2021-2022學(xué)年上海市虹口區(qū)復(fù)興某中學(xué)高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷（解析版）

2021-2022學(xué)年上海市虹口區(qū)復(fù)興高級中學(xué)高二（上）期中數(shù)學(xué)

試卷

一、填空題

i.過平面外一點與這個平面平行的直線有條.

2.若正三棱錐的高和底面邊長相等，則側(cè)棱和底面所成角為.

3.一個與球心距離為1的平面截球所得的圓面面積為n,則該球的表面積是.

4.設(shè)a,6是平面M外兩條直線，且“〃M,那么a〃人是的條件.

5.將一段長12cm的鐵絲折成兩兩互相垂直的三段，使三段長分別為3c/n、4cm,5cm,則

原鐵絲的兩個端點之間的距離為cm.

6.在無窮等比數(shù)列｛%｝中，0=1,公比q=仔,記q尸蘇+蘇+加+…+s“2.則二金■乙

7.《九章算術(shù)》中稱四個面均為直角三角形的四面體為鱉腌，如圖，若四面體ABC。為鱉

腌，且平面BCD,AB=BC=CD,貝ljAD與平面ABC所成角大小為

（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）

8.已知兩條異面直線a與〃所成角為30,P是空間一點，若過點尸與a和6所成角都是0

的直線有4條，則0的范圍是.

9.設(shè)數(shù)列｛〃”｝的前n項和為S“,且a,,=log2（1+—）,則滿足Sn>10的n最小值為.

10.我們知道，在平面幾何中，已知aABC三邊邊長分別為a、b、c,面積為S,在△ABC

內(nèi)一點到三條邊的距離相等設(shè)為r,則有（a+b+c）=S.現(xiàn)有三棱錐A-88的兩條

棱AB=CD=6,其余各棱長均為5,三棱錐A-BCD內(nèi)有一點。到四個面的距離相等，

則此距離等于

BD

11.若集合A={(m,")|(w+1)+(ZM+2)+…+(m+n)=2020,m—Z,/JGN*},則集合

A中的元素個數(shù)為.

12.如圖所示，在棱長為2的正方體ABC。-48C5中，E為棱CG的中點，點P,。分

別為面A\B\C\D\和線段BC上的動點，則△PEQ周長的最小值為.

二.選擇題

13.設(shè)Pl、Pa、P3、P4為空間中的四個不同點，則“Pl、P2、凸、P4中有三點在同一條直

線上”是“Pl、巴、R、24在同一個平面上”的()

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充要條件D.既非充分也非必要條件

14.用數(shù)學(xué)歸納法證明關(guān)于/(〃)=(?+1)(n+2)…(n+n)的命題時，f(k+1)=f(k)

X,左為正整數(shù)，則空格處應(yīng)填()

A.2k+\B.

k+1

C2k+lD2k+2

'k+1'k+1

15.如圖1,點E為正方形ABC。邊BC上異于點B、C的動點，將aABE沿AE翻折，得

到如圖2所示的四棱錐8-AECD,且平面平面AECD,點F為線段3。上異于點

B、力的動點，則在四棱錐B-4EC。中，下列說法：

①直線BE與直線CF必不在同一平面上；

②存在點E使得直線BE，平面DCE；

③存在點F使得直線CF與平面BAE平行；

④存在點E使得直線BE與直線CD垂直.

以上敘述正確的是（）

A.①②B.①③C.①④D.③④

16.在三棱錐A-BCD中，AB=BC=CD=DA=?BD=2?二面角A-BO-C是鈍

角.若三棱錐A-8CZ）的體積為2.則三棱錐4-BCO的外接球的表面積是（）

3752

A.127TB.—7iC.13nD.—n

34

三、解答題

17.在①S“=〃2+〃+c；②〃3+。5=16且53+55=42；③現(xiàn)工=旦旦且$7=56.

ann

這三個條件中任選一個補充在下面的問題中，并加以解答.

設(shè)等差數(shù)列｛a,,｝的前〃項和為S”｛6｝是等比數(shù)列，6=m,。2=32.

2

（1）求數(shù)列｛為｝的通項公式；

（2）求數(shù)歹必白+5｝的前”項和.

3n

18.（20分）如圖，某種水箱用的“浮球”，是由兩個半球和一個圓柱筒組成.己知球的

直徑是6cm,圓柱筒長2cm.

（1）這種“浮球”的體積是多少CM?（結(jié)果精確到0」）？

（2）要在這樣2500個“浮球”表面涂一層膠質(zhì)，如果每平方米需要涂膠100克，共需

膠多少？

19.如圖，長方體ABC。-45GU中，DA=DC=2,DD[=J§,E是CQi的中點，F(xiàn)是

CE的中點.

(1)求證：EA〃平面B。凡

(2)求證：平面平面BCE；

(3)求二面角￡>-￡8-C的正切值.

—7A

:'A'、/

-----

20.如圖所示，圓錐的頂點為P,底面中心為。，母線PB=5,底面半徑OA與。8的夾角

為。，且08=4.

(1)求該圓錐的表面積；

(2)求過頂點P的平面截該圓錐所得的截面面積的最大值；

(3)點E在線段OP上，且OE=1,是否存在。使得異面直線4E與PB所成角大小為

60°?若不存在，請說明理由，若存在，請求出9.(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示)

21.已知數(shù)列｛0｝與｛仇｝滿足斯+i-%=入(加1-5)(人為非零常數(shù))，neN*.

(1)若｛5｝是等差數(shù)列，求證：數(shù)列｛〃“｝也是等差數(shù)列；

(2)若ai=2,入=3,bn=sin■吟，求數(shù)列｛?。那?021項和；

(3)設(shè)aHb0」-，b=bn-1+bn-2(〃》3,〃€N*),若對｛““｝中的任意兩

/2n2

項3、aj(i,./GN*,話j),la-勾|<2都成立，求實數(shù)入的取值范圍.

參考答案

一、填空題

1.過平面外一點與這個平面平行的直線有無數(shù)條.

【分析】根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理可判斷.

解：在過該點且與已知平面平行的平面上的每一條直線均與已知平面平行，故有無數(shù)條

直線符合題意，

故答案為：無數(shù).

2.若正三棱錐的高和底面邊長相等，則側(cè)棱和底面所成角為々.

【分析】令。到正三棱錐底面上的中心，則NPAO即為側(cè)棱和底面所成角，解RtZXPA。

即可得到答案.

解：設(shè)正三棱錐的棱長為

令0為正三棱錐底面上的中心，則P0即為棱錐的高，

P

C

B

則NPA。即為側(cè)棱和底面所成角，

V正三棱錐的棱和底面邊長都為a,

.?.在Rt△尸A。中，AO="a，所以P0=“，

3

a_

/.tanZPA0=^/3=F，

Ta

JT

：.ZPAO=—,

3

故答案為：一丁.

3.一個與球心距離為1的平面截球所得的圓面面積為m則該球的表面積是8n.

【分析】由已知中一個與球心距離為1的平面截球所得的圓面面積為TT,我們可以求出

該圓的半徑，其中根據(jù)球半徑、截面圓半徑及球心距構(gòu)成直角三角形，滿足勾股定理，

我們可以求出球半徑，進而代入球的表面積公式，即可得到該球的表面積.

解：由己知中與球心距離為1的平面截球所得的圓面面積為7T,

故該圓的半徑為1,

故球的半徑為我

故該球的表面積S=4TTR2=87T

故答案為：87r

4.設(shè)a,Z?是平面M外兩條直線，且a//M,那么a//b是b//M的充分不必要條件.

【分析】判斷由a〃人能否得到6〃M,再判斷由匕〃M能否得到a〃匕即可.

解：證明充分性：若?！?,結(jié)合“〃M,且Z?在平面M外，可得b〃M,是充分條件；

證明必要性：若6〃M,結(jié)合且a,b是平面M外，則a,匕可以平行，也可以相

交或者異面，所以不是必要條件.

故?！ㄘ笆秦啊∕的“充分不必要”

故答案為：充分不必要.

5.將--段長12cm的鐵絲折成兩兩互相垂直的三段，使三段長分別為3c/n、4cm5cm,則

原鐵絲的兩個端點之間的距離為

【分析】作圖，根據(jù)題設(shè)條件可證CO,AC,再直接計算求解即可.

解：如圖所示，鐵絲被折成了兩兩垂直的三段AB,BC,CD,其中AB=5,8c=4,CD

—3,

由CO_LA8,CDIBC,ABQBC=B,可知CQ_L平面ABC,

.'.CD±AC,

于是AD2=Ciy+AC2-CD^+AB^BC1=52+42+32=50,

-'-AD=5V2.

故答案為：572-

D

6.在無窮等比數(shù)列｛〃〃｝中，。1=1,公比q=《,記。尸帚+靖+0+…+劭?.則"y4=

2n—8

4

-15—,

【分析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)，判斷僅2〃2｝是等比數(shù)列，然后利用數(shù)列和的極限的運算法

則求解即可.

解：在無窮等比數(shù)列｛如｝中，6/1=1,公比4記A=。22+042+〃62+…+〃2后

可知｛。2〃2｝是等比數(shù)列，公比為：上，首項為：

164

2—

故答案為：—

15

7.《九章算術(shù)》中稱四個面均為直角三角形的四面體為鱉膈，如圖，若四面體A8CQ為鱉

膈，且ABL平面BCD,A8=BC=CQ,則A。與平面A8C所成角大小為arcsin返(結(jié)

-----------3-

果用反三角函數(shù)值表示)

【分析】推導(dǎo)出BCLOC,以C為原點，CD為x軸，CB為y軸，過C作平面8OC的

垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出AC與平面A8C所成角大小.

解：?.?四面體ABC。為鱉腌，且A8_L平面BCD,AB=BC=CD,

：.BCLDC,

以C為原點，CD為x軸，CB為y軸，過C作平面BDC的垂線為z軸，建立空間直角

坐標(biāo)系，

設(shè)AB=BC=C￡>=1,

則A(0,1,1),D(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,0),

標(biāo)=(1,-1,-1),平面ABC的法向量若=(1,0,0),

設(shè)AD與平面ABC所成角為0,

則sine=叵?可工=返

IADI?InV3V

9=arcsin^-?-,

3

，AD與平面ABC所成角大小為arcsin

故答案為：arcsin返.

8.已知兩條異面直線a與〃所成角為30,P是空間一點，若過點尸與a和〃所成角都是。

的直線有4條，則0的范圍是75°＜。＜90°.

【分析】過點。作ai〃a,b\//b,則相交直線“i,歷確定一個平面a,且m，bi所成的

角為150°或30°,設(shè)直線0A與ai,加均成。角，作ABL平面a于點8,8cl.創(chuàng)于

點C,BDLbi于點D,記/AOB=8,ZBOC=Qi,(02=15°或75°),利用cos0=

cosO—cos版,進行角之間的大小比較，從而得到答案.

解：過點。作ai〃a,b\//b,

則相交直線G,加確定一個平面a,且m,外所成的角為150°或30°,

設(shè)直線0A與小，力均成9角，

作AB,平面a于點8,BCLai于點C,80,次于點。，

記NAOB=8,NBOC=&(02=15°或75°),

則有COS0=COS01*COS92,

因為。W&W90。，

所以O(shè)WcosOWcosO2,

當(dāng)。2=15°時，由0Wcos0Wcosl5°,可得15°W0W90°；

當(dāng)b=75°時，由OWcosOWcos75°,可得75°WOW90。；

故當(dāng)。＜15°時，直線/不存在：

當(dāng)9=15°時，直線/有且僅有1條；

當(dāng)15°＜。＜75°時，直線有且僅有2條；

當(dāng)8=75°時，直線/有且僅有3條；

當(dāng)75°<0<90°時，直線有且僅有4條;

當(dāng)9=90°時，直線/有且僅有1條.

綜上所述，6的范圍是75°<0<90°.

故答案為：75°<0<90°.

9.設(shè)數(shù)列｛〃〃｝的前n項和為S”且6Z?=log2(1+—)，則滿足5/：>10的〃最小值為1024.

n

【分析】根據(jù)題意可得4〃=10g2(1+—)=10g2(生L，則S〃=10g2W)+10g2(當(dāng)+…

nn12

+log2("I)=log2(2義旦X…X)=log2(n+1),從而令S〃=log2(n+1)>10,

n12n

結(jié)合即可求出滿足S〃>10的n最小值.

解：根據(jù)題意，z=log2(1+-)=log(―),

n2n

所以Sn=log2(―)+log23)+…+log2(k')=log2(―X-^-X???X“±1)=log2(H+1),

12n12n

令S"=log2(n+1)>10,則“+1A2、,由于〃€N*,所以〃21024(nGN),

所以滿足S,>10的〃最小值為1024.

故答案為：1024.

10.我們知道，在平面幾何中，已知AABC三邊邊長分別為a、b、c,面積為S,在AABC

內(nèi)一點到三條邊的距離相等設(shè)為r,則有/廠(a+6+c)=S.現(xiàn)有三棱錐A-BCD的兩條

棱AB=C￡>=6,其余各棱長均為5,三棱錐A-BCD內(nèi)有一點。到四個面的距離相等，

則此距離等于為2.

-8一

BD

【分析】把三棱錐A-BCD放置在一個長方體中，設(shè)四面體所在長方體的棱長分別為x,

y,z,由已知對角線長列式求得x,y,z的值，得到四面體A-BCD的體積，再求出四面

體的表面積，由等體積法求點。到四個面的距離.

解：如圖，把三棱錐A-BCC放置在一個長方體中，

設(shè)四面體所在長方體的棱長分別為x,y,z,

則由x2+>,2=36,x2+z2=25,y2+z2=25,

解得x=y=3、歷,z=有,則四面體A-BCD的體積X哂X372X、。=依/斤(長

0

方體體積的方)，

又四面體的表面積為S=4xlx6x752-32=48(每個面都是腰長為5,底邊長為6

的等腰三角形)，

點0到四個面的距離為絲=3-6行=3板.

S488

故答案為：近.

8

11.若集合A={(機，〃)|(m+1)+(m+2)+…+("z+〃)=2020,m=Z,〃WN*},則集合

A中的元素個數(shù)為8.

【分析】(〃計1),(m+2),-??(m+n)構(gòu)成等差數(shù)列，2〃任〃+1與〃的奇偶性不同.

解：v(2m+^+1)n=2020,

即(2m+〃+1)〃=4040,

又4040=23X5X101,而2m+〃+1與n的奇偶性不同，

.??只能有數(shù)5或101,

所以有2X2X2=8種,

分別為：(248,8),(-241,505),(30,40),(-31,101),(-402,808),

(401,5),(-2020,4040),(2019,1),共8種.

12.如圖所示，在棱長為2的正方體ABC。-A山iGA中，E為棱CG的中點，點P,Q分

別為面ABCQi和線段8C上的動點，則周長的最小值為一百5_.

【分析】由題意，△PEQ周長取得最小值時，P在BCi上，在平面BCCB上，設(shè)E關(guān)

于3c的對稱點為M關(guān)于8G的對稱點為M,求出即可得出結(jié)論.

解：由題意，△PEQ周長取得最小值時，P在上，

在平面BCiCB上，設(shè)E關(guān)于BiC的對稱點為N,關(guān)于BiCi的對稱點為〃，則

EM=2.EN=&,/MEN=135°,

；.MN=j+2-2X2X亞X(-^)=萬?

故答案為J而.

二.選擇題

13.設(shè)Pl、P2、P3、24為空間中的四個不同點，則“尸1、P2、尸3、P4中有三點在同一條直

線上”是“P、P2、鼻、尸4在同一個平面上”的()

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充要條件D.既非充分也非必要條件

【分析】“Pl、P2、P3、尸4中有三點在同一條直線上”=“尸1、%、P3、尸4在同一個平

面上”，“P、22、23、巴在同一個平面上”知“P、22、P”尸4中可以任意三點不在

同一條直線上”，由此能求出結(jié)果.

解：設(shè)外、P2、23、孔為空間中的四個不同點，

則“尸|、P2、尸3、P4中有三點在同一條直線上”="Pl、P2、P3、24在同一個平面上”，

“尸1、「2、23、丹在同一個平面上”知“Pl、P1、「3、P4中可以任意三點不在同一條直

線上”，

，“尸1、Pl、P3、Pa中有三點在同一條直線上”是“Pl、尸2、P:、尸4在同一個平面上”

的充分非必要條件.

故選：A.

14.用數(shù)學(xué)歸納法證明關(guān)于/(〃)=(〃+1)(〃+2)…(〃+〃)的命題時，/(%+1)=/(%)

X,左為正整數(shù)，則空格處應(yīng)填()

A.2k+\B.(2k+l)(2k+2)

k+1

C.2k±LD.2ki2.

k+1k+1

【分析】分別求出〃=k時左邊的式子，n—k+\時左邊的式子，用n=k+\時左邊的式子,

除以〃=%時左邊的式子，即得所求.

解：由題意可得

當(dāng)〃=々時，左邊等于(k+1)(k+2)…(k+k)=(&+1)(氏+2)-(2k),

當(dāng)〃=%+1時，左邊等于(火+2)(什3)…(,k+k)(2^+1)(2Z+2),

故從"k"到“A+1”的證明，左邊需增添的代數(shù)式是&k+l)(2k+2),

k+1

故選：B.

15.如圖1,點E為正方形ABC。邊BC上異于點8、C的動點，將△ABE沿AE翻折，得

到如圖2所示的四棱錐8-AECZ),且平面846，平面4￡8,點F為線段8。上異于點

B、。的動點，則在四棱錐8-4EC。中，下列說法：

①直線BE與直線CF必不在同一平面上；

②存在點E使得直線BE,平面DCE-,

③存在點尸使得直線CF與平面BAE平行;

④存在點E使得直線BE與直線CD垂直.

以上敘述正確的是()

A.①②B.①③C.①④D.③④

【分析】在①中，若直線BE與直線CF共面，則點8,E,C,F,。五點共面，由已知

得B在平面OCE外，從而直線BE與直線CF必不在同一平面上；

在②中，當(dāng)BELCE時，必同時垂直AE,但AE與BE不垂直，從而不存在點E使得

直線平面DCE；

在③中，當(dāng)E是8c中點，且F為BO中點時，直線CF與平面BAE平行；

在④中，CD與平面BCE不垂直，從而不存在點E使得直線BE與直線CD垂直.

解：在①中，若直線BE與直線CF共面，則點B,E,C,F,。五點共面，

由已知得B在平面DCE外，

所以直線BE與直線CF必不在同一平面上，故①正確；

在②中，若存在點E使得直線BE,平面。CE,

貝i」BE_LCE,且8E_LC。，

因為平面平面AECD,平面BAEQ平面AECD=AE,

所以當(dāng)BEX.CE時，BE必同時垂直AE,

由于AE與8E不垂直，

所以不存在點E使得直線BE,平面DCE,故②錯誤；

在③中，當(dāng)E是BC中點，且F為BO中點時，直線CF與平面BAE平行，故③正確；

在④中，因為/AEB是銳角，ZDC￡=90°,

所以C。與平面8CE不垂直，

所以不存在點E使得直線8ELCO,故④錯誤，

故選：B.

16.在三棱錐A-BCD中，AB=BC=CD=DA=yfy,BD=273>二面角A-BO-C是鈍

角.若三棱錐A-BCD的體積為2.則三棱錐A-BCD的外接球的表面積是（）

3753

A.12nB.—nC.I3nD.—n

34

【分析】取8。的中點K,連結(jié)AK,CK,得到NAKC為二面角4-B。-C的平面角，V

=Lx』AKXCKXsin/AKCXBO=2,進而求得/AKC=120°,數(shù)形結(jié)合，得到外接

32

球半徑即可.

解：取30的中點K,連結(jié)AK,CK,由己知△A3。和△8。是全等的等腰三角形，所

以AK_L8。，CK±BD,

.?.NAKC為二面角4-B。-C的平面角，且BO_L平面AKC,AK=CK,

所以V=—X—AKXCKXsmZAKCXBD=2,

32

又AK=VAD2-KD2=2,故sin/AKC=^^，

因為NAKC為鈍角，

所以NAKC=120。，

設(shè)△AB。，△BC。的外接圓的圓心分別為例，N,

則M,N分別在AK,CK上且MK=NK,連結(jié)。M,

77

由(2-AM)2+3=。"，其中AM=OM,解得AM=-!-,同理CN=-!-,

44

所以MK=NK=」，

4

過M,N分別作平面48。，平面的垂線，兩垂線的交點。為四面體ABC。的外接

球的球心，

連結(jié)OK,則OK平分/AKC,；.NOKN=60°,

從而0、=退，OK=—,

42

在Rtz^O/VC中，。、=返，CN=AM=J

44____

外接球的半徑為"=｛0/4<?=\但-+41'=^^

VlblbZ

所以四面體A8C￡>外接球的表面積S=4TT產(chǎn)=4TTX1^=13TT,

故選：C.

17.在①S"=〃2+〃+c；②43+45=16且S3+55=42；③一^■=三包且$7=56.

ann

這三個條件中任選一個補充在下面的問題中，并加以解答.

a1aD2

設(shè)等差數(shù)列他"｝的前〃項和為Sn,｛d｝是等比數(shù)列，b\—a\,b2=.

2

(1)求數(shù)列｛斯｝的通項公式;

(2)求數(shù)列｛￡-+為｝的前〃項和.

S，n=l

【分析】(1)在選擇條件①的情況下根據(jù)公式m=《、代入初步計算為

區(qū)%了n>2

的表達式，并根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)計算出c的值，即可計算出數(shù)列｛?。耐椆剑辉谶x

擇條件②的情況下先根據(jù)題意設(shè)等差數(shù)列｛““｝的公差為d,然后根據(jù)己知條件列出關(guān)于首

項m與公差d的方程組，解出m與d的值，即可推導(dǎo)出數(shù)列｛分｝的通項公式；在選擇條

件③的情況下先根據(jù)遞推公式的特點運用累乘法推導(dǎo)出數(shù)列｛%｝的通項公式，然后根據(jù)

57-56計算出小的值，進一步可推導(dǎo)出數(shù)列｛如｝的通項公式；

(2)先根據(jù)第(1)題的結(jié)果計算出等比數(shù)列｛仇｝的通項公式，進一步計算出;的表達

式，再運用分組求和法、裂項相消法、以及等比數(shù)列的求和公式即可計算出數(shù)列｛白+d｝

的前〃項和.

解：(1)方案一：選擇條件①

由題意，當(dāng)〃=1時，a\=Si=l2+l+c=c+2,

22

當(dāng)時，an=Sn-Sn-\=n+n+c-(n-1)-(n-1)-c=2nf

故〃2=2義2=4,〃3=2X3=6,

?.?〃]+〃3=2〃2,

???c+2+6=2X4,解得c=0,

a,i=2nfneN*.

方案二：選擇條件②

由題意，設(shè)等差數(shù)列｛。〃｝的公差為d,

a[+2d+aj+4d=16

則<3X25X4，

3al方■二d+5ai+\U=42

aj+3d=8

整理，得《

,

8a1+13d=42

a,=2

解得1

d=2

.,.an=2n,HGN*.

方案三：選擇條件③

由題意，可得==告，—=A???,—2-=—

al1a22an-ln-1

各項相乘，可得氏=圣堤....一二=〃，

at12n-1

??Cln=RCl\,

故S7=ai+〃2+???+。7

=〃I+2〃I+???+7Q]

=28。”

VS7=56,KP28^I=56,

??。1=2,

:.a〃=2n,7?GN*.

(2)由(1),可知加=ai=2,

歷=2="=4,

22

bn

設(shè)等比數(shù)列｛瓦｝的公比為小則q=/=2,

bl

nn

：.bn=2*21=2,

又Sn=1)?2=n(〃+1),

2

,_L_i_ii

Snn(n+l)nn+1'

???數(shù)歹i」｛；+為｝的前〃項和為：

1、11、

(丁+4)++岳)+???+(7―+仇)

“bn

111

=(丁+丁+…+丁)+("+歷+…+仇)

>1bn

=(1-—+--A+...+A+(2422+…+2”)

223nn+1

1n41

_11,2-2-

n+1-1-2

=2"+i-i.

n+1

18.（20分）如圖，某種水箱用的“浮球”，是由兩個半球和一個圓柱筒組成.已知球的

直徑是6c777,圓柱筒長2cm.

(1)這種“浮球”的體積是多少(結(jié)果精確到o.l)?

(2)要在這樣2500個“浮球”表面涂一層膠質(zhì)，如果每平方米需要涂膠100克，共需

【分析】(1)根據(jù)圓柱筒的直徑，可得半球的半徑R=3c〃?，從而得到上下兩個半球的

體積之和，再由柱體體積公式算出圓柱筒的體積，相加即得該“浮球”的體積大??；

(2)由球的表面積公式和圓柱側(cè)面積公式，算出一個“浮球”的表面積S,進而得到2500

個“浮球”的表面積，再根據(jù)每平方米需要涂膠100克，即可算出總共需要膠的質(zhì)量.

解：(1)???該“浮球”的圓柱筒直徑

.,.半球的直徑也是6c〃?，可得半徑R=3a*,

.?.兩個半球的體積之和為丫球=■^兀R3V兀?27=36兀c加'…

而V圓柱=兀區(qū)24=兀X9X2=18兀CT?3…

3

.?.該“浮球”的體積是：V=VJS+Viatt=36n+18TC=54n^l69.6cTO-

(2)根據(jù)題意，上下兩個半球的表面積是

S球表=4兀R2=4X71X9=36?！?/p>

而“浮球”的圓柱筒側(cè)面積為：SHttM-2-nRh=2XnX3X2=l2ncw2--?

36兀+12兀48

個“浮球”的表面積為S=------7—1?冗而

104104

48

因此，2500個“浮球”的表面積的和為2500S=2500X—「11=12打病…

104

?.?每平方米需要涂膠100克，

總共需要膠的質(zhì)量為：100X12n=1200n(克)…

答：這種浮球的體積約為169.6513：供需膠I200TT克.…

19.如圖，長方體A8CD-4BICIQI中，DA=DC^2,DD[=J§,E是CiDi的中點，尸是

CE的中點.

(1)求證：EA〃平面2OF：

(2)求證：平面8￡)￡L平面BCE；

(3)求二面角O-EB-C的正切值.

【分析】(1)連接AC交8。于。點，連接OF,欲證￡4〃平面8。凡在平面BOB內(nèi)

尋找一直線與直線EA平行即可，而。尸是△ACE的中位線，。尸〃4E,又4E0平面BDF,

OFu平面BQF,滿足定理條件；

(2)欲證平面BDF，平面8CE,找線面垂直，根據(jù)線面垂直的判定定理可知QF_L平面

8CE,又OFu平面80凡從而得到結(jié)論；

(3)由(2)知。凡L平面BCE,過尸作FG_LBE于G點,連接DG,則DG在平面BCE

中的射影為FG,則/OGF即為二面角D-EB-C的平面角，在三角形。GF中求出此角

的正切值即可.

解：(1)連接AC交8。于O點，連接。凡可得。尸是△ACE的中位線，O尸〃AE,

又AEC平面BDF,OFu平面BDF,所以E4〃平面BDF；

(2)計算可得。E=OC=2,又尸是CE的中點，所以。FLCE

又5CJ_平面CDDiG,所以。凡LBC,又BCr)CE=C,所以DF_L平面BCE

又OFu平面BDF,所以平面B￡＞凡L平面BCE(理)：

(3)由(2)知。口L平面BCE,過/作FG_LBE于G點，連接DG,則力G在平面BCE

中的射影為FG,從而DGJLBE,所以NZJGF即為二面角。-EB-C的平面角，設(shè)其大

小為S,計算得DF=FG=^^，tan8=黑-=^

20.如圖所示，圓錐的頂點為P,底面中心為。，母線PB=5,底面半徑OA與08的夾角

為&且08=4.

（1）求該圓錐的表面積；

（2）求過頂點P的平面截該圓錐所得的截面面積的最大值；

（3）點E在線段OP上，且0E=l,是否存在。使得異面直線AE與PB所成角大小為

60°?若不存在，請說明理由，若存在，請求出0.（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）

【分析】（1）利用圓錐的表面積公式求直接解.

⑵設(shè)截面的頂角為a,則截面面積"/x5X5sina=蓍sina'則當(dāng)a=9。。

時，截面面積最大，從而求出最大值.

（3）取08的靠近點O的三等分點F，連接EF,AF,由E尸〃PB可知NAEF或其補角

為異面直線AE與P8所成角，從而得到NAEF=60°或120°,再利用余弦定理，即可

求出0的值.

解：（1）圓錐的表面積S=nXP8XOB+nXOB2=20n+16iT=36Tt.

（2）過頂點尸的平面截該圓錐所得的截面為等腰三角形，腰長為母線長，即腰長為5,

設(shè)截面的頂角為a,則截面面積M得X5X5sina得.’

易知軸截面△PC8為鈍角三角形，

.?.當(dāng)a=90°時，截面面積最大，最大值為餐.

(3)'：PB=5,08=4,.,.PO=^pB2_0B2=3,

又?；OE=l,：.點、E為P0的靠近點。的三等分點，

取08的靠近點。的三等分點F,連接EF,AF,如圖所示,

22=

則°尸=4，EF^VOE-K)FvAE=｛OA24E2=VT?，

oJ

或其補角為異面直線AE與PB所成角

/.ZA￡F=60°或120°,

①當(dāng)NAEF=60°時，在△4EF中,

由余弦定理可得AF2=AE2+EF2-2AE?EF?cos60°=174T",

93

在中，由余弦定理得2%黯心雪品

/?0=?crcos(―VTZ.__?_)

3216

②當(dāng)/4E尸=120°時，在△4后尸中,

由余弦定理可得4產(chǎn)=4〃+E產(chǎn)-2/lE?EF?cosl20o=17

93

在△AO/中，由余弦定理得cos8=這也.

20A-0F3216

;.。=…“cos