新教材蘇教版數(shù)學(xué)學(xué)案第11章11-3余弦定理正弦定理的應(yīng)用

11.3余弦定理、正弦定理的應(yīng)用學(xué)習(xí)任務(wù)核心素養(yǎng)1．能將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為解三角形問題．(難點(diǎn))2．能夠用正、余弦定理求解與距離、高度有關(guān)的實(shí)際應(yīng)用問題．(重點(diǎn))通過利用正、余弦定理求解實(shí)際問題中的距離、高度，培養(yǎng)直觀想象及數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)．天文觀測，航海和地理測量是人類認(rèn)識(shí)自然的重要方面，解三角形的理論在其中發(fā)揮了重要作用．許多實(shí)際問題都可以轉(zhuǎn)化為求三角形的邊或角的問題．那么，如何利用這些關(guān)系解決實(shí)際問題？知識(shí)點(diǎn)測量中的有關(guān)角的概念1．仰角和俯角：與視線在同一鉛垂面內(nèi)的水平線和視線的夾角．視線在水平線上方叫仰角，視線在水平線下方時(shí)叫俯角．如圖(1)．圖(1)2．方位角：從指北方向線順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線所成的水平角，如圖(2)，方向線PA，PB的位角分別為40°，240°．圖(2)圖(3)3．方向角：指北或指南的方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90°的角，叫方向角，它是方位角的另一種表示形式．如圖(3)，方向線OA，OB的方向角分別為北偏東60°，南偏西30°．類型1正、余弦定理在物理學(xué)中的應(yīng)用【例1】如圖，墻上有一個(gè)三角形燈架OAB，燈所受的重力為10N，且OA，OB都是細(xì)桿，只受沿桿方向的力．試求桿OA，OB所受的力(結(jié)果精確到0.1)．[解]如圖，作eq\o(OE,\s\up6(→))＝F，將F沿A到O，O到B兩個(gè)方向進(jìn)行分解，即作?OCED，則eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\o(CE,\s\up6(→))＝F1，eq\o(OC,\s\up6(→))＝F2．由題設(shè)條件可知，|eq\o(OE,\s\up6(→))|＝10，∠OCE＝50°，∠OEC＝70°，所以∠COE＝180°－50°－70°＝60°．在△OCE中，由正弦定理，得eq\f(|F|,sin50°)＝eq\f(|F1|,sin60°)，eq\f(|F|,sin50°)＝eq\f(|F2|,sin70°)，因此，|F1|＝eq\f(10sin60°,sin50°)≈11.3N，|F2|＝eq\f(10sin70°,sin50°)≈12.3N．即燈桿OA所受的力為11.3N，燈桿OB所受的力為12.3N．在運(yùn)用正弦定理、余弦定理解決力的合成與分解問題時(shí)，通常涉及平行四邊形，根據(jù)題意，選擇一個(gè)或幾個(gè)三角形，然后通過解這些三角形，得出實(shí)際問題的解.[跟進(jìn)訓(xùn)練]1．作用于同一點(diǎn)的三個(gè)力F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3平衡．已知F1＝30N，F(xiàn)2＝50N，F(xiàn)1與F2之間的夾角是60°，求F3的大小與方向(精確到0.1°)．[解]F3應(yīng)和F1，F(xiàn)2的合力F平衡，所以F3和F在同一直線上，并且大小相等，方向相反．如圖，在△OF1F中，由余弦定理，得F＝eq\r(302＋502－2×30×50cos120°)＝70(N)，再由正弦定理，得sin∠F1OF＝eq\f(50sin120°,70)＝eq\f(5\r(3),14)，所以∠F1OF≈38.2°，從而∠F1OF3≈141.8°．即F3為70N，F(xiàn)3和F1間的夾角為141.8°．類型2正、余弦定理在幾何中的應(yīng)用【例2】如圖，在△ABC中，B＝eq\f(π,4)，AC＝2eq\r(5)，cosC＝eq\f(2\r(5),5)．(1)求sin∠BAC的值；(2)設(shè)BC的中點(diǎn)為D，求中線AD的長．[解](1)因?yàn)閏osC＝eq\f(2\r(5),5)，且C是三角形的內(nèi)角，所以sinC＝eq\r(1－cos2C)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(5),5)))\s\up12(2))＝eq\f(\r(5),5)．所以sin∠BAC＝sin[π－(B＋C)]＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC＝eq\f(\r(2),2)×eq\f(2\r(5),5)＋eq\f(\r(2),2)×eq\f(\r(5),5)＝eq\f(3\r(10),10)．(2)在△ABC中，由正弦定理得，eq\f(BC,sin∠BAC)＝eq\f(AC,sinB)，則BC＝eq\f(AC,sinB)×sin∠BAC＝eq\f(2\r(5),\f(\r(2),2))×eq\f(3\r(10),10)＝6，所以CD＝eq\f(1,2)BC＝3．又在△ADC中，AC＝2eq\r(5)，cosC＝eq\f(2\r(5),5)，所以由余弦定理得，AD＝eq\r(AC2＋CD2－2AC·CD·cosC)＝eq\r(20＋9－2×2\r(5)×3×\f(2\r(5),5))＝eq\r(5)．三角形中幾何計(jì)算問題的解題思路(1)正確挖掘圖形中的幾何條件，簡化運(yùn)算是解題要點(diǎn)，善于應(yīng)用正弦定理、余弦定理，只需通過解三角形，一般問題便能很快解決．(2)此類問題突破的關(guān)鍵是仔細(xì)觀察，發(fā)現(xiàn)圖形中較隱蔽的幾何條件．[跟進(jìn)訓(xùn)練]2．如圖所示，△ACD是等邊三角形，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，BD交AC于E，AB＝2．(1)求cos∠CBE的值；(2)求AE．[解](1)因?yàn)椤螧CD＝90°＋60°＝150°，CB＝AC＝CD，所以∠CBE＝15°．所以cos∠CBE＝cos(45°－30°)＝eq\f(\r(6)＋\r(2),4)．(2)在△ABE中，AB＝2，由已知和(1)知∠ABE＝∠ABC－∠CBE＝45°－15°＝30°，∠AEB＝∠ACB＋∠EBC＝90°＋15°＝105°，由正弦定理，得eq\f(AE,sin30°)＝eq\f(2,sin105°)，∴AE＝eq\f(2sin30°,sin105°)＝eq\f(2×\f(1,2),\f(\r(6)＋\r(2),4))＝eq\r(6)－eq\r(2)．類型3正、余弦定理在測量學(xué)中的應(yīng)用測量距離問題【例3】某基地進(jìn)行實(shí)兵對抗演習(xí)，紅方為了準(zhǔn)確分析戰(zhàn)場形勢，從相距eq\f(\r(3),2)a(km)的軍事基地C和D處測得藍(lán)方兩支精銳部隊(duì)分別在A處和B處，且∠ADB＝30°，∠BDC＝30°，∠DCA＝60°，∠ACB＝45°，如圖所示，求藍(lán)方這兩支精銳部隊(duì)間的距離．[解]法一：∠ADC＝∠ADB＋∠BDC＝60°．∵∠ACD＝60°，∴∠DAC＝60°，∴AD＝CD＝eq\f(\r(3),2)a(km)．在△BCD中，∠DBC＝180°－30°－105°＝45°，由正弦定理得eq\f(BD,sin∠BCD)＝eq\f(CD,sin∠DBC)，得BD＝CD·eq\f(sin∠BCD,sin∠DBC)＝eq\f(\r(3),2)a·eq\f(\f(\r(6)＋\r(2),4),\f(\r(2),2))＝eq\f(3＋\r(3),4)a(km)．在△ADB中，由余弦定理得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB＝eq\f(3,4)a2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3＋\r(3),4)a))eq\s\up12(2)－2×eq\f(3＋\r(3),4)a×eq\f(\r(3),2)a×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3,8)a2，∴AB＝eq\f(\r(6),4)a(km)．故藍(lán)方這兩支精銳部隊(duì)間的距離為eq\f(\r(6),4)a(km)．法二：在△BCD中，∠CBD＝180°－30°－105°＝45°，由正弦定理得eq\f(BC,sin30°)＝eq\f(CD,sin45°)，則BC＝eq\f(CDsin30°,sin45°)＝eq\f(\r(6),4)a(km)，在△ACD中，∠CAD＝180°－60°－60°＝60°，所以△ACD為等邊三角形．因?yàn)椤螦DB＝∠BDC，所以BD為AC的垂直平分線，所以AB＝BC＝eq\f(\r(6),4)a(km)．故藍(lán)方這兩支精銳部隊(duì)間的距離為eq\f(\r(6),4)a(km)．測量高度問題【例4】濟(jì)南泉城廣場上的泉標(biāo)是隸書“泉”字，其造型流暢別致，成了濟(jì)南的標(biāo)志和象征．小明同學(xué)想測量泉標(biāo)的高度，于是他在廣場的A點(diǎn)測得泉標(biāo)頂端的仰角為60°，他又沿著泉標(biāo)底部方向前進(jìn)15.2m，到達(dá)B點(diǎn)，又測得泉標(biāo)頂端的仰角為80°．你能幫小明同學(xué)求出泉標(biāo)的高度嗎？(精確至1m)[解]如圖所示，點(diǎn)C，D分別為泉標(biāo)的底部和頂端．依題意，得∠BAD＝60°，∠CBD＝80°，AB＝15.2m，則∠ABD＝100°，故∠ADB＝180°－(60°＋100°)＝20°．在△ABD中，根據(jù)正弦定理，得eq\f(BD,sin60°)＝eq\f(AB,sin∠ADB)，∴BD＝eq\f(ABsin60°,sin20°)＝eq\f(15.2sin60°,sin20°)≈38.5m．在Rt△BCD中，CD＝BDsin80°≈38.5sin80°≈38m．即泉城廣場上泉標(biāo)的高約為38m．1．解決測量高度問題的一般步驟(1)畫圖：根據(jù)已知條件畫出示意圖；(2)分析三角形：分析與問題有關(guān)的三角形；(3)求解：運(yùn)用正、余弦定理，有序地解相關(guān)的三角形，逐步求解．在解題中，要綜合運(yùn)用立體幾何知識(shí)與平面幾何知識(shí)，注意方程思想的運(yùn)用．2．測量距離問題分為三種類型：兩點(diǎn)間不可通又不可視，兩點(diǎn)間可視但不可達(dá)，兩點(diǎn)都不可達(dá)．解決此問題的方法是，選擇合適的輔助測量點(diǎn)，構(gòu)造三角形，將問題轉(zhuǎn)化為求某個(gè)三角形的邊長問題，從而利用正、余弦定理求解．提醒：解題時(shí)要注意題目條件和實(shí)際意義中的隱含信息，避免出現(xiàn)增解或漏解．[跟進(jìn)訓(xùn)練]3．如圖所示，A，B是水平面上的兩個(gè)點(diǎn)，相距800m，在A點(diǎn)測得山頂C的仰角為45°，∠BAD＝120°，∠ABD＝45°，其中D是點(diǎn)C到水平面的垂足，求山高CD．[解]因?yàn)镃D⊥平面ABD，∠CAD＝45°，所以CD＝AD，因此只需在△ABD中求出AD即可．在△ABD中，∠BDA＝180°－45°－120°＝15°，由正弦定理得eq\f(AB,sin15°)＝eq\f(AD,sin45°)，所以AD＝eq\f(ABsin45°,sin15°)＝eq\f(800×\f(\r(2),2),\f(\r(6)－\r(2),4))＝800(eq\r(3)＋1)(m)．即山的高度CD為800(eq\r(3)＋1)m．4．如圖，A，B是海面上位于東西方向相距5(3＋eq\r(3))海里的兩個(gè)觀測點(diǎn)，現(xiàn)位于A點(diǎn)北偏東45°，B點(diǎn)北偏西60°的D點(diǎn)有一艘輪船發(fā)出求救信號(hào)，位于B點(diǎn)南偏西60°且與B點(diǎn)相距20eq\r(3)海里的C點(diǎn)的救援船立即前往營救，其航行速度為30海里每小時(shí)，該救援船到達(dá)D點(diǎn)至少需要幾小時(shí)？[解]由題意知AB＝5(3＋eq\r(3))，∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝45°，所以∠ADB＝105°，所以sin105°＝sin45°cos60°＋sin60°cos45°＝eq\f(\r(2),2)×eq\f(1,2)＋eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(2)＋\r(6),4)，在△ABD中，由正弦定理得eq\f(BD,sin∠DAB)＝eq\f(AB,sin∠ADB)，所以BD＝eq\f(ABsin∠DAB,sin∠ADB)＝eq\f(53＋\r(3)·sin45°,sin105°)＝eq\f(53＋\r(3)×\f(\r(2),2),\f(\r(2)＋\r(6),4))＝10eq\r(3)，又∠DBC＝180°－60°－60°＝60°，BC＝20eq\r(3)，在△DBC中，由余弦定理得CD2＝BD2＋BC2－2×BD×BCcos60°＝300＋1200－2×10eq\r(3)×20eq\r(3)×eq\f(1,2)＝900，所以CD＝30(海里)，則至少需要的時(shí)間t＝eq\f(30,30)＝1(小時(shí))．即該救援船到達(dá)D點(diǎn)至少需要1小時(shí)．1．若點(diǎn)A在點(diǎn)C的北偏東60°方向上，點(diǎn)B在點(diǎn)C的南偏東30°方向上，且AC＝BC，則點(diǎn)A在點(diǎn)B的()A．北偏東15°方向上 B．北偏西15°方向上C．北偏東10°方向上 D．北偏西10°方向上A[由題意，可得幾何位置關(guān)系如圖所示．則∠CBE＝30°，∠ABC＝45°，所以∠ABE＝15°，故點(diǎn)A在點(diǎn)B的北偏東15°方向上．故選A．]2．如圖，在限速為90km/h的公路AB旁有一測速站P，已知點(diǎn)P距測速區(qū)起點(diǎn)A的距離為0.08km，距測速區(qū)終點(diǎn)B的距離為0.05km，且∠APB＝60°，現(xiàn)測得某輛汽車從A點(diǎn)行駛到B點(diǎn)所用的時(shí)間為3s，則此車的速度介于()A．60～70km/h B．70～80km/hC．80～90km/h D．90～100km/hC[由余弦定理得AB＝eq\22－2×××cos60°)＝0.07km，則此車的速度為eq\,3)×3600＝7×12＝84km/h．故選C．]3．身高相同的甲、乙兩人在同一地平面上的不同方向觀測20m高的旗桿，甲觀測的仰角為50°，乙觀測的仰角為40°，用d1，d2分別表示甲、乙兩人離旗桿的距離，那么有()A．d1>d2 B．d1<d2C．d1>20m D．d2<20mB[如圖，設(shè)旗桿高為h，則d1＝eq\f(h,tan50°)，d2＝eq\f(h,tan40°)．因?yàn)閠an50°>tan40°，所以d1<d2．又