初升高數(shù)學(xué)暑假銜接（人教版）第04講 充分條件與必要條件（學(xué)生版）

第04講充分條件與必要條件1．理解充分條件、必要條件的概念，理解充要條件的意義；2．了解充分條件與判定定理、必要條件與性質(zhì)定理的關(guān)系；3．能通過(guò)充分性、必要性解決簡(jiǎn)單的問(wèn)題；4．能對(duì)充分條件進(jìn)行證明。一、命題定義與表示1、命題的定義：一般地，我們把用語(yǔ)言、符號(hào)或式子表達(dá)的，可以判斷真假的陳述句叫命題．判斷為真的語(yǔ)句是真命題，判斷為假的語(yǔ)句是假命題．2、命題的表示：命題表示為“若p，則q”時(shí)，p是命題的條件，q是命題的結(jié)論．二、充分條件條件與必要條件1、充分條件與必要條件定義（1）一般地，“若，則”為真命題，是指由條件通過(guò)推理可以得出結(jié)論.這時(shí)，我們就說(shuō)，由可推出，記作，并且說(shuō)，是的充分條件，是的必要條件。（2）如果“若，則”為假命題，那么由條件不能推出結(jié)論，記作.這時(shí)，我們就說(shuō)，不是的充分條件，不是的必要條件。2、充分條件與必要條件的關(guān)系是的充分條件反映了，而是的必要條件也反映了，所以是的充分條件與是的必要條件表述的是同一個(gè)邏輯關(guān)系，只是說(shuō)法不同。而是的充分條件只反映了，與能否推出沒(méi)有任何關(guān)系。三、充要條件1、充要條件的定義如果“若，則”和它的逆命題“若，則”均為真命題，即既有，又有，就記作。此時(shí)，既是的充分條件，也是的必要條件，我們說(shuō)是的充分必要條件，簡(jiǎn)稱(chēng)充要條件。2、充要條件的含義若是的充要條件，則也是的充要條件，雖然本質(zhì)上是一樣的，但在說(shuō)法上還是不同的，因?yàn)檫@兩個(gè)命題的條件與結(jié)論不同。3、充要條件的等價(jià)說(shuō)法：是的充要條件又常說(shuō)成是成立當(dāng)且僅當(dāng)成立，或與等價(jià)。四、充分、必要、充要條件的證明1、證明“充分不必要條件”“必要不充分條件”，一般先證明一個(gè)方面，然后驗(yàn)證另一個(gè)方面不成立。2、證明“充要條件”一般應(yīng)分兩個(gè)步驟，即分別證明“充分性”與“必要性”，但千萬(wàn)要注意“誰(shuí)”是“誰(shuí)”的充分條件，“誰(shuí)”是“誰(shuí)”的必要條件。盡管證明充要條件問(wèn)題中前者可以是后者的充分條件也可以是必要條件，但還是不能把步驟顛倒了。一般地，證明成立的充要條件為，在證明充分性時(shí)，應(yīng)以為“已知條件”，是在該步中要證明的“結(jié)論”，即；在證明必要性時(shí)，則是以為“已知條件”，在該步中要證明的“結(jié)論”，即考點(diǎn)一：命題的概念與真假判斷例1．(多選)下列語(yǔ)句是命題的是（）A．3是15的約數(shù)B．x2+2x+1≥0C．4不小于2D．你準(zhǔn)備考北京大學(xué)嗎?【變式訓(xùn)練】下列命題：①矩形既是平行四邊形又是圓的內(nèi)接四邊形;②菱形是圓的內(nèi)接四邊形且是圓的外切四邊形;③方程的判別式大于0;④周長(zhǎng)相等的兩個(gè)三角形全等或面積相等的兩個(gè)三角形全等;⑤集合是集合A的子集，且是的子集．其中真命題的個(gè)數(shù)是（）A．1B．2C．3D．4考點(diǎn)二：充分、必要條件的判斷例2．已知集合，，則“”是“”的（）A．充分非必要條件B．必要非充分條件C．充要條件D．既非充分又非必要條件【變式訓(xùn)練】指出下列各組命題中，是的什么條件？是的什么條件？（1）若，，；（2）或；；（3）：能被整除，：能被整除．考點(diǎn)三：根據(jù)充分、必要條件求參數(shù)范圍例3．已知不等式成立的充分條件是，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A．或B．或C．D．【變式訓(xùn)練】已知，若是的必要條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．考點(diǎn)四：探求充要條件例4．（多選）下列各選項(xiàng)中，p是q的充要條件的是（）A．p：或，q：方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根B．p：，q：C．p：兩個(gè)三角形相似，q：兩個(gè)三角形全等D．p：，q：【變式訓(xùn)練】下列結(jié)論，可作為“兩條直線平行”的充要條件的是______．①同位角相等；②內(nèi)錯(cuò)角相等；③同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)；④同旁?xún)?nèi)角相等．考點(diǎn)五：充要條件的證明例5．求證：等式對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立的充要條件是.【變式訓(xùn)練】已知，是實(shí)數(shù)，求證：成立的充要條件是.1．下列語(yǔ)句是命題的是（）A．二次函數(shù)的圖象太美啦！B．這是一棵大樹(shù)C．求證：D．3比5大2．設(shè)：p：，q：，則p是q成立的（）A．充分必要條件B．充分不必要條件C．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件3．王昌齡是盛唐著名的邊塞詩(shī)人，被譽(yù)為“七絕圣手”，其詩(shī)作《從軍行》中的詩(shī)句“青海長(zhǎng)云暗雪山，孤城遙望玉門(mén)關(guān)．黃沙百戰(zhàn)穿金甲，不破樓蘭終不還”傳誦至今．由此推斷，其中最后一句“返回家鄉(xiāng)”是“攻破樓蘭”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件4．已知是的充分不必要條件，是的充分條件，是的必要條件，是的必要條件，現(xiàn)有下列命題：①是的充要條件；②是的充分不必要條件；③是的必要不充分條件；④是的充分不必要條件；正確的命題序號(hào)是（）A．①④B．①②C．②③D．③④5．若不等式的一個(gè)充分條件為，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．6．（多選）下列四個(gè)命題中為真命題的是（）A．“”是“”的既不充分也不必要條件B．“三角形為正三角形”是“三角形為等腰三角形”的必要不充分條件C．關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根的充要條件是D．若集合，則是的充分不必要條件7．（多選）有以下四種說(shuō)法，其中說(shuō)法正確的是（）A．“是實(shí)數(shù)”是“是有理數(shù)”的必要不充分條件B．“”是“”的充要條件C．“”是“”的充分不必要條件D．“”是“”的必要不充分條件8．（多選）設(shè)全集為U，在下列選項(xiàng)中，是的充要條件的是（）A．B．C．D．9．已知集合，（1）若，求；（2）若“”是“”的必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．10．已知x，y都是非零實(shí)數(shù)，且x>y，求證：eq\f(1,x)<eq\f(1,y)的充要條件是xy>0.1．下列是“四邊形是矩形”的充分條件是（）A．四邊形的對(duì)角線相等B．四邊形的兩組對(duì)邊分別相等C．四邊形有兩個(gè)內(nèi)角都為直角D．四邊形的兩組對(duì)邊分別平行且有一組對(duì)角互補(bǔ)2．已知a，，則“”的一個(gè)必要條件是（）A．B．C．D．3．王昌齡是盛唐著名的邊塞詩(shī)人，被譽(yù)為“七絕圣手”，其詩(shī)作《從軍行》中的詩(shī)句“青海長(zhǎng)云暗雪山，孤城遙望玉門(mén)關(guān)．黃沙百戰(zhàn)穿金甲，不破樓蘭終不還”傳誦至今．由此推斷，其中最后一句“返回家鄉(xiāng)”是“攻破樓蘭”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件4．已知p：，那么p的一個(gè)充分不必要條件是（）A．B．C．D．5．若，則（）A．“”是“”的充分不必要條件B．“”是“”的充要條件C．“”是“”的必要不充分條件D．“”是“”的既不充分也不必要條件6．已知條件p：，條件q：，若p是q的充分不必要條件，則a的取值范圍為（）A．B．C．D．7．（多選）下列結(jié)論正確的有（）A．在中，“是鈍角”是“