北師大版數(shù)學選修2-1講義第2章1　從平面向量到空間向量

§1從平面向量到空間向量學習目標：1.了解空間向量的有關(guān)概念．(重點)eq\a\vs4\al(2).理解直線的方向向量和平面的法向量．(重點)eq\a\vs4\al(3.)會求簡單空間向量的夾角．(難點)1．空間向量的有關(guān)概念(1)定義：在空間中，既有大小又有方向的量，叫作空間向量．(2)長度：空間向量的大小叫作向量的長度或模．(3)表示法eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(①幾何表示法：空間向量用有向線段表示.,②字母表示法：用字母表示，若向量a的,起點是A，終點是B，則向量a也可以,記作\o(AB,\s\up8(→))，其模記為|\o(AB,\s\up8(→))|或|a|.))(4)自由向量：與向量的起點無關(guān)的向量．思考：在空間中，將所有的單位向量的起點移到同一點A，那么它們的終點構(gòu)成怎樣的圖形？[提示]球面．2．空間向量的夾角(1)文字敘述：a，b是空間中兩個非零向量，過空間任意一點O，作eq\o(OA,\s\up8(→))＝a，eq\o(OB,\s\up8(→))＝b，則∠AOB叫作向量a與向量b的夾角，記作〈a，b〉．(2)圖形表示：角度表示〈a，b〉＝0〈a，b〉是銳角〈a，b〉是直角〈a，b〉是鈍角〈a，b〉＝π(3)范圍：0≤〈a，b〉≤π．(4)空間向量的垂直：如果〈a，b〉＝eq\f(π,2)，那么稱a與b互相垂直，記作a⊥b.3．向量與直線、平面(1)向量與直線與平面向量一樣，也可用空間向量描述空間直線的方向．如圖所示．l是空間一直線，A，B是直線l上任意兩點，則稱eq\o(AB,\s\up8(→))為直線l的方向向量，顯然，與eq\o(AB,\s\up8(→))平行的任意非零向量a也是直線l的方向向量，直線的方向向量平行于該直線．(2)向量與平面如圖，如果直線l垂直于平面α，那么把直線l的方向向量a叫作平面α的法向量．思考：在正方體ABCD-A1B1C1D1中，[提示]不是，每一條棱所在的直線的方向向量有多個，例如直線AB的方向向量可以是eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(BA,\s\up8(→))，eq\o(A1B1,\s\up8(→))，eq\o(DC,\s\up8(→))，eq\o(C1D1,\s\up8(→))等，每一個表面的法向量也有多個．例如平面ABB1A1的法向量可以是eq\o(AD,\s\up8(→))，eq\o(CB,\s\up8(→))，eq\o(D1A1,\s\up8(→))，eq\o(B1C1,\s\up8(→))等．1.判斷正誤(1)直線l的方向向量是唯一的． ()(2)0向量是長度為0，沒有方向的向量． ()(3)空間向量就是空間中的一條有向線段． ()(4)不相等的兩個空間向量的模必不相等． ()[答案](1)×(2)×(3)×(4)×2.給出下列命題：①零向量沒有確定的方向；②空間向量是不能平行移動的；③有向線段可用來表示空間向量，有向線段長度越長，其所表示的向量的模就越大；④如果兩個向量不相同，那么它們的長度也不相等．其中正確的是()A．①② B．②③C．①③ D．①③④C[①正確，零向量的方向是任意的．②錯誤，空間向量可以平行移動．③正確，向量的?？梢员容^大小，有向線段長度越長，其所表示的向量的模就越大．④錯誤，如果兩個向量不相同，它們的長度可以相等．]3.平面的法向量與平面中任意一個向量的夾角是________．90°[平面的法向量垂直于平面中任意向量，故夾角為90°.]4.如圖所示，a、b是兩個空間向量，則eq\o(AC,\s\up8(→))與eq\o(A′C′,\s\up8(→))是________向量，eq\o(AB,\s\up8(→))與eq\o(B′A′,\s\up8(→))是________向量．[答案]相等相反空間向量的有關(guān)概念【例1】(1)給出下列命題：①若空間向量a、b滿足|a|＝|b|，則a＝b；②若空間向量m、n、p滿足m＝n、n＝p，則m＝p；③空間中任意兩個單位向量必相等，其中正確的個數(shù)為()A．0 B．3C．2 D．1(2)如圖，在長方體ABCD－A′B′C′D′中，AB＝3，AD＝2，AA′＝1，則分別以長方體的頂點為起點和終點的向量中：①單位向量共有多少個？②試寫出模為eq\r(5)的所有向量；③試寫出與向量eq\o(AB,\s\up8(→))相等的所有向量；④試寫出向量eq\o(AA′,\s\up8(→))的所有相反向量．D[(1)①中向量a與b的方向不一定相同，故①錯；命題②顯然正確；對于命題③，空間中任意兩個單位向量的模均為1，但方向不一定相同，故不一定相等，故③錯．故選D.](2)①由于長方體的高為1，所以長方體的四條高所對應(yīng)的向量eq\o(AA′,\s\up8(→))，eq\o(A′A,\s\up8(→))，eq\o(BB′,\s\up8(→))，eq\o(B′B,\s\up8(→))，eq\o(CC′,\s\up8(→))，eq\o(C′C,\s\up8(→))，eq\o(DD′,\s\up8(→))，eq\o(D′D,\s\up8(→))，共8個向量都是單位向量，而其他向量的模均不為1，故單位向量共有8個．②由于長方體的左右兩側(cè)面的對角線長均為eq\r(5)，故模為eq\r(5)的向量有eq\o(AD′,\s\up8(→))，eq\o(D′A,\s\up8(→))，eq\o(A′D,\s\up8(→))，eq\o(DA′,\s\up8(→))，eq\o(BC′,\s\up8(→))，eq\o(C′B,\s\up8(→))，eq\o(B′C,\s\up8(→))，eq\o(CB′,\s\up8(→)).③與向量eq\o(AB,\s\up8(→))相等的所有向量(除它自身之外)有eq\o(A′B′,\s\up8(→))，eq\o(DC,\s\up8(→))，eq\o(D′C′,\s\up8(→)).④向量eq\o(AA′,\s\up8(→))的相反向量有eq\o(A′A,\s\up8(→))，eq\o(B′B,\s\up8(→))，eq\o(C′C,\s\up8(→))，eq\o(D′D,\s\up8(→)).在空間中，向量、向量的模、相等向量的概念和在平面中向量的相關(guān)概念完全一致，兩向量相等的充要條件是兩個向量的方向相同，模相等．兩向量互為相反向量的充要條件是大小相等，方向相反．1．(1)下列說法中，正確的是()A．兩個有共同起點且相等的向量，其終點可能不同B．若非零向量eq\o(AB,\s\up8(→))和eq\o(CD,\s\up8(→))是共線向量，則A，B，C，D四點共線C．若a∥b，b∥c，則a∥cD．零向量與任意向量平行(2)在如圖所示的平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，與向量eq\o(AA1,\s\up8(→))相等的向量有________個(不含eq\o(AA1,\s\up8(→)))．(1)D(2)3[(1)A項錯，因為兩個向量起點相同，且是相等的向量，所以終點必相同．B項錯，若eq\o(AB,\s\up8(→))和eq\o(CD,\s\up8(→))共線，則eq\o(AB,\s\up8(→))和eq\o(CD,\s\up8(→))的基線平行或重合，所以A，B，C，D不一定在同一條直線上．C項錯，若beq\a\vs4\al(＝)0，a∥0，0∥c，則a與c不一定平行，D項正確．(2)與向量eq\o(AA1,\s\up8(→))相等的向量為：eq\o(BB1,\s\up8(→))，eq\o(CC1,\s\up8(→))，eq\o(DD1,\s\up8(→))共有3個．]直線的方向向量與平面的法向量【例2】已知正四面體A－BCD.(1)過點A作出方向向量為eq\o(BC,\s\up8(→))的空間直線；(2)過點A作出平面BCD的一個法向量．[解](1)如圖，過點A作直線AE∥BC，由直線的方向向量的定義可知，直線AE即為過點A且方向向量為eq\o(BC,\s\up8(→))的空間直線.(2)如圖，取△BCD的中心O，由正四面體的性質(zhì)可知，AO垂直于平面BCD，故向量eq\o(AO,\s\up8(→))可作為平面BCD的一個法向量．1．直線的方向向量就是與直線平行的非零向量，對模沒有限制，注意起點和終點都在直線上的向量也是符合題意的．2．找平面的法向量要注意幾何體中的垂直關(guān)系，特別是成面面垂直關(guān)系．3．給定空間中任意一點A和非零向量a，可以確定：(1)唯一一條過點A且平行于向量a的直線；(2)唯一一個過點A且垂直于向量a的平面．2．如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，P是DD1的中點，以C1為起點，指出直線AP[解]取BB1中點Q，C1C中點M，連接C1Q，BM，PM，則PMDCAB.所以四邊形APMB為平行四邊形，所以APBM.又在四邊形BQC1M中，BQC1M，所以四邊形BQC1M為平行四邊形所以BMC1Q，所以AP∥C1Q，故eq\o(C1Q,\s\up8(→))為直線AP的一個方向向量．求空間向量的夾角[探究問題]1．常用什么方法把空間中兩條異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)兩條直線所成的角？[提示]常采取平移的方法，把空間兩條異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)兩條直線所成的角．2．能否借助上述思想探求空間兩向量的夾角？[提示]可以．求解空間兩向量的夾角與求平面內(nèi)兩向量夾角類似，求空間兩向量夾角時，必須把兩向量移至共同起點處，比如若〈eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(AC,\s\up8(→))〉＝eq\f(π,4)，而〈eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(CA,\s\up8(→))〉＝eq\f(3π,4).【例3】如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，(1)〈eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(A1C1,\s\up8(→))〉；(2)〈eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(C1A1,\s\up8(→))〉；(3)〈eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(A1D1,\s\up8(→))〉．[解](1)由題意知，eq\o(A1C1,\s\up8(→))＝eq\o(AC,\s\up8(→))，∴〈eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(A1C1,\s\up8(→))〉＝〈eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(AC,\s\up8(→))〉．又∵∠CAB＝eq\f(π,4)，故〈eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(A1C1,\s\up8(→))〉＝eq\f(π,4).(2)〈eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(C1A1,\s\up8(→))〉＝π－〈eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(A1C1,\s\up8(→))〉＝π－eq\f(π,4)＝eq\f(3π,4).(3)〈eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(A1D1,\s\up8(→))〉＝〈eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(AD,\s\up8(→))〉＝eq\f(π,2).1.(變結(jié)論)在本例條件不變的情況下，求〈eq\o(AB,\s\up8(→))1，eq\o(DA,\s\up8(→))1〉.[解]如圖，連接B1C，則B1C∥A1且eq\o(DA,\s\up8(→))1＝eq\o(CB,\s\up8(→))1，連接AC，在△ACB1中，因為AC＝AB1＝B1C故∠AB1C＝eq\f(π,3)，〈eq\o(AB,\s\up8(→))1，eq\o(DA,\s\up8(→))1〉＝〈eq\o(AB,\s\up8(→))1，eq\o(CB,\s\up8(→))1〉＝eq\f(π,3).2.(變條件)把本例條件換為直三棱柱ABC－A1B1C1(1)求〈eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(AA,\s\up8(→))1〉，〈eq\o(AC,\s\up8(→))，eq\o(A1C1,\s\up8(→))〉，〈eq\o(AA1,\s\up8(→))，eq\o(C1C,\s\up8(→))〉；(2)若AB＝4，AC＝3，BC＝5，求〈eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(C1A1,\s\up8(→))〉．[解](1)由向量夾角的定義及直三棱柱的性質(zhì)可得〈eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(AA1,\s\up8(→))〉＝90°，〈eq\o(AC,\s\up8(→))，eq\o(A1C1,\s\up8(→))〉＝0°，〈eq\o(AA1,\s\up8(→))，eq\o(C1C,\s\up8(→))〉＝180°.(2)由勾股定理得：∠BAC＝90°.而eq\o(C1A1,\s\up8(→))＝eq\o(CA,\s\up8(→))，∴〈eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(C1A1,\s\up8(→))〉＝〈eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(AC,\s\up8(→))〉＝90°.求空間向量夾角的關(guān)鍵是平移向量，使它們的起點相同．在平移的過程中，要充分利用已知圖形的特點，尋找線線平行，找出所求的角，這一過程可簡單總結(jié)為：(1)通過平移找角，(2)在三角形中求角．提醒：在利用平面角求向量角時，要注意兩種角的取值范圍，線線角的范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，而向量夾角的范圍是[0，π]，比如〈a，b〉與〈－a，b〉兩個角互補，而它們對應(yīng)的線線角卻是相等的．1．下列有關(guān)空間向量的說法中，正確的是()A．如果兩個向量的模相等，那么這兩個向量相等B．如果兩個向量方向相同，那么這兩個向量相等C．如果兩個向量平行且它們的模相等，那么這兩個向量相等D．同向且等長的有向線段表示同一向量D[相等向量要求模相等且方向相同，故A和B錯誤；平行向量可以方向相同也可以方向相反，故C錯誤；D顯然正確．]2．在平行六面體ABCD－A′B′C′D′中，與向量eq\o(A′B′,\s\up8(→))的模相等的向量有()A．7個 B．3個C．5個 D．6個A[|eq\o(