高中數(shù)學(xué)第一章立體幾何初步7.3球的表面積和體積課時作業(yè)（含解析）北師大版必修2

第一章立體幾何初步[課時作業(yè)][A組基礎(chǔ)鞏固]1．把球的表面積擴(kuò)大到原來的2倍，那么體積擴(kuò)大到原來的()A．2倍 B．2eq\r(2)倍C.eq\r(2)倍 D.eq\r(3,2)倍解析：由面積擴(kuò)大的倍數(shù)可知半徑擴(kuò)大為原來的eq\r(2)倍，則體積擴(kuò)大到原來的2eq\r(2)倍．答案：B2．一平面截一球得到直徑是6cm的圓面，球心到這個圓面的距離是4cm，則該球的體積是()A.eq\f(100π,3)cm3 B.eq\f(208π,3)cm3C.eq\f(500π,3)cm3 D.eq\f(416\r(13)π,3)cm3解析：根據(jù)球的截面的性質(zhì)，得球的半徑R＝eq\r(32＋42)＝5(cm)，所以V球＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(500π,3)(cm3)．答案：C3．已知正方體的外接球的體積是eq\f(32,3)π，那么正方體的棱長等于()A．2eq\r(2) B.eq\f(2\r(3),3)C.eq\f(4\r(2),3) D.eq\f(4\r(3),3)解析：設(shè)球的半徑為R，正方體的棱長為a，則V球＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(32,3)π，∴R＝2，∵正方體的外接球直徑與正方體的體對角線等長，∴42＝3a2，即a＝eq\f(4\r(3),3).答案：D4.如圖是一個幾何體的三視圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，可得該幾何體的表面積是()A．9π B．10πC．11π D．12π解析：由三視圖可知該幾何體上面是個球，下面是個圓柱，由已知數(shù)據(jù)得表面積S＝S球＋S圓柱＝4π×12＋2π×12＋2π×1×3＝12π.答案：D5．已知長方體的三條棱長分別是3,4，x，且它的8個頂點都在同一個球面上，這個球的表面積為125π，則x的值為()A．5 B．6C．8 D．10解析：設(shè)球的半徑為r，則4π2＝125π，∴r2＝eq\f(125,4).又32＋42＋x2＝(2r)2，∴9＋16＋x2＝125，∴x2＝100，即x＝10.答案：D6．若一個球的體積為4eq\r(3)π，則它的表面積為________．解析：設(shè)球的半徑為R，則V球＝eq\f(4,3)πR3＝4eq\r(3)π，∴R＝eq\r(3)，∴S球＝4πR2＝4π×3＝12π.答案：12π7．毛澤東在《送瘟神》中寫到：“坐地日行八萬里”．又知地球的體積大約是火星的8倍，則火星的大圓周長約為________萬里．解析：由地球和火星的體積比可知地球半徑為火星半徑的2倍，日行8萬里指地球大圓的周長，即2πR地球＝8，故R地球＝eq\f(4,π)(萬里)，所以火星的半徑為eq\f(2,π)萬里，其大圓的周長為4萬里．答案：48．已知一個表面積為24的正方體，設(shè)有一個與每條棱都相切的球，則此球的體積為________．解析：設(shè)正方體的棱長為a，則6a2＝24，解得a＝2.又球與正方體的每條棱都相切，則正方體的面對角線長2eq\r(2)等于球的直徑，則球的半徑是eq\r(2)，則此球的體積為eq\f(4,3)π(eq\r(2))3＝eq\f(8\r(2),3)π.答案：eq\f(8\r(2),3)π9．某組合體的直觀圖如圖所示，它的中間為圓柱，左右兩端均為半球，若圖中r＝1，l＝3，試求該組合體的表面積和體積．解析：該組合體的表面積S＝4πr2＋2πrl＝4π×12＋2π×1×3＝10π，該組合體的體積V＝eq\f(4,3)πr3＋πr2l＝eq\f(4,3)π×13＋π×12×3＝eq\f(13π,3).10.如圖，一個長、寬、高分別是80cm，60cm,55cm的水槽中有水200000cm3.現(xiàn)放入一個直徑為50cm的木球，如果木球的eq\f(2,3)在水中，eq\f(1,3)在水上，那么水是否會從水槽中流出？解析：水槽的容積V＝80×60×55＝264000(cm3)，木球的體積V木＝eq\f(4,3)π×253≈65417(cm3)．∵200000＋65417×eq\f(2,3)≈243611<V，∴水不會從水槽中流出．[B組能力提升]1.如圖所示的是古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻著一個圓柱，圓柱內(nèi)有一個內(nèi)切球，這個球的直徑恰好與圓柱的高相等，則圓柱的體積與球的體積之比和圓柱的表面積與球的表面積之比分別為()A.eq\f(3,2)，eq\f(3,2) B.eq\f(4,3)，1C.eq\f(3,2)，1 D.eq\f(4,3)，eq\f(4,3)解析：設(shè)球的半徑為R，則圓柱的底面半徑為R，高為2R，所以V圓柱＝πR2×2R＝2πR3，V球＝eq\f(4,3)πR3，eq\f(V圓柱,V球)＝eq\f(3,2)；S圓柱＝2πR×2R＋2πR2＝6πR2，S球＝4πR2，eq\f(S圓柱,S球)＝eq\f(3,2)，故選A.答案：A2．球面上有三點A、B、C，且AB＝18，BC＝24，AC＝30，又球心到平面ABC的距離為半徑的eq\f(1,2)，那么這個球的半徑為()A．10eq\r(3) B．10C．20 D．30解析：因為AB2＋BC2＝AC2，所以△ABC為直角三角形．設(shè)球的半徑為R，則R2＝(eq\f(1,2)R)2＋152，所以R＝10eq\r(3).答案：A3．已知一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的外接球的表面積為________．解析：由三視圖可知該幾何體為三棱錐，此三棱錐的底面為直角三角形，直角邊長分別為5,4，棱錐的高為3，把三棱錐補成長方體，則長方體的體對角線長等于該三棱錐外接球的直徑．設(shè)球的半徑為R，因為長方體的體對角線長為eq\r(32＋42＋52)＝5eq\r(2)，所以R＝eq\f(5\r(2),2)，所以所求外接球的表面積S＝4πR2＝50π.答案：50π4.如圖所示，半徑為R的半圓內(nèi)的陰影部分以直徑AB所在直線為軸，旋轉(zhuǎn)一周得到一幾何體，求該幾何體的表面積．(其中∠BAC＝30°)解析：如圖所示，過C作CO1⊥AB于O1.在半圓中可得∠BCA＝90°，∠BAC＝30°，AB＝2R，∴AC＝eq\r(3)R，BC＝R，CO1＝eq\f(\r(3),2)R，∴S球＝4πR2，S圓錐AO1側(cè)＝π×eq\f(\r(3),2)R×eq\r(3)R＝eq\f(3,2)πR2，S圓錐BO1側(cè)＝π×eq\f(\r(3),2)R×R＝eq\f(\r(3),2)πR2，∴S幾何體表＝S球＋S圓錐AO1側(cè)＋S圓錐BO1側(cè)＝eq\f(11,2)πR2＋eq\f(\r(3),2)πR2＝eq\f(11＋\r(3),2)πR2.故旋轉(zhuǎn)所得幾何體的表面積為eq\f(11＋\r(3),2)πR2.5．一倒置圓錐體的母線長為10cm，底面半徑為6cm.(1)求圓錐體的高；(2)若有一球剛好放進(jìn)該圓錐體(球與圓錐的底面相切)中，求這個球的半徑以及此時圓錐體剩余空間的體積．解析：(1)設(shè)圓錐的高為h，底面半徑為R，母線長為l，則h＝eq\r(l2－R2)＝eq\r(102－62)＝8(cm)，所以圓錐體的高為8cm.(2)球放入圓錐體后的軸截面如圖所示，設(shè)球的半徑為r.易得△OCD∽△ACO1，∴eq