浙江省杭州地區(qū)含周邊重點(diǎn)中學(xué)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中聯(lián)考試題含解析

浙江省杭州地區(qū)(含周邊重點(diǎn)中學(xué))2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中聯(lián)考試題一?選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知等差數(shù)列滿(mǎn)意，則（）A.5 B.10 C.20 D.40【答案】C【解析】【分析】利用等差中項(xiàng)的性質(zhì)求解.【詳解】解：由題得.故選：C2.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如右下圖所示，則的圖象可能是（）

A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系即得.【詳解】由題可知，函數(shù)單調(diào)遞增，，函數(shù)單調(diào)遞增.故BCD錯(cuò)誤.故選：A.3.數(shù)列()A.既有最大項(xiàng)，又有最小項(xiàng) B.有最大項(xiàng)，無(wú)最小項(xiàng)C.無(wú)最大項(xiàng)，有最小項(xiàng) D.既無(wú)最大項(xiàng)，又無(wú)最小項(xiàng)【答案】A【解析】【分析】結(jié)合指數(shù)函數(shù)單調(diào)性和值域即可推斷．【詳解】∵，，∴依據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性可知，在1≤n≤10時(shí)為減數(shù)列且為負(fù)，在n≥11時(shí)也為減數(shù)列且為正，故數(shù)列最小項(xiàng)為第10項(xiàng)，最大項(xiàng)為11項(xiàng)．故選：A．4.已知隨機(jī)變量滿(mǎn)意，則（）A.5 B.6 C.12 D.18【答案】D【解析】【分析】依據(jù)方差的性質(zhì)計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)?，所以；故選：D5.數(shù)列的前2024項(xiàng)和為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依題意，利用裂項(xiàng)相法求和即可；【詳解】解：記前項(xiàng)和為，則；故選：B6.已知定義在上的可導(dǎo)函數(shù)滿(mǎn)意，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由已知條件構(gòu)造函數(shù)，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，可推斷出函數(shù)的單調(diào)性，然后由函數(shù)的單調(diào)性比較大小即可【詳解】令，則，因?yàn)?，，所以，所以在上為減函數(shù)，所以，所以，所以，故選：C7.某項(xiàng)射擊試驗(yàn)中，某人首射中靶概率為0.6，若前一次中靶，則后一次中靶的概率為0.9，若前一次不中靶，則后一次中靶的概率仍為0.6.若此人射擊二次，則該人其次次中靶的條件下，第一次中靶的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】干脆由條件概率公式計(jì)算即可.【詳解】設(shè)第一次中靶為事務(wù)A，其次次中靶為事務(wù)B，則，，則.故選：B.8.已知前項(xiàng)和為的數(shù)列滿(mǎn)意，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用賦值法，分別令求出，，再令可得，再由可求得結(jié)果【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所以，同理，因?yàn)?，所以，所以，所以，故選：B二?多選題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.9.下列求導(dǎo)錯(cuò)誤的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】依據(jù)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則及簡(jiǎn)潔的復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)計(jì)算法則計(jì)算可得；【詳解】解：對(duì)于A：，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：，故C正確；對(duì)于D：，故D錯(cuò)誤；故選：ABD10.已知二項(xiàng)式的綻開(kāi)式中（）A.含項(xiàng)的系數(shù)為28 B.全部項(xiàng)的系數(shù)和為1C.二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第五項(xiàng) D.系數(shù)最大的項(xiàng)是第六項(xiàng)【答案】BC【解析】【分析】利用二項(xiàng)綻開(kāi)式的通項(xiàng)公式，對(duì)四個(gè)選項(xiàng)一一探討：對(duì)于A：利用通項(xiàng)公式干脆求解；對(duì)于B：利用賦值法，令x=1，即可求得；對(duì)于C：利用二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)可得；對(duì)于D：每一項(xiàng)的系數(shù)記為.干脆求出系數(shù)最大的項(xiàng).【詳解】二項(xiàng)式的綻開(kāi)式的通項(xiàng)公式為.對(duì)于A：含項(xiàng)為.故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：在二項(xiàng)式的綻開(kāi)式中，令x=1，可得全部項(xiàng)的系數(shù)和為1.故B正確；對(duì)于C：二項(xiàng)式的綻開(kāi)式一共有9項(xiàng)，由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)可得，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第五項(xiàng).故C正確；對(duì)于D：每一項(xiàng)的系數(shù)記為.明顯r為奇數(shù)，；r為偶數(shù)，.要求系數(shù)最大的項(xiàng)，只需比較r為偶數(shù)的狀況：r=0時(shí)，；r=2時(shí)，；r=4時(shí)，；r=6時(shí)，；r=8時(shí)，.故系數(shù)最大的項(xiàng)為第七項(xiàng).故D錯(cuò)誤.故選：BC.11.已知，，（）A.若事務(wù)獨(dú)立，則B.若事務(wù)互斥，則C.若事務(wù)獨(dú)立，則D.若事務(wù)互斥，則【答案】AB【解析】【分析】依據(jù)條件概率的公式及獨(dú)立事務(wù)與對(duì)立事務(wù)的概率公式即可求解.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)槭聞?wù)獨(dú)立，所以，所以,故A正確；對(duì)于B,因?yàn)槭聞?wù)互斥，所以,,故B正確；對(duì)于C，因?yàn)槭聞?wù)獨(dú)立，所以，所以，故C不正確；對(duì)于D,因?yàn)槭聞?wù)互斥，所以,所以,故D不正確.故選：AB.12.已知（）A.若，則，使函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)B.若，則，使函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)C.若，則，使函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)D.若，則，使函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)【答案】ACD【解析】【分析】數(shù)形結(jié)合，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為推斷直線(xiàn)與曲線(xiàn)交點(diǎn)個(gè)數(shù)【詳解】令，則所以設(shè)，則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減在處取得極大值當(dāng)趨向于時(shí)，趨向于；當(dāng)趨向于時(shí)，趨向于又，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以，是函數(shù)的拐點(diǎn)，所以在處的切線(xiàn)方程為，即如圖所示，ACD正確，B錯(cuò)誤故選：ACD三?填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.函數(shù)在區(qū)間上的平均改變率是___________.【答案】【解析】【分析】依據(jù)給定條件求出函數(shù)值的增量，再利用平均改變率的意義計(jì)算即得.【詳解】依題意，在區(qū)間[1，1+]內(nèi)的函數(shù)值的增量為：=f(1+Δx)-f(1)=-1=，于是得＝，所以所求的平均改變率為.故答案為：14.函數(shù)的微小值點(diǎn)是___________.【答案】2【解析】【分析】利用函數(shù)極值點(diǎn)的定義求解.【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)，所以，令，得或，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以的微小值點(diǎn)是2，故答案為：215.5位學(xué)生被安排到3個(gè)志愿點(diǎn)作志愿者，每個(gè)志愿點(diǎn)至少安排一位學(xué)生，其中甲乙不能安排到同一個(gè)志愿點(diǎn)，則共有___________種不同的安排方式（用數(shù)字作答）.【答案】114【解析】【分析】先把5位學(xué)生分為兩類(lèi)分別為3,1,1和2,2,1，再用分步分類(lèi)計(jì)數(shù)原理及間接法，結(jié)合組合數(shù)公式即可求解.【詳解】由題意可知5位學(xué)生被安排到3個(gè)志愿點(diǎn)作志愿者，，共有種.甲、乙安排到同一個(gè)志愿點(diǎn)，有種所以不同的安排方案有種故答案為：114.16.已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對(duì)于，恒成立，則等比數(shù)列的公比為_(kāi)__________.【答案】【解析】【分析】由題可得恒成立，由時(shí)，可得，進(jìn)而，即得.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由題可知，由，可得，∴，即，當(dāng)時(shí)，，∴，又，，恒成立，則，解得（正值舍去）.故答案為：.四?解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.17.已知.（1）求；（2）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用倍角公式及協(xié)助角公式化簡(jiǎn)，再將代入計(jì)算即可；（2）依據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可求解.【小問(wèn)1詳解】.【小問(wèn)2詳解】由（2）知，，由，，解得，所以函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間是.18.如圖，已知三棱錐，平面，，，，.、分別為、的中點(diǎn).

（1）證明：平面；（2）求點(diǎn)到平面的距離.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）利用中位線(xiàn)的性質(zhì)可得出，再利用線(xiàn)面平行的判定定理可證得結(jié)論成立；（2）過(guò)點(diǎn)在平面內(nèi)作，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線(xiàn)分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得點(diǎn)到平面的距離.【小問(wèn)1詳解】證明：因?yàn)?、分別為、的中點(diǎn)，則，平面，平面，因此，平面.【小問(wèn)2詳解】解：過(guò)點(diǎn)在平面內(nèi)作，因?yàn)槠矫?，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線(xiàn)分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、、、，設(shè)平面的法向量為，，，則，取，可得，，所以，點(diǎn)到平面的距離為.19.盒子里有3個(gè)球，其中2個(gè)白球，1個(gè)紅球.從中隨機(jī)取球，若取到紅球則放回，若取到白球，則不放回，當(dāng)?shù)?次取到紅球時(shí)，取球終止.（1）求恰好取了4次球的概率；（2）設(shè)嬉戲終止時(shí)取出的白球個(gè)數(shù)為隨機(jī)變量，求的分布列及期望.【答案】（1）；（2）分布列答案見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望：.【解析】【分析】（1）由題可知前3次取得1次紅球，2次白球，第4次為紅球，以取得紅球?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)分類(lèi)即得；（2）由題可得的取值為0，1，2，分別求概率即得分布列，再利用期望公式可得.【小問(wèn)1詳解】由題可知前3次取得1次紅球，2次白球，第4次為紅球，設(shè)第次取到紅球的事務(wù)記為，，則，，，故恰好取了4次球的概率；【小問(wèn)2詳解】由題可知的取值為0，1，2，，所以的分布列為：012所以.20.阿司匹林（分子式，分子質(zhì)量180）對(duì)血小板聚集的抑制作用，使它能降低急性心肌梗死疑似患者的發(fā)病風(fēng)險(xiǎn).對(duì)于急性心肌梗死疑似患者，建議第一次服用劑量300，嚼碎后服用以快速汲取，以后每24小時(shí)服用200.阿司匹林口服后經(jīng)胃腸道完全汲取，阿司匹林汲取后快速降解為主要代謝產(chǎn)物水楊酸（分子式，分子質(zhì)量138），降解過(guò)程生成的水楊酸的質(zhì)量為阿司匹林質(zhì)量的，水楊酸的清除半衰期（一般用物質(zhì)質(zhì)量衰減一半所用的時(shí)間來(lái)描述衰減狀況，這個(gè)時(shí)間被稱(chēng)作半衰期）約為12小時(shí).（考慮全部阿司匹林都降解為水楊酸）（1）求急性心肌梗死疑似患者第1次服藥48小時(shí)后第3次服藥前血液中水楊酸的含量（單位）；（2）證明：急性心肌梗死疑似患者服藥期間血液中水楊酸的含量不會(huì)超過(guò)230.【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）設(shè)是小時(shí)后第次服藥前血液中水楊酸的含量，先求出，再表示出遞推關(guān)系式，即可求解；（2）先由（1）中遞推關(guān)系式構(gòu)造得到等比數(shù)列，求得，再求得剛服藥后即可求解.【小問(wèn)1詳解】設(shè)是小時(shí)后第次服藥前血液中水楊酸的含量，易知每24小時(shí)，水楊酸的含量變?yōu)樵瓉?lái)的，則，時(shí)，，；【小問(wèn)2詳解】由（1）知，，則是以首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，故，，，故急性心肌梗死疑似患者服藥期間血液中水楊酸的含量不會(huì)超過(guò)230mg.21.已知點(diǎn)為雙曲線(xiàn)右支上的點(diǎn)，雙曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)交漸近線(xiàn)于點(diǎn)，.（1）證明：為中點(diǎn)；（2）若雙曲線(xiàn)上存在點(diǎn)使的垂心恰為原點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】(1)設(shè)，代入雙曲線(xiàn)方程，得到的切線(xiàn)方程，進(jìn)而聯(lián)立漸近線(xiàn)方程分別求出，通過(guò)運(yùn)算即可證明為中點(diǎn).(2)雙曲線(xiàn)上存在點(diǎn)，設(shè)，，通過(guò)聯(lián)立與，得到的坐標(biāo)，然后分別把代入雙曲線(xiàn)方程，利用雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)，得到的范圍.【小問(wèn)1詳解】設(shè)，滿(mǎn)意，過(guò)的切線(xiàn)方程點(diǎn)滿(mǎn)意方程，，同理可得點(diǎn)滿(mǎn)意方程，；.所以為中點(diǎn)；【小問(wèn)2詳解】雙曲線(xiàn)上存在點(diǎn)，，.由直線(xiàn)與直線(xiàn)得點(diǎn)坐標(biāo)為，由，得點(diǎn)坐標(biāo)，將點(diǎn)坐標(biāo)代入雙曲線(xiàn)方程得，與點(diǎn)滿(mǎn)意的方程聯(lián)立得，解得，即.22.已知函數(shù)，實(shí)數(shù)，為方程的兩個(gè)不等的根.（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）證明：.【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）利用函數(shù)的單調(diào)性即可求解；（2）通過(guò)視察發(fā)覺(jué)在處的切線(xiàn)方程為，在處的切線(xiàn)方程為，利用導(dǎo)數(shù)即可證明和，再利用在區(qū)間和上的切