高中數(shù)學人教課標A版必修2-4 立體幾何 公開課

專題4立體幾何

一、選擇題

1.已知互相垂直的平面a,△交于直線/,若直線機，〃滿足機〃a,nYp,則（）

K.m//1B.m//nC.MJLZD./n_Ln

2.已知平面a,直線〃z,〃滿足機Q。，〃ua,則"相〃〃”是"加〃a”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

3.設川，〃為直線，a,4為平面，則〃的一個充分條件可以是（）

A.a_l_夕，aCp=n,mVnB.a〃夕，m邛C.aJ_尸，m//[iD.HCO,機_L〃

4.如圖所示，已知某幾何體的三視圖及其尺寸（單位:cm）,則該幾何體的表面積為（

A.l571cm2B.21ncm2

C.24兀cm2D.33兀cm2

5?祖唯是我國南北朝時代的偉大科學家，他提出的“幕勢既同，則積不容異”稱為祖睢原理，利用該原理可以

得到柱體的體積公式V柱體=S/z,其中S是柱體的底面積，力是柱體的高.若某柱體

的三視圖如圖所示（單位：cm）,則該柱體的體積（單位：（?:1?）是（）

A.158B.162

C.182D.324

6.某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為（）

A.60B.30

C.20D.10

I-3—

側(cè)視圖

7.已知在平行六面體ABC￡>—AIBIGQI中，AA與平面A圈GD垂直，

且AO=A8,E為CG的中點，P在對角面8BQQ所在平面內(nèi)運動，

俯覘圖

若EP與AC成30。角，則點P的軌跡為（）

A.圓B.拋物線C.雙曲線D.橢圓

8.如圖所示，在棱長為1的正方體ABC￡）-4BiGZ）i中，P,。分別為82，BBi

上的動點，則△GPQ周長的最小值為（）

B”4+2.C、4+豺i

9.如圖，正方體ABC。-4BiG￡>i的棱長為1,E,尸分別是棱44i，CG的中點，

過EF的平面與棱8為，QQi分別交于點G,4.設BG=x,xW[0,1].①四邊形EGF”

一定是菱形；②4c〃平面EGFH；③四邊形EGF”的面積5=兀0在區(qū)間[0,1]上具

有單調(diào)性；④四棱錐4-EG"/的體積為定值.以上結(jié)論正確的個數(shù)是（）

A.4B.3C.2D.1

1

10.已知四棱錐s—ABC。的底面是正方形，側(cè)棱長均相等，E是線段4B上的點（不含端點）.設SE與BC所成的

角為〃1，SE與平面ABCD所成的角為灰，二面角S-AB-C的平面角為彷，則（）

ARW&W仇B(yǎng).仇〈仇〈仇C.9W仇〈仇D.fhWfhWOi

二、填空題

27r

11.已知圓錐的側(cè)面積（單位:cn?）為6兀,且它的側(cè)面展開圖是一個圓心角為的扇形，則這個圓錐的底面半徑

（單位:cm）是.

12.某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm）,則該幾何體的體積是cm3；表面積是cm2.

第12題圖第13題圖

13.已知某多面體的三視圖如圖所示，則該幾何體的所有棱長和為,其體積為.

14.已知點E,F分別在正方體ABCO-AiBiCQi的棱88”CG上，且&E=2EB,CF=2FCi，則

平面AEF與平面ABC所成的二面角的正切值為.

15.如圖，已知乙4cB=90。，DAmABC,AELDB交DB于E,AElOC交0c于況且A￡>=AB=2,則

三棱錐O—AEF體積的最大值為.

第15題圖第16題圖

16.如圖，在長方形ABCZ）中，AB=2,BC=l,E為。C的中點，F(xiàn)為線段EC（端點除外）上一動點.現(xiàn)將△/!?。?/p>

沿河折起，使平面4BO_L平面A8C在平面A8D內(nèi)過點。作￡>K_LA8,K為垂足.設AK=f,貝lj/的取值范圍

是.

17.如圖，在棱長為2的正四面體S-A8C中，動點P在側(cè)面SA8內(nèi)，PQ,底

面ABC,垂足為。，若然=乎0。，則PC長度的最小值為.

2

三、解答題

18.如圖，已知多面體ABC4囪G，AiA,B\B,GC均垂直于平面ABC,

ZABC=120°,A/=4,GC=1,AB=BC=BtB=2.

⑴證明:A8iJ_平面

(2)求直線AG與平面AB以所成的角的正弦值.

19.如圖,正方形AMDE的邊長為2,B,C分別為AM,MD的中點.在五棱錐P-ABCDE中,F為棱PE的中點，平面

ABF與棱PD,PC分別交于點G,H.

(1)求證:AB〃FG;

(2)若PAL底面ABCDE,且PA=AE,求直線BC與平面ABF所成角的大小，并求線段PH的長.

3

20.如圖，三棱臺ABC-4&G中，A6_LBC,NACB=30°,側(cè)面ACC14為等腰梯形,

AC=2A41=2AG=2CC=4，^B=3.

(D求證：ACLA^B.

(ID求直線gC與平面ACGA所成角的正弦值.

21.如圖，在四棱錐尸一ABC。中，四邊形A8CD為邊長為2的菱形，ZADC=60°,PC1CD,E為PC的中點,

PC=1,布=市.

(1)求證：以〃平面BOE；P

(2)求直線BE與平面PB。所成的角的正弦值./

4

專題4立體幾何

一、選擇題

1.已知互相垂直的平面a,尸交于直線/,若直線〃?，〃滿足〃z〃a,n邛,則（）

A.機〃/B.m//nD.〃z_L〃

解析因為aCQ=/,所以仁￡,又所以〃，/,故選C.

答案C

2.已知平面a,直線"2,〃滿足〃心a,nua,則''機〃〃"是"〃2〃a"的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

解析若加。a,nda,m//n,由線面平行的判定定理知加〃a.若加〃a,mQa,nua,不一定

推出機〃小直線機與〃可能異面，故“機〃〃”是“加〃a”的充分不必要條件.故選A.

答案A

3.設,〃，〃為直線，a,4為平面，則機_La的一個充分條件可以是（）

A.aJ_"aC\/3=n,ml.nB.a//（J,m上0C.a_L夕，m//[}D.nca,mVn

解析對于A,直線機與平面a可能平行、相交或直線〃z在平面a內(nèi)，A錯誤；對于B,由直線

垂直于兩平行平面中的一個，得該直線垂直于另一個平面，B正確，對于C,直線機與平面a可

能平行、相交或直線機在平面a內(nèi)，C錯誤；對于D,直線〃?與平面?？赡芷叫?、相交或直線機

在平面a內(nèi)，D錯誤.綜上所述，故選B.

答案B

4.如圖所示，已知某幾何體的三視圖及其尺寸（單位：cm）,則該幾何體的表面積為（）

A.157Tcm2B_21TTcm2

C.24兀cm2D.33兀cm2

解析由三視圖得該幾何體為一個底面圓直徑為6,母線長為5的圓錐，則其表面積為兀X32+7TX：

X6X5=24兀，故選C.

答案C

5

5.祖眶是我國南北朝時代的偉大科學家，他提出的“鼎勢既同，則積不容異”稱為祖唾原理，利

用該原理可以得到柱體的體積公式V住體=S〃，其中S是柱體的底面積，h

是柱體的高.若某柱體的三視圖如圖所示（單位:cm）,則該柱體的體積（單位:

cm3）＞（）MI覘圖

A.158B.162

C.182D.324

解析由三視圖可知，該柱體是一個直五棱柱，如圖，棱柱的高為6,底面可以看作由兩個直角

梯形組合而成，其中一個上底為4,下底為6,高為3,另一個的上底為2,下

底為6,高為3.

則底面面積S=8^X3+V地X3=27.

因此，該柱體的體積V=27X6=162.故選B.

6.某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為（）

-5----h—3~~

正視圖側(cè)視圖

俯視圖

A.60B.30

C.20D.10

解析由三視圖知可把三棱錐放在一個長方體內(nèi)部，即三棱錐Ai-BCD,VM-BCD=\x\

><3X5X4=10,故選D.

答案D

7.已知在平行六面體ABCD-A\B\C\D\中，A41與平面A\B\C\D\垂直，且AD=AB,E為CCi的

中點，P在對角面881。。所在平面內(nèi)運動，若“與AC成30。角，則點P的軌跡為（）

A.圓B.拋物線

C.雙曲線D.橢圓

解析因為在平行六面體A3CO-AiBCiQi中，441與平面AIBICIOI垂直，且所以該

6

平面六面體ABC。-是一個底面為菱形的直四棱柱，所以對角面83。。，底面ABCD,

AC_L對角面BBOiD取A4i的中點居貝UE尸〃AC,因為EP與AC成30。角，所以EP與瑁7成

30。角.設EF與對角面88DQ的交點為。，則EO_L對角面BBi。。，所以點P的軌跡是以EO為

軸的一個圓錐的底面，故選A.

8.如圖所示，在棱長為1的正方體ABCD-AiBiC。中，P,Q分別為BDi,上的動點，則

△GP。周長的最小值為（）

解析連接Bi。，BCi,由圖易得△GPQ的三邊分別在三棱錐8—BCD］的三個側(cè)面上，將三

棱錐B-SGOi的側(cè)面展開成平面圖形，如圖，可得四邊形為直角梯形，當CY,P,Q,

G四點共線時，△CiPQ的周長最小，最小值為MtYD?+QiG=N4+2啦,即△CPQ的周長的

最小值為人4+2故選B.

D,B,C、

C；B

答案B

9.如圖，正方體ABCO—AiBCiDi的棱長為1,E,尸分別是棱A4i,CG的中）5

點，過EF的平面與棱分別交于點G,H.設BG=x,%e［0,1］.

①四邊形EGFH一定是菱形；②AC〃平面EGFH；③四邊形EGFH的面積S￡r^llJZJc

=/U）在區(qū)間［0,1］上具有單調(diào)性；④四棱錐A—EGF”的體積為定值.以上結(jié)論A'B

正確的個數(shù)是（）

A.4B.3C.2D.1

解析由正方體的性質(zhì)易得OiH=8G=x,則四邊形AiOiHE、四邊形ABGE、四邊形CBG/7、四

邊形GOiHF為四個全等的直角梯形，則HE=EG=GF=FH,即四邊形EGF"為菱形，①正確；

因為AC〃EREFu平面EGFH,ACQ平面EGF”,所以AC〃平面EGF”,②正確；在線段OQi

上取DM=x,則易得△”MG為直角三角形，且HM=1-2x,則GH=yjHM2+GM2=

7

yj（l-2x）2+2,則菱形EGFH的面積S=j{x）=^EFGH=^j（l-2x）2+2,易得其在0,勻上

單調(diào)遞減，在1］上單調(diào)遞增，在［0,1］上不具有單調(diào)性，③錯誤；V四棱鎮(zhèn)A-EGFH=V三較鍍A-EFH

+VSft4-EGF=VF-AEH+VF-AEG=1x1xlx1x1+|x1XyX1x1=^,為定值，④正確.

綜上所述，正確結(jié)論的個數(shù)是3,故選B.

答案B

10.已知四棱錐S—A8CO的底面是正方形，側(cè)棱長均相等，E是線段AB上的點（不含端點）.設SE

與8C所成的角為，”SE與平面45C0所成的角為。2,二面角S—A3—C的平面角為。3,則（）

A.awaw/B.仇w仇&仇

C.0iW，3W02D&WfhWBi

法一由題意知四棱錐s—A3CO為正四棱錐，如圖，連接AC,BD,記ACnBO=O,連接S。，

則SO,平面ABCD,取的中點M,連接SM,OM,OE,易得ABLSM,則依:/SEO,仇

=ZSMO,易知偽三。2.再根據(jù)最小角定理知。3WO1,所以。2W&W01,故選D.

AEMB

法二如圖，不妨設底面正方形的邊長為2,E為A3上靠近點A的四等分點，￡為A3的中點，

S到底面的距離SO=1,以EE',F。為鄰邊作矩形OO'EF,則NSEO=Oi,ZSEO=62,ZSE'O

,tanft=1,此時tan。2Vtan/〈tan0i,可

E0—后方

得仇＜仇＜夕，當E在A3中點處時，電=仇=。\,故選D.

11.已知圓錐的側(cè)面積（單位:cn?）為6兀,且它的側(cè)面展開圖是一個圓心角為行的扇形，則這個圓錐

的底面半徑（單位:cm）是.

答案V2

12.某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm）,則該幾何體的體積是『J］'\/

8

俯視圖

cm3；表面積是cm2.

解析由三視圖得該幾何體為一個長、寬、高分別為6,6,8的長方體挖去兩個底面半徑為3,

高為4的圓錐體后剩余的部分，則其體積為6X6X8—2X；X4X7tX3』288—24兀，表面積為

2(6X6+6X8+6X8)-2XKX32+2X^X5X2X71X3=264+12K.

答案288—24兀264+12兀

13.已知某多面體的三視圖如圖所示，則該幾何體的所有棱長和為，其體積為.

解析由三視圖畫出幾何體的直觀圖如圖所示，其是正方體的一部分，其中￡,

產(chǎn)是所在棱的中點，正方體的棱長為2,所以該幾何體的所有棱長的和2X7+1

+1+6+2*吊？針+26=16+3應+2小.該幾何體的體積為2X2X2—g

X2XI-XIXI+2X2X2+

答案16+372+2^5y

14.已知點E,R分別在正方體ABCO-AiBiG?的棱CCi上，且CF=2FC\,

則平面AEF與平面ABC所成的二面角的正切值為.

解析延長在，CB相交于點G,連接AG,如圖所示.

設正方體的棱長為3,則GB=BC=3,作8”J_AG于點"，連接EH,則為所求二面角的

平面角，D,c,

??tanNEHB=3,

15.如圖，已知NAC8=90。，D4J_平面ABC,交DB于E,AfUQC交。C于R且AO

9

=AB=2,則三棱錐。一AEF體積的最大值為

解析因為。AJ_平面ABC,所以AD1BC,

"JAELDB,又AO=A3=2,

：.DE=yf2,又因為BC_LAC,AC^AD=A,所以BC_L平面AC。，

所以平面BCOJ_平面AC。，VAF±DC,平面BCDA平面ACO=CD,

所以4尸，平面BCD,

所以A/LEEBDLEF,

所以3。，平面AEF,由AF2+EF2=AE2=2^2AF-EF可得AFEFW1,

所以SAAEF§,所以三棱錐￡>—AEb體積的最大值為gx啦乂拄坐.

答案嚕

16.如圖，在長方形A3C0中，AB=2,BC=\,E為OC的中點，尸為線段EC（端點除外）上一動

點.現(xiàn)將沿AF折起，使平面ABO_L平面A3C.在平面ABD內(nèi)過點D作DK工AB,K為垂足.

設AK=t,則t的取值范圍是.

解析如圖，在平面AO尸內(nèi)過。作OHLAb,垂足為H,連接HK.過產(chǎn)點作

FP//BC爻AB于點P.

設

貝11cos（半，斗弓）.設DF=x,

則1VXV2,

?.?平面ABD,平面ABC,平面A8OD平面ABC=A8,DKLAB,OKu平面A8O,，。長，平面

ABC,又AFu平面ABC,：.DK±AF.

又?.?OHLAGDKCDH=D,DK,OHu平面。KH,

二4/，平面。K",：.AF±HK,即

在RtZ\AOf中，Ab=W+f，:.DH=

10

?.?△AO/和都是直角三角形，PF=AD,

：.Rt^ADF^Rt/\FPA,：.AP=DF=x.

'：XAHDsXADF,

Vl<x<2,：.\<^<2,

答案&1）

17.如圖，在棱長為2的正四面體S—ABC中，動點P在側(cè)面SA8內(nèi)，P。，底面A3C,垂足為0,

若PS=^PQ,則PC長度的最小值為.

解析作PHLAB于點H,連接Q”，則NPHQ為二面角S—AB—C的平面角，設的中點為

G,S在平面ABC內(nèi)的射影為。，（。為△ABC的中心），連接SG,GO',SO',則NSGO也是二面

角S—AB—C的平面角，則sinNPHQ=《3=sinNSGO，=^r=斗，所以PH=^PQ,所以PH

11101-734

=PS,所以點P的軌跡是側(cè)面SA8內(nèi)以A8為準線，以S為焦點的拋物線，S”的中點。是拋物

線的頂點，0到C的距離就是PC的最小值，在△S”C中，由余弦定理，得cos/SHC=

與（妥2—”二g,在中，由余弦定理可知，r。2=惇/+（小y—2X坐X小X；

=y,所以PCniin=￥^

答案手

11

三、解答題

18.如圖，已知多面體ABC41BG,A\A,B\B,GC均垂直于平面ABC,ZABC=120°,AiA=4,

CiC=l,AB=BC=B\B=2.

（1）證明：AB_L平面AiBiC；

（2）求直線AC\與平面ABBi所成的角的正弦值.

法一（1）證明如圖，以AC的中點。為原點，分別以射線。3,OC為x,

y軸的正半軸，建立空間直角坐標系。一9z.

由題意知各點坐標如下：

A（0,一小，0）,B（l,0,0）,4（0,一小，4）,3（1,0,2）,Ci（0,小，1）.（3

分）

因此前i=（l,小，2）,ATBi=（l,小，-2）,/17Ci=（0,2小，一3）.5分

由MrA歸1=0得4Bi_LAi8i.

由協(xié)I?慶1=0得ABilAiCi.

又AIBICAiC=Ai,

所以平面分

⑵解設直線AG與平面ABB所成的角為夕

由（1）可知啟1=（0,2?1）,AB=（L事,0）,防1=（0,0,2）.9分

設平面AB3的法向量〃=（x,y,z）.

|/i-AB=0,|x+小產(chǎn)0,l

由彳即彳'可取〃=（一小，1,0）.12分

i〃.感=0,12z=0,

所以sin8=|cos<ACi,n）|=」"°創(chuàng)

I屆H印

因此，直線AG與平面ABB所成的角的正弦值是昔.15分

12

法二⑴證明由AB=2,A4i=4,8囪=2,AA1I.AB,_LAB得ABi=48=26，所以A囪

+ABT=A4T,

由48I_L4BL3分

由8C=2,BBi=2,CCi=l,BB\LBC,CCiLBC得BiCi=小,

由AB=BC=2,ZABC=120。得AC=2小,

由CGLAC,得ACI=JT5,所以A由+3IG=AG,

故AB_L5iC,6分

又A\B\AB\C\=Bi,

因此AB_L平面A5Ci.7分

(2)解如圖，過點。作CQJLABi,交直線4囪于點。，連接AD9分

由A8i_L平面ABiCi,ABC平面A881,得

平面AiBiG,平面ABB,

由GD_LAi8i得GDJ_平面4881,

所以NGAO是ACi與平面ABB\所成的角.12分

由BC尸小，43=2也，4。=舊得cos/GABi=需,

sinNCi48i=仁,所以C\D="\[3,故sinNCiAD=.r.

因此，直線AG與平面ABB所成的角的正弦值是普.15分

19.如圖,正方形AMDE的邊長為2,B,C分別為AM,MD的中點.在五棱錐P-ABCDE中,F為棱PE

的中點，平面ABF與棱PD,PC分別交于點G,H.

(1)求證:AB〃FG;

⑵若PA_L底面ABCDE,且PA=AE,求直線BC與平面ABF所成角的大小，并求線段PH的長.

解析(1)證明:在正方形AMDE中，因為B是AM的中點，所以AB〃DE.

又因為ABQ平面PDE,

所以AB〃平面PDE.

因為ABu平面ABF,且平面ABFC1平面PDE=FG,

13

所以AB〃FG.

(2)因為PA_L底面ABCDE,所以PA±AB,PA1AE.

如圖建立空間直角坐標系Axyz,則A(O,O,O),B(1,0,0),C(2,1,0),P(0,0,2),F(0,1,1),BC=(1,1,0).

設平面ABF的法向量為〃=a,y,z),

叱震刎二

令z=l,則y=-l.所以/7=(0,-1,1).

設直線BC與平面ABF所成角為?,

則sin?=lcos<n,BC>|=|^|4

因此直線BC與平面ABF所成角的大小為方

6

設點H的坐標為(〃,匕W).

因為點”在棱PC上，所以可設麗=2玩(0<4<1),

即(w,v,vv-2)=2(2,l,-2).

所以w=2A,v=A,vv=2-2Z

因為〃是平面ABF的法向量，所以n-AH=0,

即(0,-11)?(2，,2-22)=0.

解得a=|,所以點”的坐標為G，l().

所以加的了+(1y+㈢2幺

14

20.如圖，三棱臺ABC—44G中，AB工BC,NACB=30,側(cè)面ACG4為等腰梯形，

AC-2AA,-2A^C}-2C,C=4,A8=3.

AiCt

(I)求證：AC1A,B.

(ID求直線gc與平面ACGA所成角的正弦值.

B

第19題圖

z八

20.解法一：(D如圖，過點8作AC的垂線，垂足為0,

以06、0C所在直線為x軸和y軸建立空間直角坐標系.

............................................................................2分

由于NAOB為二面角A-AC-B的平面角，由于

40=7§,3。=/，43=3,故/4。8=120°.則

B\

40,—1,0),8(6,0,0)00,3,0),4(-/,。,|).X

考慮到而=(6,1,0),則麗=；福=(去;,0),從而(為+半，治,Z/，-1)制3。)，

13

故點片(0,2，2),......?,??■,■?■?■,,?,..................................................................

由于冠=(0,4,0),踵=(三二,0,—5),從而恁后=0,故ACJ.4&

…7分

(II)設平面ACCA的法向量為1=(x,y,z),由于西—方二=(0,3,0),

n,OA.=0,[—―1—

且《_」，從而x:y:z=G：0:l,因此取〃=(6,0,1)....................?11分

〃。。=0

----53I-——?1孔.(

又C4=(0,-j，a).設直線8c與平面ACCM所成角為。，則cos<〃,CB,>=———

\n\-\

15

3

333M

~~J34~2734--68

2xJ—

V4

Icos<7,函>|=土里，直線gc與平面ACC,A所成角的正弦值為當1.

解法二：(D如圖，過點3作AC的垂線，垂足為。,

則8O_LAC,40,AC,BOnA,O=O,80,40<=平面4。8,

故AC_L平面A08.

又A^u平面4。8,故ACJ.AB.

(II)設A耳,48交于點。，在AC上取一點E,使得。E//BC，

54

則瓦=2:1,故4￡:￡C=2:1,從而40=1,0石=§,￡1。=§.直線與。與平面4。。14所成的角即

為直線DE與平面ACGA所成的角.

考慮到平面4。8,平面ACC4，則過點。作A。的垂線，垂足為〃，則￡歸，平面ACGA，故NDEH

為直線與平面ACGA所成的角?