四川省德陽市2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次診斷考試?yán)砜圃囶}含解析

四川省德陽市2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次診斷考試?yán)砜圃囶}說明：1.本試卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，共4頁.考生作答時，須將答案答在答題卡上，在本試卷、草稿紙上答題無效.考試結(jié)束后，將答題卡交回.2.本試卷滿分150分，120分鐘完卷.第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、選擇題：本大題共12個小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A.Q B.{－3，－2，－1，0，1，3}C.P D.{－3，－2，－1，2}【答案】A【解析】【分析】化簡集合，然后依據(jù)交集的定義運(yùn)算即得.【詳解】因為，又，所以.故選：A.2.關(guān)于統(tǒng)計數(shù)據(jù)的分析，有以下幾個結(jié)論，其中正確的是（）A.樣本數(shù)據(jù)9、3、5、7、12、13、1、8、10、18的中位數(shù)是8或9B.將一組數(shù)據(jù)中的每個數(shù)據(jù)都減去同一個數(shù)后，平均數(shù)與方差均沒有改變C.利用殘差進(jìn)行回來分析時，若殘差點(diǎn)比較勻稱地落在寬度較窄的水平帶狀區(qū)域內(nèi)，則說明線性回來模型的擬合精度較高D.調(diào)查影院中觀眾觀后感時，從15排（每排人數(shù)相同）每排隨意抽取一人進(jìn)行調(diào)查是系統(tǒng)抽樣法【答案】C【解析】【分析】依據(jù)中位數(shù)，平均數(shù)和方差的計算方法推斷選項A，B的正誤，依據(jù)殘差圖的含義推斷選項C的正誤，區(qū)分不同抽樣方法的概念推斷D的正誤.【詳解】對于A，樣本數(shù)據(jù)1、3、5、7、8、9、10、12、13、18的中位數(shù)為，A錯誤；對于B，每個數(shù)據(jù)都減去同一個數(shù)后，平均數(shù)也應(yīng)為原平均數(shù)減去這個數(shù)，B錯誤；對于C，殘差點(diǎn)比較勻稱地落在寬度較窄的水平帶狀區(qū)域內(nèi)，則擬合精度高，C正確；對于D，每排隨意抽取一人應(yīng)為簡潔隨機(jī)抽樣，D錯誤；故答案為：C.3.復(fù)數(shù)共軛復(fù)數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡，依據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念可得答案.【詳解】,故的共軛復(fù)數(shù)為，故選：B4.已知等比數(shù)列的前n項和為，且，，則=.A.90 B.125 C.155 D.180【答案】C【解析】【分析】由等比數(shù)列的性質(zhì)，成等比數(shù)列，即可求得，再得出答案.【詳解】因為等比數(shù)列的前項和為，依據(jù)性質(zhì)所以成等比數(shù)列，因為，所以，故故選C【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，若等比數(shù)列的前項和為，則也成等比數(shù)列，這是解題的關(guān)鍵，屬于較為基礎(chǔ)題.5.已知x、y滿意約束條件，則的最小值為（）A.1 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由約束條件作出可行域，數(shù)形結(jié)合求出的最小值.【詳解】由約束條件作出可行域如圖，表示可行域內(nèi)的點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率，聯(lián)立方程，得交點(diǎn)坐標(biāo)，由圖得，當(dāng)過點(diǎn)時，斜率最小為，所以的最小值為.故選：D.6.已知點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)為,點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)為,那么（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)題意分析之間的關(guān)系,將轉(zhuǎn)化為,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為即可.【詳解】解:由題知是的中點(diǎn),是的中點(diǎn),故.故選：D7.德陽市文廟廣場設(shè)置了一些石凳供游人休息，這些石凳是由正方體形石料（如圖1）截去8個一樣的四面體得到的（如圖2），則下列對石凳的兩條邊AB與CD所在直線的描述中正確的是（）①直線AB與CD是異面直線②直線AB與CD是相交直線③直線AB與CD成60°角④直線AB與CD垂直A.①③ B.①④ C.②③ D.②④【答案】C【解析】【分析】依據(jù)異面直線和異面直線所成角的定義推斷即可.【詳解】如圖所示，延長、和正方體的一條邊，會交于點(diǎn)，所以直線與是相交直線，故①錯，②對；連接，設(shè)正方體的邊長為1，所以，即三角形為等邊三角形，所以直線與成角，故③對，④錯.故選：C.8.已知某曲線方程為，則下列描述中不正確的是（）A.若該曲線為雙曲線，且焦點(diǎn)在x軸上，則B.若該曲線為圓，則m＝4C.若該曲線為橢圓，則其焦點(diǎn)可以在x軸上，也可以在y軸上D.若該曲線為雙曲線，且焦點(diǎn)在y軸上，則【答案】B【解析】【分析】依據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程結(jié)合條件可推斷AD，依據(jù)圓及橢圓的方程結(jié)合曲線方程可推斷BC.【詳解】對于A，若該曲線為雙曲線，且焦點(diǎn)在x軸上，則，解得，故A正確；對于B，若該曲線為圓，則，即，故B錯誤；對于C，由，可得，此時該曲線為橢圓，且焦點(diǎn)在x軸上；由，可得，此時該曲線為橢圓，且焦點(diǎn)在y軸上；故C正確；對于D，該曲線為雙曲線，且焦點(diǎn)在y軸上，則，解得，故D正確.故選：B.9.函數(shù)的大致圖像為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出定義域，由解析式得到，推斷出圖像關(guān)于對稱.解除C、D；再利用特別點(diǎn)，的正負(fù)解除B，即可得到正確答案.【詳解】要使函數(shù)有意義，只需，解得：，即函數(shù)的定義域為.因為，所以的圖像關(guān)于對稱.解除C、D；令，解得：.所以.又，，.比照選項A、B的圖像，選A.故選：A10.如圖是旌湖邊上常見的設(shè)施，從兩個高為1米的懸柱上放置一根勻稱鐵鏈，讓其自然下垂輕觸地面（視為相切）形成的曲線稱為懸鏈線（又稱最速降線）．建立恰當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系后，其方程可以是，那么兩懸柱間的距離大致為（）（可能會用到的數(shù)據(jù)）A.2.5米 B.2.6米 C.2.8米 D.2.9米【答案】B【解析】【分析】依據(jù)條件建立直角坐標(biāo)系，可得，依據(jù)條件結(jié)合參考數(shù)據(jù)可得，進(jìn)而即得.【詳解】因為，，所以函數(shù)為偶函數(shù)，如圖建立直角坐標(biāo)系，則時，，所以，即，所以，由題可設(shè)，，又，，由題可知時函數(shù)單調(diào)遞增，所以，，所以兩懸柱間的距離大致為2.6米.故選：B.11.已知函數(shù)則在上的零點(diǎn)個數(shù)為（）A.0 B.1 C.2 D.2024【答案】B【解析】【分析】先求導(dǎo),分和兩種狀況進(jìn)行探討的正負(fù),進(jìn)而推斷單調(diào)性,再推斷正負(fù),即可推斷零點(diǎn)個數(shù).【詳解】解:由題知所以,當(dāng)時,當(dāng)時,,當(dāng)時，，；當(dāng)時，，；故，綜上，在上單調(diào)遞增,因為,故函數(shù)上有1個零點(diǎn).故選:B12.已知a、b、c是正實數(shù)，且，則a、b、c的大小關(guān)系不行能為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合條件逐項分析即得.【詳解】因為，a、b、c是正實數(shù)，所以，，對于A，若，則，滿意題意；對于B，若，則，滿意題意；對于C，若，則，滿意題意；對于D，若，則，不滿意題意.故選：D.第Ⅱ卷（非選擇題共90分）本卷包括必考題和選考題兩部分，第13~21題為必考題，每個試題考生都必需作答，第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答，二、填空題：共4小題，每小題5分，共20分.將答案填在答題卡上.13.已知二項式的綻開式中最終三項的二項式系數(shù)和為79,則n=______.【答案】12【解析】【分析】依據(jù)后三項二項式系數(shù)和為79,建立等式,解出即可.【詳解】解:由題知二項式的綻開式中最終三項的二項式系數(shù)和為79,所以,即,化簡可得:,解得:(舍)或.故答案為:1214.已知是單位向量,且,若,那么當(dāng)時,______.【答案】##0.5【解析】【分析】依據(jù)題意求出模,依據(jù),可得向量數(shù)量積為0,將代入化簡求值即可.【詳解】解:由題知,將代入可得:,即,將,代入上式可得:,即.故答案為:15.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則f（x）=______.【答案】【解析】【分析】依據(jù)對稱軸和過點(diǎn)，求出的值，再依據(jù)求的范圍，確定的詳細(xì)值.【詳解】依據(jù)圖像可得函數(shù)的對稱軸為，并且經(jīng)過點(diǎn)所以，所以，用因為又因為故答案為：16.如圖，矩形ABCD中，AC是對角線，設(shè)∠BAC＝α，已知正方形S1和正方形S2分別內(nèi)接于Rt△ACD和Rt△ABC，則的取值范圍為______．【答案】【解析】【分析】設(shè)兩個正方形邊長分別為，，用，表示AC建立方程，將兩個三角形的周長比表示為的三角函數(shù)，求取值范圍.【詳解】設(shè)兩個正方形，邊長分別為，，則在中，有，在中，有，所以，的周長與的周長比為，設(shè)，因為，所以，則，因為在上單調(diào)遞增，所以，，所以周長比為.故答案為：.【點(diǎn)睛】留意到的關(guān)系，換元用表示，留意換元后新未知數(shù)的取值范圍.三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知等差數(shù)列的首項為1，公差d≠0，前n項和為，且為常數(shù)．（1）求數(shù)列通項公式；（2）若，求數(shù)列的前n項和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)條件知，據(jù)此求出d；（2）運(yùn)用錯位相減法求和.【小問1詳解】由題意知：，即，，化簡得：，；經(jīng)檢驗，成立.【小問2詳解】由（1）知：，…①，…②，①-②得：，；綜上，，.18.在△ABC中，邊a、b、c對應(yīng)角分別為A、B、C，且．（1）求角B的大??；（2）從條件①、條件②、條件③中任選一個作為已知條件，使得△ABC存在且唯一，求AC邊上的高．條件①：，b＝1；條件②：b＝2，；條件③：a＝3，c＝2．注：若選多個條件分別作答，則按第一個解答給分．【答案】（1）（2）答案見解析【解析】【分析】（1）利用正弦定理邊化角，然后整理計算可得答案；（2）若選擇條件①：由三角形的三角一邊可得△ABC唯一確定，再利用正弦定理計算求答案；若選擇條件②：依據(jù)正弦定理計算得，得到△ABC不存在；若選擇條件③：由三角形的兩邊及其夾角確定可得△ABC存在且唯一，再利用正弦定理計算求答案.【小問1詳解】由正弦定理邊化角得，，得，，，【小問2詳解】若選擇條件①：，b＝1，，，，則△ABC中均唯一確定，又，則△ABC存在且唯一，由正弦定理，AC邊上的高為；若選擇條件②：b＝2，，由正弦定理得，△ABC不存在；若選擇條件③：a＝3，c＝2，，由a＝3，c＝2，可得△ABC存在且唯一，由余弦定理，則，由正弦定理得，AC邊上的高為；19.買盲盒是當(dāng)下年輕人的潮流之一，每個系列的盲盒分成若干個盒子，每個盒子里面隨機(jī)裝有一個動漫、影視作品的圖片，或者設(shè)計師單獨(dú)設(shè)計出來的玩偶，消費(fèi)者不能提前得知詳細(xì)產(chǎn)品款式，具有隨機(jī)屬性，某禮品店2024年1月到8月售出的盲盒數(shù)量及利潤狀況的相關(guān)數(shù)據(jù)如下表所示：月份／月12345678月銷售量／百個45678101113月利潤／千元4.14.64.95.76.78.08.49.6（1）求出月利潤y（千元）關(guān)于月銷售量x（百個）的回來方程（精確到0.01）；（2）2024年“一診”考試結(jié)束后，某班數(shù)學(xué)老師購買了裝有“五年高考三年模擬”和“教材全解”玩偶的兩款盲盒各4個，從中隨機(jī)選出3個作為禮物贈送給同學(xué)，用ξ表示3個中裝有“五年高考三年模擬”玩偶的盲盒個數(shù)，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望.參考公式：回來方程中斜率和截距最小二乘估計公式分別為：參考數(shù)據(jù)：【答案】（1）；（2）分布列見解析，.【解析】【分析】（1）將表格數(shù)據(jù)代入公式，計算回來方程；（2）由題可得的全部可能取值，然后依據(jù)古典概型概率公式結(jié)合組合數(shù)公式求概率，進(jìn)而可得分布列及期望.小問1詳解】由題可知，，，所以，，，，故月利潤y（千元）關(guān)于月銷售量x（百個）的回來方程為；【小問2詳解】由題可知的全部可能取值為0，1，2、3，則，，，，故的分布列為：0123P所以的數(shù)學(xué)期望．20.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)f（x）的極值；（2）當(dāng)a＞1時，記f（x）在區(qū)間[－1,2]的最大值為M，最小值為m．已知．設(shè)f（x）的三個零點(diǎn)為x1，x2，x3，求的取值范圍．【答案】（1）極大值為，微小值為；（2）.【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，依據(jù)單調(diào)性得到當(dāng)時取得極大值，時取得微小值，然后代入求極值即可；（2）依據(jù)在上的單調(diào)性得到，，然后列不等式得到的范圍，令，結(jié)合韋達(dá)定理得到，，最終依據(jù)的范圍求的范圍即可.【小問1詳解】，令，解得或，令，解得，所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時取得極大值，，當(dāng)時取得微小值，，所以的極大值為，微小值為.【小問2詳解】因為，所以在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，，因為，，所以，，解得，設(shè)，令，所以，，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)，所以的取值范圍為.21.已知函數(shù)設(shè).（1）若在上單調(diào)遞增,求實數(shù)的取值范圍;（2）求證:;對,使得總成立.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】(1)先寫出解析式,依據(jù)在上單調(diào)遞增,即在上恒成立,全分別,設(shè)新函數(shù),求導(dǎo)求單調(diào)性求最值即可;(2)因為,即只需時,,時,成馬上可,取,分時,求導(dǎo)可知在上單增,即得證,時,由(1)結(jié)論,在上單調(diào)遞增,即時,,對求導(dǎo)后分析的正負(fù),分析范圍即可證明.【小問1詳解】解:由題可知因為在上單調(diào)遞增,所以在上恒成立,因為時,,故只要上恒成立,令,,因為,,令,即,解得,故在上單增,在上單減,所以,即實數(shù)的取值范圍為;【小問2詳解】由題意,因為,所以只要找出,使得時,;時,即可,當(dāng)時,明顯成立;現(xiàn)證,滿意題意,即證當(dāng)時,若時,成立,若時,也成立,當(dāng)時,若,則,所以,因為,故,即恒成立,所以在上單增,故,即時,成立;當(dāng)時,若,,由(1)知當(dāng)時,在上單調(diào)遞增,因為等價于,即等價于,所以在上單調(diào)遞增,故當(dāng)時,,因為當(dāng)時,,且,因為等價于,所以,即當(dāng)時,也有．綜上,,對,,使得總成立．【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛:該題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,屬于難題,關(guān)于存在性問題的思路如下:(1)分析題意,找到關(guān)鍵信息;(2)將關(guān)鍵信息轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言;(3)存在問題取特別值,取特別值時參考第一問結(jié)論,并且好算的數(shù);(4)依據(jù)問題進(jìn)行分狀況探討.請考生在22、23二題中任選一題作答.留意：只能做所選定的題目.假如多做，則按所做第一個題目計分，做答時，請用2B鉛筆在答題卡上將所選題號后的方框涂黑.22.在平面直角坐標(biāo)系中，曲線C1的方程