四川省成都市2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題含解析

Page20四川省成都市2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1.設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)不等式解法分別求集合，再結(jié)合集合交集運算求解.【詳解】∵，∴故選：D.2.設(shè)命題，，則命題p的否定為（

）A.， B.，C.， D.，【答案】B【解析】【分析】依據(jù)存在命題的否定為全稱命題可得結(jié)果.【詳解】∵存在命題的否定為全稱命題，∴命題p的否定為“，”，故選：B3.下列各組函數(shù)表示相同函數(shù)的是（）A.和 B.和C.和 D.和【答案】C【解析】【分析】依據(jù)相等函數(shù)的概念，結(jié)合函數(shù)的定義域與對應(yīng)法則，逐項判定，即可求解.【詳解】解：對于A中，函數(shù)的定義域為，函數(shù)的定義域為，兩個函數(shù)的定義域不同，所以表示不同的函數(shù)；對于B中，函數(shù)的定義域為，函數(shù)的定義域為，兩個函數(shù)的定義域不同，所以表示不同的函數(shù)；對于C中，函數(shù)與的定義域和對應(yīng)法則都相同，所以表示相同的函數(shù)；對于D中，函數(shù)的定義域為，函數(shù)的定義域為，兩個函數(shù)的定義域不同，所以表示不同的函數(shù).故選：C4.“不等式在R上恒成立”的充分不必要條件是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)二次不等式恒成立求出充要條件，再由充分條件，必要條件的概念求出選項.【詳解】不等式在R上恒成立，即，因為，但不能推出成立，故是不等式在R上恒成立的充分不必要條件，故選：A5.已知偶函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，則不等式的解集為（）A. B.C D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)題中條件，分別探討，兩種狀況，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性與奇偶性，即可求出結(jié)果.【詳解】若，則等價于，因為，在上單調(diào)遞減，所以由得；若，則等價于，由題知在上單調(diào)遞增，所以由得；.綜上，的解集為.故選：A.6.對于直角三角形的探討，中國早在商朝時期，就有商高提出了“勾三股四弦五”這樣的勾股定理特例，而西方直到公元前6世紀(jì)，古希臘的畢達哥拉斯才提出并證明白勾股定理．假如一個直角三角形的斜邊長等于5，則這個直角三角形周長的最大值等于（）．A. B.10 C. D.【答案】C【解析】【分析】先由勾股定理得，再利用基本不等式易得，由此得到，問題得解.【詳解】不妨設(shè)該直角三角形的斜邊為，直角邊為，則，因為，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)且，即時，等號成立，因為，所以，所以該直角三角形周長，即這個直角三角形周長的最大值為.故選：C.7.函數(shù)的圖象不行能是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】函數(shù)表達式中含有參數(shù)a，要對參數(shù)進行分類探討，【詳解】若，則，選項C符合；若，則函數(shù)定義域為R，選項B符合若，則，選項A符合，所以不行能是選項D.故選：D.8.定義在上的函數(shù)滿意：對，且，都有成立，且，則不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，由單調(diào)性的定義可推斷得在上單調(diào)遞增，再將題設(shè)不等式轉(zhuǎn)化為，利用的單調(diào)性即可求解.詳解】令，因為對，且，都有成立，不妨設(shè)，則，故，則，即，所以在上單調(diào)遞增，又因為，所以，故可化為，所以由的單調(diào)性可得，即不等式的解集為.故選：D.二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．）9.若a＞b＞0，則下列不等式中肯定成立的是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】依據(jù)不等式的性質(zhì)，作差比較法，對選項逐一推斷【詳解】對于A，，因為，故，即，故A正確；對于B，不能確定符號，取則，故B錯誤；對于C，，因，故，即，故C正確；對于D，，因為，所以，即，所以，故D錯誤．故選：AC10.定義在上的函數(shù)滿意，當(dāng)時，，則滿意（）A. B.是奇函數(shù)C.在上有最大值 D.的解集為【答案】ABD【解析】【分析】利用賦值法可推斷A選項的正誤；利用函數(shù)奇偶性的定義可推斷B選項的正誤；利用函數(shù)單調(diào)性的定義可推斷C選項的正誤；利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式，可推斷D選項的正誤.【詳解】對于A選項，令，可得，解得，A對；對于B選項，函數(shù)的定義域為，令，可得，則，故函數(shù)是奇函數(shù)，B對；對于C選項，任取、且，則，即，所以，所以，函數(shù)為上的減函數(shù)，所以，在上有最大值，C錯；對于D選項，由于為上的減函數(shù)，由，可得，解得，D對.故選：ABD.11.已知函數(shù)定義域為，且，，，則（）A.的圖象關(guān)于直線x＝2對稱 B.C.的圖象關(guān)于點中心對稱 D.為偶函數(shù)【答案】BCD【解析】【分析】利用假設(shè)的圖象關(guān)于直線對稱，推出沖突的方法推斷A，依據(jù)已知可推得函數(shù)為奇函數(shù)，進而得到函數(shù)的周期，可推斷B,C，利用偶函數(shù)的定義可推斷D.【詳解】對于A，假設(shè)的圖象關(guān)于直線對稱，則，因為，故，即2為函數(shù)的一個周期，則，由，可得，沖突，故的圖象不關(guān)于直線對稱，A錯誤；對于B,函數(shù)定義域為，且，則，由得，則，，故，故B正確；對于C，由B的分析可知，，即，所以，即，故的圖象關(guān)于點中心對稱，C正確；對于D，由可得，由得，故，即為偶函數(shù)，D正確.故選：BCD.12.已知的解集是，則下列說法正確的是（）A.若c滿意題目要求，則有成立B.的最小值是4C.已知m為正實數(shù)，且m＋b＝1，則的最小值為D.當(dāng)c＝2時，，的值域是，則的取值范圍是【答案】ACD【解析】【分析】由不等式的解集可得方程的根，再由根與系數(shù)關(guān)系得出，，，由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及作商法推斷A，依據(jù)均值不等式推斷B，利用“1”的變形及均值不等式推斷C，依據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)推斷D.【詳解】的解集是，是關(guān)于的方程的兩個根，且，，，，，對于A，由，可知，故，正確；對于B，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，即的最小值是，錯誤；對于C，，當(dāng)且僅當(dāng)且時，即時取等號，正確；對于D，當(dāng)時，，則，，依題意，，在上的最小值為，或，，，則的取值范圍是，正確.故選：ACD三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分．）13.函數(shù)的定義域是____________．【答案】【解析】【分析】依據(jù)詳細函數(shù)的定義域的求法求解即可.【詳解】因為，所以，解得，故或，所以的定義域為.故答案為：.14.已知函數(shù)是定義在上的單調(diào)遞增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】分段函數(shù)在上單調(diào)遞增，則在兩個分段區(qū)間上都單調(diào)遞增，且在上的最大值要不大于上的隨意函數(shù)值，據(jù)此解答即可.【詳解】因為在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，又因為開口向下，對稱軸為，所以，故，且在上的最大值為，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，所以由冪函數(shù)的性質(zhì)可知，且，故，得，由于以上條件要同時成立，故，即.故答案為：.15.已知函數(shù)和函數(shù)，若對隨意的，總存在，使得成立，則實數(shù)a的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】依據(jù)題意得，由此得到關(guān)于不等式，解之即可.【詳解】因為對隨意的，總存在，使得成立，所以，因為開口向上，對稱軸為，所以在上單調(diào)遞增，故，又因為在上單調(diào)遞減，所以，因此，解得，所以a的取值范圍為.故答案為：.16.已知a＞0，b＞0，c＞2，且a＋b＝1，則的最小值為______．【答案】【解析】【分析】先利用把化成，利用基本不等式可求的最小值，再依據(jù)不等式的性質(zhì)把目標(biāo)代數(shù)式放縮為與有關(guān)的代數(shù)式，再利用基本不等式可求題設(shè)中目標(biāo)代數(shù)式的最小值.【詳解】因為，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立．又因為，由不等式的性質(zhì)可得.又因為，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立．綜上，的最小值為，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.故答案為：.四、解答題（本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）17.已知集合，不等式的解集為．（1）當(dāng)時，求，；（2）若，求實數(shù)m的取值范圍．【答案】（1）答案見解析（2）【解析】【分析】（1）代入化簡集合，再解分式不等式得到集合，從而利用集合的交并補運算及數(shù)軸法可求得結(jié)果；（2）由得，分類探討與兩種狀況，結(jié)合數(shù)軸法與集合的包含關(guān)系即可求得實數(shù)m的取值范圍．【小問1詳解】當(dāng)時，，由得，即，故，即，解得或，故或，所以或，或，故或.【小問2詳解】因為，所以，當(dāng)時，，解得；當(dāng)時，由數(shù)軸法得或，即或，故或，綜上：或，所以實數(shù)m的取值范圍為.18.已知函數(shù)．（1）解不等式；（2）若的解集非空，求實數(shù)m的取值范圍．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）分類探討解不等式即可；（2）首先將題意轉(zhuǎn)化為，設(shè)，再分類探討求出的最大值即可得到答案.【小問1詳解】因為，所以①，解得，②，解得，③，解得，綜上不等式的解集為：.【小問2詳解】因為的解集非空，所以解集非空，即.設(shè)，當(dāng)時，，對稱軸為，開口向下，所以.當(dāng)時，，對稱軸為，開口向下，所以.當(dāng)時，，對稱軸為，開口向下，所以.綜上，即.所以實數(shù)m的取值范圍為.19.已知，．（1）推斷的奇偶性并說明理由；（2）請用定義證明：函數(shù)在上是增函數(shù)；（3）若不等式對隨意和都恒成立，求t的取值范圍．【答案】（1）奇函數(shù)，理由見解析；（2）證明見解析；（3）.【解析】【分析】（1）利用函數(shù)的奇偶性定義即可求解；（2）利用函數(shù)單調(diào)性定義即可推斷；（3）依據(jù)題意求出，從而可得，設(shè)，只需即可求解.【小問1詳解】函數(shù)是定義域上的奇函數(shù)，理由如下，定義域關(guān)于原點對稱，又，所以是定義域上的奇函數(shù).【小問2詳解】證明：設(shè)為區(qū)間上的隨意兩個值，且，則，因為，所以，，即；所以函數(shù)在上是增函數(shù).【小問3詳解】由可知時，．所以，即，對都恒成立，令，，則只需，解得，故t的取值范圍．20.1.通過技術(shù)創(chuàng)新，某公司的汽車特種玻璃已進入歐洲市場.2024年，該種玻璃售價為25歐元/平方米，銷售量為80萬平方米，銷售收入為2000萬歐元.（1）據(jù)市場調(diào)查，若售價每提高1歐元/平方米，則銷售量將削減2萬平方米；要使銷售收入不低于2000萬歐元，試問：該種玻璃的售價最多提高到多少歐元/平方米？（2）為提高年銷售量，增加市場份額，公司將在2024年對該種玻璃實施二次技術(shù)創(chuàng)新和營銷策略改革：提高價格到歐元/平方米（其中），其中投入萬歐元作為技術(shù)創(chuàng)新費用，投入500萬歐元作為固定宣揚費用，投入萬歐元作為浮動宣揚費用，試問：該種玻璃的銷售量（單位/萬平方米）至少達到多少時，才可能使2024年的銷售收入不低于2024年銷售收入與2024年投入之和？并求出此時的售價.【答案】（1）40（2）該種玻璃的銷售量至少達到102萬平方米時，才可能使2024年的銷售收入不低于2024年銷售收入與2024年投入之和，此時求出此時的售價為30歐元.【解析】【分析】（1）設(shè)出未知數(shù)，列不等式進行求解；（2）依據(jù)題意，得到關(guān)于的關(guān)系式，，利用基本不等式進行求解【小問1詳解】設(shè)該種玻璃的售價提高到x歐元/平方米解得：所以該種玻璃的售價最多提高到40歐元/平方米小問2詳解】整理得：除以得：由基本不等式得：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以該種玻璃的銷售量至少達到102萬平方米時，才可能使2024年的銷售收入不低于2024年銷售收入與2024年投入之和，此時求出此時的售價為30歐元/平方米.21.已知函數(shù)滿意．（1）求的解析式，并求在上的值域；（2）若對，且，都有成立，求實數(shù)k的取值范圍．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）由條件可得，然后可解出，然后利用對勾函數(shù)的學(xué)問可得答案；（2）設(shè)，條件中的不等式可變形為，即可得在區(qū)間（2，4）遞增，然后分、、三種狀況探討求解即可.【小問1詳解】因為①，所以②，聯(lián)立①②解得.當(dāng)時為增函數(shù)，時為減函數(shù)，因為所以【小問2詳解】對，，，都有，不妨設(shè)，則由恒成立，也即可得函數(shù)在區(qū)間（2，4）遞增；當(dāng)，即時，滿意題意；當(dāng)，即時，為兩個在上單調(diào)遞增函數(shù)的和，則可得在單調(diào)遞增，從而滿意在（2，4）遞增，符合題意；當(dāng)，即時，，其在遞減，在遞增，若使在（2，4）遞增，則只需；綜上可得：22.已知函數(shù).（1）當(dāng)時，對隨意的，令，求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫出的取值范圍；（2）若關(guān)于x的方程有3個不同的根，求n的取值范圍．【答案】（1）答案見解析；（2）.【解析】【分析】（1）將問題轉(zhuǎn)化為，結(jié)合的圖像，分類探討，與的狀況，從而得到的解析式.（2）法一：分別探討與時，的解的個數(shù)狀況，最終綜合兩者的狀況得到有3個不同的根時，n的取值范圍．法二：由于最多只有3個不同的根、或，所以當(dāng)有3個不同的根時，只需即可，由此可求得n的取值范圍．【小問1詳解】當(dāng)時，，當(dāng)時，，則開口向下，對稱軸為，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，當(dāng)時，，則開口向上，對稱軸為，故在上單調(diào)遞增，令，即，解得（負(fù)值舍去），又，，所以的圖像如圖，因為對隨意的，令，即為在的最大值與最小值的差的肯定值，結(jié)合圖像得，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；綜上：..【小問2詳解】法一：當(dāng)時，，則可化得，即，當(dāng)時，，故，即無解；當(dāng)時，可能有兩個解或；當(dāng)時，，故不是的解，而，即也不是的解，故無解；當(dāng)時，必定是的一個解，又由得，整理得，由可知恒成立，故有兩個解或；所以當(dāng)時，無解；當(dāng)時，有兩個解或.當(dāng)時，，則可化得，即，當(dāng)時，，故只有一個解；當(dāng)時，可能有兩個解或，當(dāng)時，必定是的一個解，又由得，整理得，解得，即當(dāng)時，有兩個解或；當(dāng)時，只有一個解；當(dāng)時，，故不是的解，又由得，整理得，解得，即當(dāng)時，只有一個解；當(dāng)時，無解；所以當(dāng)時，有兩個解或；當(dāng)時，只有一個解；當(dāng)時，只有一個解；當(dāng)時，無解.綜合與兩種狀況可得，當(dāng)時，有兩個解或；當(dāng)時，只有一個解；當(dāng)時，有三個解、