高中數(shù)學(xué)必修一 精講精煉 4

4.4對(duì)數(shù)函數(shù)（精講）

思維導(dǎo)圖

一般地，函數(shù)y=IogHaM，且"1）叫做對(duì)數(shù)函數(shù)，其中x是自變量,

函數(shù)的定義域是（0,+x）.

系數(shù)

-

對(duì)

概念同時(shí)敦

成數(shù)函

數(shù)

-

對(duì)數(shù)的真教僅有自變量X卜

①分母不能為0.

②根指數(shù)為偶數(shù)時(shí)，被開(kāi)方數(shù)非負(fù).

③對(duì)數(shù)的真數(shù)大于0,底數(shù)大于0且不為L(zhǎng)

定義域€＞

,=1吁（。＞0,且皿）

對(duì)

數(shù)

函

數(shù)

值域

單調(diào)性在（0,+八上是增函數(shù)在（0,+x）上是減函數(shù)

共點(diǎn)性圖象過(guò)定點(diǎn)（1.0）,即*=1時(shí)，,=0

函數(shù)值*6（0,I）H.＞e（-x,o）；*V（＜M）時(shí)，ye（0,+x）；

特點(diǎn)?e[l.+B）時(shí)，,e[0,+x）xE[i,+H）時(shí)，j-e（—?,0|

對(duì)稱性與x的圖象關(guān)于

性質(zhì)e

指數(shù)函數(shù)尸=哄。＞0,且啟1）與對(duì)教函數(shù),?=1?8叱（。＞0且存1）互為反函數(shù).

它們的定義域與值域正好互換.

反函數(shù)

①同底數(shù)的利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性

比②同真數(shù)的利用對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象或用換底公式轉(zhuǎn)化

較

大③底數(shù)和真數(shù)都不同，找中間量

?、苋舻讛?shù)為同一參數(shù)，則根據(jù)底數(shù)對(duì)對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性的影響,

對(duì)底數(shù)進(jìn)行分類討論.

y=1。。1）型函數(shù)性質(zhì)的研究

①定義域：由本）>0解得x的取值范圍，即為函數(shù)的定義域.

②（S域：在函數(shù)尸loM；x）的定義域中確定r=4x）的值域，再由y=logar的單調(diào)

性確定函數(shù)的值域.

③單調(diào)性：在定義域內(nèi)考慮:=?）與y=lo3r的單調(diào)性，根據(jù)同增異減法則判

對(duì)

定.（或運(yùn)用單調(diào)性定義判定）

數(shù)

函④奇偶性：根據(jù)奇偶函數(shù)的定義判定.

數(shù)

復(fù)⑤最值：在府）>0的條件下，確定，=/（幻的值域，再根據(jù)。確定函數(shù)尸1。叫的

合

單調(diào)性，最后確定最值

函

數(shù)

①^如log?x>lo&B的不等式，借助y=log?r的單調(diào)性求解，如果。的取值不確定,

需分a>l與0<a<l兩種情況進(jìn)行討論

②形如logoGb的不等式，應(yīng)將?；癁橐詀為底數(shù)的對(duì)數(shù)式的形式（。=1嗎/）,

解

不再借助y=l0gtty的單調(diào)性求解

等

式③^如lo&gaHo&uWtAx）,g（x）K）且不等于1,a>0）的不等式，可利用

換底公式化為同底的對(duì)數(shù)進(jìn)行求解，或利用函數(shù)圖象求解

常見(jiàn)考法

考法一對(duì)數(shù)函數(shù)的判斷

【例1】（1）（2021?全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）給出下列函數(shù)：

①y=log?x-；②y=k>g3（x-l）；③y=log<*+i>x；④y=log?x.

3

其中是對(duì)數(shù)函數(shù)的有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

（2）.（2021?全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）若函數(shù)尸1%工+/-3〃+2為對(duì)數(shù)函數(shù)，貝心=（）

A.1B.2C.3D.4

【一隅三反】

1.（2021?全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）下列函數(shù)表達(dá)式中，是對(duì)數(shù)函數(shù)的有（）

①y=logt2；②y=logd（aGR）；@y=logsx；④y=lnx；⑤y=logr（x+2）；⑥y=log2（x+1）.

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

2.（2021?全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）下列函數(shù)表達(dá)式中，是對(duì)數(shù)函數(shù)的有（）

①y=k）g,2；②y=log“x（awR）；③y=k）gxX；④y=lnr；⑤y=log1x+2）；@y=21og4x；⑦

y=log2（x+l）.

A.1個(gè)B.2個(gè)

C.3個(gè)D.4個(gè)

3.（2021?全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）若函數(shù)/（x）=log“x+（a2-4”-5）是對(duì)數(shù)函數(shù)，。=.

考法二對(duì)數(shù)函數(shù)的解析式或函數(shù)值

【例2】（1）（2021?上海高一專題練習(xí)）對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像過(guò)點(diǎn)M（125,3）,則此對(duì)數(shù)函數(shù)的解析式為（）

A.y=k）g5XB.y=lo?lxC.y=xD.y=logu

（2）（2021?全國(guó)高一課前預(yù)習(xí)）設(shè)“x）=log“x（">0且"1）,若/（2）=；,則/（；）=（）.

A.2B.—2C.—D.J

22

【一隅三反】

1.（2021?全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）若某對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)（4,2）,則該對(duì)數(shù)函數(shù)的解析式為（）

A.y=log,XB.y=21og4A-

C.y=log2：（^y=21og4XD.不確定

2.（2021.全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）若函數(shù)/（x）=log,,（x+1）（">（）,“片1）的圖像過(guò)點(diǎn)（7,3）,則。的值為（）

A.J2B.2C.—D.；

22

考法三對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域

【例3】（1）（2021.奉新縣第一中學(xué)高一月考）函數(shù)/（力=粵津的定義域?yàn)椋ǎ?/p>

A.（1,2]B.[1,4]C.（1,4）D.[2,4]

（2）.（2021?江蘇）已知函數(shù)y=/（2*）的定義域是[-1,1],則函數(shù)/（logs的的定義域是（）

A.[-1,1]B.1,3C.[1,3]D.[73,9]

（3）（2021.全國(guó)高一課前預(yù)習(xí)）若函數(shù)y=lg（or+l）的定義域?yàn)閯t。=（）

A.1B.-1

C.2D.無(wú)法確定

【一隅三反】

1.（2021.全國(guó)）函數(shù)y=[k）g05（2x-l）T的定義域?yàn)椋ǎ?/p>

A.B.[■,+00）C.（1,+OO）

2X

2.（2021?四川自貢.）函數(shù)f（x）=-y==+log3（2x-1）的定義域是（）

A.（51B.5/]C.（l,+oo）D.康）

3.（2021?陜西寶雞市?高一期末）若函數(shù)/（x+1）的定義域?yàn)閇0,1],則/（Igx）的定義域?yàn)椋ǎ?/p>

A.[10,100]B.[1,2]C.[0,1]D.

10,lg2]

4（2021?全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）求下列函數(shù)的定義域

⑴>啾

小一2卜1

(2)函數(shù)f(x)

log2(x-l)

)2

⑶，(x)=+(5x-4)°

lg(4x+3)

考法四對(duì)數(shù)函數(shù)的定點(diǎn)

【例4】（2021?四川高一開(kāi)學(xué)考試）函數(shù)y=log〃（2x+7）—2（。＞0,且a*1）的圖象一定經(jīng)過(guò)的點(diǎn)是（）

A.1-5,-2）B.（-3,-2）C.（-3,-1）D.（T—2）

【一隅三反】

1.（2021?鎮(zhèn)遠(yuǎn)縣文德民族中學(xué)校高一月考）函數(shù)丫=1。8“（3%-1）（。＞0,。*1）的圖象過(guò)定點(diǎn)（）

A.仔JB.（-1,0）C.I?。）D.（0,-1）

2.（2021?全國(guó)）函數(shù)y=log"（x-l）的圖象必過(guò)的點(diǎn)是（）

A.（-1,0）B.（1,0）C.（0,0）D.（2,0）

3.（2021?湖北高一開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)y=log"（x-3）+2（”＞0且"1）的圖象恒過(guò)定點(diǎn)p,點(diǎn)P在累函數(shù)

y=/（x）的圖象上，則lgf（4）+lgf（25）=（）

A.-2B.2C.ID.-1

考法五對(duì)數(shù)函數(shù)的值域（最值）

【例5】（1）（2021?浙江高一單元測(cè)試）已知9-48,則函數(shù)/（x）=log,x的值域是。

（2）（2021?上海高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)y=10go-5（?-x2）的值域?yàn)?

（3）.（2021.重慶高一期末）己知函數(shù)〃x）=?2（x+3）[3<xW1的值域?yàn)镽,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是______

x~-ax,x>1

（4）（2021?全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)y=lg[（￡-1*-2（4-1口+3]的值域?yàn)镽,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_

【一隅三反】

一]B

1.（2021?全國(guó)高一課前預(yù)習(xí)）已知函數(shù)〃x）=logM，x€,則於）的值域是（）

2[42_

A.4,2B.[-y,2]C.10,2JD.[0,

2.（2021?安徽蕪湖一中高一月考）已知函數(shù)）'=l°gj加+2》+1）的值域?yàn)镽,則實(shí)數(shù)“的取值范圍是（）

2

A.a>lB.0<?<1C.0<a<lD.0<?<1

3.（2021?河北秦皇島一中高一期末）已知”>0且awl,若函數(shù)f（x）=?-.的值域?yàn)椤埃?網(wǎng)，則〃的

[logax,x>2

取值范圍是（）

A.g,l）B.（1,+8）C.（1,2）D.（1,2]

4.（2021.廣東陽(yáng)江.高一期末）函數(shù)丫=1嗚。2-2以+”）的值域?yàn)镽,則〃的取值范圍是.

5.（2021?全國(guó)高一單元測(cè)試）已知函數(shù)f（x）=,?g2'+?+。），"20的值域是上則實(shí)數(shù)。的最大值是

3-x,x<0

考法六對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性

【例6】（1）（2021?湖南省邵東市第三中學(xué)高一月考）下列函數(shù)在其定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是（）

A.y=B.y=3"

C.y=x2D.y=lg|x|

（2）.（2021?全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)/（力=logy的單調(diào)遞增區(qū)間是（）

A.（0,gB.（1,2]C.[1,-HK）D.（O,-hx>）

（3）（2021?新疆維吾爾自治區(qū)阿克蘇地區(qū)第二中學(xué)高一期末）函數(shù)/（x）=log1（x2-4）的單調(diào)遞增區(qū)間為（）

2

A.（0,+8）B.（-oo,0）C.（2,+00）D.（―,一2）

（4）（2021?全國(guó)高一專題練習(xí)）已知函數(shù)/（x）=log“同一（20+3）X+6|在區(qū)間1,4上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取

值范圍為（）

333333

A.-?ci<—B.—<。<1C.—。<—或a>1D.-<〃<1或a>1

545545

【一隅三反】

1.（2021?廣東高一單元測(cè)試）下列函數(shù)在其定義域內(nèi)為減函數(shù)的是（）

A./(x)=x3B./(x)=；x+l

C./(x)=log3xD.〃x)=

3

2.（2021?四川眉山市?仁壽一中高一開(kāi)學(xué)考試）函數(shù)f（x）=log?（V-4,的單調(diào)遞減區(qū)間為

2

3.（2021?云南高一期末）若函數(shù)/（x）=log;（*+4x+5）在區(qū)間（3"L2,〃?+2）內(nèi)單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范

圍為.

4.（2021?全國(guó)高一專題練習(xí)）已知函數(shù)y=log.（2-以）（。>0,且awl）在[0,1]上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值

范圍是.

考法七對(duì)數(shù)函數(shù)比較大小

【例7】⑴（2021?全國(guó)汜知"log。/,b=*3,c=o.2,,則（）

A.a<c<bB.a<b<C

C.c<a<bD.b<c<a

（2）.（2021.廣西南寧三中）已知奇函數(shù)/（另在/?上是增函數(shù),若。=-/[1鳴：）"=/（108241），。=/（2°8）,

則a,。,c的大小關(guān)系為

A.a<b<cB.b<a<cC.c<b<aD.c<a<b

【一隅三反】

02

1.（2021?江蘇高一開(kāi)學(xué)考試）已知G=log72,b=log070.2,C=O.7,則b,c的大小關(guān)系為

A.a<c<bB.a<h<cC.b<c<aD.c<a<h

02

2.（2021?河北滄州市一中高一開(kāi)學(xué)考試）已知a=logs2,6=log050.2,c=0.5,則。也。的大小關(guān)系為

A.a<c<bB.a<b<c

C.h<c<aD.c<a<b

4

3.（2021?河南鄭州市?鄭州十一中高一期中）已知x=y=0.9",z=log-,則x,y,z的大小關(guān)系是（

233

）

A.x>y>zB.y>x>zC.y>z>xD.x>z>y

4.（2021?重慶）設(shè)a=0.5°4,b=log（）,0.3,c=log20.4,則a,b,c的大小關(guān)系是（）

A.a<h<cB.c<b<aC.c<a<bD.b<c<a

考法八解對(duì)數(shù)不等式

【例8】（1）（2021.全國(guó)高一專題練習(xí)）不等式log：（5+x）<log；（l—x）的解集為.

⑵（2021?運(yùn)城市新康國(guó)際實(shí)驗(yàn)學(xué)校高一開(kāi)學(xué)考試）設(shè)函數(shù)/（x）=ln（l+W）-急，則使得1）成

立的x的取值范圍是（）

A.B.,8,g）U（l，+8）

C.卜林）D.卜叫用收）

【一隅三反】

1.（2021.全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）“M>N”是“l(fā)nM>lnW^（）條件.

A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分又不必要

2.不等式log式2x+3）〈log「（5x-6）的解集為（）

22

A.（一8,3）B.（一|，3）

2

3.若logw<L則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）

A.(0,|jU(1,+°0)

嗚,1)

4.（2021?安徽省亳州市第一中學(xué)高一月考）已知函數(shù).f（x）=lg（V7=+x）是奇函數(shù)，則/（2x-a）W/（x）的

解集為_(kāi)______