2023-2024學年吉林省長春市汽開三中高二（下）期末數(shù)學試卷（含解析）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學年吉林省長春市汽開三中高二（下）期末數(shù)學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知復數(shù)z=i(1?i)，則|z|=(

)A.2 B.2 C.5 D.2.命題“?a>1，函數(shù)f(x)=xa在[a,+∞)上單調(diào)遞增”的否定為(

)A.?a>1，函數(shù)f(x)=xa在[a,+∞)上單調(diào)遞減

B.?a>1，函數(shù)f(x)=xa在[a,+∞)上不單調(diào)遞增

C.?a≤1，函數(shù)f(x)=xa在[a,+∞)上單調(diào)遞減

D.3.已知|a|=2，b=(2,1)，且A.22 B.23 C.4.水稻是世界最重要的食作物之一，也是我國60%以上人口的主糧．以袁隆平院士為首的科學家研制成功的雜交水稻制種技術在世界上被譽為中國的“第五大發(fā)明”.育種技術的突破，雜交水稻的推廣，不僅讓中國人端穩(wěn)飯碗，也為解決世界糧食短缺問題作出了巨大貢獻．某農(nóng)場種植的甲、乙兩種水稻在面積相等的兩塊稻田中連續(xù)6年的產(chǎn)量(單位：kg)如表：品種第1年第2年第3年第4年第5年第6年甲900920900850910920乙890960950850860890根據(jù)以上數(shù)據(jù)，下面說法正確的是(

)A.甲種水稻產(chǎn)量的平均數(shù)比乙種水稻產(chǎn)量的平均數(shù)大

B.甲種水稻產(chǎn)量的中位數(shù)比乙種水稻產(chǎn)量的中位數(shù)小

C.甲種水稻產(chǎn)量的極差與乙種水稻產(chǎn)量的極差相等

D.甲種水稻的產(chǎn)量比乙種水稻的產(chǎn)量穩(wěn)定5.已知△ABC的周長是16，A(?3,0)，B(3,0)，則動點C的軌跡方程是(

)A.x225+y216=1 B.6.若函數(shù)f(x)=sinx+3|sinx|在x∈[0,2π]與直線y=2a有兩個交點，則a的取值范圍為(

)A.(2,4) B.(1,3) C.(1,2) D.(2,3)7.已知正四棱臺上底面邊長為1，下底面邊長為2，體積為7，則正四棱臺的側(cè)棱與底面所成角的正切值為(

)A.322 B.2 C.8.已知函數(shù)f(x)=x2?cosx，則f(ln2A.f(?ln55)<f(?ln33)<f(ln22)二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.下列說法中正確的有(

)A.已知a，b∈R，則“a>b”的必要不充分條件是“a>b+1”

B.函數(shù)f(x)=x2+5x2+4的最小值為2

C.集合A，B是實數(shù)集R的子集，若A?B，則A∩?RB=?

10.下列說法中，正確的是(

)A.若隨機變量X～N(2,σ2)，且P(X>6)=0.4，則P(?2<x<2)=0.1

B.一組數(shù)據(jù)6，7，7，9，13，14，16，17，21的第70百分位數(shù)為15

C.在一元線性回歸模型分析中，決定系數(shù)R2用來刻畫模型的擬合效果，若R2值越小，則模型的擬合效果越好

D.設隨機事件A，B，已知A事件發(fā)生的概率為0.3，在事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率為0.4，在事件A不發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率為11.已知f(x)，g(x)分別是定義域為R的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且f(x)+g(x)=ex，設函數(shù)G(x)=g(x)f(x)，則A.是奇函數(shù) B.是偶函數(shù) C.在R上單調(diào)遞減 D.在R上單調(diào)遞增三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.若(1?x)6=a013.有4人到甲、乙、丙三所學校去應聘，若每人至多被一所學校錄用，每所學校至少錄用其中1人，則所有不同的錄用情況種數(shù)為______.(用數(shù)字作答)14.函數(shù)f(x)=2x?1(x≤1)x2?x(x>1)，f(a)=2四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

在△ABC中，記角A、B、C的對邊分別為a、b、c，已知3a=3ccosB+csinB．

(1)求角C；

(2)已知點D在AC邊上，且AD=2DC，BC=6，16.(本小題15分)

如圖(1)，等腰梯形ABCD，AB=2，CD=6，AD=22，E、F分別是CD的兩個三等分點，若把等腰梯形沿虛線AF、BE折起，使得點C和點D重合，記為點P如圖(2)．

(Ⅰ)求證：平面PEF⊥平面ABEF；

(Ⅱ)求平面PAE與平面PAB所成銳二面角的余弦值．

17.(本小題15分)

數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且3an?2Sn=1，

(1)求數(shù)列{an}的通項公式；

18.(本小題17分)

某素質(zhì)訓練營設計了一項闖關比賽.規(guī)定：三人組隊參賽，每次只派一個人，且每人只派一次：如果一個人闖關失敗，再派下一個人重新闖關；三人中只要有人闖關成功即視作比賽勝利，無需繼續(xù)闖關.現(xiàn)有甲、乙、丙三人組隊參賽，他們各自闖關成功的概率分別為p1、p2、p3，假定p1、p2、p3互不相等，且每人能否闖關成功的事件相互獨立．

(1)計劃依次派甲乙丙進行闖關，若p1=34，p2=23，p3=119.(本小題17分)

已知雙曲線E：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的實軸長為2，頂點到漸近線的距離為33．

(1)求雙曲線E的標準方程；

(2)若直線l與E的右支及漸近線的交點自上而下依次為C、A、B、D，證明：|AC|=|BD|；

(3)求二元二次方程x2?3y2=1的正整數(shù)解Qn(xn,yn)(xn,yn,n∈N?)，可先找到初始解(答案解析1.B

【解析】解：∵z=i(1?i)=1+i，

∴|z|=12+12.B

【解析】解：因為全稱量詞命題的否定為存在量詞命題，

所以命題“?a>1，函數(shù)f(x)=xa在[a,+∞)上單調(diào)遞增”的否定為“?a>1，函數(shù)f(x)=xa在[a,+∞)上不單調(diào)遞增”．

3.C

【解析】解：因為b=(2,1),a⊥b，則b2=3,a?b4.D

【解析】解：選項A：甲種水稻產(chǎn)量的平均數(shù)為：900+920+900+850+910+9206=900，

乙種水稻產(chǎn)量的平均數(shù)為：890+960+950+850+860+8906=900，

即甲乙種的水稻產(chǎn)量的平均數(shù)相等，故A錯誤，

選項B：甲種的水稻產(chǎn)量分別為：850，900，900，910，920，920，中位數(shù)為900+9102=905，

乙種的水稻產(chǎn)量分別為：850，860，890，890，950，960，中位數(shù)為890，而890<905，故B錯誤，

選項C：甲種的水稻產(chǎn)量的極差為920?850=70，乙種的水稻產(chǎn)量的極差為960?850=110，而110>70，故C錯誤，

選項D：結(jié)合甲乙兩組數(shù)據(jù)可以看出，乙組波動性較大，甲組穩(wěn)定性較強，故甲種的水稻產(chǎn)量穩(wěn)定，故5.B

【解析】解：由于△ABC的周長是16，A(?3,0)，B(3,0)，

則BC+AC=10>AB，

故頂點A的軌跡是以A、B為焦點的橢圓，除去與x軸的交點．

∴2a=10，c=3，∴b=4，

故頂點C的軌跡方程為x225+y2166.C

【解析】解：函數(shù)f(x)=sinx+3|sinx|

當x∈[0,π]時，f(x)=4sinx．

當x∈[π,2π]時，f(x)=?2sinx．

可得f(x)的圖象為：

從圖象可知f(x)與直線y=2a有兩個交點．

則2a>2，且2a<4，

得a的取值范圍為(1,2)．

故選C．

7.D

【解析】解：如圖所示，作A1M⊥AC于點M，

則S=13(12+22+12×22)×A1M=7，即A1M=3，

AM=AC?A8.C

【解析】解：∵f(x)=x2?cosx，

∴f(?x)=(?x)2?cos(?x)=x2?cosx=f(x)，

∴f(x)是偶函數(shù)，

當0<x<1時，f′(x)>0，

∴函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，

令g(x)=lnxx,0<x<1，

求導得g′(x)=1?lnxx2>0，

即函數(shù)g(x)在(0,1)9.CD

【解析】解：對于A，a>b+1，

則a>b，充分性成立，故A錯誤；

對于B，f(x)=x2+5x2+4=?x2+4+1x2+4≥2+12=52，當x=0時，等號成立，故B錯誤；

對于C，A?B，則A∩?RB=?10.AD

【解析】解：因為X～N(2,σ2)且P(X>6)=0.4，所以P(?2<X<2)=0.1，故A正確；

數(shù)據(jù)共有9個數(shù)，

9×0.7=6.3，

第70百分位數(shù)是第7個數(shù)16，故B錯誤；

在一元線性回歸分析中可以用決定系數(shù)R2來刻畫回歸的效果，

若R2的值越小，則模型的擬合效果越差，故C錯誤；

P(A)=0.3，P(B|A)=0.4，

所以P(AB)=P(A)P(B|A)=0.12，

又因為P(A?)=1?0.3=0.7，

則P(A?B)=P(A11.AD

【解析】解：因為f(x)+g(x)=ex①，所以f(?x)+g(?x)=e?x，

即f(x)?g(x)=e?x②，聯(lián)立①②，解得f(x)=ex+e?x2,g(x)=ex?e?x2，

所以G(x)=ex?e?xex+e12.?1

【解析】解：(1?x)6=a0+a1x+a2x2+???+a6x6，

令x=113.60

【解析】解：根據(jù)題意，分2種情況討論：

①四人中有3人被錄取，有C43A33=24種不同的錄用情況；

②四人都被錄取，需要先將4人分為3組，再將分好的3組安排給3所學校，有C42×A14.2

【解析】解：當a>1時，則有a2?a=2，解得a=2(?1舍)；

當a≤1時，則有2a?1=2，解得a=log23(舍)，

綜上，15.解：(1)∵3a=3ccosB+csinB，∴3sin(B+C)=3sinCcosB+sinCsinB，

∴3sinBcosC+3cosBsinC=3sinCcosB+sinCsinB，∵sinB≠0，∴tanC=3，∴∠C=π3；

(2)設DC=x，cosπ3=12=【解析】(1)代入正弦定理和兩角和的正弦公式即可；(2)先確定DC長度，再確定AC，即可判斷三角形形狀，確定面積．

16.(Ⅰ)證明：∵等腰梯形ABCD，AB=2，CD=6，AD=22，

E，F(xiàn)是CD的兩個三等分點，

∴ABEF是正方形，

∴BE⊥EF，

∵BE⊥PE，且PE∩EF=E，PE，EF?平面PEF，

∴BF⊥面PEF，

又BF?平面ABEF，

∴平面PEF⊥平面ABEF．

(Ⅱ)解：過P作PO⊥EF于O，過O作BE的平行線交AB于G，

則PO⊥面ABEF，

以O為原點，OE，OP為y軸，z軸建立空間直角坐標系，

則A(2,?1,0)，B(2,1,0)，E(0,1,0)，P(0,0,3)，

∴AE=(?2,2,0)，EP=(0,?1,3)，

AB=(0,2,0)，PA=(2,?1,?3)，

設平面PAE的法向量n=(x,y,z)，

則n?AE=?2x+2y=0n?EP=?y+3z=0,

取z=1，得n=(3,3,1)，

設平面PAB的法向量m=(x,y,z)，

【解析】(Ⅰ)推導出BE⊥EF，BE⊥PE，從而BF⊥面PEF，由此能證明平面PEF⊥平面ABEF．

(Ⅱ)過P作PO⊥EF于O，過O作BE的平行線交AB于G，則PO⊥面ABEF，以O為原點，OE，OP為y軸，z軸建立空間直角坐標系，利用向量法能求出AE與平面PAB所成銳二面角的余弦值．17.解：(1)當n=1時，3a1?2S1=3a1?2a1=1，即a1=1；

當n≥2時，由3an?2Sn=1得3an?1?2Sn?1=1，

則兩式相減得3an?3an?1?2(Sn?Sn?1)=0，

即an=3an?1,anan?1=3，

綜上可知，{【解析】(1)根據(jù)條件求得首項，由3an?2Sn=1得3a18.解：(1)設事件A表示“該小組比賽勝利”，

則P(A)=34+14×23+14×13×12=2324；

(2)由題意可知，X的所有可能取值為1，2，3，

則P(X=1)=p1，P(X=2)=(1?p1)p2，P(X=3)=(1?p1)(1?p2)，

所以X的分布為：123p1(1?p1)p2(1?p【解析】(1)利用獨立事件的概率乘法公式求解；

(2)由題意可知，X的所有可能取值為1，2，3，利用獨立事件的概率乘法公式求出相應的概率，進而得到X的分布，再結(jié)合期望公式求解；

(3)分別計算出依次派甲乙丙進行闖關和依次派丙乙甲進行闖關，所派出人員數(shù)目的期望，再利用作差法比較大小即可．

19.解：(1)由題意aba2+b2=332a=2c2=a2+b2，解得a2=1b2=12，

所以雙曲線E的標準方程為x2?y212=1；

(2)證明：由題意直線l的斜率不為0，設直線l：x=my+t，如圖，

因為直線l