山西省長(zhǎng)治市2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期第二次月考試題含解析

山西省長(zhǎng)治市2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期其次次月考試題（本試卷滿分150分，考試時(shí)間為120分鐘）第Ⅰ卷（選擇題60分）一、單項(xiàng)選擇題（本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.若直線經(jīng)過兩點(diǎn)，且傾斜角為135°，則m的值為（）A.2 B. C.1 D.【答案】C【解析】【分析】由，求解即可【詳解】由題意，解得：故選：C2.已知等差數(shù)列滿意，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出公差，再結(jié)合即可得的值.【詳解】因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，設(shè)公差為，所以，即，所以，所以，故選：D.3.已知，則“”是“方程表示橢圓”的（）A.必要不充分條件 B.充分不必要條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】求得方程表示橢圓的條件，從而確定正確選項(xiàng).【詳解】方程表示橢圓，則，所以“”是“方程表示橢圓”的充分不必要條件.故選：B4.已知數(shù)列滿意，，為數(shù)列的前項(xiàng)和，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)數(shù)列滿意，，得到數(shù)列是等差數(shù)列求解.【詳解】因?yàn)閿?shù)列滿意，，所以數(shù)列是以-12為首項(xiàng)，以3為公差的等差數(shù)列，所以，，當(dāng)4或5時(shí)，取得最小值-30，故選：A5.等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，則（）A. B. C.10 D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)等比數(shù)列下標(biāo)的性質(zhì)即可求解.【詳解】∵，∴，∴.故選：C.6.如圖，在平行六面體中，底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，若，且，則的長(zhǎng)為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)向量的運(yùn)算，求得，再依據(jù)空間向量的數(shù)量積的運(yùn)算，即可求得．【詳解】因?yàn)樵谄叫辛骟w中，底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，側(cè)棱且，所以，，且，，，由得，因此，故選：D.7.在等差數(shù)列中，為其前項(xiàng)和.若，且，則等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先證明數(shù)列是以為首項(xiàng)以為公差的等差數(shù)列，再求出的值，再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)即可求出的值.【詳解】∵是等差數(shù)列，為其前項(xiàng)和，設(shè)公差為，∴，∴，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)以為公差的等差數(shù)列，則，解得.又∵，∴，∴.故選：【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)和前項(xiàng)和的應(yīng)用，考查等差數(shù)列通項(xiàng)的基本量的求法，意在考查學(xué)生對(duì)這些學(xué)問的理解駕馭水平和分析推理實(shí)力.8.雙曲線：的左頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，動(dòng)點(diǎn)在上，當(dāng)時(shí)，，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析】首先推斷在右支上，求得，由，可得，再由，，和的關(guān)系，化簡(jiǎn)可得所求值．【詳解】由動(dòng)點(diǎn)在上．當(dāng)時(shí)，，可得在右支上，令，可得，解得，即有，則，即，可得，即，．故選：B．9.已知雙曲線：的離心率為2.若拋物線的焦點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離為2，則拋物線的方程為A. B. C. D.【答案】D【解析】【詳解】由e==2得4==1+,∴=3.∴雙曲線的漸近線方程為y=±x,拋物線x2=2py的焦點(diǎn)是（0,）,它到直線y=±x的距離d=2==,∴p=8.∴拋物線方程為x2=16y.故選D.10.在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓，點(diǎn)，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，設(shè)線段的垂直平分線和直線的交點(diǎn)為，則點(diǎn)的軌跡方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】分析可知點(diǎn)的軌跡是以、為焦點(diǎn)的雙曲線，計(jì)算出、的值，即可得出點(diǎn)的軌跡方程.【詳解】圓的圓心為，半徑為，由中垂線的性質(zhì)可得，當(dāng)點(diǎn)在圓的右半圓上時(shí)，，當(dāng)點(diǎn)在圓的左半圓上時(shí)，，所以，點(diǎn)的軌跡是以、為焦點(diǎn)的雙曲線，且，，所以，，，，因此，點(diǎn)的軌跡方程為.故選：A.11.瑞士聞名數(shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同始終線上，這條直線被后人稱為三角形的“歐拉線”．若滿意，頂點(diǎn)、，且其“歐拉線”與圓：相切，則下列結(jié)論正確的是（）A.圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的最大距離為B.圓上存在三個(gè)點(diǎn)到直線的距離為C.若點(diǎn)在圓上，則的最小值是D.若圓與圓有公共點(diǎn)，則【答案】B【解析】【分析】由題意求出的垂直平分線可得的歐拉線，再由圓心到直線的距離求得，得到圓的方程，求出圓心到原點(diǎn)的距離，加上半徑推斷A；求出圓心到直線的距離推斷B；再由的幾何意義，即圓上的點(diǎn)與定點(diǎn)連線的斜率推斷C；由兩個(gè)圓有公共點(diǎn)可得圓心距與兩個(gè)半徑之間的關(guān)系，求得的取值范圍推斷D．【詳解】由題意，的歐拉線即的垂直平分線，，，的中點(diǎn)坐標(biāo)為，，則的垂直平分線方程為，即．由“歐拉線”與圓相切，到直線的距離，，則圓的方程為：，圓心到原點(diǎn)的距離為，則圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的最大距離為，故A錯(cuò)誤；圓心到直線的距離為，圓上存在三個(gè)點(diǎn)到直線的距離為，故B正確；的幾何意義為圓上的點(diǎn)與定點(diǎn)連線的斜率，設(shè)過與圓相切的直線方程為，即，由，解得，的最小值是，故C錯(cuò)誤；的圓心坐標(biāo)，半徑為，圓的的圓心坐標(biāo)為，半徑為，要使圓與圓有公共點(diǎn)，則圓心距的范圍為，，，解得，故D錯(cuò)誤．故選：B．12.在數(shù)列中，，，，若數(shù)列單調(diào)遞減，數(shù)列單調(diào)遞增，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)題意，求出，n≥3，則，再結(jié)合等比數(shù)列求和公式和分組求和即可.詳解】∵，，，∴，∴，又因?yàn)閿?shù)列單調(diào)遞減，數(shù)列單調(diào)遞增，同理可得，，，∴，n≥3=故選：A.第Ⅱ卷（非選擇題90分）二、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分．將答案填在題后的橫線上）13.在等比數(shù)列中，，，則__________．【答案】【解析】【分析】干脆利用等比數(shù)列公式計(jì)算得到答案.【詳解】，故，故.故答案為：.點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列求值，屬于簡(jiǎn)潔題.14.若數(shù)列的前項(xiàng)和為，則數(shù)列的通項(xiàng)公式__________．【答案】##－5＋6n【解析】【分析】利用數(shù)列前n項(xiàng)和與通項(xiàng)公式之間的關(guān)系即可求通項(xiàng)公式.【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，也滿意上式，∴.故答案為：6n－5.15.已知數(shù)列中，，前項(xiàng)和，則的通項(xiàng)公式為___________.【答案】【解析】【分析】由，變形可得則，兩式相減變形可得，又由，計(jì)算可得，驗(yàn)證即可得答案．【詳解】依據(jù)題意，數(shù)列中，，，①，②，①②可得：，變形可得：，則；時(shí)，符合；故答案為：．16.已知離心率為的橢圓：和離心率為的雙曲線：有公共焦點(diǎn)，，是它們?cè)诘谝幌笙薜慕稽c(diǎn)，且，則的最小值為________．【答案】【解析】【分析】設(shè)焦距為，橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，雙曲線實(shí)軸長(zhǎng)為，在雙曲線的右支上，利用橢圓的定義以及雙曲線的定義，通過余弦定理，轉(zhuǎn)化求解的最小值．【詳解】由題意設(shè)焦距為，橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，雙曲線實(shí)軸長(zhǎng)為，在雙曲線的右支上，由橢圓的定義，由雙曲線的定義，所以有，，因?yàn)?，由余弦定理可得，整理得，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故答案為：．三、解答題（本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.已知等差數(shù)列的公差，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若等比數(shù)列滿意，，求數(shù)列的前項(xiàng)的和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和已知條件即可求出首項(xiàng)，進(jìn)而可求出通項(xiàng)公式.(2)求出的通項(xiàng)公式，依據(jù)數(shù)列求和的定義寫出的表達(dá)式，結(jié)合等差數(shù)列、等比數(shù)列前項(xiàng)和的公式即可求出.【詳解】（1）由，得，又，所以，所以.（2）設(shè)公比為，由題意，，即，所以，于是，故.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了數(shù)列的求和，屬于基礎(chǔ)題.18.已知公差不為的等差數(shù)列的首項(xiàng),且成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式;（2）設(shè),求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1);(2).【解析】【分析】（1）設(shè)數(shù)列的公差為,依據(jù)題意，求解，即可得到數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由（1）可得，利用裂項(xiàng)相消法，即可求解.【詳解】(1)設(shè)數(shù)列的公差為,則.由成等比數(shù)列,得即,得(舍去)或.所以數(shù)列通項(xiàng)公式為(2)因?yàn)樗浴军c(diǎn)睛】本題主要考查等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式、數(shù)列求和的“裂項(xiàng)相消法”，此類題目是數(shù)列問題中的常見題型，對(duì)考生計(jì)算實(shí)力要求較高，解答中確定通項(xiàng)公式是基礎(chǔ)，精確計(jì)算求和是關(guān)鍵，易錯(cuò)點(diǎn)是在“裂項(xiàng)”之后求和時(shí)，弄錯(cuò)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)，能較好的考查考生的數(shù)形結(jié)合思想、邏輯思維實(shí)力及基本計(jì)算實(shí)力等.19.如圖，在三棱柱中，平面，，，，點(diǎn)、分別在棱和棱上，且，，為棱的中點(diǎn).（1）求證：；（2）求二面角的正弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）證明出平面，即可證得；（2）計(jì)算出的邊上的高，并求出點(diǎn)到平面的距離，由此可得出二面角的正弦值為.【詳解】（1）在三棱柱中，平面，則平面，平面，則，，則，為的中點(diǎn)，則，，平面，平面，因此，；（2），，，所以，，同理可得，取的中點(diǎn)，連接，則，因?yàn)榍?，故四邊形為矩形，則，所以，，

由余弦定理可得，則，所以，的邊上的高，平面，平面，則，，，平面，因?yàn)?，平面，平面，故平面，，故點(diǎn)到平面的距離，設(shè)二面角為，則.20.已知拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)為F，P(5，a)為拋物線C上一點(diǎn)，且|PF|＝8．（1）求拋物線C的方程；（2）過點(diǎn)F的直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，以線段AB為直徑的圓過Q(0，﹣3)，求直線l的方程．【答案】（1）；（2）2x﹣y﹣6＝0﹒【解析】【分析】(1)依據(jù)拋物線焦半徑公式構(gòu)造方程求得，從而得到結(jié)果．(2)設(shè)直線，代入拋物線方程可得韋達(dá)定理的形式，依據(jù)可構(gòu)造方程求得，從而得到直線方程．【小問1詳解】由拋物線定義可知：，解得：，拋物線的方程為：．【小問2詳解】由拋物線方程知：，設(shè)直線，，，，，聯(lián)立方程，得：，，，以線段為直徑的圓過點(diǎn)，，，解得：，直線的方程為：，即．21.已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿意：.

（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿意，為數(shù)列的前項(xiàng)和，求證：.【答案】（1）;（2）見解析.【解析】【詳解】試題分析：(1)利用題中所給的遞推關(guān)系整理可得，結(jié)合題意可得是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，且.(2)利用題意錯(cuò)位相減可得，據(jù)此可得.試題解析：（1）證明：當(dāng)時(shí)，，①當(dāng)時(shí)，②由①②兩式相減得：，即，∴，∴，當(dāng)時(shí)，，則，∴是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，∴，∴.（2）證明：，∴則①②由①-②得：∴.∴當(dāng)時(shí)，，；，∴單調(diào)遞增，∴所以綜上得：.點(diǎn)睛：數(shù)列的遞推關(guān)系是給出數(shù)列的一種方法，依據(jù)給出的初始值和遞推關(guān)系可以依次寫出這個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)，由遞推關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)公式，常用的方法有：①求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，再歸納猜想出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式；②將已知遞推關(guān)系式整理、變形，變成等差、等比數(shù)列，或用累加法、累乘法、迭代法求通項(xiàng)．22.平面直角坐標(biāo)系中，過橢圓：（）右焦點(diǎn)的直線交于，兩點(diǎn)，為的中點(diǎn)，且的斜率為.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ），為上的兩點(diǎn)，若四邊形的對(duì)角線，求四邊形面積的最大值.【答案】(Ι)（Ⅱ）【解析】【分析】(1)把右焦點(diǎn)代入直線方程可求出c，設(shè)，線段AB的中點(diǎn)，利用“點(diǎn)差法”即可得出a,b的關(guān)系式，再與聯(lián)馬上可求出a,b，進(jìn)而可得橢圓方程；(2)由，可設(shè)直線CD方程為,與橢圓方程聯(lián)立可得根與系數(shù)關(guān)系，即可得到弦長(zhǎng)，把直線，利用即可得到關(guān)于m的表達(dá)式，利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可求出其最大值.【詳解】(Ι)設(shè)則，，（1）－（2）得：，因?yàn)?，設(shè)，因?yàn)镻為AB的