知函數(shù)，若，則（

）A．0 B．2 C． D．2或3【方法技巧】根據(jù)分段函數(shù)解析式求函數(shù)值，首先明確自變量的值屬于哪個(gè)區(qū)間，其次選擇相應(yīng)的解析式代入解決.【變式15-1】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，若，則的值為（

）A．2或 B．2或 C．或 D．1或【變式15-2】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)，若，則（

）A．14 B．16 C．2 D．6【變式15-3】（2024·江蘇南通·二模）已知函數(shù)，則（

）A． B． C． D．題型十六：分段函數(shù)與方程、不等式【典例16-1】已知函數(shù)若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【典例16-2】（2024·福建福州·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則不等式的解集是（

）A． B．C． D．【方法技巧】已知函數(shù)值或函數(shù)的范圍求自變量的值或范圍時(shí)，應(yīng)根據(jù)每一段的解析式分別求解，但是一定要注意檢驗(yàn)所求自變量的值或范圍是否符合相應(yīng)段自變量的范圍.【變式16-1】（2024·湖北·一模）已知函數(shù)，則關(guān)于x的不等式的解集為．【變式16-2】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則不等式的解集是.1．（2024年新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題）已知函數(shù)為的定義域?yàn)镽，，且當(dāng)時(shí)，則下列結(jié)論中一定正確的是（

）A． B．C． D．2．（2024年上海夏季高考數(shù)學(xué)真題（網(wǎng)絡(luò)回憶版））已知?jiǎng)t．3．（2023年北京高考數(shù)學(xué)真題）已知函數(shù)，則．1．若，且，，求的值.2．已知函數(shù)，，．

（1）在圖中畫(huà)出函數(shù)，的圖象；（2）定義：，用表示，中的較小者，記為，請(qǐng)分別用圖象法和解析式法表示函數(shù)．（注：圖象法請(qǐng)?jiān)趫D中表示，本題中的單位長(zhǎng)度請(qǐng)自己定義且標(biāo)明）3．函數(shù)的圖象如圖所示，曲線l與直線m無(wú)限接近，但永不相交．（1）函數(shù)的定義域、值域各是什么？（2）r取何值時(shí)，只有唯一的值與之對(duì)應(yīng)？4．畫(huà)出定義域?yàn)?，且，值域?yàn)榈囊粋€(gè)函數(shù)的圖象.（1）將你的圖象和其他同學(xué)的相比較，有什么差別嗎？（2）如果平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)滿(mǎn)足，那么其中哪些點(diǎn)不能在圖象上？5．給定數(shù)集，方程，①（1）任給，對(duì)應(yīng)關(guān)系f使方程①的解v與u對(duì)應(yīng)，判斷是否為函數(shù)；（2）任給，對(duì)應(yīng)關(guān)系g使方程①的解u與v對(duì)應(yīng)，判斷是否為函數(shù).易錯(cuò)點(diǎn)：錯(cuò)求抽象函數(shù)的定義域易錯(cuò)分析：定義域不是指的范圍，而是指的范圍.答題模板：求抽象函數(shù)的定義域1、模板解決思路解決本模板問(wèn)題的要點(diǎn)是知道函數(shù)中的范圍，也就是函數(shù)中的范圍，解不等式就可得到函數(shù)的定義域．2、模板解決步驟第一步：由函數(shù)的定義域，即的取值范圍，求出的取值范圍．第二步：用集合或區(qū)間表示所求定義域．【易錯(cuò)題1】函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域是.【易錯(cuò)題2】若函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t的定義域?yàn)?第01講函數(shù)的概念及其表示目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01考情透視·目標(biāo)導(dǎo)航 202知識(shí)導(dǎo)圖·思維引航 303考點(diǎn)突破·題型探究 4知識(shí)點(diǎn)1：函數(shù)的概念 4知識(shí)點(diǎn)2：函數(shù)的三要素 4知識(shí)點(diǎn)3：函數(shù)的表示法 5知識(shí)點(diǎn)4：分段函數(shù) 5解題方法總結(jié) 6題型一：函數(shù)的概念 7題型二：同一函數(shù)的判斷 9題型三：給出函數(shù)解析式求解定義域 12題型四：抽象函數(shù)定義域 13題型五：函數(shù)定義域的綜合應(yīng)用 15題型六：待定系數(shù)法求解析式 17題型七：換元法求解析式 19題型八：方程組消元法求解析式 21題型九：賦值法求解析式 23題型十：求值域的7個(gè)基本方法 26題型十一：數(shù)形結(jié)合求值域 33題型十二：值域與求參問(wèn)題 36題型十三：判別式法求值域 39題型十四：三角換元法求值域 42題型十五：分段函數(shù)求值、求參數(shù)問(wèn)題 44題型十六：分段函數(shù)與方程、不等式 4604真題練習(xí)·命題洞見(jiàn) 4705課本典例·高考素材 4806易錯(cuò)分析·答題模板 51易錯(cuò)點(diǎn)：錯(cuò)求抽象函數(shù)的定義域 51答題模板：求抽象函數(shù)的定義域 51

考點(diǎn)要求考題統(tǒng)計(jì)考情分析（1）了解函數(shù)的含義，會(huì)求簡(jiǎn)單函數(shù)的定義域和值域．（2）在實(shí)際情景中，會(huì)根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ǎㄈ鐖D象法、列表法、解析法）表示函數(shù)．（3）了解簡(jiǎn)單的分段函數(shù)，并會(huì)簡(jiǎn)單的應(yīng)用．2024年上海卷第2題，5分2024年I卷第8題，5分2023年北京卷第15題，5分2022年浙江卷第14題，5分2021年浙江卷第12題，5分高考對(duì)函數(shù)的概念及其表示的考查相對(duì)穩(wěn)定，考查內(nèi)容、頻率、題型、難度均變化不大．高考對(duì)本節(jié)的考查不會(huì)有大的變化，仍將以分段函數(shù)、定義域、值域及最值為主，綜合考查不等式與函數(shù)的性質(zhì)．復(fù)習(xí)目標(biāo)：1、掌握函數(shù)的概念，了解構(gòu)成函數(shù)的要素2、會(huì)求常見(jiàn)函數(shù)的定義域和值域3、掌握求函數(shù)解析式的方法

知識(shí)點(diǎn)1：函數(shù)的概念（1）一般地，給定非空數(shù)集，，按照某個(gè)對(duì)應(yīng)法則，使得中任意元素，都有中唯一確定的與之對(duì)應(yīng)，那么從集合到集合的這個(gè)對(duì)應(yīng)，叫做從集合到集合的一個(gè)函數(shù)．記作：，．集合叫做函數(shù)的定義域，記為，集合，叫做值域，記為．（2）函數(shù)的實(shí)質(zhì)是從一個(gè)非空集合到另一個(gè)非空集合的映射．【診斷自測(cè)】下列圖象中，y不是x的函數(shù)的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【解析】任作一條垂直于x軸的直線，移動(dòng)直線，根據(jù)函數(shù)的定義可知，此直線與函數(shù)圖象至多有一個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合選項(xiàng)可知D不滿(mǎn)足要求，因此D中圖象不表示函數(shù)關(guān)系．故選：D.知識(shí)點(diǎn)2：函數(shù)的三要素（1）函數(shù)的三要素：定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系、值域．（2）如果兩個(gè)函數(shù)的定義域相同，并且對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致，則這兩個(gè)函數(shù)為同一個(gè)函數(shù)．【診斷自測(cè)】下列四組函數(shù)：①；②；③；④；其中表示同一函數(shù)的是（

）A．②④ B．②③ C．①③ D．③④【答案】B【解析】①，兩個(gè)函數(shù)對(duì)應(yīng)法則不一樣，不是同一函數(shù)；②，兩個(gè)函數(shù)定義域和對(duì)應(yīng)法則一樣，是同一函數(shù)；③，兩個(gè)函數(shù)定義域和對(duì)應(yīng)法則一樣，是同一函數(shù)；④，兩個(gè)函數(shù)定義域不一樣，不是同一函數(shù).故選：B.知識(shí)點(diǎn)3：函數(shù)的表示法表示函數(shù)的常用方法有解析法、圖象法和列表法．【診斷自測(cè)】已知函數(shù)，則（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】令，則，由于，則，可得，所以.故選：B.知識(shí)點(diǎn)4：分段函數(shù)若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因?qū)?yīng)關(guān)系不同而分別用幾個(gè)不同的式子來(lái)表示，這種函數(shù)稱(chēng)為分段函數(shù)．【診斷自測(cè)】（2024·吉林·模擬預(yù)測(cè)）已知若，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．1 B．4 C．1或4 D．2【答案】B【解析】當(dāng)時(shí)，，則，解得：（舍去）；當(dāng)時(shí)，，則，解得：.故選：B.解題方法總結(jié)1、基本的函數(shù)定義域限制求解函數(shù)的定義域應(yīng)注意：（1）分式的分母不為零；（2）偶次方根的被開(kāi)方數(shù)大于或等于零：（3）對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零，底數(shù)大于零且不等于1；（4）零次冪或負(fù)指數(shù)次冪的底數(shù)不為零；（5）三角函數(shù)中的正切的定義域是且；（6）已知的定義域求解的定義域，或已知的定義域求的定義域，遵循兩點(diǎn)：①定義域是指自變量的取值范圍；=2\*GB3②在同一對(duì)應(yīng)法則∫下，括號(hào)內(nèi)式子的范圍相同；（7）對(duì)于實(shí)際問(wèn)題中函數(shù)的定義域，還需根據(jù)實(shí)際意義再限制，從而得到實(shí)際問(wèn)題函數(shù)的定義域．2、基本初等函數(shù)的值域（1）的值域是．（2）的值域是：當(dāng)時(shí)，值域?yàn)椋划?dāng)時(shí)，值域?yàn)椋?）的值域是．（4）且的值域是．（5）且的值域是．題型一：函數(shù)的概念【典例1-1】下列對(duì)應(yīng)是從集合A到集合B的函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，對(duì)集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，集合B中都有唯一的數(shù)y與之對(duì)應(yīng)，是函數(shù)；對(duì)于B選項(xiàng)，時(shí)，，有兩個(gè)y與之對(duì)應(yīng)，不是函數(shù)；對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，不存在，不是函數(shù)；對(duì)于D選項(xiàng)，集合A中的元素0在集合B中沒(méi)有對(duì)應(yīng)元素，不是函數(shù).故選：A【典例1-2】已知是定義在有限實(shí)數(shù)集A上的函數(shù)，且，若函數(shù)的圖象繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后與原圖象重合，則的值可能是（

）A．0 B． C． D．【答案】C【解析】由題意得到，問(wèn)題相當(dāng)于圓上由個(gè)點(diǎn)為一組，每次繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)個(gè)單位后與下一個(gè)點(diǎn)會(huì)重合，我們可以通過(guò)代入和賦值的方法，當(dāng)時(shí)，此時(shí)得到的圓心角為，然而此時(shí)或者時(shí)，都有個(gè)與之對(duì)應(yīng)，而我們知道函數(shù)的定義就是要求一個(gè)只能對(duì)應(yīng)一個(gè)，因此只有當(dāng)時(shí)旋轉(zhuǎn)，此時(shí)滿(mǎn)足一個(gè)只會(huì)對(duì)應(yīng)一個(gè).故選.：C.【方法技巧】利用函數(shù)概念判斷：（1）A，B是非空的實(shí)數(shù)集；（2）數(shù)集A中的任何一個(gè)元素在數(shù)集B中只有一個(gè)元素與之對(duì)應(yīng)，即“多對(duì)一”，不能“一對(duì)多”，而數(shù)集B中有可能存在與數(shù)集A中元素不對(duì)應(yīng)的元素.【變式1-1】（2024·高三·上海虹口·期中）若函數(shù)的圖像繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后與原圖像重合，則在以下各項(xiàng)中，的定義域不可能是（

）A． B．C． D．R【答案】B【解析】對(duì)于函數(shù)圖象上任一點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)可得，即也在函數(shù)圖象上，所以均在函數(shù)圖象上，都在定義域內(nèi)，從而結(jié)合函數(shù)定義有，當(dāng)時(shí)，有若定義域?yàn)椋瑒t不存在滿(mǎn)足題意的對(duì)應(yīng)值，故B錯(cuò)誤；故選：B.【變式1-2】將函數(shù)的圖象繞著原點(diǎn)沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角得到曲線，已知曲線始終保持為函數(shù)圖象，則的最大值為（

）A． B． C．1 D．【答案】B【解析】由題設(shè)，在原點(diǎn)處的切線斜率，所以切線方程為，設(shè)切線傾斜角為，則，當(dāng)繞著原點(diǎn)沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)時(shí)，始終保持為函數(shù)圖象，則，故，顯然為銳角，所以，故的最大值為．故選：B【變式1-3】存在定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，滿(mǎn)足對(duì)任意，使得下列等式成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】對(duì)于A，因?yàn)橛袃蓚€(gè)不相等的根和，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)，，與函數(shù)的定義不符，故A不成立；對(duì)于B，令，則，令，則，與函數(shù)定義不符，故B不成立；對(duì)于C，令，則，令，則，與函數(shù)定義不符，故C不成立；對(duì)于D，，，唯一確定，符合函數(shù)定義.故D成立，故選：D.題型二：同一函數(shù)的判斷【典例2-1】下列各組函數(shù)相等的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【解析】對(duì)于A中，函數(shù)的定義域?yàn)镽，的定義域?yàn)?，所以定義域不同，不是相同的函數(shù)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B中，函數(shù)的定義域?yàn)镽，的定義域?yàn)?，所以定義域不同，不是相同的函數(shù)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C中，函數(shù)的定義域?yàn)镽，與的定義域?yàn)?，所以定義域不同，所以不是相同的函數(shù),故C錯(cuò)誤；對(duì)于D中，函數(shù)與的定義域均為R，可知兩個(gè)函數(shù)的定義域相同，對(duì)應(yīng)關(guān)系也相同，所以是相同的函數(shù),故D正確；故選：D.【典例2-2】（多選題）下列各項(xiàng)不能表示同一個(gè)函數(shù)的是（

）A．與 B．與C．與 D．與【答案】ABD【解析】對(duì)于A:定義域?yàn)?，定義域?yàn)椋珹不能表示同一個(gè)函數(shù),A選項(xiàng)正確；對(duì)于B:與解析式不同，B不能表示同一個(gè)函數(shù)，B選項(xiàng)正確；對(duì)于C:解析式及定義域都相同，C選項(xiàng)是同一函數(shù)，C選項(xiàng)不正確；對(duì)于D:定義域?yàn)?，定義域?yàn)?，D不能表示同一個(gè)函數(shù)，D選項(xiàng)正確；故選:ABD.【方法技巧】當(dāng)且僅當(dāng)給定兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)法則完全相同時(shí)，才表示同一函數(shù)，否則表示不同的函數(shù)．【變式2-1】（多選題）下列各組函數(shù)表示的是不同函數(shù)的是（

）A．與B．與C．與D．與【答案】ACD【解析】A.的定義域?yàn)?，且，的定義域?yàn)椋馕鍪讲煌?，所以不是同一函?shù)，故錯(cuò)誤；B.的定義域?yàn)镽，定義域?yàn)镽，且解析式相同，所以是同一函數(shù)，故正確；C.的定義域?yàn)镽，的定義域?yàn)?，所以不是同一函?shù)，故錯(cuò)誤；D.，由得，所以的定義域?yàn)?，由，得或，所以函?shù)的定義域?yàn)榛?，所以不是同一函?shù)，故錯(cuò)誤；故選：ACD【變式2-2】以下四組函數(shù)中，表示同一個(gè)函數(shù)的是（

）A．與B．與C．與D．與【答案】B【解析】從定義域，對(duì)應(yīng)關(guān)系，值域是否相同，逐項(xiàng)判斷即可．對(duì)于A：的值域?yàn)?，的值域?yàn)椋訟錯(cuò)誤；對(duì)于B：的定義域需滿(mǎn)足，即為，的定義域滿(mǎn)足，即為，且，所以和是同一個(gè)函數(shù)，B正確；對(duì)于C：的定義域?yàn)?，的定義域?yàn)?，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D：的定義域滿(mǎn)足，即為，的定義域需滿(mǎn)足，即為，所以D錯(cuò)誤，故選：B【變式2-3】（多選題）（2024·高三·浙江金華·期末）已知函數(shù)，．（

）A．若，則B．若，則C．對(duì)于，若，則D．對(duì)于，若，則【答案】CD【解析】對(duì)A：若，則，，故A錯(cuò)誤；對(duì)B：若，則，，，故B錯(cuò)誤；對(duì)C：若，則，，又，故，故，即，即恒成立，故，故C正確；對(duì)D：若，則，，又，故恒成立，即，故，即恒成立，故，即，故D正確.故選：CD.題型三：給出函數(shù)解析式求解定義域【典例3-1】（2024·北京通州·二模）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋敬鸢浮俊窘馕觥扛鶕?jù)題意可得,解得故定義域?yàn)?故答案為：【典例3-2】已知等腰三角形的周長(zhǎng)為，底邊長(zhǎng)是腰長(zhǎng)的函數(shù)，則函數(shù)的定義域?yàn)?A． B． C． D．【答案】A【解析】由題設(shè)有，由得，故選A.【方法技巧】對(duì)求函數(shù)定義域問(wèn)題的思路是：（1）先列出使式子有意義的不等式或不等式組；（2）解不等式組；（3）將解集寫(xiě)成集合或區(qū)間的形式．【變式3-1】函數(shù)的定義域是.【答案】【解析】由的解析式可得，解得；所以其定義域?yàn)?故答案為：【變式3-2】（2024·北京懷柔·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)的定義域是.【答案】【解析】函數(shù)有意義，則，解得或，所以函數(shù)的定義域是.故答案為：【變式3-3】（2024·北京平谷·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)的定義域是【答案】【解析】函數(shù)有意義的條件是，解得且，所以函數(shù)定義域?yàn)?故答案為：.題型四：抽象函數(shù)定義域【典例4-1】已知函數(shù)的定義域是，則函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域是，所以，所以，所以函數(shù)的定義域?yàn)?，所以要使函?shù)有意義，則有，解得，所以函數(shù)的定義域?yàn)?故選：A.【典例4-2】已知的定義域?yàn)?，則的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因?yàn)槎x域?yàn)?，所以的定義域?yàn)椋獾?，由分母不為，得，即，所以函?shù)定義域?yàn)椋?故選：.【方法技巧】1、抽象函數(shù)的定義域求法：（1）若的定義域?yàn)椋笾械慕獾姆秶?，即為的定義域．（2）已知的定義域，求的定義域，則用換元法求解.2、若函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過(guò)四則運(yùn)算結(jié)合而成的，其定義域?yàn)楦骰竞瘮?shù)定義域的交集，即先求出各個(gè)函數(shù)的定義域，再取交集．【變式4-1】（2024·高三·河北邢臺(tái)·期末）若函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)椋敬鸢浮俊窘馕觥恳驗(yàn)?，所以，所以的定義域?yàn)?，要使有意義，需滿(mǎn)足，解得，所以函數(shù)的定義域?yàn)?故答案為：.【變式4-2】已知函數(shù)的定義域?yàn)椋蟮亩x域.【答案】【解析】∵的定義域?yàn)?，即，∴，故需，∴．∴的定義域?yàn)椋蚀鸢笧椋骸咀兪?-3】（1）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)椋?）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)椋敬鸢浮俊窘馕觥浚?）令，則，因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，所以，所以函?shù)的定義域?yàn)椋?）令，，則，．因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，所以，所以函?shù)的定義域?yàn)椋?，所以，所以函?shù)的定義域?yàn)椋蚀鸢笧椋?；題型五：函數(shù)定義域的綜合應(yīng)用【典例5-1】已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B．或C． D．或【答案】C【解析】由函數(shù)的定義域?yàn)镽，得，恒成立.當(dāng)時(shí)，恒成立；當(dāng)時(shí)，，解得.綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍為.故選：C.【典例5-2】若函數(shù)的定義域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)?，的定義域?yàn)?，所以首先滿(mǎn)足恒成立，，再者滿(mǎn)足，變形得到，最終得到.故選：B.【方法技巧】對(duì)函數(shù)定義域的應(yīng)用，是逆向思維問(wèn)題，常常轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題求解，必要時(shí)對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論．【變式5-1】（2024·高三·上海嘉定·期中）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【解析】函數(shù)的定義域?yàn)?，得恒成立，?dāng)時(shí)，恒成立；當(dāng)時(shí)，，得，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：【變式5-2】若函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t實(shí)數(shù)的取值范圍為．【答案】【解析】由題意得，在R上恒成立，當(dāng)時(shí)，，成立；當(dāng)時(shí)，，即，解得；綜上所述，.故答案為：.【變式5-3】當(dāng)時(shí)，函數(shù)和有意義，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【解析】由題意知，當(dāng)時(shí)，不等式組成立.對(duì)于，整理得，令，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增;時(shí)，單調(diào)遞減，所以，則，解得；對(duì)于，整理得，由于在上的最小值為2，所以，解得.綜上可得.故答案為：.題型六：待定系數(shù)法求解析式【典例6-1】一次函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，則.【答案】【解析】設(shè)，則，，則.又在上單調(diào)遞增，即，所以，，則.故答案為：【典例6-2】已知二次函數(shù)滿(mǎn)足，，則不等式的解集為．【答案】．【解析】由二次函數(shù)滿(mǎn)足，設(shè)的表達(dá)式為（，為常數(shù)），則；，根據(jù)，得，解得，所以，令，則，解得，所以的解集為．故答案為：．【方法技巧】當(dāng)已知函數(shù)的類(lèi)型時(shí)，可用待定系數(shù)法求解．【變式6-1】已知函數(shù)是一次函數(shù)，且，則的解析式為.【答案】或【解析】設(shè)()，則，則，解得，，或，，故或.故答案為：或.【變式6-2】已知二次函數(shù)，其圖象過(guò)點(diǎn)，且滿(mǎn)足，則的解析式為.【答案】【解析】根據(jù)題意可知，又恒相等，化簡(jiǎn)得到恒相等，所以，故，，，所以的解析式為.故答案為：.題型七：換元法求解析式【典例7-1】已知f(x＋)＝x2＋，則函數(shù)f(x)＝．【答案】x2－2(|x|≥2)【解析】配湊法.f(x＋)＝x2＋＝(x2＋2＋)－2＝(x＋)2－2，所以f(x)＝x2－2(|x|≥2).【典例7-2】已知，則（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】令，，則，，所以，所以的解析式為：故選：B.【方法技巧】當(dāng)已知表達(dá)式為時(shí)，可考慮配湊法或換元法．【變式7-1】設(shè)是定義在上的函數(shù)，且有唯一解或無(wú)解，且對(duì)任意，均有，請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)符合條件的.【答案】或（答案不唯一）【解析】當(dāng)時(shí)，，所以；或者，當(dāng)時(shí)，，所以.故答案為：或（答案不唯一）.【變式7-2】若是定義域?yàn)樯系膯握{(diào)函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)都有，其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則（）A．4 B．C． D．【答案】B【解析】∵是定義域?yàn)樯系膯握{(diào)函數(shù)，且，∴在上存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)使得，于是.令，得，即.畫(huà)出與的圖像如圖所示：由圖像可知，與的圖像在上只有1個(gè)交點(diǎn)，且是方程的解，所以，故.故選:B.【變式7-3】（2024·高三·江西·期中）設(shè)是定義在上的單調(diào)函數(shù)，若，則不等式的解集為.【答案】【解析】由，可得必為定值，設(shè)，即，由，解得，所以，則不等式，即為，可得，解得，所以不等式的解集為.故答案為：.【變式7-4】設(shè)是定義在上的單調(diào)增函數(shù)，且滿(mǎn)足，若對(duì)于任意非零實(shí)數(shù)都有，則.【答案】2021【解析】令，則，令，則，解得或.而，則，故，因此.則，即.因此或，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，不滿(mǎn)足題意，舍去；當(dāng)時(shí)，滿(mǎn)足題意.則.故答案為：題型八：方程組消元法求解析式【典例8-1】已知為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，且滿(mǎn)足，則=（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由題意知，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，則，所以，即，解得.故選：D【典例8-2】已知，那么．【答案】【解析】∵，，∴．聯(lián)立方程組，解得．故答案為：.【方法技巧】若已知成對(duì)出現(xiàn)，或，等類(lèi)型的抽象函數(shù)表達(dá)式，則常用解方程組法構(gòu)造另一個(gè)方程，消元的方法求出．【變式8-1】（2024·高三·遼寧丹東·期中）若，函數(shù)滿(mǎn)足，則．【答案】/-0.5【解析】由題意知：，，所以得：，解之得：，即，所以得：．故答案為：【變式8-2】已知滿(mǎn)足，則．【答案】【解析】因?yàn)椋?，?lián)立，解得.故答案為：.【變式8-3】（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)對(duì)定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，則.【答案】【解析】由，得，即①，將換為，得②，由①+2②，得，故.故答案為：.題型九：賦值法求解析式【典例9-1】已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，且，，請(qǐng)寫(xiě)出滿(mǎn)足條件的一個(gè)（答案不唯一）．【答案】1,（答案不唯一）【解析】令，則，又，所以，即，所以函數(shù)為偶函數(shù)，不妨取偶函數(shù)，則，也可取，則，滿(mǎn)足題意.故答案為：,（答案不唯一）【典例9-2】已知函數(shù)，且，，則函數(shù)的一個(gè)解析式為.【答案】（不唯一）【解析】由題意，，累乘可得，即，令，則，所以，故答案為：（不唯一）【方法技巧】若已知抽象函數(shù)表達(dá)式，則常用賦值法【變式9-1】已知函數(shù)滿(mǎn)足，則的解析式可以是（寫(xiě)出滿(mǎn)足條件的一個(gè)解析式即可）．【答案】（答案不唯一）【解析】設(shè)，由，代入可得，，解得，.故答案為：.（答案不唯一只要正確即可）【變式9-2】（2024·高三·江蘇揚(yáng)州·開(kāi)學(xué)考試）寫(xiě)出滿(mǎn)足的函數(shù)的解析式．【答案】【解析】中，令，得；令得，故，則．故答案為：．【變式9-3】對(duì)，函數(shù)都滿(mǎn)足：①；②；③；則．【答案】【解析】由題意，，在中，，，，解:由題意,有,,∵,∴,∴有,∵,∴,∴當(dāng),即,∵,∴,∴，.故答案為:.【變式9-4】設(shè)偶函數(shù)f(x)滿(mǎn)足：，且當(dāng)時(shí)時(shí)，，則．【答案】【解析】利用初始值和遞推關(guān)系，逐漸求得，，，，，最后求得再利用偶函數(shù)的性質(zhì)得出所求.，，,,,,∵f(x)是偶函數(shù)，．故答案為：．題型十：求值域的7個(gè)基本方法【典例10-1】求下列函數(shù)的值域：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)；【解析】（1）因?yàn)?，故的值域?yàn)椋唬?）令，則，而，則，故，即的值域?yàn)椋唬?），因?yàn)?，故，所以的值域?yàn)?（4）令，則，當(dāng)時(shí)，取到最大值5，無(wú)最小值，故的值域?yàn)?；?）因?yàn)椋?故，由于，故，即函數(shù)的值域?yàn)?；?），當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故的值域?yàn)椋唬?）因?yàn)楹愠闪?，?則由可得，當(dāng)時(shí)，，適合題意；當(dāng)時(shí)，由于，故恒有實(shí)數(shù)根，故，解得且，故的值域?yàn)?；?），因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故，即函數(shù)值域?yàn)椋弧镜淅?0-2】求下列函數(shù)的值域．(1)；(2)；(3)；(4)；(5)（）．【解析】（1）因?yàn)?，所以．故值域?yàn)椋?）因?yàn)?，且，所以，所以，故函?shù)的值域?yàn)椋?）令，則，且，所以（）．故函數(shù)的值域．（4），其中，，當(dāng)時(shí)，．又因?yàn)椋裕屎瘮?shù)的值域?yàn)椋?）因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)，即取得最小值8．故函數(shù)的值域?yàn)椋痉椒记伞亢瘮?shù)值域的求法主要有以下幾種（1）觀察法：根據(jù)最基本函數(shù)值域（如≥0，及函數(shù)的圖像、性質(zhì)、簡(jiǎn)單的計(jì)算、推理，憑觀察能直接得到些簡(jiǎn)單的復(fù)合函數(shù)的值域．（2）配方法：對(duì)于形如的值域問(wèn)題可充分利用二次函數(shù)可配方的特點(diǎn)，結(jié)合二次函數(shù)的定義城求出函數(shù)的值域．（3）圖像法：根據(jù)所給數(shù)學(xué)式子的特征，構(gòu)造合適的幾何模型．（4）基本不等式法：注意使用基本不等式的條件，即一正、二定、三相等．（5）換元法：分為三角換元法與代數(shù)換元法，對(duì)于形的值城，可通過(guò)換元將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次型函數(shù)．（6）分離常數(shù)法：對(duì)某些齊次分式型的函數(shù)進(jìn)行常數(shù)化處理，使函數(shù)解析式簡(jiǎn)化內(nèi)便于分析．（7）單調(diào)性法：先確定函數(shù)在定義域（或它的子集）內(nèi)的單調(diào)性，再求出值域．對(duì)于形如或的函數(shù)，當(dāng)ac>0時(shí)可利用單調(diào)性法．【變式10-1】求下列函數(shù)的值域．（1）求函數(shù)的值域．（2）求函數(shù)的值域．（3）求函數(shù)，的值域．【解析】(1).當(dāng)時(shí)，y取最小值，所以函數(shù)值域是．（2）由函數(shù)解析式得.①當(dāng)時(shí)，①式是關(guān)于x的方程有實(shí)根．所以，解得.又當(dāng)時(shí)，存在使解析式成立，所以函數(shù)值域?yàn)椋?）令，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以．所以該函?shù)值域?yàn)椋咀兪?0-2】求下列函數(shù)的值域：(1)；(2)；(3).【解析】（1）令，則，，所以，所以的值域?yàn)?（2），由反比例函數(shù)性質(zhì)可知，在上單調(diào)遞增，所以，即，所以的值域?yàn)?（3）,令，則，由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)可知，在上單調(diào)遞增，所以，由反比例函數(shù)性質(zhì)可知，在單調(diào)遞減，所以，即的值域?yàn)?【變式10-3】求下列函數(shù)的值域（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）（9）；（10）.【解析】（1）分式函數(shù)，定義域?yàn)椋?，所有，故值域?yàn)?；?）函數(shù)中，分母，則，故值域?yàn)?；?）函數(shù)中，令得，易見(jiàn)函數(shù)和都是減函數(shù)，故函數(shù)在時(shí)是遞減的，故時(shí)，故值域?yàn)?；?），故值域?yàn)榍?；?），而，，，，即，故值域?yàn)椋唬?）函數(shù)，定義域?yàn)?，令，所以，所以，?duì)稱(chēng)軸方程為，所以時(shí)，函數(shù)，故值域?yàn)?；?）由題意得，解得，則，故，，，由y的非負(fù)性知，，故函數(shù)的值域?yàn)椋唬?）函數(shù)，定義域?yàn)?，，故，即值域?yàn)?；?）函數(shù)，定義域?yàn)椋?，所有，故值域?yàn)椋唬?0）函數(shù)，令，則由知，，，根據(jù)對(duì)勾函數(shù)在遞減，在遞增,可知時(shí)，，故值域?yàn)?題型十一：數(shù)形結(jié)合求值域【典例11-1】函數(shù)的值域?yàn)椤敬鸢浮俊窘馕觥勘硎军c(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率，的軌跡為圓，表示圓上的點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率，由圖象可知：過(guò)作圓的切線，斜率必然存在，則設(shè)過(guò)的圓的切線方程為，即，圓心到切線的距離，解得：，結(jié)合圖象可知：圓上的點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率的取值范圍為，即的值域?yàn)?故答案為：.【典例11-2】函數(shù)的值域?yàn)?【答案】【解析】原式為，即可看作是動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離之和，設(shè)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，連接交軸于，此時(shí)最小，且最小值為，故函數(shù)的值域?yàn)椋蚀鸢笧椋骸痉椒记伞扛鶕?jù)所給數(shù)學(xué)式子的特征，構(gòu)造合適的幾何圖形模型．【變式11-1】函數(shù)的值域是．【答案】【解析】設(shè)函數(shù)，令，則點(diǎn)位于一個(gè)單位圓x軸的上半部分，如圖所示．將函數(shù)改寫(xiě)為，則表示定點(diǎn)與點(diǎn)所連直線的斜率．當(dāng)直線與上半單位圓相切時(shí)，在直角三角形中，，所以．又，所以．即函數(shù)的值域?yàn)椋咀兪?1-2】函數(shù)的值域是．【答案】【解析】，由，解得，令，即，將函數(shù)的值域轉(zhuǎn)化為與有交點(diǎn)時(shí)的t的取值范圍，在同一坐標(biāo)系中作函數(shù)與的圖象如圖所示：由圖象知：當(dāng)直線與半圓相切時(shí)，t最小，此時(shí)，解得，由圖象知，當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，t最大，此時(shí)，所以，即的值域是，故答案為：【變式11-3】函數(shù)的值域?yàn)?【答案】【解析】由題設(shè)，所以所求值域化為求軸上點(diǎn)到與距離差的范圍，如下圖示，由圖知：，即，當(dāng)三點(diǎn)共線且在之間時(shí)，左側(cè)等號(hào)成立；當(dāng)三點(diǎn)共線且在之間時(shí)，右側(cè)等號(hào)成立，顯然不存在此情況；所以，即，所以函數(shù)值域?yàn)?故答案為：【變式11-4】函數(shù)的值域?yàn)?【答案】【解析】設(shè)，則有，，其幾何意義為半圓上一動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的連線的斜率．如圖：,則，設(shè)過(guò)點(diǎn)A的直線為，整理為，由點(diǎn)到直線的距離公式可得，化簡(jiǎn)得或（舍），所以，故答案為:題型十二：值域與求參問(wèn)題【典例12-1】若函數(shù)的值域?yàn)?，則的值為.【答案】【解析】設(shè)，可得，由題意可知，關(guān)于的方程在上有解，若，可得，則；若，則，即，由題意可知，關(guān)于的二次方程的兩根為、，由韋達(dá)定理可得，解得.綜上所述，.故答案為：.【典例12-2】若函數(shù)的值域?yàn)?，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】當(dāng)時(shí)，，即值域?yàn)?，滿(mǎn)足題意；若，設(shè)，則需的值域包含，，解得：；綜上所述：的取值范圍為.故選：C.【方法技巧】值域與求參問(wèn)題通常采用分類(lèi)討論，數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化化歸等方法解決.【變式12-1】已知函數(shù)的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意得在，上單調(diào)遞減，因?yàn)楹瘮?shù)的值域?yàn)?，，所以，，，，，，，，，結(jié)合可得：，，，．故選：．【變式12-2】定義若函數(shù)，則的最大值為；若在區(qū)間上的值域?yàn)?，則的最大值為．【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，解得或，所以，作出的圖象如下圖所示：由圖象可知：當(dāng)時(shí)，有最大值，所以；當(dāng)時(shí)，解得或或；當(dāng)時(shí)，或，由圖象可知：當(dāng)，時(shí)，的值域?yàn)?，此時(shí)的最大值為；當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)?，此時(shí)，由上可知，的最大值為，故答案為：；.【變式12-3】（2024·上海青浦·一模）已知函數(shù)的值域?yàn)椋瑒t實(shí)數(shù)的取值范圍為．【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，當(dāng)且時(shí)，，此時(shí)，且，所以不滿(mǎn)足；當(dāng)且時(shí)，，由對(duì)勾函數(shù)單調(diào)性可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，此時(shí)，若要滿(mǎn)足的值域?yàn)椋恍枰?，解得；?dāng)且時(shí)，因?yàn)榫谏蠁握{(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，且時(shí)，，時(shí)，，所以此時(shí)，此時(shí)顯然能滿(mǎn)足的值域?yàn)?；綜上可知，的取值范圍是，故答案為：.題型十三：判別式法求值域【典例13-1】函數(shù)，的值域?yàn)椋敬鸢浮俊窘馕觥恳驗(yàn)?，整理得，可知關(guān)于x的方程有正根，若，則，解得，符合題意；若，則，可得或，解得或且，則或或；綜上所述：或，即函數(shù)，的值域?yàn)?故答案為：.【典例13-2】函數(shù)的值域是．【答案】【解析】由題知函數(shù)的定義域?yàn)?，所以，將整理得，所以，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，解得，所以，，即函數(shù)的值域是故答案為：【方法技巧】判別式法：把函數(shù)解析式化為關(guān)于x的―元二次方程，利用一元二次方程的判別式求值域，一般地，形如，或的函數(shù)值域問(wèn)題可運(yùn)用判別式法（注意x的取值范圍必須為實(shí)數(shù)集R）．【變式13-1】已知，且，則的取值范圍是.【答案】【解析】因?yàn)?，所?又因?yàn)?，所以，解?故答案為：.【變式13-2】已知，函數(shù)的最大值為，則實(shí)數(shù)的值為.【答案】1【解析】，，兩邊平方得：，即，再平方得：，化簡(jiǎn)得：，當(dāng)，即時(shí)，，此時(shí)最大值為，不符題意.所以.因?yàn)榉匠逃薪?，所以，即，化?jiǎn)得：，因?yàn)?，所以，又因?yàn)榈淖畲笾禐?，所以，所?故答案為：.【變式13-3】函數(shù)的值域是.【答案】【解析】，因?yàn)樗院瘮?shù)的定義域?yàn)榱睿淼梅匠蹋寒?dāng)時(shí)，方程無(wú)解；當(dāng)時(shí)，不等式整理得：解得：所以函數(shù)的值域?yàn)?故答案為：題型十四：三角換元法求值域【典例14-1】求函數(shù)的值域.【解析】，可設(shè)，則.設(shè)，則，從而.（其中，），，，，且..故函數(shù)的值域?yàn)?【典例14-2】（2024·高三·河南·期中）函數(shù)的值域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】C【解析】依題意且，所以函數(shù)的定義域?yàn)?設(shè)，，則，，其幾何含義表示點(diǎn)與的斜率，為圓弧上一動(dòng)點(diǎn)，如圖，當(dāng)為圓弧為右端點(diǎn)時(shí)，斜率最小，最小值為，當(dāng)與圓弧相切時(shí)，直線的斜率存在且最大，設(shè)，即，則圓心到直線的距離，即，如圖，顯然，所以.所以函數(shù)的值域?yàn)?故選：C.【方法技巧】充分利用三角函數(shù)的有界性，求出值域．因?yàn)槌３霈F(xiàn)反解出y的表達(dá)式的過(guò)程，故又常稱(chēng)此為反解有界性法．【變式14-1】（2024·上海徐匯·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)的值域?yàn)?【答案】【解析】.令

且θ∈[0，π]∴=，表示兩點(diǎn)（﹣3，﹣3）和（cosθ，sinθ）的斜率，，故點(diǎn)在單位圓的上半部分.如圖，斜率最小為，斜率最大值為直線與半圓相切時(shí)的斜率，，化簡(jiǎn)得，由，解得，故切線的斜率為.所以斜率的取值范圍，也即函數(shù)的值域?yàn)?故答案為：題型十五：分段函數(shù)求值、求參數(shù)問(wèn)題【典例