山東省濰坊市2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試題含解析

高考資源網(wǎng)（ks5u），您身邊的高考專家歡迎廣闊老師踴躍來(lái)稿，稿酬豐厚。ks5u高考資源網(wǎng)（ks5u），您身邊的高考專家歡迎廣闊老師踴躍來(lái)稿，稿酬豐厚。ks5u山東省濰坊市2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試題本試卷共4頁(yè)．滿分150分．考試時(shí)間120分鐘．一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.直線x-y+1=0的傾斜角是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由直線方程求得直線的斜率，再由傾斜角的正切值等于斜率求解．【詳解】直線的斜率，設(shè)其傾斜角為，，得．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查直線的斜率與傾斜角的關(guān)系，是基礎(chǔ)的計(jì)算題．2.在二項(xiàng)式的綻開(kāi)式中，含的項(xiàng)為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求得二項(xiàng)式綻開(kāi)式的通項(xiàng)公式，再令的冪指數(shù)等于3，求得的值，即可求得含的項(xiàng)．【詳解】解：二項(xiàng)式的綻開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，令，故開(kāi)式中含項(xiàng)為，故選：A3.已知，是兩個(gè)不同的平面，l，m，n是三條不同的直線，下列肯定能得到的是（）A.， B.，C.， D.，，，【答案】A【解析】【分析】依據(jù)線面垂直的定義和空間直線垂直平行的性質(zhì)即可判定A正確，舉反例可判定BCD錯(cuò)誤.【詳解】A.若，則直線與平面內(nèi)的全部直線都垂直，又，∴與平面內(nèi)的全部直線都垂直，依據(jù)線面垂直的定義可得，故A正確；B.若，設(shè)過(guò)的平面與交于，則依據(jù)線面平行的性質(zhì)定理可得，在平面內(nèi)，作直線,則，而此時(shí)在平面內(nèi)，故B錯(cuò)誤；C.若，設(shè)，在平面內(nèi)作直線，則，由線面平行的判定定理可得，而此時(shí)在平面內(nèi)，故C錯(cuò)誤；D.若，，，，當(dāng)平行時(shí)，與平面可平行，可在內(nèi)，也可斜交，也可垂直，故D錯(cuò)誤.故選：A.4.現(xiàn)從甲、乙等7名高校生中選出3人擔(dān)當(dāng)北京冬奧會(huì)的志愿者，要求甲、乙至少1人入選，則不同的選法共有（）A.10種 B.20種 C.25種 D.35種【答案】C【解析】【分析】利用組合數(shù)計(jì)算總的選法種數(shù)和甲、乙都不入選的選法種數(shù)，作差即得所求.【詳解】從7人中選3人,有種選法，其中甲、乙都不入選的有種選法，所以要求甲、乙至少1人入選，則不同的選法共有種,故選：C5.已知直線，直線，若，則（）A.2或－5 B.－2或－5 C.2或5 D.－2或5【答案】D【解析】【分析】直線與直線垂直的充要條件是，依據(jù)題意即可得到：，然后解得結(jié)果即可【詳解】依據(jù)題意，由，則有：解得：或故選：6.牙雕套球又稱“鬼工球”，取鬼斧神工的意思，制作相當(dāng)繁復(fù)，工藝要求極高．現(xiàn)有某“鬼工球”，由外及里是兩層表面積分別為和的同心球（球壁的厚度忽視不計(jì)），在外球表面上有一點(diǎn)A，在內(nèi)球表面上有一點(diǎn)B，連接AB，則線段AB長(zhǎng)度的最小值是（）A.1cm B.2cm C.3cm D.【答案】A【解析】【分析】利用球的表面積公式分別求的外球和內(nèi)球的半徑，兩半徑之差即為所求.【詳解】設(shè)外球和內(nèi)球的半徑分別為和,則,解得,當(dāng)B在大球的過(guò)A的半徑上時(shí)AB的長(zhǎng)最小，∴AB長(zhǎng)度的最小值是,故選：A7.過(guò)等軸雙曲線的右焦點(diǎn)F作兩條漸近線的垂線，垂足分別為M，N，若的面積為2，則a的值為（）A. B.2 C. D.4【答案】B【解析】【分析】求出過(guò)右焦點(diǎn)F與垂直的直線，然后與漸近線方程聯(lián)立，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，依據(jù)對(duì)稱性得點(diǎn)N的坐標(biāo)，則可得表示出的面積，然后解方程即可.【詳解】雙曲線為，右焦點(diǎn)，由已知雙曲線的一條漸近線方程為，則過(guò)右焦點(diǎn)F與垂直的直線為，聯(lián)立，解得不妨取，則依據(jù)對(duì)稱性得，解得故選：B.8.如圖，某系統(tǒng)由A，B，C，D四個(gè)零件組成，若每個(gè)零件是否正常工作互不影響，且零件A，B，C，D正常工作的概率都為，則該系統(tǒng)正常工作的概率為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】要使系統(tǒng)正常工作，則A、B要都正常或者C正常，D必需正常，然后利用獨(dú)立事務(wù)，對(duì)立事務(wù)概率公式計(jì)算.【詳解】記零件或系統(tǒng)能正常工作的概率為，該系統(tǒng)正常工作的概率為:,故選：C.二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，選對(duì)但不全的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知圓的半徑為，圓的半徑為，則（）A. B.C.圓與圓外切 D.圓與圓外離【答案】BC【解析】【分析】依據(jù)圓與圓的位置關(guān)系即可求解.【詳解】解：圓的半徑為，圓的半徑為，故,故B對(duì)，A錯(cuò)；圓心距，故圓與圓外切，故C對(duì)，D錯(cuò)；故選：BC.10.若，則（）A.綻開(kāi)式中全部的二項(xiàng)式系數(shù)之和為B.綻開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第1012項(xiàng)C.D.【答案】ABC【解析】【分析】利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)可以判定AB;利用賦值法可以判定CD.【詳解】綻開(kāi)式中全部項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為,故A正確；綻開(kāi)式中第1012項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)為，是全部項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)中的最大值，故B正確；在二項(xiàng)式綻開(kāi)式中，令可得，故C正確；令可得,∴,故D錯(cuò)誤.故選：ABC11.如圖，已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F且斜率為的直線與拋物線交于兩點(diǎn)A，B，與拋物線的準(zhǔn)線交于點(diǎn)D，，則（）A. B.C.點(diǎn)A到準(zhǔn)線的距離為2 D.點(diǎn)F為線段AD的中點(diǎn)【答案】ABD【解析】【分析】作準(zhǔn)線l于點(diǎn)C，軸于M，準(zhǔn)線l于點(diǎn)E．軸于M，計(jì)算得到，逐項(xiàng)分析，得到答案.【詳解】如圖所示：作準(zhǔn)線l于點(diǎn)C，軸于M，準(zhǔn)線l于點(diǎn)E．軸于M，直線的斜率為，所以∴所以，故，故A正確；又∵，∴代入拋物線，得（舍去），故B正確；對(duì)于C，由B選項(xiàng)得，直線AB方程為：，與拋物線方程聯(lián)立得：，即，故,故點(diǎn)A到準(zhǔn)線的距離為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D,由C選項(xiàng)得,,點(diǎn)F為線段AD的中點(diǎn),故D正確.故選：ABD．12.如圖，點(diǎn)P在棱長(zhǎng)為1的正方體的對(duì)角線上運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)P作垂直于平面的直線，與正方體表面相交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)．設(shè)，，則（）A.動(dòng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)形成的軌跡長(zhǎng)度為B.線段EF運(yùn)動(dòng)形成的圖形面積為C.D.當(dāng)時(shí)，【答案】ABD【解析】【分析】作出線段EF運(yùn)動(dòng)形成的圖形，依據(jù)圖形特點(diǎn)對(duì)選項(xiàng)一一推斷即可．【詳解】線段EF運(yùn)動(dòng)形成的圖形如圖所示：動(dòng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)形成的軌跡長(zhǎng)度為，故A正確；線段EF運(yùn)動(dòng)形成的圖形為平行四邊行其面積為，故B正確；當(dāng)，則，故C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，有，則，故D正確；故選：ABD三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在答題卡的相應(yīng)位置．13.計(jì)算：______．【答案】16【解析】【分析】依據(jù)排列數(shù)和組合數(shù)的公式計(jì)算即可.【詳解】故答案為：16.14.已知向量，，若，則實(shí)數(shù)______．【答案】【解析】【分析】由題意可知，解方程，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，所?故答案為：.15.甲、乙、丙、丁、戊五名學(xué)生參與“勞動(dòng)技術(shù)競(jìng)賽”，決出第一名到第五名的名次，甲、乙、丙去詢問(wèn)競(jìng)賽成果，老師說(shuō)：“甲的成果是亞軍，乙不是五人中成果最好的，丙不是五人中成果最差的，而且五人的成果各不相同．”則他們五人不同的名次排列共有______種狀況．（用數(shù)字填寫(xiě)作答）【答案】14【解析】【分析】由題意，可分兩類，丙的成果是最好的和丙的成果不是最好的，依據(jù)分類分步計(jì)數(shù)原理可得．【詳解】解：若丙的成果是最好的，則有種，若丙的成果不是最好的，從甲乙丙之外的2人中選1人為成果最好，再選一人為成果最差的，其它隨意排，故有種，故共有種，故答案為：14．16.如圖所示，底面半徑為3，高為8的圓柱內(nèi)放有一個(gè)半徑為3的球，球與圓柱下底面相切，作不與圓柱底面平行的平面與球相切于點(diǎn)F，若平面與圓柱側(cè)面相交所得曲線為封閉曲線C，且C是以F為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓，則C的離心率的最大值為_(kāi)_____．

【答案】【解析】【分析】依據(jù)題意，找到橢圓離心率最大的位置點(diǎn)是關(guān)鍵，要保證該橢圓是以切點(diǎn)為焦點(diǎn)，則須要新加一個(gè)相同大小的球從圓柱上方放入，使得平面也與該球相切，最終通過(guò)建立平面直角坐標(biāo)系，求得橢圓的離心率【詳解】依據(jù)題意，可再新增一個(gè)半徑為3的球從圓柱上方放入，設(shè)平面分別交兩個(gè)球于點(diǎn)和點(diǎn)，則可得：點(diǎn)和點(diǎn)是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)在圓柱上平面上時(shí)，此時(shí)橢圓的離心率取得最大值如上圖所示，為圓柱的高，為球的半徑，則為，為，然后建立以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為軸，以為軸的平面直角坐標(biāo)系，易知：，圓的方程為：設(shè)直線的斜率為，則該直線的方程為：依據(jù)相切可知：點(diǎn)到直線的距離為則有：解得：故直線的方程為：則有：則因，則直線的方程為：聯(lián)立直線和直線的方程：可解得：則解得：故橢圓的最大離心率為：故答案為：【點(diǎn)睛】立體幾何與圓錐曲線相結(jié)合的題目，難度較大，可先將立體幾何轉(zhuǎn)化為平面幾何進(jìn)行分析，進(jìn)而簡(jiǎn)化問(wèn)題，然后運(yùn)用平面幾何的學(xué)問(wèn)求解問(wèn)題.四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17.已知雙曲線的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，，焦距為8，M是雙曲線上的一點(diǎn)．（1）求C的離心率和漸近線方程；（2）若，求．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）由已知干脆求a、b、c，再求離心率和漸近線方程；（2）依據(jù)雙曲線定義干脆求解，留意雙曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最小距離為.【小問(wèn)1詳解】由題知：，所以所以雙曲線C的離心率，漸近線方程為.【小問(wèn)2詳解】由雙曲線定義知：，或又，故不滿意.18.如圖所示，在中，，斜邊．現(xiàn)將以直角邊AO為軸旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)圓錐，點(diǎn)C為圓錐底面圓周上的一點(diǎn)，且，點(diǎn)D是線段AB的中點(diǎn)．

（1）求直線CD與OA所成角的余弦值；（2）求點(diǎn)B到平面OCD的距離．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）取OB中點(diǎn)M，連接DM，則可得為直線CD與OA所成角或其補(bǔ)角，在中計(jì)算其余弦值即可；（2）過(guò)B作交OD于N，通過(guò)證明面可得線段的長(zhǎng)即為點(diǎn)B到平面OCD的距離，在中計(jì)算的長(zhǎng)度即可.【小問(wèn)1詳解】取OB中點(diǎn)M，連接DM，CM,因?yàn)镈,M分別為BA，BO中點(diǎn)，則則為直線CD與OA所成角或其補(bǔ)角，因?yàn)槊?則面，又CM面，則，，又,,即直線CD與OA所成角的余弦值為；【小問(wèn)2詳解】過(guò)B作交OD于N，，面，又面，，又，面，則線段的長(zhǎng)即為點(diǎn)B到平面OCD的距離，，.即點(diǎn)B到平面OCD的距離為.

【點(diǎn)睛】19.如圖，有三個(gè)外形相同的箱子，分別編號(hào)為1，2，3，其中1號(hào)箱裝有1個(gè)黑球和3個(gè)白球，2號(hào)箱裝有2個(gè)黑球和2個(gè)白球，3號(hào)箱裝有3個(gè)黑球，這些球除顏色外完全相同．小明先從三個(gè)箱子中任取一箱，再?gòu)娜〕龅南渲须S意摸出一球，記事務(wù)表示“球取自第i號(hào)箱”，事務(wù)B表示“取得黑球”．（1）分別求，，和的值；（2）若小明取出的球是黑球，推斷該黑球來(lái)自幾號(hào)箱的概率最大？請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1），，，.（2）來(lái)自3號(hào)箱的概率最大,理由見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）利用條件概率公式,計(jì)算即可求得，，；三式求和即得；（2）利用條件概率公式分別計(jì)算，，，最大者即為所求箱號(hào).【小問(wèn)1詳解】由已知可得,,∴，，，∴.【小問(wèn)2詳解】，，，最大，即若小明取出的球是黑球，該黑球來(lái)自3號(hào)箱的概率最大.20.已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)在拋物線C上．（1）求拋物線C的方程及其準(zhǔn)線方程；（2）過(guò)點(diǎn)M直線l與拋物線C相交于M，N兩點(diǎn)，且的面積為3，求直線l的方程．【答案】（1）；（2）或【解析】【分析】（1）將點(diǎn)代入計(jì)算即可；（2）設(shè)直線l的方程為，，與拋物線方程聯(lián)立，消去，可求出，再求出直線與軸交點(diǎn)坐標(biāo)，再利用列方程求解即可.【小問(wèn)1詳解】由已知得，解得.所以拋物線C的方程為，其準(zhǔn)線方程為;【小問(wèn)2詳解】由（1）得，，設(shè)直線l的方程為，，聯(lián)立，消去得，，則又直線l與軸交點(diǎn)坐標(biāo)為，解得或所以直線l的方程為或，即或.21.如圖，在多面體ABCDEF中，平面平面ABCD，，，，．（1）求證：；（2）若四邊形ACEF為矩形，且，求直線DF與平面DCE所成角的正弦值；（3）若四邊形ACEF為正方形，在線段AF上是否存在點(diǎn)P，使得二面角的余弦值為？若存在，懇求出線段AP的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）見(jiàn)解析（2）（3）存在，【解析】【分析】（1）利用直角三角形和余弦定理及勾股定理的逆定理經(jīng)過(guò)計(jì)算可證得AC⊥CD,然后依據(jù)已知條件，利用面面垂直的性質(zhì)定理可證得CD⊥平面ACEF,從而證得結(jié)論；（2）依據(jù)已知條件利用面面垂直的性質(zhì)定理可證得AF,AB,AD兩兩垂直，以A為原點(diǎn)，以射線AB、AD、AF為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.然后利用空間向量運(yùn)算求得；（3）與（2）同樣建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解.【小問(wèn)1詳解】∵，，∴四邊形ABCD為直角梯形，又∵，∴∠BAC=45°，AC=，∴∠CAD=45°，又∵AD=2,∴CD=．∴,∴,又∵平面ACEF⊥平面ABCD,平面ACEF∩平面ABCD=AC,CD?平面ABCD,∴CD⊥平面ACEF,又∵AF?平面ACEF,∴CD⊥AF【小問(wèn)2詳解】∵四邊形ACEF為矩形，∴AF⊥AC,又∵平面ACEF⊥平面ABCD,平面ACEF∩平面ABCD=AC,AF?平面ACEF,∴AF⊥平面ABCD,CE⊥平面ABCD∴AFAB,AD兩兩垂直，以A為原點(diǎn)，以射線AB、AD、AF為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示.∵AF⊥平面ABCD,AF//CE,∴CE⊥平面ABCD，又∵，∴CE=CDtan30°=,∴A(0,0,0),B(0,1,0),C(1,1,0),D(2,0,0),F(0,0,),E(1,1,),,由AC⊥CE,AC⊥CD,CE∩CD=C,∴AC