2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-4.1-導(dǎo)數(shù)的概念、運算及幾何意義【課件】

4.1導(dǎo)數(shù)的概念、運算及幾何意義內(nèi)容索引0102強基礎(chǔ)固本增分研考點精準(zhǔn)突破課標(biāo)解讀1.理解導(dǎo)數(shù)概念的實際背景,知道導(dǎo)數(shù)是關(guān)于瞬時變化率的數(shù)學(xué)表達,體會導(dǎo)數(shù)的內(nèi)涵與思想,體會極限思想.2.能通過函數(shù)圖象直觀理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義.3.能根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù)y=c,y=x,y=x2,y=x3,y=,y=的導(dǎo)數(shù).4.能利用給出的基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運算法則,求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù);能求簡單的復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù).5.熟練使用導(dǎo)數(shù)公式表.強基礎(chǔ)固本增分1.導(dǎo)數(shù)的概念

導(dǎo)數(shù)是用極限來刻畫的

(3)導(dǎo)函數(shù):對于函數(shù)y=f(x),當(dāng)x=x0時,f'(x0)是一個唯一確定的數(shù),當(dāng)x變化時,f'(x)就是x的函數(shù),我們稱它為函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)(簡稱導(dǎo)數(shù)),即微點撥

關(guān)于導(dǎo)數(shù)概念的理解(1)瞬時變化率是平均變化率的極限.(2)導(dǎo)數(shù)就是瞬時變化率.(3)導(dǎo)數(shù)的物理意義:若物體運動的路程與時間的關(guān)系式是s(t),則s'(t)就是速度與時間的關(guān)系式.2.導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)f'(x0),就是曲線y=f(x)在x=x0處的切線的斜率k0,即k0=

f'(x0)

.

即在點(x0,f(x0))處微思考

“曲線在點P處的切線”與“曲線過點P的切線”有何區(qū)別?提示

“曲線在點P處的切線”與“曲線過點P的切線”含義是不同的,“曲線在點P處的切線”,點P是曲線上的點,且點P就是切點;而“曲線過點P的切線”,點P不一定在曲線上,點P不一定是切點.3.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式

4.導(dǎo)數(shù)的運算法則(1)[f(x)±g(x)]'=

f'(x)±g'(x)

.

(2)[f(x)g(x)]'=

f'(x)g(x)+f(x)g'(x)

,特別地,[cf(x)]'=

cf'(x)

.

5.復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1)復(fù)合函數(shù)的概念:一般地,對于兩個函數(shù)y=f(u)和u=g(x),如果通過中間變量u,y可以表示成

x

的函數(shù),那么稱這個函數(shù)為函數(shù)y=f(u)和u=g(x)的復(fù)合函數(shù),記作

y=f(g(x))

.

(2)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則:復(fù)合函數(shù)y=f(g(x))的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)y=f(u),u=g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為y'x=

y'u·u'x

,即y對x的導(dǎo)數(shù)等于y對u的導(dǎo)數(shù)與u對x的導(dǎo)數(shù)的乘積.

常用結(jié)論1.奇函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是偶函數(shù),偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù),周期函數(shù)的導(dǎo)數(shù)還是周期函數(shù).3.曲線的切線與曲線不一定只有1個公共點.自主診斷題組一

思考辨析(判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“√”,錯誤的畫“×”)1.f'(x0)是函數(shù)y=f(x)在x=x0附近的平均變化率.(

)2.與曲線只有一個公共點的直線一定是曲線的切線.(

)3.曲線y=f(x)在點P(x0,y0)處的切線與過點P(x0,y0)的切線相同.(

)×××題組二

回源教材

5.(人教A版選擇性必修第二冊第五章習(xí)題5.2第11題改編)設(shè)曲線y=e2ax在點(0,1)處的切線與直線2x-y+1=0垂直,則a的值為

.

研考點精準(zhǔn)突破考點一導(dǎo)數(shù)的運算答案

(1)ACD

(2)B

(3)-2(3)由函數(shù)f(x)=f'(0)e2x-e-x求導(dǎo)得,f'(x)=2f'(0)e2x+e-x,當(dāng)x=0時,f'(0)=2f'(0)+1,解得f'(0)=-1,因此,f(x)=-e2x-e-x,所以f(0)=-2.規(guī)律方法

函數(shù)常見形式及具體求導(dǎo)的6種方法

連乘形式先展開化為多項式形式,再求導(dǎo)三角形式先利用三角函數(shù)公式轉(zhuǎn)化為和或差的形式,再求導(dǎo)分式形式先化為整式函數(shù)或較為簡單的分式函數(shù),再求導(dǎo)根式形式先化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式,再求導(dǎo)對數(shù)形式先化為和、差形式,再求導(dǎo)復(fù)合函數(shù)先確定復(fù)合關(guān)系,由外向內(nèi)逐層求導(dǎo),必要時可換元考點二導(dǎo)數(shù)的幾何意義(多考向探究預(yù)測)考向1求切線方程例題(1)(2024·山東菏澤一模)曲線

在點(-1,-2)處的切線方程為

.

(2)已知函數(shù)f(x)=ex+2x,過點(1,2)作曲線y=f(x)的切線,則函數(shù)的切線方程為

.

答案

(1)5x-y+3=0

(2)(e2+2)x-y-e2=0規(guī)律方法

利用導(dǎo)數(shù)幾何意義求切線方程的方法

對點訓(xùn)練(2024·河北秦皇島二模)已知函數(shù)f(x)為偶函數(shù),當(dāng)x>0時,f(x)=lnx-e1-x,則曲線y=f(x)在x=-1處的切線方程為(

)A.y-e2+1=0B.y+1=0C.(e2-1)x-y+e2-2=0D.2x+y+3=0答案

D解析

因為f(x)為偶函數(shù),設(shè)x<0,則-x>0,所以f(x)=f(-x)=ln(-x)-e1+x,所以f(-1)=-1.因為當(dāng)x<0時,f'(x)=-e1+x,所以f'(-1)=-2,所以曲線y=f(x)在x=-1處的切線方程為y+1=-2(x+1),即2x+y+3=0.考向2求曲線的切點坐標(biāo)題組(1)若曲線f(x)=x3-2x在點P處的切線與直線x-y-2=0平行,則點P的坐標(biāo)為

.

(2)(2024·山東威海乳山高三檢測)若點P是曲線y=x2-2lnx上任意一點,則點P到直線y=x-3的距離的最小值為(

)答案

(1)(-1,1)

(2)A規(guī)律方法

已知切線方程(或斜率)求切點的一般思路是先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),再讓導(dǎo)數(shù)等于切線的斜率,從而求出切點的橫坐標(biāo),將橫坐標(biāo)代入函數(shù)解析式求出切點的縱坐標(biāo).考向3求參數(shù)的值(或范圍)例題(2022新高考Ⅰ,15)若曲線y=(x+a)ex有兩條過坐標(biāo)原點的切線,則a的取值范圍是

.

答案

(-∞,-4)∪(0,+∞)規(guī)律方法

利用切點的坐標(biāo)、切線的斜率、切線的方程等得到關(guān)于參數(shù)的方程(組)或者參數(shù)滿足的不等式(組),進而求出參數(shù)的值或取值范圍.考點三兩曲線的公切線問題例題(多選)(2024·河北保定二模)若直線y=3x+m是曲線y=x3(x>0)與曲線y=-x2+nx-6(x>0)的公切線,則(

)A.m=-2 B.m=-1C.n=6 D.n=7答案

AD解析

設(shè)直線y=3x+m與曲線y=x3(x>0)相切于點(a,a3),與曲線y=-x2+nx-6(x>0)相切于點(b,3b+m),對于函數(shù)y=x3(x>0),y'=3x2,則3a2=3(a>0),解得a=1.所以13=3+m,即m=-2.對于函數(shù)y=-x2+nx-6(x>0),y'=-2x+n,則-2b+n=3(b>0),又-b2+nb-6=3b-2,所以-b2+b(3+2b)-6=3b-2,又b>0,所以b=2,n=7.規(guī)律方法

利用導(dǎo)數(shù)幾何意義解決公切線問題的基本方法利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解決兩條曲線的公切線問題,通常有兩種基本方法:(1)利用其中一條曲線在某點處的切線與另一條曲線相切,列出關(guān)系式求解;(2)若兩曲線解析式分別為f(x),g(x),分別設(shè)出公切線與兩曲線的切點P1(x1,