高等數(shù)學基本公式、概念和方法

高等數(shù)學基本公式、概念和方法

—.函數(shù)

1.函數(shù)定義域由以下幾點確定

(1)y=」7；/(幻力。

/(幻

(2)丁=吆麗;/(x)NO(其中n為正整數(shù))

(3)y=loga/(x)：/(x)>0。

y=arcsin<f(x)<1

(4)

y=arccos<f(x)<1

(5)函數(shù)代數(shù)和的定義域，取其定義域的交集.

(6)對具有實際意義的函數(shù)，定義域由問題特點而定.

2.判斷函數(shù)的奇偶性，依據(jù)以下兩點確定，否則函數(shù)為非奇非偶的.

(1)若/(-X)=/(x),/(x)是偶函數(shù)，若/(-%)=-/(x),/(x)是奇函數(shù).

(2)若y=/(x)的圖象關于y軸對稱，則函數(shù)是偶函數(shù).如y=/..y=cos尤等。

若丁=/(x)的圖象關于坐標原點對稱，則函數(shù)是奇函數(shù).如y=x..>=/..y=sinx

3.將函數(shù)分解成幾個簡單函數(shù)的合成.

由六類基本初等函數(shù)的形式，對要分解的函數(shù)，由外層到內(nèi)層，分別設出關系.函數(shù)與常數(shù)

的四則運算，不必另設一層關系.

極限與連續(xù)

1.主要概念和計算方法：

(1).lim/(x)=A0nmf(x)=limf(x)=A(必考)

XT*。X->X~X->X+

(2).若lim/(x)=O(極限過程不限)，則當時/(x)為無窮小量。(必考)

(3).若lim/(x)=/(/)，則函數(shù)在與處是連續(xù)的。(必考)

即(1)函數(shù)值存在、(2)極限存在、(3)極限值和函數(shù)值相等。

若上述三條至少一條不滿足，則與是函數(shù)的間段點。

(4).間斷點的分類：設/是函數(shù)的間斷點

若左、右極限均存在，則X。稱為第一類間斷點。(要知道分類)

若左、右極限至少有一個是無窮大，則X。稱為第二類間斷點。(了解即可)

(5).重要公式：條件lime(x)=O(極限過程不限)(必考)

結(jié)論《1》11mmme(x)=底《2》?[1+夕(切麗=e

<P(x)

*常用等價無窮小公式：(當XT0時：)(必考)

1、x?sinx~sin_1x~tanx?tan_1x~ex—1~ln(l+x)

2、X2+X~X

3、1—COSX~-1X'2

2

4、(1+X)?！?~C(X

5、ax—l~xlna

6、log(l+x)~-^-x

ailld

mm

7、(1+ax)"n——ax

8、J(1+x)-J(1_X)~X

*重要極限：limx-8(1+：)=e

1

limx_0(l+x)x=e

]1皿_8(1-：)=;

11

linix-oQ-x)x=-

limi1

*公式：cosa—cosp=—2sin竺^?sin~^

r22

nn

(sin(px))=pnsin(px+-K)

(烹)n=(-l)nn!?an(ax+b)-(n+1)

2.求極限的方法：先判斷極限類型(依據(jù)基本初等函數(shù)圖象和函數(shù)值)

(1)定式：直接得結(jié)論(即常數(shù)C、不存在：無窮大、震蕩、左極限不等于右極限)。

(2)不定式：(A)°型：消去零因子或用公式《1》。

0

(B)S型：約去8因子，使之變成定式。

00

(C)I00型：用公式《2》。

(D)0?8型：取簡單的翻到分母上，轉(zhuǎn)化成《A》或《B》。

(E)8-oo型：通分或有理化，使之轉(zhuǎn)化成其它類型。

注：《A》和《B》型也可以用第四章中“羅必達”法則求。但要滿足條件。

三.導數(shù)(必考)

(-)基本概念1

，也可以記作丁'(%)**=與。

1.導數(shù)值：f'(x0)=lim"幻二

x-^*0XX。dx

2.導數(shù)的幾何意義：/'(%)就是曲線y=/(x)在點(Xo，y0)處切線的斜率k,其切線的方程是:

-i

y-典=r(xo)(x-xo)，法線方程:(Xf)。

ra。)

3.函數(shù)在一點處可導、連續(xù)、有極限、有定義的關系(見關系圖)。

(-).導數(shù)基本公式：(必考)

1.(c)'=02。(xa)'=caa-'3。(ax)'=ax]na4。(ex)'=ex5。(In^)^-

6.(sinx)'=cosx7?(cosx)'=-sinx8。(tanx)'=sec2x9。(cotx)1=-esc2x

]-11

10.(arcsinx\=,Ho(arccosx)r=.12。(arctaax)'=-------

7i-%2-%2]+x

-1

13.(arccolxY=-------

l+x~

(三)微分法(設U和V都是X的函數(shù))

1.用定義求導數(shù)或?qū)Ш瘮?shù)。

2.(u±v)f-u±v

3.(〃n)'=/u+〃M；(cu\=cu

4.(與=上二絲

VV

5.設復合函數(shù)y=/(〃),〃二°(x),則V=

6.設y=/（x）由隱函數(shù)/（x.y）=0確定，則y'=—工，也可以直接對方程求導數(shù)。

尸,

7.對于單項式可以用取對數(shù)法求導數(shù)。對于事指函數(shù)必須用取對數(shù)法求導數(shù)。

8.設參數(shù)方程4仁小，’嗡

9.微分：dy-y'dx

io.反函數(shù)的導數(shù)：y'x=-,

尤,

附：函數(shù)在一點處幾個概念之間的關系圖

有定義（函數(shù)值存在）

有極限

連續(xù)（極限值等于函數(shù)值）

可導（可微）

四.中值定理與導數(shù)應用

1.拉格朗日中值定理:

條件：函數(shù)/（%）在［a,b］上連續(xù)，在（a,b）內(nèi)可導

結(jié)論：至少存在一點4e5力）使/"C）=

b-a

羅比達法則lim：=lim三（a‘、b'是a、b的導數(shù)）（必考?。?/p>

bb/

無窮小量等價替換和羅比達法則只能在乘法中用，其中羅比達法則只有當

因式極限為零或者無窮的時候用

羅比達法則未定型式的變換：（變成￡或者?的形式）

0-oo=0--=-

oo

110-0

00——00=----------=--------

000-0

go_e>ino=e°，8

000=e04n00=e0o°

通過這些變換可以使更多代數(shù)式實用羅比達法則

3.單調(diào)性：若y=/(x)在(a,b)內(nèi)/⑶>0=/(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)遞增。

若丁=/(幻在(a,b)內(nèi)f\x)<0=>/(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)遞減。

a)極值存在的必要條件：若y=/(x)在/處可導且取極值=>/'(%)=0(與為駐點)

b)極值存在的充分條件：設函數(shù)在a點連續(xù)，則：

在a點左右函數(shù)的導數(shù)由正變負=a點為函數(shù)的極大值點。

在a點左右函數(shù)的導數(shù)由負變正=a點為函數(shù)的極小值點。

c)判斷曲線凹凸的方法：

若在(a,b)內(nèi)/"(x)>0,則曲線y=/(x)在(a,b)內(nèi)上凹。如y=/...y=e"等。

若在(a,b)內(nèi)/*(x)<0,則曲線y=/(x)在(a,b)內(nèi)下凹。如y二工…丁二心》等。

4.曲線拐點的求法：

設a為函數(shù)y=/(x)的連續(xù)點，若函數(shù)y=/(x)在a點處二階導數(shù)變號，則曲線上的點

(a,f(a))為曲線的拐點。

5.求漸近線的方法：(必考)

若lim/(x)=8,則x=a為曲線y=/(幻的鉛直漸近線。

x->a

若lim/(x)=h,則y=b為曲線y=/(x)的水平漸近線。

極值應用：

畫圖、設變量x,并將其余變量用x表示。

建立函數(shù)關系，并寫出定義域。

求函數(shù)的一階導數(shù)，找出駐點。

說明駐點是最值點的理由，，并回答其它問題。

五.不定積分

1.原函數(shù)：在某區(qū)間內(nèi)，若在任一點處均有F(x)=/(x),則稱F(x)是/(x)的一個原函數(shù)。

2.若/(x)有原函數(shù)F(x),則F(x)+C表示全體原函數(shù)，且任意兩個原函數(shù)僅相差一個常數(shù)。

3.若/(x)有原函數(shù)F(x),則/*)的不定積分可表示為J7(x)必:=F(x)+C。

4.不定積分的幾何意義

jf(x)dx=F(x)+C表示在X點處切線斜率均為f(x)的一族曲線。

5.基本積分公式(必考)

(1)\xadx=-^xa+]+C.(a^-1)(2)J-tZx=ln|x|+C

(3)J。，公=^—優(yōu)+C.(a>0,。w1)(4)jexcbc=ex+C

(5)Jsinxdx--cosx+C(6)Jcosxdx-sinC

(7)=tanx+C(8)Jesc?xdx=-cotx+C

(9)[tdx=arcsin—4-C(10)[-...-dx=—arctan—4-C

J22a

yja-x"+爐aa

(11)jsecx6&=ln|sec^+tan^+C(12)Jcscx心=ln|cscx-cotx|+C

(13)f—~T-dx=-In—―-+C(14)f/1^Zx=lnx+Jx2±〃2+C

Jx2-a22ax+aJy1x2±a2

6.積分性質(zhì)

(1)Jkf(x)dx=f{x}dx⑵J[/(%)±g{x)]dx=Jf{x)dx±Jg(x)dx

⑶[Jf(x)dx]'=/(%)(4)Jf'(x)dx=/(x)+C

7.計算方法

(1)直接積分法：先對被積函數(shù)進行化簡、變形，應用性質(zhì)，再直接用公式。(必考)

(2)第一換元法：對簡單的題目用湊微分法

一般地可以用代換公=4期(必考?)

設〃=。(幻的導數(shù)連續(xù)，則J/S(x)]“(x)^=J7(〃)d”。(必考)

(3)第二換元法：主要是消去被積函數(shù)中的Jx2±q2,Ja2—%2等因子,見P286。(不考)

(4)分部積分法：Juv'dx-uv-j〃,辦或judv=-jvdu?要用算式。(必考)

選U的順序：反、對、嘉、指、三。

(5)簡單的有理函數(shù)積分：拆項法、大除法和待定系數(shù)法。

六.定積分

1.定積分特點：

(1)定積分是一個數(shù)，與積分變量無關。

(2)被積函數(shù)連續(xù)是可積的充分條件。

(3)被積函數(shù)有界是可積的必要條件。

2.定積分的幾何意義

b

(1)設/(x)NO,貝ijJ/(x)公表示由曲線y=/(x)直線y=O;x=a;x=b所圍成的曲邊

a

梯形面積。

b

(2)設/(x)?0,則］7(x)dx表示由曲線y=/(x)直線y=O;x=a;x=b所圍成的曲邊

a

梯形的負面積。

h

(3)若y=/(x)的符號不定，則J/(x)公表示面積的代數(shù)和。由此得到對稱區(qū)間上的

奇函數(shù)積分為0,即J/(x)ax=0,其中函數(shù)/(x)是奇函數(shù)。

3.主要性質(zhì)

bb

(1)jkf(x)dx=kJf(x)dx。

bbb

(2)j［/(x)±g^dx=jf(x)dx±jg(x)dx.

bcb

(3)Jf(x)dx=1f(x)dx+Jf(x)dxo

(p(x)

4.變上限定積分的求導法：［Jf(t)dtY=f［(p(x)］(p\x)?

a

5.牛頓―萊布尼茲公式

條件：設y=/(x)在區(qū)間［a,b］上連續(xù)，F(xiàn)(x)是/(x)的一個原函數(shù)

h

結(jié)論：jf(x)dx=F(b)-F(a)

a

+cob

6.廣義積分設/(x)在區(qū)間［a,+8)上連續(xù)，曲b>a,貝ijJf(x)%c=J嗎］7(x)dx

aa

在區(qū)間(一8,b)上類似定義。

7.幾個結(jié)論

abbab

f{x}dx=ojOdx=0jf(x)dx=-j/(x)dxjkdx=k(b-a)

aaaba

aa0

設/(x)是偶函數(shù)：Jf(x)公=2jf(x)dx^2^f(x)dx

-a0-a

a

設/(x)是奇函數(shù)：J/(x)公=0。

-a

8.求定積分的方法

（1）利用幾何意義（畫出對應的圖形）。

（2）直接用牛頓―萊布尼茲公式（結(jié)合性質(zhì)和幾個結(jié)論）。

（3）先求對應的不定積分，在用牛頓-萊布尼茲公式（注意函數(shù)的連續(xù)性）。

（4）用定積分的換元法和分部法（換元必須換限）。

不定積分表（基本積分）

8.1=J十C

L+l

8.2缶8加^TT+C

8.3Inu+C

du1u

8.4=—arctan—+C

a2+u2aa

du1u-R/

8.5-------+C

乜十Q

du1,u+a-

8.6—In-------+C

3+a)b-aM十i?

du

8.7=arcsin----FC

a

8.8=e"十。

8.9=+C

Ina

8.10/sinudu=-cosu+C

J

8.11/cosudu=sinu+C

J

!■

8.12/tanudu=-Incosu+C

8.13/cotudu=Insinu+C

du

8.14Isec"ildu----=tanu+C

r.r?fz

du

8.15Iesc'udii=―—―=—cotu+C

sin為

8.16secudu=I""=In(secu+tan乜)十C=Intan十二)十C

./cosu24

/du、U

8.17escudu=/-....=In(escu-cotu)+C=Intan+C

Jsmu2

8.18Isecutanudu=secu+C

J

8.19ticotudu=—escu+C

du1

8.20-=—arcsec-----FC

2aa

9.定積分應用

(1)求平面圖形的面積

先畫出這塊面積，用陰影表示出。

用定積分表示面積，再求出其值。

(2)求平面圖形繞坐標軸旋轉(zhuǎn)形成的旋轉(zhuǎn)體體積

b

繞x軸：v=^|y2dxo繞y軸：v=71^x'dy

a

七.微分方程。

可分離變量：半=/(x)g(y)=>

1.

ax

一階線性的：v+P(x)y=g(x)=>y=e4(x)e」pMdx

2.dx+C]

附錄1：等價寫法

幾種等價寫法

i-

—=x-1…?…^x=xn.In"x=(Inx)n..sin"x-(sinx)M.

xa

log^=ln%…1-gx…?y=『(、)=%=/(x)

X

附錄2：公式

一、乘法與因式分解公式

1.1。"一k=（。一6）（。十6）

1.2°：土6’=（。土b）（a2干ab+b

13qC_y_（a_6）（。咋一i十一切十《用一%2十…十帥小_2+6門一Jm為正整數(shù)）

〔（a十切3~］十0~26_°吁3戶十…+dyT_y_i）

s為偶數(shù)）

1.4Q〃+b〃=（a+b）（"i_an-2b+cT3b?------abn-2+bn-l）（〃為奇數(shù)）

二、三角不等式

2.1|a+6|<|a|+\b\

2.2|a-d|<|a|+\b\

2.3|a->hl-\b\

2.4|a|

2.6l^l<b^-b<a<b

三、一元二次方程。工,+6工+，=（的解

—b+—4GC—b—2—4ac

3.1XI=-------工--------X2=---------------

2以2”

3.2（韋達定理）根與系數(shù)的關系:

b

工1+工2=-------，X1X2=—

n,n,

>0萬桂自柏異一矢恨，

2

3.3判別式：6-4aJ=0方程有相等二實根，

,<0方程有共輾復數(shù)根.

四、某些數(shù)列的前n項和

4.11+2+3+…+”=")

4.21十3十5十…十(2加-1)=加"

4.32+4+6H----F(2力=+1)

2222n(n+12n+1)

4.4l+2+3+...+n=^

6

2

AH1222K2/0n2^(4n-1)

4.51+3+5+,?,+(2n-1)=---------

2

/Ai3,n3.q3..3+I)

4.61+2十3+,,?+n=----------

4

4.7l5+33+53+?1?+(2n—l)3=n2(2n2—1)

n(n+n+2)

4.812+2.3+...+n(n+l)=y.

五、二項式展開公式

5.1(°十6)e=G十.*男十嗎』力點2十史二孚二2。*始十…十

十曲二上處二山2a.鏟+…十y

六、三角函數(shù)公式

1兩角和公式

6.1sin(a±^)=sinacos(3±cosasin(3

6.2cos(a±f)=cosacos戶干sinasin(3

,.八、tana±tan(3

6.3tan(a±0)=--------------二

1千tanatan0

/.八、cotacot。干1

6.4c°t(a±°)=*"8ta

2倍角公式

6.5sin"=2sinacosa

6.6cos2a=cos2a—sin2a=2cos2a-1=1—2sin%

2tana

6.7tan2a=----------

1—tan"a

cot—1

6.8cot2a=----------

zcot.c

3半角公式

1—cosa

6.9sin-=±

22

1+cosa

6.10cos-=±

22

a1-cosa1—cosasina

6.11tan一=±

21+cosasina1+cosa

a1+cosasina1+cosa

6.12cot一=±

21-a1—cosasina

4和差化積

6,132smacos(3=sin(a十⑶+sin(a-(3)

6.142cosasin。=sin(a+G)-sin(a-(3)

6.152cosacos(3=cos(a十⑶+cos(a-(3)

6.16—2sinasinQ=cos(a+Q)—cos(a-(3]

6.17sina十sinQ=2sin―cos―--

a1c1?z?oa+.a—，3

6.18sma-sin3=2cos-----sin------

-22

a+0cc—/3

6.19cosa十cos(3=2cos---cos―--

6.20cosa—cosQ=-2sin°十？sin————

22

6.21tana±tan(3=----------—

cosacosp

八.八,sin(a+^)

6.22cota±cot(3=±―；-----；——-

smasinp

5萬能公式

3ai2a

2tan1-tan

1:sina=--------2：cosa2

2a2a

secesec2

對數(shù)：

log(,a=1……log"1=0

Inx

logx=-~■(換底公式)..…log“xy=log“x+log“y

(/Ina

JQ

log,,一=log?X-log,y.…….logaX-',=jloga尤

y

七、導數(shù)與微分

1求導與微分法則

7.1(c)'=0tic=0

7.2(cv丫=cvd[cv)=cdv

7.3(