次數(shù)資料分析2檢驗.ppt

第七章 次數(shù)資料分析 2檢驗,本章將分別介紹對次數(shù)資料、等級資料進(jìn)行統(tǒng)計分析的方法。,下一張,主 頁,退 出,上一張,第一節(jié) 2統(tǒng)計量與2分布,一、 2統(tǒng)計量的意義 為了便于理解，現(xiàn)結(jié)合一實例說明2 (讀作卡方) 統(tǒng)計量的意義。根據(jù)遺傳學(xué)理論，動物的性別比例是1:1。統(tǒng)計某羊場一年所產(chǎn)的876只羔羊中，有公羔428只，母羔448只。按1:1的性別比例計算，公、母羔均應(yīng)為438只。以A表示實際觀察次數(shù)，T 表 示 理 論次數(shù)，可將上述情況列成表7-1。,下一張,主 頁,退 出,上一張,表7-1 羔羊性別實際觀察次數(shù)與理論次數(shù),下一張,主 頁,退 出,上一張,從表7-1看到 ， 實際觀察次數(shù)與理論次數(shù)存在一定的差異，這里公、母各相差10只。 這個差異是屬于抽樣誤差(把對該羊場一年所生羔羊的性別統(tǒng)計當(dāng)作是一次抽樣調(diào)查)、還是羔羊性別比例發(fā)生了實質(zhì)性的變化? 要回答這個問題， 首先需要確定一個統(tǒng)計量 用以表示實際觀察次數(shù)與理論次數(shù)偏離的程度； 然 后 判 斷這一偏離程度是否屬于抽樣誤差，即進(jìn)行顯著性檢驗。,為了度量實際觀察次數(shù)與理論次數(shù)偏離的程度，最簡單的辦法是求出實際觀察次數(shù)與理論次數(shù)的差數(shù)。從表7-1看出：A1-T1 =-10，A2-T2=10，由于這兩個差數(shù)之和為0， 顯然不能用這兩個差數(shù)之和來表示實際觀察次數(shù)與理論次數(shù)的偏離程度。為了避免正、負(fù)抵消，可將兩個差數(shù)A1-T1、A2-T2 平 方 后 再 相 加 ，即計算(A-T)2，其值越大 ，實際觀察次數(shù)與理論次數(shù)相差亦越大 ， 反之則越小 。 但 利 用 (A-T)2表示實際觀察次數(shù)與理論次數(shù)的偏離程度尚有 不 足 。例 如 某 一 組 實 際 觀 察 次 數(shù)為,下一張,主 頁,退 出,上一張,505、理論次數(shù)為500，相差5；而另一組實際觀察次數(shù)為26、 理論次數(shù)為21，相差亦為5。顯然這兩組實際觀察次數(shù)與理論次數(shù)的偏離程度是不同的。因為前者是相對于理論次數(shù)500相差5，后者是相對于理論次數(shù)21相差5。為了彌補(bǔ)這一不足，可先將各差數(shù)平方除以相應(yīng)的理論次數(shù)后再相加，并記之為2 ，即,下一張,主 頁,退 出,上一張,(7-1) 也就是說2是度量實際觀察次數(shù)與理論次數(shù)偏離程度的一個統(tǒng)計量， 2越小，表明實際觀察次數(shù)與理論次數(shù)越接近； 2 =0，表示兩者完全吻合； 2越大，表示兩者相差越大。 對于表7-1的資料，可計算得 表明實際觀察次數(shù)與理論次數(shù)是比較接近的。,下一張,主 頁,退 出,上一張,二、2分布 上面在屬于離散型隨機(jī)變量的次數(shù)資料的基礎(chǔ)上引入了統(tǒng)計量2， 它近似地服從統(tǒng)計學(xué)中一種連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布2分布。下面對統(tǒng)計學(xué)中的2分布作一簡略介紹。 設(shè)有一平均數(shù)為、方差為 的正態(tài)總體?，F(xiàn)從此總體中獨立隨機(jī)抽取n個隨機(jī)變量：x1、x2、xn，并求出其標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)離差： ， ， ，,下一張,主 頁,退 出,上一張,記這n個相互獨立的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)離差的平方和為2 ： (7-2) 它服從自由度為n的2分布，記為 2 (n)；,下一張,主 頁,退 出,上一張,若用樣本平均數(shù) 代替總體平均數(shù)，則隨機(jī)變量 (7-3) 服從自由度為n-1的2分布，記為 ,下一張,主 頁,退 出,上一張,顯 然 ，20 ， 即 2 的 取 值 范 圍 是0,+；2分布密度曲線是隨自由度不同而改變的一組曲線。隨自由度的增大， 曲線由偏斜漸趨于對稱；df30時， 接 近 平均數(shù)為 的正態(tài)分布。圖7-1 給出了幾個不同自由度的2概率分布密度曲線。,下一張,主 頁,退 出,上一張,三、的連續(xù)性矯正 由(7-1)式計算的2只是近似地服從連續(xù)型隨機(jī)變量2分布。在對次數(shù)資料進(jìn)行2檢驗利用連續(xù)型隨機(jī)變量2分布計算概率時，常常偏低，特別是當(dāng)自由度為1時偏差較大。 Yates(1934)提出了一個矯正公式，矯正后的2值記為 ： = (7-4),下一張,主 頁,退 出,上一張,當(dāng)自由度大于1時，(7-1)式的2分布與連續(xù)型隨機(jī)變量2分布相近似 ，這時，可不作連續(xù)性矯正 ， 但 要 求各組內(nèi)的理論次數(shù)不小于5。若某組的理論次數(shù)小于5，則應(yīng)把它與其相鄰的一組或幾組合并，直到理論次數(shù)大 于5 為止。,下一張,主 頁,退 出,上一張,第二節(jié) 適合性檢驗,一、適合性檢驗的意義 判斷實際觀察的屬性類別分配是否符合已知屬性類別分配理論或?qū)W說的假設(shè)檢驗稱為適合性檢驗。,下一張,主 頁,退 出,上一張,在適合性檢驗中，無效假設(shè)為H0：實際觀察的屬性類別 分配符合已知屬性類別分配的理論或?qū)W說；備擇假設(shè)為HA：實際觀察的屬性類別 分 配 不符合已知屬性類別 分配的理論或?qū)W說。并在無效假設(shè)成立的條件下 ，按已知屬性類別分配的理論或?qū)W說計算 各屬性類別的理論次數(shù)。 因所計算得的各個屬性類別理論次數(shù)的總和應(yīng)等于各個 屬性類別 實際 觀 察次數(shù)的總和， 即獨立的理論次數(shù)的個數(shù)等于屬性類別分,下一張,主 頁,退 出,上一張,類數(shù)減1。 也就是說 ，適合性檢驗的自由度等于屬性類別分類數(shù)減 1 。若屬性類別分類數(shù)為k ，則適合性檢驗的自由度為 k-1 。然后根據(jù)(7-1)或(7-4)式計算出2或2c。將所計算得的2或2c值與根據(jù)自由度k-1查2值表(附表8)所得的臨界2值：20.05、20.01比較：,下一張,主 頁,退 出,上一張,若2 (或2c)20.05，P0.05，表明實際觀察次數(shù)與理論次數(shù)差異不顯著，可以認(rèn)為實際觀察的屬性類別分配符合已知屬性類別分配的理論或?qū)W說； 若20.052 (或2c)20.01，0.01P0.05，表明實際觀察次數(shù)與理論次數(shù)差異顯著，實際觀察的屬性類別分配顯著不符合已知屬性類別分配的理論或?qū)W說； 若2 ( 或2c)20.01，P0.01，表明實際觀察次數(shù)與理論次數(shù)差異極顯著 ，實際觀察的屬性類別分配極顯著不符合已知 屬性類別分配的理論或?qū)W說。,二、適合性檢驗的方法 下面結(jié)合實例說明適合性檢驗方法。 【例7.1】 在進(jìn)行山羊群體遺傳檢測時，觀察了 260只白色羊與黑色羊雜交的子二代毛色，其中181只為白色，79只為黑色，問此毛色的比率是否符合孟德爾遺傳分離定律的31比例?,下一張,主 頁,退 出,上一張,檢驗步驟如下： （一）提出無效假設(shè)與備擇假設(shè) H0：子二代分離現(xiàn)象符合31的理論比例。 HA：子二代分離現(xiàn)象不符合31的理論比例。 （二）選擇計算公式 由于本例是涉及到兩組毛色（白色與黑色），屬性類別分類數(shù)k=2，自由度df=k-1=2-1=1，須使用（74）式來計算 。,下一張,主 頁,退 出,上一張,（三）計算理論次數(shù) 根據(jù)理論比率31求理論次數(shù)： 白色理論次數(shù)：T1=2603/4=195 黑色理論次數(shù)：T2=2601/4=65 或 T2=260-T1=260-195=65 （四）計算,表72 2c計算表,下一張,主 頁,退 出,上一張,(五)查臨界2值，作出統(tǒng)計推斷 當(dāng)自由度 df=1 時， 查 得 20.05（1） =3.84，計算的2c0.05，不能否定H0，表明實際觀察次數(shù)與理論次數(shù)差異不顯著，可以認(rèn)為白色羊與黑色羊的比率符合孟德爾遺傳分離定律31的理論比例。,【例7.2】 在研究牛的毛色和角的有無兩對相對性狀分離現(xiàn)象時 ，用黑色無角牛和紅色有角牛雜交 ，子二代出現(xiàn)黑色無角牛192頭，黑色有角牛78頭，紅色無角牛72頭，紅色有角牛18頭，共360頭。試 問這兩對性狀是否符合孟德爾遺傳規(guī)律中9331的遺傳比例？,下一張,主 頁,退 出,上一張,檢驗步驟： （一）提出無效假設(shè)與備擇假設(shè) H0：實際觀察次數(shù)之比符合9331的理論比例。 HA：實際觀察次數(shù)之比不符合9331的理論比例。 （二）選擇計算公式 由于本例的屬性類別分類數(shù) k=4：自由 度df=k-1=4-1=31，故利用（71）式計算2。 （三）計算理論次數(shù) 依據(jù)各理論比例9:3:3:1計算理論次數(shù)：,黑色無角牛的理論次數(shù)T1：3609/16=202.5； 黑色有角牛的理論次數(shù)T2：3603/16=67.5； 紅色無角牛的理論次數(shù)T3：3603/16=67.5； 紅色有角牛的理論次數(shù)T4：3601/16=22.5。 或 T4=360-202.5-67.5-67.5=22.5 （四）列表計算2,下一張,主 頁,退 出,上一張,表73 2計算表,=0.5444+1.6333+1.6333+0.9 =4.711 （五）查臨界2值，作出統(tǒng)計推斷 當(dāng)df=3時，20.05(3)=7.81，因 20.05，不能否定H0 ，表明實際觀察次數(shù)與理論次數(shù)差異不顯著， 可以認(rèn)為毛色與角的有無兩對性狀雜 交 二 代 的 分 離 現(xiàn) 象 符 合 孟 德 爾遺傳規(guī)律中9331的遺傳比例。,下一張,主 頁,退 出,上一張,第三節(jié) 獨立性檢驗,一、獨立性檢驗的意義 對次數(shù)資料，除進(jìn)行適合性檢驗外，有時需要分析兩類因子是相互獨立還是彼此相關(guān)。如研究兩類藥物對家畜某種疾病治療效果的好壞，先將病畜分為兩組，一組用第一種藥物治療，另一組用第二種藥物治療，然后統(tǒng)計每種藥物的治愈頭數(shù)和未治愈頭數(shù)。,這時需要分析藥物種類與療效是否相關(guān)，若兩者彼此相關(guān)，表明療效因藥物不同而異，即兩種藥物療效不相同；若兩者相互獨立，表明兩種藥物療效相同。這種根據(jù)次數(shù)資料判斷兩類因子彼此相關(guān)或相互獨立的假設(shè)檢驗就是獨立性檢驗。獨立性檢驗實際上是基于次數(shù)資料對子因子間相關(guān)性的研究。,下一張,主 頁,退 出,上一張,獨立性檢驗與適合性檢驗是兩種不同的檢驗方法，除了研究目的不同外，還有以下區(qū)別： （一） 獨立性檢驗的次數(shù)資料是按兩因子屬性類別進(jìn)行歸組。根據(jù)兩因子屬性類別數(shù)的不同而構(gòu)成22、2c、rc列聯(lián)表（r 為行因子的屬性類別數(shù)， c 為 列 因子的屬性類別數(shù)）。而適合性檢驗只按某一因子的屬性類別將如性別、表現(xiàn)型等次數(shù)資料歸組。,（二）適合性檢驗按已知的屬性分類理論或?qū)W說計算理論次數(shù)。獨立性檢驗在計算理論次數(shù)時沒有現(xiàn)成的理論或?qū)W說可資利用，理論次數(shù)是在兩因子相互獨立的假設(shè)下進(jìn)行計算。 （三）在適合性檢驗中確定自由度時，只有一個約束條件：各理論次數(shù)之和等于各實際次數(shù)之和，自由度為屬性類別數(shù)減1。而在rc列聯(lián)表的獨立性檢驗中，共有rc個理論次數(shù)，但受到以下條件的約束：,下一張,主 頁,退 出,上一張,1、rc個理論次數(shù)的總和等于rc個實際次數(shù)的總和； 2、r個橫行中的每一個橫行理論次數(shù)總和等于該行實際次數(shù)的總和 。 但由于r個橫行實際次數(shù)之和的總和應(yīng)等于 rc 個實際次數(shù)之和 ，因而獨立的行約束條件只有r-1個； 3、類似地，獨立的列約束條件有c-1個。 因而在進(jìn)行獨立性檢驗時，自由度為rc-1-(r-1)-(c-1)=(r-1)(c-1)，即等于（橫行屬性類別數(shù)-1）（直列屬性類別數(shù)-1）。,二、獨立性檢驗的方法 （一）22列聯(lián)表的獨立性檢驗 22列聯(lián)表的一般形式如表710所示，其自由度 df=( c -1) (r-1)=(2-1) (2-1)=1，在進(jìn)行2檢驗時，需作連續(xù)性矯正，應(yīng)計算 值。,下一張,主 頁,退 出,上一張,表710 22列聯(lián)表的一般形式,下一張,主 頁,退 出,上一張,其中Aij為實際觀察次數(shù)，Tij為理論次數(shù)。,【例7.7】 某豬場用80頭豬檢驗?zāi)撤N疫苗是否有預(yù)防效果。結(jié)果是注射疫苗的44頭中有 12 頭發(fā)病，32頭未發(fā)病；未注射的36頭中有22頭發(fā)病，14頭未發(fā)病，問該疫苗是否有預(yù)防效果？ 1、 先將資料整理成列聯(lián)表,表711 22列聯(lián)表,下一張,主 頁,退 出,上一張,2、 提出無效假設(shè)與備擇假設(shè) H0：發(fā)病與否和注射疫苗無關(guān)，即二因子相互獨立。 HA：發(fā)病與否和注射疫苗有關(guān)，即二因子彼此相關(guān)。 3、 計算理論次數(shù) 根據(jù)二因子相互獨立的假設(shè)，由樣本數(shù)據(jù)計算出各個理論次數(shù)。二因子相互獨立，就是說注射疫苗與否不影響發(fā)病率。也就是說注射組與未注射組的理論發(fā)病率應(yīng)當(dāng)相同，均應(yīng)等于總發(fā)病率34/80=0.425=42.5%。依 此計算出各個理論次數(shù)如下：,注射組的理論發(fā)病數(shù)： T11=4434/80=18.7 注射組的理論未發(fā)病數(shù)： T12=4446/80=25.3， 或 T12=44-18.7=25.3；,未注射組的理論發(fā)病數(shù)： T21=3634/80=15.3， 或 T21=34-18.7=15.3； 未注射組的理論未發(fā)病數(shù)： T22=3646/80=20.7， 或 T22=36-15.3=20.7。,下一張,主 頁,退 出,上一張,從上述各理論次數(shù)Tij的計算可以看到，理論次數(shù)的計算利用了行、列總和， 總總和，4個理論次數(shù)僅有一個是獨立的。表7-11括號內(nèi)的數(shù)據(jù)為相應(yīng)的理論次數(shù)。 4、 計算 值 將表7-11中的實際次數(shù)、理論次數(shù)代入(74)式得：,5、 由自由度df=1查臨界2值，作出統(tǒng)計推斷 因 為 20.01（1） = 6 . 6 3 ， 而 =7.94420.01（1），P0.01，否定H0，接受HA，表明發(fā)病率與是否注射疫苗極顯著相關(guān)，這里表現(xiàn)為注射組發(fā)病率極顯著低于未注射組，說明該疫苗是有預(yù)防效果的。 在進(jìn)行22列聯(lián)表獨立性檢驗時，還可利用下述簡化公式（7-6）計算 ：,下一張,主 頁,退 出,上一張,（76） 在（7-6）式中， 不需要先計算理論次數(shù)，直接利用實際觀察次數(shù)Aij，行、列總和Ti.、T.j和總總和T進(jìn)行計算 ，比利用公式（7-4）計算簡便，且舍入誤差小。 對于【例7.7】，利用（7-6）式可得：,所得結(jié)果與前面計算計算的相同。 （二）2c列聯(lián)表的獨立性檢驗 2c列聯(lián)表是行因子的屬性類別數(shù)為2，列因子的屬性類別數(shù)為c（c3）的列聯(lián)表。其自由度d f = (2-1) (c -1) = (c-1)，因為c3，所以自由度大于2，在進(jìn)行2檢驗時，不需作連續(xù)性矯正。2c表的一般形式見表712。,下一張,主 頁,退 出,上一張,表712 2c聯(lián)列表一般形式,下一張,主 頁,退 出,上一張,其中（i=1，2；j=1，2，c）為實際觀察次數(shù)。 【例7.8】 在甲、乙兩地進(jìn)行水牛體型調(diào)查，將體型按優(yōu)、良、中、劣 四個等級分類，其結(jié)果見表713，問兩地水牛體型構(gòu)成比是否相同。,下一張,主 頁,退 出,上一張,表713 兩地水牛體型分類統(tǒng)計,下一張,主 頁,退 出,上一張,這是一個24列聯(lián)表獨立性檢驗的問題。 檢驗步驟如下： 1. 提出無效假設(shè)與備擇假設(shè) H0：水牛體型構(gòu)成比與地區(qū)無關(guān)，即兩地水牛體型構(gòu)成比相同。 HA：水牛體型構(gòu)成比與地區(qū)有關(guān)，即兩地水牛體型構(gòu)成比不同。,2. 計算各個理論次數(shù)，并填在各觀察次數(shù)后的括號中 計算方法與22表類似，即根據(jù)兩地水牛體型構(gòu)成比相同的假設(shè)計算。 如優(yōu)等組中，甲地、乙地的理論次數(shù)按理論比率20/135計算；良等組中,甲地、乙地的理論次數(shù)按理論比率15/135計算；中等、劣等組中,甲地、乙地的理論次數(shù)分別按理論比率80/135和20/135計算。,下一張,主 頁,退 出,上一張,甲地優(yōu)等組理論次數(shù)： T11=9020/135=13.3， 乙地優(yōu)等組理論次數(shù)： T21=4520/135=6.7， 或T21=20-13.3=6.7； 其余各個理論次數(shù)的計算類似。 3.計算計算2值,4. 由自由度df=3查臨界2值，作出統(tǒng)計推斷 因 為 2005（3） = 7 . 8 1 ， 而2=7.5820.05，不能否定H0,可以認(rèn)為甲、乙兩地水牛體型構(gòu)成比相同。 在進(jìn)行2c列聯(lián)表獨立性檢驗時，還可利用下述簡化公式（7-7）或（7-8）計算 2： （77）,下一張,主 頁,退 出,上一張,或 （78） （7-7）與（7-8）式的區(qū)別在于： （7-7）式利用第一行中的實際觀察次數(shù)A1j和行總和T1.；（7-8）式利用第二行中的實際觀察次數(shù)A2j和行總和T2.，計算結(jié)果相同。對于例7.7利用（7-8）式計算2值得：,計算結(jié)果與利用（71）式計算的結(jié)果因舍入誤差略有不同。 此外，在畜牧、水產(chǎn)科學(xué)研究中，有時需將數(shù)量性狀資料以等級分類，如剪毛量分為特等、 一等、二等，產(chǎn)奶量分為高產(chǎn)與低產(chǎn)等，這些由數(shù)量性狀資料轉(zhuǎn)化為質(zhì)量性狀的次數(shù)資料檢驗，也可用2檢驗。 【例7.9】 分別統(tǒng)計了A、B兩個品種各67頭經(jīng)產(chǎn)母豬的產(chǎn)仔情況，結(jié)果見表714，問A、B兩品種的產(chǎn)仔構(gòu)成比是否相同？,下一張,主 頁,退 出,上一張,表714 A、B兩個品種產(chǎn)仔數(shù)的分類統(tǒng)計,1、提出無效假設(shè)與備擇假設(shè) H0：A、B兩個品種產(chǎn)仔數(shù)分級構(gòu)成比相同。 HA：A、B兩個品種產(chǎn)仔數(shù)分級構(gòu)成比不同。 2、計算2值 用簡化公式（77）計算為：,下一張,主 頁,退 出,上一張,3、由自由度df=(2-1)(3-1)=2查臨界2值，作出統(tǒng)計推斷 因為20.05（2）=9.21，2 20.01， P0.01，所以否定H0，接受HA ， 表明A、B 兩品種產(chǎn)仔數(shù)構(gòu)成比差異極顯著。需要應(yīng)用2檢驗的再分割法來具體確定分級構(gòu)成比差異在那樣的等級。,表715 21計算表,下一張,主 頁,退 出,上一張,4、 2檢驗的再分割法 （1） 先 對兩個品種產(chǎn)仔數(shù)在9頭以下和1012頭進(jìn)行2檢驗，分割后的情況見表715。,利用簡化公式（7-7）計算21值為： 由df1=2-1=1，查2值表得：20.05（1）=3.841，因為210.05，表明這兩個品種的產(chǎn)仔數(shù)在9頭以下和1012頭這兩個級別內(nèi)的比率差異不顯著。 （2）對產(chǎn)仔數(shù)在13頭以上組與其他合并組（即9頭以下和1012頭兩個組的合并）進(jìn)行2檢驗，分割后見表716。,下一張,主 頁,退 出,上一張,表716 22計算表 利用簡化公式（7-7）計算22值為：,由df2=2-1=1，查2值表得： 20.05（1）=3.84，20.01（1）=6.63， 因為2220.01（1），P0.01， 表明這兩個品種的產(chǎn)仔數(shù)在合并組與13頭以上組的比率差異極顯著。其中B品種產(chǎn)仔數(shù)在13 頭以上的比率為29/67=42.38%，極顯著高于A品種產(chǎn)仔數(shù)在13頭以上的比率6/67=8.96%。或者說B品種產(chǎn)仔數(shù) 在合并組（ 1