北師大版必修第二冊4.2平面與平面平行-1課時練習

【優(yōu)質(zhì)】4.2平面與平面平行-1課時練習

一.填空題

1.一個質(zhì)點從A上出發(fā)依次沿圖中線段到達B.C.D.E.F.G.H.I.J各點，最后又回到A（如圖

所示），其中：fAB//CD//EF//HG//IJ,BC〃DE〃FG〃HI〃JA.欲知此質(zhì)點所走路程，至少

需要測量n條線段的長度，則n的值為

DC

2.如圖，在正方體中，E.尸分別是。a.0c上靠近點力的三等分點，則異面

直線EF與AG所成角的大小是.

AECF1

3.在空間四邊形ABCD中，E.F分別是AB.BC上的點，且硝FB§,則AC和平面DEF位置關(guān)

系______

4.%耳是兩個平面，利”是兩條直線，有下列四個命題：

（1）如果機,那么?夕

.）如果那么加,加

6）如果根ua,那么根//力

（4）如果加//〃,〃uc,則加//2

其中正確的命題有_L.（填寫所有正確命題的編號）

5.在正方體AG中，E是棱CG的中點，F(xiàn)是側(cè)面片內(nèi)的動點，且A/與平面RAE的垂線垂

直，如圖所示，下列說法不正確的序號為

①點F的軌跡是一條線段.②"與BE是異面直線.

③AF與RE不可能平行.④三棱錐F-ABQ的體積為定值.

6.在空間四邊形A8CO中，E為邊的中點，/為邊°。的中點，若AC=6,80=10,且

AC_L8O,則線段所的長為

斯=正

7.如圖，正方體-44GA的棱長為1,線段及R上有兩個動點民尸，且一2,現(xiàn)有如

下四個結(jié)論：

①皿％

②平面EFC〃平面4BD

③異面直線人28廠所成的角為定值；

④三棱錐A-B￡F的體積為定值，

其中正確結(jié)論的序號是.

8.如圖，在長方體AS。。-中，AD=DD,=l,AB=y/3P)G分別為被"，u9的

中點，點P在平面ABCD內(nèi)，若直線RP”平面EFG,則線段°』長度的最小值是.

9.已知棱長為1的正方體ABCD-ABCD中，E,F,M分別是線段AB.AD.AAi的中點，又P.Q分別

在線段AB.AD上，且AF=AQ=x（OG〈l）.設(shè)平面MEFCI平面MPQ

=1,現(xiàn)有下列結(jié)論：

Di

②1_LAC；

③直線1與平面BCCB不垂直；

④當x變化時，1不是定直線.

其中不成立的結(jié)論是.（寫出所有不成立結(jié)論的序號）

10.正四棱柱ABCO-AqGA中，AB=AD=\,E為§片中點，若點尸滿足A%=4的，且BPH

平面則丸=.

11.如圖，在矩形ABCO中，3c=243=2,N為的中點，將一ABN沿AN翻折成△與AN（品6

平面ABCO）,M為線段用。的中點，則在翻折過程中給出以下四個結(jié)論：

①與平面用AN垂直的直線必與直線CM垂直;

旦

②線段CM的長為2；

?

③異面直線CM與Ng所成角的正切值為3；

④當三棱錐口~"Ng的體積最大時，三棱錐D-ANB1外接球的表面積是4萬.

其中正確結(jié)論的序號是.（請寫出所有正確結(jié)論的序號）

12.如圖，在棱長為1的正方體被力〃中，點歷是4?的中點，動點尸在底面正方形幽力內(nèi)

（不包括邊界），若BH/平面4BM,則GP長度的取值范圍是—.

13.已知小垂直于"SC所在平面。，。為8c的中點，又與平面a所成的角分別為

60°45°,30°,若8C=6,則PA=.

14.已知直線機〃平面僅，°C尸，那么在平面￡內(nèi)過點P與直線m平行的直線有條.

15.如圖，在棱長為1的正方體ABC0-44GQ中，點民尸分別是棱8C,℃的中點，P是側(cè)面

BCC向內(nèi)一點，若AP//平面AE尸，則P點的軌跡長為.

A

參考答案與試題解析

1.【答案】3

【解析】計算得到路程等于2AB+28C+3G”,得到答案.

詳解.路程等干+CD+DE+EF+FG+GH+HI+IJ+JA-2AB+2BC+3GH

故至少需要測量3條線段長度.’

故答案為：3.

【點睛】

本題考查了線段的長度問題，確定路程等于2M+2BC+3GH解題的關(guān)鍵..

2.【答案】60

【解析】連接,可得出政〃,烏，證明出四邊形ABC2為平行四邊形，可得48//C。，可得出

異面直線跖與4G所成角為N8AG或其補角，分析入4田G的形狀，即可得出N8AG的大小，即

可得出答案.

【詳解】

DEDF

連接CDBQDD,~DC~3EF//CD,

在正方體A8C0_44G〃中，AQ也AD,AD/.:.A、D.C

所以，四邊形MCA為平行四邊形，

所以，異面直線砂與A&所成的角為

易知MBG為等邊三角形，??.N3G=60

故答案為：60.

【點睛】

本窗考查異面直線所成角的計算，一般利用平移直線法，選擇合適的三角形求解，考查計算能力，屬

于中等題.

3.【答案】平行

【解析】根據(jù)比例式得到灰〃AC,繼而得到線面平行，問題得以解決.

【詳解】

AECF1

解：EBFB3,

:.EFHAC

EFu平面￡)￡F,AC(Z平面DEF,

二AC7/平面DEF,

故答案為：平行.

￡

f八Y妹??\\

RFC

【點睛】

本題考查空間中直線與平面之間的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握空間中直線與直線之間位置關(guān)系的判

斷方法，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】(2)(3)

【解析】根據(jù)直線和平面，平面和平面的位置關(guān)系依次判斷每個選項得到答案.

詳

解：(1)如果根加,a〃///,那么?！ㄊ蛲馐嘟唬?1)錯誤；

e>

mla,n//a)那么加上〃，(2)正確；

a/""''那么加〃尸，(3)正確;

m//”,〃ua,則加//&或加ua,(4)錯誤；

故答案為:(2)(3).

【點睛】

本題考查了直線和平面，平面和平面的位置關(guān)系，意在考查學生的空間想象能力和推斷能力.

5.【答案】③

【解析】分別根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理以及異面直線的定義，以及體積公式分別進行判斷.

詳解：對于①，設(shè)平面與直線BC交于點G,連接AGEG,則G為8C的中點..

分別取用B,4G的中點M,N,AM,MN,ANf

則AM///5]￡",A"Z平面。,REu平面

所以AM//平面AAE,同理可得肱V//平面AAE

A"，"N是平面AMN內(nèi)的相交直線.

所以平面A"'//平面印巴

由4尸與平面DA"的垂線垂直，則A""平面印巴可得直線Vu平面AMN.

即點尸是線段MN上的動點，所以①正確.

對于②，由①有點尸在線段.上，所以8，2口三點在側(cè)面8CG與內(nèi)

假設(shè)4口與距不是異面直線，則4，民民尸四點共面，則他們共面于側(cè)面8CG4內(nèi).

這與在正方體中，顯然4史BCG與產(chǎn)生矛盾，所以假設(shè)不成立.

故AF與3E是異面直線，故②正確.

對于③，當F與M重合時，"11D\E,所以③錯誤.

對于④，MN//EG,EG//A。，則肱V//平面ABA

則點F到平面482的距離等于點M(或點N)到平面AB"的距離.

設(shè)點M(或點N)到平面ABD]的距離為d.

憶,…=。

則-M-A皿Vvr1.^-ABM，即3"=W3S4A6M.4

s

在正方體中，ABD',S/VIBM,AA均為定值，所以"為定值.

點尸到平面ABA的距離為定值，又.，%為定值.

所以口-AB?的體積為定值,故④正確.

故答案為：③.

【點睛】

本題考查空間平行關(guān)系的應(yīng)用.空間軌跡的探索.異面直線的判斷，平行直線的判斷和錐體的體積的

計算，屬于中檔題.

6.【答案】V34

【解析】取8c中點°,連接E°'F°，由七°AC,^EO~^AC~3,FOBD,S.FO~^BD~5

推導出E0J.R9,由此求出EF的長.

【詳解】

如圖，取BC中點。，連接E°，F(xiàn)°,

因為E為邊45的中點，F(xiàn)為邊8的中點，AC=6,BD=10,且ACJ.BO,

所以E°AC,且E°=5C=3,FOBD且吁口。=5

因為ACJ.BO,所以

所以EF=^ECf+FOr=,9+25=后

【點睛】

本題考查了空間兩點的距離，主要考查了線線平行，重點考查了運算能力，屬基礎(chǔ)題.

7.【答案】①②④

【解析】通過證明異面直線垂直證得①成立，通過證明面面平行證得②成立，作出異面直線A236

所成的角，由此判斷異面直線A瓦8廠所成的角是否為定值，利用錐體體積公式計算出三棱錐

A-3EF的體積.

詳解：①設(shè)AC與8。相交與G.根據(jù)正方體的性質(zhì)可知AC,S。,AC_L8旦，而8℃8旦=8,所

以AC工平面BDRBI所以ACJ_BE,故①正確.

②根據(jù)正方體的性質(zhì)可知48//*,489平面4cA,*u面線04,所以4///平面8卬.

同理可證BDH平面片,而A8c80=8,所以平面A.BDH平面B、CD】也即平面EFCH平面

A叫故②正確.

BD=B、D\=0,BG=^EF=—

③由于正方體的邊長為1,所以2,而2,根據(jù)正方體的性質(zhì)可知

EFHBG,所以四邊形BGEf是平行四邊形，所以BF//GE,所以NAEG是異面直線AE，8f'所成

tanZAEG=—

的角，所以GE,其中AG為定值，GE長度不固定，所以NAEG不是定值，所以③錯

誤.

④由①可知AC，平面BDDM

v1c._1f1V21

VX

A-BEF=-SBEI..XAG=-X-X—xlX—=—

所以I7為定值，所以④正確.

故答案為：①②④

【點睛】

本示題主要考查線線.面面的位置關(guān)系，考查錐體體積計算，屬于中檔題.

8.【答案】也

2

【解析】如圖，連接AA,AC,℃,證明平面AOA”平面EFG.因為直線2尸〃平面EFG,所以點

P在直線AC上.當OfA。時.線段A。的長度最小，再求此時的得解.

【詳解】

如圖，連接AA,AC,Z)C,

因為E,F,G分別為AB,BC,GA的中點，

所以AC7/防，跖.平面AC2,

則)7/平面A8因為EG//A%

所以同理得EG//平面A。"，又EFEG=E

所以平面AC"”平面EFG.

因為直線°產(chǎn)〃平面EFG,所以點P在直線AC上.

AR=6,AC=2,CD\=2,S9,=qx夜x2?/坐］=g

在“8中，21。2,

不

~2

lx2-2

故當。P，AC時.線段2P的長度最小，最小值為5

巨

故答案為：2

【點睛】

本題主要考查空間位置關(guān)系的證明，考查立體幾何中的軌跡問題，意在考查學生對這些知識的理解掌

握水平.

9.【答案】④

【解析】詳解：連接BD,BD,：AF=AQ=x,，PQ〃BD〃BD〃EF,則PQ〃平面MEF,

又平面MEFC1平面MPQ=L；.PQ〃1,1〃EF,

.,」〃平面ABCD,故①成立；

又EFLAC,.("LAC,故②成立；

\T〃EF〃BD,故直線1與平面BCCB不垂直，故③成立；

當x變化時，1是過點M且與直線EF平行的定直線，故④不成立.

即不成立的結(jié)論是④.

0

10.【答案】—

【解析】先猜想點p為AD的中點，取A"的中點/，連接EF.PF,再證明8P//平面AE".結(jié)

合正四棱柱和中位線的性質(zhì)可推出四邊形3PFE為平行四邊形，從而BP//EF,然后由線面平行的

判定定理可證得8P//平面AE%

詳解：如圖所示，分別取4A.AD的中點F.P,連接EF.PF,此點尸即為所求.

證明如下：

F.尸分別為AA.AO的中點，

FPHD.DFP=2D'D

9，

E為BBi中點，

2'

VDD//BB

}}，

：.FP//BEtFP=BE,

???四邊形由小互為平行四邊形，

：.BP//EF9

BPZ平面AER,EFu平面BPFE,

??.3尸//平面4項入

由于P為A￡＞的中點，

2=-

所以2.

故答案為：2.

【點睛】

本題考主要查空間中線與面的平行關(guān)系，對于找點問題，一般可采用先猜后證的思想，熟練掌握線面

平行的判定定理是解題的關(guān)鍵，考查學生的空間立體感.邏輯推理能力，屬于中檔題.

11.【答案】①②④

【解析［①CM〃平面與AN,則可判斷；②通過線段相等CM=N￡,可求出線段NK的長；②異面

直線CM與N4所成角為NEN4,求出其正切值即可；④找出球心，求出半徑即可判斷其真假.從而

得到正確結(jié)論的序號.

詳解：如圖，取的中點為E,AD的中點為尸，連接EN,EM,FN,

則四邊形CNEM為平行四邊形，直線CN〃平面AB］”,所以①正確；

因為CMEN,異面直線CM與NB］的所成角為,

tanZEA^B,=-

2,所以③錯誤；

當三棱錐。一AN4的體積最大時，平面gAN與底面ABCO垂直，

可計算出I，I，I+所以NABQ=90。

同理N/WD=90°,

所以三棱錐。一ANB1外接球的球心為尸，半徑為1,外接球的表面積是4萬，④正確.

故答案為：①②④.

【點睛】

本題考查翻折過程中點線面的位置關(guān)系，注意翻折過程中不變的量，考查了相關(guān)角度，長度，體積的

計算，考查直觀想象，運算能力，屬于較難題目.

12.【答案】［回,逝)

【解析】取犯中點乂連結(jié)&N,DN,作連結(jié)G0,

因為平面氐"￥〃平面A、BM,

所以點P在底面ABCD內(nèi)的軌跡是線段(動點。在底面正方形ABCD內(nèi)，不包括邊界，故不含點N和

點D),

22

A八CQ=V2,DN=C,N=Jl+(-)=—

在中「IN2)2,

過GOL&V,則當P與。重合時，G尸長度取最小值，

如

GO=?=隨

1百2

—X------

所以長度的最小值為22,

當。與〃重合時，GP長度取最大值，

.??GP長度的最大值為CgC,

原揚

?.?。與〃不重合，...。夕長度的取值范圍是5'

［華，夜）

故答案為：5

13.【答案】亞

2

【解析】畫圖分析線面垂直的關(guān)系，再設(shè)A8長為x算出底面的所有線段長度，再利用彷。氏ADC

互補利用余弦關(guān)系求解即可.

【詳解】

畫出圖像，

易得ZPBA,ZPDA,ZPCA分別為60°,45°,30°

設(shè)AB長為x則PA=A8?tanNPBA=設(shè)NADB=。,=%—d

PAPA

AD=AC==3x

tanZPDAtanNPCA

故在AA83AAe。中

AD2+BD2-AB2AD2+CD2-AC2

cos。=cos(7-0}==-cos6

2ADBD2ADCD

3x2+9-x23^+9-9/

cos6=

代入得