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文檔簡介
第10講平面向量的應(yīng)用
0目標(biāo)導(dǎo)航
課程標(biāo)準(zhǔn)課標(biāo)解讀
1.掌握利用向量法解決平面幾何中的垂
通過本節(jié)課的學(xué)習(xí),要求能向量方法這一工具解決與平
直、平行、長度、夾角、面積等問題.
面幾何、三角函數(shù)、物理學(xué)中的相關(guān)問題,使得問題的
2.掌握利用向量法解決實際問題,如:力
處理簡便.
的大小、速度、位移、做功等問題.
3%知識精講
知識點
一、向量在平面幾何中的應(yīng)用
1.利用向量研究平面幾何問題的思想
向量集數(shù)與形于一身,既有代數(shù)的抽象性又有幾何的直觀性,因此,用向量解決平面幾
何問題,就是將幾何的證明問題轉(zhuǎn)化為向量的運算問題,將“證”轉(zhuǎn)化為“算”,思路清晰,
便于操作.
2.向量在平面幾何中常見的應(yīng)用
己知。=。,兇),6=(孫>2)?
(1)證明線段平行、點共線問題及相似問題,常用向量共線的條件:
a//b<^>a=Ab<^>x^y2-x2y1=0(6#0).
(2)證明線段垂直問題,如證明四邊形是正方形、矩形,判斷兩直線(或線段)是否垂
直等,常用向量垂直的條件:
a_Lb=a?b=0<=>+x%=。(其中a,6為非零向量).
(3)求夾角問題,若向量。與b的夾角為利用夾角公式:
(其中a,6為非零向量).
(4)求線段的長度或說明線段相等,可以用向量的模:
2222
Ia|=收+靖,或|A81=|AB|=7(X3-x4)+(y3-y4)(其中A,8兩點的坐標(biāo)分
別為(毛,%),(占,必).
(5)對于有些平面幾何問題,如載體是長方形、正方形、直角三角形等,常用向量的坐
標(biāo)法,建立平面直角坐標(biāo)系,把向量用坐標(biāo)表示出來,通過代數(shù)運算解決綜合問題.
3.利用向量解決平面幾何問題的步驟
(1)建立平面幾何與向量之間的聯(lián)系,用向量表示問題中涉及的幾何元素,將平面幾
何問題轉(zhuǎn)化為向量問題;
(2)通過向量運算,研究兒何元素之間的關(guān)系,如距離、夾角等問題;
(3)把運算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系.
這其實也是用向量法解決其他問題的思路,即從條件出發(fā),選取基底,把條件翻譯成向
量關(guān)系式(用基底表示其他向量),然后通過一系列的向量運算,得到新的向量關(guān)系式,
則這個新的向量關(guān)系式的幾何解釋就是問題的結(jié)論.
二、向量在物理中的應(yīng)用
向量是在物理的背景下建立起來的,物理中的一些量,如位移、力、速度(加速度)、
功等都與向量有著密切的聯(lián)系,因此可以利用向量來解決物理中的問題.具體操作時,
要注意將物理問題轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系式,通過向量的運算來解決,最后用來解釋物理現(xiàn)象.
1.向量與力
向量是既有大小又有方向的量,它們可以有共同的作用點,也可以沒有共同的作用點,
但是力的三要素是大小、方向和作用點,所以用向量知識解決力的問題,通常要把向量
平移到同一作用點上.
2.向量與速度、加速度及位移
速度、加速度與位移的合成與分解,實質(zhì)上就是向量的加減法運算.解決速度、加速度
和位移等問題時,常用的知識主要是向量的加法、減法以及數(shù)乘運算,有時也借助于坐
標(biāo)運算來處理.
3.向量與功、動量
力做的功是力在物體前進方向上的分力與物體位移的乘積,實質(zhì)是力和位移兩個向量的
數(shù)量積,W=f-s=|F|」s卜cos<9(6>為尸和s的夾角).
動量,“y實際上是數(shù)乘向量.
【即學(xué)即練1】設(shè)點。是正三角形A3C的中心,則向量AO,B0,0(?是().
A.相同的向量B.模相等的向量C.共線向量D.共起點的向量
【答案】B
【分析】根據(jù)正三角形的中心到三個頂點的距離相等,得到這三個向量的模長相等,而這三
個向量的方向不同,起點不同,所以它們只有模長相等的一個條件成立.
【詳解】O是正A8c的中心,
二向量04,OB,0。分別是以三角形的中心和頂點為起點和終點的,
。是正三角形的中心,
.?.o到三個頂點的距離相等,
即|OA|=|OB|=|OC],故選:B.
【即學(xué)即練2】.用力F推動一物體水平運動設(shè)尸與水平面的夾角為。,則對物體所做
的功為()
A.\F\-sB.Feos<9C.F-ssin0D.|F|-p|cos6?
【答案】D
【分析】直接用向量的數(shù)量積即可求得.
【詳解】力F對物體所做的功為W=/7=rH"cose.故選:D.
【即學(xué)即練3】物體受到一個水平向右的力6及與它成60。角的另一個力F.的作用.已知耳的
大小為2N,它們的合力戶與水平方向成30。角,則鳥的大小為()
A.3NB.局C.2ND.-N
2
【答案】C
【分析】如圖所示,即得解.
【詳解】
由題得Z40B=60,NAOC=30,所以ZBOC=NBCO=30,所以08=3C,
所以|加H/I,所以K和耳大小相等,都為2N.故選:C
【即學(xué)即練41在A3C中,ABCB<0,貝UA3C的形狀是()
A.銳角三角形B.鈍角三角形C.直角三角形D.不能確定
【答案】B
【分析】由A8-CB=|A8|?|CB|cos8<0,可得cosB<0,分析即得解
【詳解】由題意,ABCB^AB\\CB\cos<AB,CB>=\AB\\CB\cosB<0
:.cosB<0,乂Bw(0,乃).-.B為鈍角.則ABC的形狀是鈍角三角形.故選:B
【即學(xué)即練5】如圖所示,若。是內(nèi)的一點,且求證:ADA.BC.
【答案】證明見解析
【分析】設(shè)。工,」=。a],A=才,根據(jù)向量加法得
計算>-L結(jié)合條件可得>:=[,,即可證明.
【詳解】設(shè)備=/AC=b>AD=e^而工,BC=3貝**,E7,
所以藍-產(chǎn)G+X+,)2=>+2cW-廣
由條件知:W斗滔所以7/:才,即:(K力=0,即加a=0,所以A。,
BC.
【即學(xué)即練6]已知AB=(4,3),BC=(〃?,2),當(dāng)實數(shù),”為何值時,“A8C為等腰三角形?
【答案】a=T,—即,±后
O
【分析】首先根據(jù)題意求出AC=(4+肛5),進而求出,目,,。,卜4,然后分類討論
|AB|=|BC|,|AB|=|AC|,|BC|=|/IC|,分別列出方程,求解即可求出結(jié)果.
【詳解】因為AB=(4,3),8C=(肛2),所以AC=A8+8C=(4,3)+(%,2)=(4+,〃,5),
則網(wǎng)=5,忸牛d府+4,“卜J(4+〃?y+25,若|叫=,4,則5=,>+4,即機=±百;
若卜用=卜4,則5=44+.)2+25,即,yT;若|BC卜則〃2+4=44+〃?)2+25,
37
gp^=--.
綜上:,”的取值為-4,-名,土歷.
O
Q能力拓展
考法01
1.平面幾何中的垂直、平行問題
對于線段垂直問題,可以聯(lián)想到兩個向量垂直的條件(向量的數(shù)量積為0),而對于這
一條件的應(yīng)用,可以考慮向量關(guān)系式的形式,也可以考慮坐標(biāo)的形式.
【典例1】求證:直徑所對的圓周角為直角.
【答案】證明見解析
【分析】
設(shè)圓心為。,圓半徑為r,4?是圓的一條直徑,點C是圓上不同于A,B的點,通過計算
CACB=0即可求證.
【詳解】證明:如圖,設(shè)圓心為O,圓半徑為,A5是圓的一條直徑,點C是圓上不同于A,
3的一點,則ZACB是宜徑A3所對的圓周角.
由CA=CO+OA,CB=CO+OB,其中04+08=0,
得C4CB=(CO+OA)(CO+OB)=CO,+CO(OA+OB)+OAOB=產(chǎn)-產(chǎn)=0.
則C4_LC3,即NACB為直角.
所以直徑所對的圓周角為直角.
【典例2]如圖,已知A。,BE,CF是ABC的三條高,且交于點0,DGLBE于點G,
DH1.CF于點H,求證:HG//EF.
【答案】證明見解析
【分析】先由題意,得到G£j〃AE,設(shè)04=20萬(/1X0),根據(jù)三角形相似,推出AE=2Dd,
AF=ADH,再由向量的線性運算,得到FE=4HG,即可得出結(jié)論成立.
【詳解】證明:由題意,DG工BE,AELBE,:-GD"AE.
設(shè)OA=/IOD(2HO),則AE=/IDG.
同理A尸=義?!?
于是FE=AE-AF=A.(DG-DH)=AHG.
:.FE//HG,:.HG//EF.
【點睛】本題主要考查向量的應(yīng)用,熟記向量的共線定理,以及向量的線性運算法則即可,
屬于常考題型.
【典例3]已知A(l,2),B(4,0),C(8,6),£>(5,8),判斷由此四點構(gòu)成的四邊形的形狀.
【答案】矩形
【分析】根據(jù)通=反可得四邊形為平行四邊形,再根據(jù)茄.明=0可得四邊形為矩形.
【詳解】因為A8=(4,0)-(1,2)=(3,-2),OC=(8,6)-(5,8)=(3,-2),
所以AB=OC,所以四邊形ABC。是平行四邊形.
因為=(5,8)-(1,2)=(4,6),所以AB?AO=3x4+(-2)x6=0,
所以AB_LAO,所以四邊形ABC。是矩形.
因為|AB|=JiQ.14。|=2V13,|AB\A4。I,所以四邊形ABC。不是正方形.
綜上,四邊形A3CO是矩形.
【點睛】本題主要考查了利用向量共線與垂直的應(yīng)用,屬于中等題型.
【典例4】如圖,在正方形A8C。中,E,F分別是AB,3c的中點,求證:AFLDE.
【答案】證明詳見解析.
【解析】方法一設(shè)A£)=a,A3=》,則|。|引力,。/=0,
又£>E=ZM+AE=-a+g,AF=AB+BF=b+^,
所以A尸?。后=3+2>(-0+2)=-!,-3°/+工=-」|<1|2+_1傳|2=0
2224222
故AFLOE,WAFLDE.
方法二如題圖,建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè)正方形的邊長為2,
則A(0,0),D(0,2),E(1,0),F(2,1),所以AF=(2,1),OE=(1,-2).
因為AFOE=(2,l)?(l,-2)=2-2=0,所以AF_LOE,即AF_LD£
【名師點睛】用向量法解決平面幾何問題,一般來說有兩個方向:
(1)幾何法:選取適當(dāng)?shù)幕?盡量用已知?;驃A角的向量作為基底),將題中涉及的向
量用基底表示,利用向量的運算法則、運算律或性質(zhì)計算;
(2)坐標(biāo)法:建立平面直角坐標(biāo)系,實現(xiàn)向量的坐標(biāo)化,將幾何問題中的長度、垂直、平
行等問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)運算.
一般地,存在坐標(biāo)系或易建坐標(biāo)系的題目適合用坐標(biāo)法.
考法02
2.平面幾何中的長度問題
平面幾何中求線段的長度問題,在向量中就是求向量的模的問題,可適當(dāng)構(gòu)造向
量,利用向量知識求解.
【典例5】若平行四邊形兩鄰邊的長分別是46和46,它們的夾角是45。,則這個平行四
邊形較長的那條對角線的長是.
【答案】4715
【分析】先利用題中的條件和兩個向量的數(shù)量積的定義求出及AB-AD?的值,再
根據(jù)AC=|AC卜=J(A8+AO『,求出AC的值.
【詳解】如圖所示:設(shè)平行四邊形AB8中,AB=4娓,AD=4也,NBAD=%則AC
4
為平行四邊形中較長的對角線,由于AC=AB+AO,0.AB2=96-AD2=48-
AB-AD=4>/6x4A/3COSABAD=48.
AC=|AC|=JA?=&AB+AD)'=\lAB2+AD2+2ABAD=,96+48+2x48
=7240=4^,故答案為4后.
【點睛】本題主要考查兩個向量的數(shù)量積的定義,向量在幾何中的應(yīng)用,求向量的模的方法,
體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.
【典例6]如圖,平行四邊形ABCO中,已知AD=1,AB=2,對角線BD=2,則對角線AC
的長為.
【答案】x/6
【解析】設(shè)AO=a,AB=/>,則8。=。一"AC=a+/>.
.".\BD\=\a-h|=7la|2-2a-b+\b\2=Jl+4-2a-b=^5-2ab,
:.\BD|2=5-2a/>=4,:.2ab=l.
:.\AC\=\a+b|=7l?|2+2ab+\b^=y]5+2a-b=46,即AC=指-
【名師點睛】用向量法求平面幾何中的長度問題,即向量長度的求解,一是利用圖形特點選
擇基底,向向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化,利用公式求解;二是建立平面直角坐標(biāo)系,確定相
應(yīng)向量的坐標(biāo),代入公式求解,即若a=(x,y),則|a|=&2+y2.
考法03
3.平面幾何中的夾角問題
【典例7】等腰直角三角形中兩直角邊上的中線所成的鈍角的余弦值為()
【答案】A
【解析】如圖,分別以等腰直角三角形的兩直角邊所在的直線為x軸、y軸建立平面直角坐
標(biāo)系,設(shè)A(2a,0),B(0,2a),則尸(a,0),E(0,“),;.AE=(-2a,a),BF=(a,-2a).設(shè)向量
的夾角為。,
【名師點睛】根據(jù)己知建立平面直角坐標(biāo)系,將等腰直角三角形的兩直角邊所在直線作為X
軸和y軸,分別設(shè)出三角形頂點和兩直角邊中點的坐標(biāo),再代入坐標(biāo)求解兩中線所對應(yīng)的向
量的數(shù)量積和模,進而求得夾角的余弦值.
【典例8】在四邊形ABC。中,已知A(0,0),8(4,0),C(3,2),£>(1,2).
(1)判斷四邊形A8CD的形狀;
(2)若AE=2EC,求向量EB與EC夾角的余弦值.
【答案】(1)四邊形A38是等腰梯形.(2)福
【分析】(1)由題可得A8=2OC,且|而|=|明,即可判斷四邊形的ABCD的形狀;
x=2
(2)設(shè)E(x,y),AE=(x,y),EC=(3—x,2-y),由AE=2EC可得,4,即可求得EB和EC,
進而求解即可.
【詳解】(1)由題,因為Z>C=(2,0).AB=(4,0),所以A》=2DC,
又因為卜4=5/1再=右,[84=/3-4)2+4=6,所以四邊形/188是等腰梯形
(2)設(shè)E(x,y),所以AE=(x,y).EC=(3-x,2-y),
因為荏=2『;二歲》解得二,所以叫2聞衣
EBEC二乙§5
設(shè)向量EB與EC夾角為氏則cos0網(wǎng)?回廣+[丘
故向量EB與EC夾角的余弦值為《
【點睛】本題考查向量在幾何上的應(yīng)用,考查向量的夾角,考查運算能力.
考法04
4.平面向量在物理中的應(yīng)用
【典例9】河水的流速為2m/s,一艘小船想沿垂直于河岸方向以10m/s的速度駛向?qū)Π?
則小船的靜水速度為()
A.10m/sB.2\/26m/sC.4\/6m/sD.12m/s
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)題意,得到匕=U-HWM=0,結(jié)合向量的運算,即可求解.
【詳解】設(shè)河水的流速為匕,小船在靜水中的速度為匕,船的實際速度為丫,
則同=2,問=10Q_LH,1/=匕+匕,所以%=吁匕,丫?匕=0,
所以問="?—2>/+匕2=2>/^(mis),即小船在靜水中的速度大小為故選:
B.
【典例10】若一個質(zhì)點同時受到同一平面內(nèi)三個力耳,F(xiàn).5的作用,其中閨|=2N,方
向為北偏東30。;|E|=4N方向為北偏東60。;|瑪|=6N,方向為北偏西30。建立如圖所示的
平面直角坐標(biāo)系,則合力F=.
【答案】(2癢2,2+4省)
【分析】分別求出耳,尸2,月的坐標(biāo),即得合力F.
【詳解】
由題圖可知月=(1,6),F,=(2>/3,2),招=(—3,3g),
所以尸=月+工+居=(26-2,2+46).
故答案為(26-2,2+4石)
【點睛】本題主要考查平面向量的物理應(yīng)用,意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.
【典例11】兩個力耳=,?+/,瑪=4i—5J作用于同一質(zhì)點,使該質(zhì)點從點4(20,15)移動到
點8(7,0)(其中i、j分別是x軸正方向、),軸正方向上的單位向量,力的單位:N,位移
的單位:m).求:
(1)£,居分別對該質(zhì)點做的功;
(2)£,鳥的合力尸對該質(zhì)點做的功.
【答案】(I)耳對該質(zhì)點做的功為-28(N-m),居對該質(zhì)點做的功23(N.m);
(2)-5(N-m).
【解析】
(1)根據(jù)題意,求出位移AB,結(jié)合功的計算公式,即可求解;
(2)根據(jù)題意,求出合力尸,結(jié)合功的計算公式,即可求解.
(1)
UUH
根據(jù)題意,4=i+j=(l,l),f;=4/-5;=(4,-5),A3=(T3,T5),
故片對該質(zhì)點做的功叱=丹?=-13-15=—28(N.m);
入對該質(zhì)點做的功%=£-A8=T3X4-15X(-5)=23(N-m).
(2)
根據(jù)題意,£,乙的合力/=4+6=(5,7),
故”,用的合力戶對該質(zhì)點做的功W=QAB=5X(_13)-4X(T5)=-5(N-m).
【典例12]如圖所示,一個物體受到同一平面內(nèi)三個力耳,F(xiàn)2,居的作用,沿北偏東45的
方向移動了8m,其中閔=2N,方向為北偏東30;|同=4N,方向為北偏東60;閭=6N,
方向為北偏西30,求合力廠所做的功.
【答案】24向
【解析】
【分析】
如圖建立平面直角坐標(biāo)系,求出E,E,耳以及位移G的坐標(biāo),進而可得合力尸=6+5+鳥
的坐標(biāo),再由向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算計算W=F-s即可求解.
【詳解】
如圖建立平面直角坐標(biāo)系,
由題意可得6=(1,G),E=(26,2),鳥=(一3,36),位移s=k點,4忘),
所以尸=片+鳥+工=(26-2,2+46),
所以合力廠所做的功為卬=尸7=(26-2卜4a+(2+46b4夜=24向,
考法05
5.利用向量解決其他問題
【典例13】已知A,8是圓心為C,半徑為右的圓上的兩點,且|AB|=石,則
ACCH=.
【答案】-:
2
【分析】
根據(jù)求得NAC8=6O,結(jié)合向量的數(shù)量積的運算公式,即可求解.
【詳解】
由題意,圓C的半徑為石,且,身=逐,可得48=60,
所以AC.CB=C8=-|G4HC@COSZACB=_6xbxg=_|.
故答案為:-2.
2
【典例14】在四邊形ABCZ)中,已知A8=(4,-2),AC=(7,4),人。=(3,6),則四邊
形ABCD的面積是.
【答案】30
【分析】
先證明四邊形A8c。為矩形,然后即可求出面積.
【詳解】
BC=AC-AB=[3,6)=AD,又因為8C=(4,-2>(3,6)=0
所以四邊形A8CQ為矩形,所以卜@=,2+(-2『=2/」8C卜,3?+62=3百
所以5=網(wǎng).|叫=2石x3石=30.
故答案為:30.
【典例15】若一個四邊形以。(0,0)、A(2,0),8(3,3)、C(0,l)四點為頂點,則這個四邊形
(選填“是”或“不是”)梯形.
【答案】不是
【分析】
根據(jù)題設(shè),得到OCHAB,且OAHCB,即可得到答案.
【詳解】
由題意,四邊形以0(0,0)、A(2,0),8(3,3)、C(0,l)四點為頂點,
由OC=(0,1),4B=(1,3),所以°C與A8不共線,即4B與OC不平行;
由04=(2,0),CB=(3,2),所以。4與C2不共線,即OA與CB不平行;
由OB=(3,3),AC=(-2,1),所以08與AC不共線,即OB與AC不平行,
所以這個四邊形不是梯形.
故答案為:不是.
【典例16】點。是△ABC所在平面內(nèi)的一點,滿足。==,則點O
是MBC的心.
【答案】垂
【分析】
根據(jù)向量數(shù)量積的運算律可整理出0a。4=0,即OBLAC;同理可得OALBC,
OC_LAS,由乖心定義可知。為垂心.
【詳解】
OAOB=OBOC.-.(OA-OC)(9B=0,即gCA=0
:.OBLAC
同理可得:OALBC,OCYAB
???點。為AABC的垂心
本題正確結(jié)果:垂
【點睛】
本題考查三角形垂心的判斷,關(guān)鍵是能夠通過向量數(shù)量積的運算律整理出垂直關(guān)系.
【典例17】已知位置向量”=(0,-1)力=(3,—3),。=(2,2)的終點分別為人.8,(7,試判斷入4次7
的形狀.
【答案】A/WC為等腰直角三角形
【分析】
根據(jù)題意可設(shè)OA=a=(0,-1),。8=。=(3,-3),OC=c=(2,2),根據(jù)平面向量的加法兒何意
義可以求出A8,4C,求出它們的模以及計算出它們的數(shù)量積,最后可以判斷出A43C的形狀.
【詳解】
OA=a=(0,-l),OB=6=(3,—3),OC=c=(2,2),AB=AO+OB=(3,-2),
AC=AO+OC=(2,3).|AB|=^32+(-2)2=V13,AC=V22+32=V13
43-AC=0nAB_LAC,所以AABC為等腰直角三角形.
【點睛】
本題考查了利用平面向量的模和平面向量的數(shù)量積判斷三角形形狀問題,考查了數(shù)學(xué)運算能
力.
M分層提分
題組A基礎(chǔ)過關(guān)練
1
1.在Rf-A8C中,斜邊3c長為2,O是平面A8C外一點,點P滿足OP=OA+](A8+AC),
則IAP|等于()
A.2B.1C.gD.4
【答案】B
—?1一__
【分析】利用向量的減法可得4P=5(AB+AC),從而可得AP為RJA3C斜邊BC的中線,
即可求解.
【詳解】°尸=%+劍3+/)’—;(皿4AP《M+AC),
.?.4/5為必_43。斜邊8(7的中線,,|42|=1.故選:B.
2.某人順風(fēng)勻速行走速度大小為“,方向與風(fēng)向相同,此時風(fēng)速大小為丫,則此人實際感到
的風(fēng)速為()
A.a-vB.\)-a
C.a+vD.v
【答案】A
【分析】根據(jù)向量的運算法則及速度的合成,即可求解.
【詳解】由題意,某人順風(fēng)勻速行走速度大小為a,方向與風(fēng)向相同,此時風(fēng)速大小為v,
根據(jù)向量的運算法則,可得此人實際感到的風(fēng)速為a-v.
故選:A.
3.在四邊形45CO中,AB^DC>且|AB|=|8C|,那么四邊形為()
A.平行四邊形B.菱形C.長方形D.正方形
【答案】B
【分析】由向量相等可知四邊形ABCD為平行四邊形,由向量模長相等可知鄰邊長相等,知
四邊形為菱形.
uuuuum
【詳解】QAB=DC,:.ABHCD,AB=C。,.?.四邊形ABC。為平行四邊形,
又.■.平行四邊形A3。為菱形.
故選:B.
4.長江某地南北兩岸平行,一艘游船南岸碼頭A出發(fā)航行到北岸.假設(shè)游船在靜水中的航行
速度匕的大小為M=10km/h,水流的速度匕的大小為悶=4km/h.設(shè)片和彩的夾角為
。(0<夕<180),北岸的點A在A的正北方向,則游船正好到達4處時,cos6=()
A.叵B.一囪C,2D.二
5555
【答案】D
【分析】設(shè)船的實際速度為v,根據(jù)題意作圖,設(shè)匕與南岸上游的夾角為a,由題意可得cosa
的值,再計算cos6=cos(兀-a)的值即可.
【詳解】設(shè)船的實際速度為v,片與南岸上游的夾角為如圖所示,
嶺4_2
要使得游船正好到達A處,則Mcosa=M,即cosa=——
TO-5
乂因為夕=兀一二,所以cos6=cos(兀一a)=-cosa=——,
故選:D.
5.已知菱形A8CO中,AC=2近,BD=2,點E為CD上一點,且C£=2即,則NAE8的
余弦值為()
A.型B.史C.|D.3
5523
【答案】D
【分析】設(shè)AC與即交于點0,以。為坐標(biāo)原點,AC,所在的直線分別為x,y軸建
立平面直角坐標(biāo)系,利用向量的夾角公式可得答案.
【詳解】設(shè)AC與8。交于點。,以。為坐標(biāo)原點,AC,3D所在的直線分別為X,y軸建
立平面直角坐標(biāo)系如圖所示,則點A(也0),8(0,1),E~|,
硝」35)EAEB2yfi
/.EA='EB-\~'3\則cosZ.AEB=
U,3,|EA||EB|~2yf3~3,
故選:D.
【點睛】本題考查了向量在幾何中的應(yīng)用,解題的關(guān)鍵點是建立平面直角坐標(biāo)系,考查了學(xué)
生的計算能力.
6.小船以10gh”/h的靜水速度按垂直于對岸的方向行駛,同時河水的流速為105〃h.則
小船實際航行速度的大小為()
A.206kmlhB.20km/hC.igkm/bD.\0km/h
【答案】B
【分析】根據(jù)題意作出圖示,然后根據(jù)垂直位置關(guān)系對應(yīng)的勾股定理求解出小船的實際航行
速度.
【詳解】如圖,設(shè)船在靜水中的速度為片=l()Gb〃//?,河水的流速為丹=10機/力.
水流的速度為匕,則由片+片=說,得(1。6丫+1()2=4,
.-■vo=±20,取%=20加》/〃,即小船實際航行速度的大小為20初1/〃.
故選:B.
7.若平面四邊形48co滿足48+CD=0,(A8-40在AC方向上的數(shù)量投影是0,則該四
邊形一定是()
A.直角梯形B.矩形C.菱形D.正方形
【答案】C
【分析】首先根據(jù)向量相等判斷四邊形為平行四邊形,再根據(jù)投影為零得到對角線互相垂直,
即可判斷;
【詳解】因為AB+CD=0,所以AB=DC,所以平面四邊形ABCD為平行四邊形,
又(AB-AD)在前方向上的數(shù)量投影是0,即麗?恁=0,即麗J.AC,
所以平行四邊形A3CD為菱形.故選:C
8.已知三個力工=(-2,-1),人=(-3,2),力=(4,-3)同時作用于某物體上一點,為使物體
保持平衡,現(xiàn)加上一個力力,則力等于()
A.(-1,-2)B.(1,-2)C.(-1,2)D.(1,2)
【答案】D
【分析】根據(jù)合外力為零,4個向量相加等于零向量求解即可.
【詳解】為使物體平衡,則合外力為零,即4個向量相加等于零向量,
因為工=(-2,-1),£=(-3,2),£=(4,一3),所以£=(0-(-2)_(_3)-4,0-(-1)-2-(-3))=(1,
2).
故選:D.
32
9.已知點尸是一ABC所在平面內(nèi)一點,若AP==BC-;BA,則J3C與一43C的面積比為
43
()
A.-B.;C.-D.-
3234
【答案】A
【分析】假設(shè)-ABC是等腰直角三角形,建立平面直角坐標(biāo)系,求得尸點坐標(biāo),由此求得
P3C與,ABC的面積比.
【詳解】假設(shè),ABC是等腰直角三角形,且A是直角,AB=AC=2,
建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系,設(shè)P(x,y),則8(0,2),C(2,0).BC=(2,-2),8A=(0,—2),
37323」
依題意=即(x,y)=j(2,-2)-](O,-2)=
2,-6
SAPC=JX2X2=2,
occ1_11-_1-31-32
PAC4-^e=—x2x—+—x2x2--x2x—=—+2--=—.
2O222o23
2
所以一相。與ABC的面積比為3_1?故選:A
~2~3
10.在日常生活中,我們會看到如圖所示的情境,兩個人共提一個行李包.假設(shè)行李包所受重
E
力為G,作用在行李包上的兩個拉力分別為上,F(xiàn)2,且MI=WI,石與的夾角為。,下
列結(jié)論中正確的是()
A.。越小越費力,。越大越省力B.。的范圍為[0,可
當(dāng)”暫時,同=恂
C.當(dāng)"1時,闿=向D.
【答案】D
【分析】根據(jù)忖=|耳+可為定值,求出忻卜再對選項進行分析、判斷即可.
2(14-COS6)
【詳解】對A,忖=%+用為定值,."G『=K+同+2同x閭xcos9=2W『(l+cos6),
解得:同2=2(*8);由題意知:6?0㈤時,y=cos。單調(diào)遞減,.?.忻『單調(diào)遞增,
即。越大越費力,。越小越省力,故A錯誤;
對B,當(dāng)仇:萬時,片+瑪=0不滿足題意,故B錯誤;
當(dāng)。=三時小中等忖
對C,故C錯誤:
對D,當(dāng)6=杏時,㈤MM,二閭=忖,故D正確.故選:D.
11.已知點0、N、P在43C所在平面內(nèi),且|0A|=|0B|=|0C|,NA+NB+NC=0,
防防=法.品=蹙.防,則點0、MP依次鼠鉆。的()
A.重心、外心、垂心B.重心、外心、內(nèi)心
C.外心、重心、垂心D.外心、重心、內(nèi)心
【答案】C
【分析】由10A|=|081=|0cl知。是一ABC的外心;利用共起點向量加法將NA+NB+NC=U
變形為共線的兩向量關(guān)系,得到N點在中線上的位置,從而判斷為重心;由P4PC
移項利用向量減法變形為P8-C4=0,得出PB為CA邊上的高,同理得PC為AB邊上的高,
故為垂心.
【詳解】則點。至的三個頂點距離相等,是14SC的外心.
NA+NB+NC=0,:.NA+NB=-NC,
設(shè)線段AB的中點為M,則2NM=-NC,由此可知N為AB邊上中線的三等分點(靠近中點
M),所以N是A8C的重心.PAPB=PBPC,:.PB(PA-PC)=PBCA=0.
即PB_LCA,同理由PB,C=PCPA,可得PC_L4B.所以/'是;ABC的垂心.故選:C.
【點睛】關(guān)于4ABe四心的向量關(guān)系式:
2
0是ABC的外心o|0/11=|OB|=|OC|o3?=OB=oc、
。是ABC的重心o0A+08+0C=0;
。是ABC的垂心OOA.OB=OBOC=OCQ;
。是ABC的內(nèi)心=aOA+AOB+cOC=0.(其中a、b、c為.ABC的三邊)
12..如圖所示,一條河兩岸平行,河的寬度為400米,一艘船從河岸的A地出發(fā),向河對
岸航行.已知船的速度匕的大小為時=8km/h,水流速度匕的大小為M|=2km/h,船的速
度與水流速度的合速度為v,那么當(dāng)航程最短時,下列說法正確的是()
A.船頭方向與水流方向垂直B.cos<v?v2>=-l
C.|v|=2V17km/hD.該船到達對岸所需時間為3分鐘
【答案】B
【分析】分析可知嶺,當(dāng)船的航程最短時,vlv2,利用平面向量數(shù)量積可判斷ABC
選項的正誤,利用路程除以速度可得航行時間,可判斷D選項的正誤.
【詳解】由題意可知,丫=匕+嶺,當(dāng)船的航程最短時,v±v2,而船頭的方向與匕同向,
V,-V1
由八彩二(匕+匕),匕=匕+%2=0,可得匕?%=-%2=-4.cos<vi'v2>=rTn2=-7A
\W\4
選項錯誤,B選項正確;
22
|v|=|^+v,|=+嶺)=+2v(-v2+v,=,4-2x4+64=2-715(km/h)>C選項錯誤;
該船到達對岸所需時間為60*4=生叵(分鐘),D選項錯誤.
2V155
故選:B.
題組B能力提升練
|UUD|
1.在平面上,AB±AB,|oB,j=|(9B|=l]<;,則|。4的取值范圍是
l22)AP=ABy+AB2.^\OP\
()
【答案】D
【分析】建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè)出。點的坐標(biāo)(x,y),根據(jù)已知條件求得+的取值
范圍,也即求得的取值范圍.
【詳解】
根據(jù)條件知A,Bl.P,&構(gòu)成一個矩形ASP比,以AS,A比所在直線為坐標(biāo)軸建立直角
坐標(biāo)系,如圖設(shè)|A8i|=m|A&|=b,點。的坐標(biāo)為(x,y),則點尸的坐標(biāo)為(小b),
4g,()"(。力).
lUUlTilUULri(x-a)2+y2=1(x-a)2=1-y2
由I。⑷=1。因=1則<
x2+(y-b)2=1(y-b)2=\-x2
IuunIi、i]1o7_
又由|0P卜5,^(x-?)'+(y-Z>)-<-,貝即x2o+y2>:①.
又(x-ay+V=1,x2+y2+a2=1+2ax<1+a2+x2,則
同理由/+(>—⑨2=i,得/4I,即有丁+942②.
由①②知2M2,所以?<正+>24企
而畫="77,所以咚<性卜0.
故選:D
【點睛】本小題主要考查利用坐標(biāo)法求解平面幾何問題,屬于中檔題.
TT
2.如圖,在△ABC中,ZBAC=-,AD=2DB,尸為CO上一點,且滿足
-1一,、
AP=mAC+-AB(me/i),若AC=3,AB=4,則AP-CO的值為().
【答案】C
13
【分析】由AO=2£)B及4P="?AC+5A8(,〃eR),將AP=,〃AC+JAZ)(〃?eR)由三點共
線可求的值,再用AB、AC衣示CD,進而求AP-CZ)即可
1221
【詳解】VAP=mAC+-AB(meR)fAD=2DB,BPAD=-ABS.CD=-CB-^--CA
:.AP=mAC+-AD(ineR),又C、P、O共線,有"?+3=l,即根=」
444
即AP=!AC+:AB.lfiiCB=CA+AB
42
2122
,CD^-(CA+AB)+-CA=CA+-AB=-AB-AC
3333
???APCD=(-AC+-AB)(-AB-AC)=-AB~--ABAC--AC2=--2--=—
4233343412
故選:C
【點睛】本題考查了由向量的幾何應(yīng)用求向量的數(shù)量積,首先應(yīng)用定比分點結(jié)合向量的加法
法則求參數(shù)值,由向量加法的幾何意義用己知向量表示目標(biāo)向量,最后求向量的數(shù)量積.
3.已知AABC外接圓的圓心為0,半徑為2,OA+A8+AC=0且|。川=|人耳,則向量C4在C8
方向上的投影的數(shù)量為()
A.^3B.3C.D.-3
【答案】A
【分析】由OA+A8+AC=0知四邊形M0C為平行四邊形,再證明AQ4B是正三角形,從
而推出四邊形A80C是邊長為2的菱形,代入投影計算公式即可求得答案.
【詳解】如圖,
VOA+AB+AC=0>AOB+AC=0<OB=CA,二四邊形A80C為平行四邊形.
又。為A4BC外接圓的圓心,且|ABR0A|=2,二記是邊長為2的正三角形,
???平行四邊形480C是邊長為2的菱形且NABO=60°.,|CA|=2,ZACB=30=.
故向量CA在CB方向上投影的數(shù)量為ICA\cos〈C4,CB〉=2xcos300=#).
故選:A
【點睛】本題考查向量的基本運算,平面向量共線的性質(zhì),菱形的證明,向量投影的求法,
屬于中檔題.
4.(多選題)設(shè)點M是A5C所在平面內(nèi)一點,下列說法正確的是()
A.若AB-8C=8CCA=C4A8,貝/ABC的形狀為等邊三角形
B.若AM=!A8+!AC,則點M是邊BC的中點
22
C.過M任作一條直線,再分別過頂點4,B,C作/的垂線,垂足分別為。,E,F,若
AO+BE+C尸=0恒成立,則點M是.A8C的垂心
D.若AN=2A8-AC,則點M在邊BC的延長線上
【答案】AB
【分析】根據(jù)題意,結(jié)合平面向量的線性運算,以及數(shù)量積運算,一一判斷即可.
【詳解】對于選線A,如圖作BC的中點。,連接A。,
由我.潴=潴遇,^BC\AB-CA)=BC\AB+AC]=2BCAD=Q,
即3C_LAQ,結(jié)合三角形性質(zhì)易知,AB=AC,
同理A3=3C,BC=AC,故ABC的形狀為等邊三角形,故A正確:
又寸于選項B>由AM=—ABH—AC,得—AM—AB=—AC—AM,i!|jBM=MC>
222222
因此點M是邊8c的中點,故B正確;
對于選項C,如圖當(dāng)/過點A時,AD=O.
由AO+BE+C/=0,得BE+CF=0,則直線AM經(jīng)過8c的中點,
同理直線經(jīng)過AC的中點,直線CM經(jīng)過A8的中點,因此點何是ABC的重心,故C
錯誤;
對于選項D,由AN=2AB-AC,AN-AB=AB-AC,即BN=C2,因此點M在邊CB的
延長線上,故D錯.故選:AB.
5.(多選題)如圖所示,小船被繩索拉向岸邊,船在水中運動時設(shè)水的阻力大小不變,那么小
船勻速靠岸過程中,下列說法中正確的是()
A.繩子的拉力不斷增大B.繩子的拉力不斷變小
C.船的浮力不斷變小D.船的浮力保持不變
【答案】AC
【分析】設(shè)水的阻力為/,繩的拉力為尸,
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