高中數(shù)學蘇教版必修5學案3-4-1基本不等式的證明

3.4.1基本不等式的證明[學習目標]1.理解基本不等式的內(nèi)容及證明.2.能熟練運用基本不等式來比較兩個實數(shù)的大小.3.能初步運用基本不等式證明簡單的不等式.知識點一重要不等式及證明如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab(當且僅當a＝b時取“＝”)，請證明此結(jié)論.證明∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴a2＋b2≥2ab，當且僅當a＝b時取“＝”.知識點二基本不等式1.內(nèi)容：eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)，其中a＞0，b＞0，當且僅當a＝b時，等號成立.2.證明：∵a＋b－2eq\r(ab)＝(eq\r(a))2＋(eq\r(b))2－2eq\r(a)·eq\r(b)＝(eq\r(a)－eq\r(b))2≥0.∴a＋b≥2eq\r(ab).∴eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)，當且僅當a＝b時，等號成立.3.兩種理解：(1)算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)：設a>0，b>0，則a，b的算術(shù)平均數(shù)為eq\f(a＋b,2)，幾何平均數(shù)為eq\r(ab)；基本不等式可敘述為兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).(2)幾何意義：如圖所示，以長度為a＋b的線段AB為直徑作圓，在直徑AB上取一點C，使AC＝a，CB＝b，過點C作垂直于直徑AB的弦DD′，連接AD，DB，易證Rt△ACD∽Rt△DCB，則CD2＝CA·CB，即CD＝eq\r(ab).這個圓的半徑為eq\f(a＋b,2)，顯然它大于或等于CD，即eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)，當且僅當點C與圓心O重合，即a＝b時，等號成立.知識點三基本不等式的常用推論(1)ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2≤eq\f(a2＋b2,2)(a，b∈R)；(2)eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2(a，b同號)；(3)當ab>0時，eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2；當ab<0時，eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≤－2；(4)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(a，b，c∈R).題型一利用基本不等式比較大小例1設0<a<b，則下列不等式中正確的是________.①a<b<eq\r(ab)<eq\f(a＋b,2)；②a<eq\r(ab)<eq\f(a＋b,2)<b；③a<eq\r(ab)<b<eq\f(a＋b,2)；④eq\r(ab)<a<eq\f(a＋b,2)<b.答案②解析方法一∵0<a<b，∴a<eq\f(a＋b,2)<b，排除①③兩項.又eq\r(ab)－a＝eq\r(a)(eq\r(b)－eq\r(a))>0，即eq\r(ab)>a，排除④項，故填②.方法二取a＝2，b＝8，則eq\r(ab)＝4，eq\f(a＋b,2)＝5，所以a＜eq\r(ab)＜eq\f(a＋b,2)＜b.反思與感悟若給定的代數(shù)式中既有“和式”又有“積式”，這便是應用基本不等式的題眼，可考慮是否利用基本不等式解決；在應用基本不等式時一定要注意是否滿足條件，即a＞0，b＞0，同時注意能否取等號.跟蹤訓練1若a，b∈R，且ab＞0，則下列不等式中，恒成立的是________.①a2＋b2＞2ab；②a＋b≥2eq\r(ab)；③eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＞eq\f(2,\r(ab))；④eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2.答案④解析對于①，應該為a2＋b2≥2ab，漏等號，故①錯誤；對于②，當a＜0，b＜0時，ab＞0，但a＋b＜2eq\r(ab)，故②不成立；對于③，當a＜0，b＜0時，ab＞0，故③不成立；對于④，∵ab＞0，則eq\f(b,a)＞0且eq\f(a,b)＞0，∴eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2eq\r(\f(b,a)·\f(a,b))＝2，當且僅當eq\f(b,a)＝eq\f(a,b)，即a＝b時，取“＝”.故④正確.題型二用基本不等式證明不等式例2已知a，b，c為正數(shù)，且a＋b＋c＝1，證明：eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)≥9.證明eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)＝eq\f(a＋b＋c,a)＋eq\f(a＋b＋c,b)＋eq\f(a＋b＋c,c)＝3＋(eq\f(b,a)＋eq\f(a,b))＋(eq\f(c,a)＋eq\f(a,c))＋(eq\f(c,b)＋eq\f(b,c))≥3＋2＋2＋2＝9.當且僅當a＝b＝c＝eq\f(1,3)時，等號成立.反思與感悟在利用基本不等式證明的過程中，常需要把數(shù)、式合理地拆成兩項或多項或恒等地變形配湊成適當?shù)臄?shù)、式，以便于利用基本不等式.跟蹤訓練2已知a，b，c為正數(shù)，且a＋b＋c＝1，證明：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc.證明(1－a)(1－b)(1－c)＝(b＋c)(a＋c)(a＋b)≥2eq\r(bc)·2eq\r(ac)·2eq\r(ab)＝8abc.當且僅當b＝c＝a＝eq\f(1,3)時，等號成立.1.若0＜a＜1,0＜b＜1，且a≠b，則a＋b,2eq\r(ab)，2ab，a2＋b2中最大的一個是________.答案a＋b解析∵0＜a＜1,0＜b＜1，a≠b，∴a＋b＞2eq\r(ab)，a2＋b2＞2ab.∴四個數(shù)中最大的應從a＋b，a2＋b2中選擇.而a2＋b2－(a＋b)＝a(a－1)＋b(b－1).又∵0＜a＜1,0＜b＜1，∴a(a－1)＜0，b(b－1)＜0，∴a2＋b2－(a＋b)＜0，即a2＋b2＜a＋b，∴a＋b最大.2.設a、b是實數(shù)，且a＋b＝3，則2a＋2b的最小值是________.答案4eq\r(2)解析∵a＋b＝3，∴2a＋2b≥2eq\r(2a·2b)＝2eq\r(2a＋b)＝2eq\r(8)＝4eq\r(2).3.不等式a2＋4≥4a中，等號成立的條件為________.答案a＝2解析令a2＋4＝4a，則a2－4a＋4＝0，∴a＝2.4.若a＞b＞1，P＝eq\r(lga·lgb)，Q＝eq\f(1,2)(lga＋lgb)，R＝lgeq\f(a＋b,2)，則它們的大小關(guān)系是________.答案R＞Q＞P解析∵a＞b＞1，∴l(xiāng)ga＞lgb＞0，∴Q＞P，又Q＝eq\f(1,2)(lga＋lgb)＝eq\f(1,2)lgab＝lgeq\r(ab)＜lgeq\f(a＋b,2)＝R，∴R＞Q＞P.1.兩個不等式a2＋b2≥2ab與eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)都是帶有等號的不等式，對于“當且僅當…時，取‘＝’”這句話的含義要有正確的理解.一方面：當a＝b時，eq\f(a＋b,2)＝eq\r(ab)；另一方面：當eq\f(a＋b,2)＝eq\r(ab)時，也有a＝b.2.由基本不等式變形得到的常見的結(jié)論(1)ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2≤eq\f(a2＋b2,2)(a，b∈R)；(2)eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)≤