人教版高中數(shù)學全冊教案-09-直線、平面、簡單幾何體-12

斜線在平面上的射影，直線和平面所成的角

一、素質(zhì)教育目標

(-)知識教學點

1?點在平面上的射影，點到平面的垂線段.

2.有關(guān)平面的斜線的兒個概念.

3.有關(guān)射影的兒個概念.

4.射影定理.

5.有關(guān)直線和平面成角的兒個概念.

(-)能力訓練點

1.加深對數(shù)學概念的理解掌握.

2.初步學會依據(jù)直線與平面成角的定義用于解決成角問題的一般方法.

二、教學重點、難點、疑點及解決方法

1.教學重點：射影定理的敘述和記憶及直線與平面成角的概念.

2.教學難點：定理的理解及有關(guān)直線與平面成角的練習.

3.教學疑點及解決方法：

(1)“斜線在平面上的射影”是“直線和平面所成的角”的基礎(chǔ)；“斜線

在平面上的射影”這一小節(jié)出現(xiàn)概念較多，為了便于學生理解和記憶，可以邊畫

出課本的圖形1-30邊講解，結(jié)合圖形記憶，快而且準.教學中，一般先畫出斜

線AC與平面a斜交于C,再過AC上一點A引AB,a,垂足為點B,連結(jié)BC,然

后指出AC是平面a上的斜線；線段AC是點A到平面。的斜線段，線段AB是點

A到平面a的垂線段，點B是點A到平面a的垂線的垂足，直線BC是線段AC在

平面a上的射影.

(2)斜線段在平面上的射影是一條線段，斜線在平面上的射影是直線，垂

線和垂線段在平面上的射影退化成一個點.

(3)為照顧一般習慣說法，課本中定義射影是用“在平面上”，而說點、

直線“在平面內(nèi)”，并非不同.

（4）射影定理中三個結(jié)論成立的前提是這些斜線段及垂線段必須是從平面

外同一點向平面所引而得到的，否則，結(jié)論不成立.

（5）直線和平面相交，它們的相互位置與兩條相交直線一樣，仍需用角來

表示，但過交點在平面內(nèi)可以作許多條直線，與平面相交的直線同平面內(nèi)每一條

直線所成的角是不相等的，為了定義的準確性，所以取這些角中有確定值的最小

角，也就是取該斜線與其在平面上射影所成的銳角作為直線和平面所成的角；

（6）直線和平面的位置關(guān)系可以用直線和平面成角范圍來刻劃；反之，由

直線和平面所成角的大小也可以確定直線和平面的相互位置：

①曲半硒交信宜J：0-

I垂亶，0=s（r

②直線和平面平行或直線在平面內(nèi)，6=0°.

③直線和平面成角的范圍是0°W0W90°.

三、課時安排

1課時.

四、學生活動設計

常規(guī)活動.（略）

五、教學步驟

（-）新課概念教學

1.點在平面上的射影，點到平面的垂線段自一點向平面引垂線，垂足叫做

這點在這個平面上的射影.這點與垂足間的線段叫這點到這個平面的垂線段.

2.平面的斜線的有關(guān)概念

一條直線和一個平面相交，但不和這個平面垂直，這條直線叫這個平面的斜線，斜線

和平面的交點叫斜足，斜線上一點和斜足間的線段叫這點到這個平面的斜線段.

3.射影的有關(guān)概念

過斜線上斜足以外的一點向平面引垂線，過垂足和斜足的直線叫斜線在這個平面上的

射影.垂足和斜足間的線段叫這點到平面的斜線段在這個平面上的射影.

圖1-80

說明：教師邊畫出課本圖形130’邊講解.

點B一點A在平面上的射影

AB一點A到平面的垂線段

AC—平面的一條斜線

C一斜足

線段AC一斜線段

直線BC一斜線AC在平面上的射影

線段BC一斜線段AC在平面上的射影

（板書）

（1）.點在平面上的射影.

（2）.點到平面的垂線段.

（3）.斜線、斜足、斜線段.

（4）.斜線在平面上的射影.

（5）.線段在平面上的射影.

（二）射影定理

從平面外一點向這個平面所引的垂線段和斜線段中，

（1）射影相等的兩條斜線段相等，射影較長的斜線段也較長;

（2）相等的斜線段的射影相等，較長的斜線段的射影也較長;

（3）垂線段比任何一條斜線段都短.

關(guān)于射影定理說明如下:

設A為平面a外一點，AO±a,AB、AC為任意兩條斜線，0為垂足，貝U0B

和0C分別是AB和AC的射影.

圖1-81

AOla

AOlOB

OBcaQ<AOiOC

OCca

貝ijAB和AC分別為RtAABO和RtAACO的斜邊；由勾股定理可知

AB2=A02+0B2；

AC2=A02+0C2；

比較上面兩個等式，得

OB=OC-?AB=AC

OB>OC-?AB>AC

還可以得到AB>AO,AOAO.所以，A0過點A向平面a所引線段中最短的…

條.

（三）直線與平面成角

1.定義：

（1）平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條直線和平

面所成的角.

（2）直線和平面垂直——直線與平面所成的角是直角.

（3）直線和平面平行或直線在平面內(nèi)——直線與平面所成的角是0°度的

角.

2.按照定義，在求直線和平面所成的角時，應按下述三種情況依次進行考

慮：

（1）直線和平面平行或直線在平面內(nèi)時，直線和平面所成的角是0°角;

（2）直線和平面垂直時，直線和平面所成的角是直角；

（3）直線和平面斜交時，直線和平面所在的角是指直線和它在平面內(nèi)的射

影所成的銳角.

3.斜線和平面所成的角，是這條斜線和平面內(nèi)經(jīng)過斜足的直線所成的一切

角中最小的角.（讓學生看書3分鐘，加以理解）

（四）例題分析

1.如圖1-82,在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是AA1、A1D1的中點,

求：

圖1-82

（1）D1B1與面AC所成角的余弦值;

（2）EF與面A1C1所成的角;

（3）EF與面AC所成的角.

解：

（1）設正方體的邊長為?剜在RtA%BD中，DB=8DtB

cosZDpBD=忑--.

(2)45°.

(3)45°.

2.如圖b83,RtaABC的斜邊AB在平面M內(nèi)，AC和BC與M所成的角分別

是30°、45°,CD是斜邊AB上的高，求CD與M所成的角.

分析：作出CD與平面M所成的角，然后去解含這個角的三角形.

解：作CC1_L平面M,連結(jié)AC1、BC1、DC1,依題意

ZCAC1=3O°,ZCBC1=45°,設CCl=a,則AC=2a,

BC=岳，

AC-BC2

在RkAABC中，=:.CDF一二尸

??.ZCDC1=6O°.

3.可讓學生完成課后練習1、2.

(五)歸納小結(jié)

這節(jié)課，我們學習了有關(guān)平面的斜線、射影和直線與平面成角的幾個概念，射影定理

中的三個結(jié)論成立的前提是這些斜線段及垂線段必須是從平面外同一點向平面所引而得到

的.否則，結(jié)論不成立.

六、布置作業(yè)

作為一般要求，完成習題四9、10.

補充:

1.AB是直角三角形ABC的斜邊，三個頂點在平面M的同側(cè)，它們在M內(nèi)的

射影分別是A1、B1、C1,如果三角形A1B1C1是正三角形，且AAl=3cm,BBl=5cm,

CCl=4cm.求三角形A1B1C1的面積.

解：設正三角形A1B1C1的邊長為x.

則AC2=x2+l

BC2=x2+l

AB2=X2+22

VAC2+BC2=AB2,

n.=烏.

42

2.已知PA,PB,PC與平面a所成的角分別為60°,45°,30°,POL平

面a,0為垂足，又斜足A,B,C三點在同一直線上，且AB