北京市東城區(qū)九年級數(shù)學(xué)上冊期末試卷（含答案解析）

北京市東城區(qū)九年級數(shù)學(xué)上冊期中試卷

（含答案）

（時間：120分鐘滿分：120分）

一、選擇愿（每題3分，共24分）

1.若反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點（3,-2）,則該反比例函數(shù)的表達式

為《）

A.y=：B.y="C.y=gD.y=-

2.已知一個扇形的半徑是】，圓心角是120°,則這個扇形的弧長是

（）

7Tc7T、2加

A.-T-B.nC.—［）.—

OJJ

3.如圖.為了測量某棵樹的高度，小剛用長為2?的竹竿作測量工具，

移動竹竿，使竹竿、樹的頂端的影子恰好落在地面的同一點，此時,

竹竿與這一點相距6m,與樹即15m,那么這顆樹的高度為（）

1.如圖.AB是00的直徑，點C,D在00上.若NABO=55°,則/

BCD的度數(shù)為（）

A.25*B.30vC.35°I).40°

5.二次函數(shù)y=ax'+bx+c（a^O）的圖象如圖所示，一元二次方程

ax'+bx+c=O（a^O）的根的判別式為△=b?4ac,則卜列四個選項正

確的是（）

A.b<0,c<0,△>0B.b>0,c>0,△>€

C.b>0,c<0,A>0D.bVO,c>0,A<0

6.如圖.。0的步徑為4,將O。的一部分沿著AB翻折，劣通恰好

經(jīng)過例心0,則折痕AB的長為（）

B.25C.6D,4V3

7.如圖,在由邊長為I的小正方形組成的網(wǎng)格中，點A,B,7都在

小正方形的頂點上，則cosNA的值為（

A.平B.2C.坐0.1

8.如圖,在RtZkABC中.ZA=90°,AB=AC=4.點E為KtzXABC邊上

一點，點E以每秒1個單位的速度從點C出發(fā)，沿著CfA—B的路徑

運動到點B為止，連接CE,以點C為圓心，CE長為半筏作0aO€

與線段BC交于點D,設(shè)扇形隙面積為S,點E的運動時間為t,則

在以卜四個函數(shù)圖象中，最符合扇形面枳S關(guān)于運動時間t的變化趨

勢的是（）

二、填空題（共8小題，每小題3分，滿分24分）

9.請寫出一個頂點在x軸上的二次函數(shù)解析式：.

10.已知點（xnyi）,（x”y2）在反比例函數(shù)y=（上，當力〈為〈0

時，X）,X2的大小關(guān)系是.

11.如圖，角a的一邊在x軸上,另?邊為射線OP,點P（2,2g

則tana=.

12.如圖，點D為△ABC的AB邊上一點，AD=2.DB=3.若/B=/ACD,

段的情況下，請寫出兩個關(guān)于圖中角度的正確結(jié)論：（1）

14.二次函數(shù)y=-x、bx+c的部分圖/如圖所示，由圖象可知,不等

式-x+bx+c<0的解集為.

15.己知。0的半徑為1,其內(nèi)接△ABC的邊AB-V2.則NC的度數(shù)

為.

16.閱讀下面材料：

在數(shù)學(xué)課上,老師提出如卜問題:

尺規(guī)作圖：作已知角的角平分線.

已知I如圖.ZBAC.求作】NBAC的角平分線AP.

小霞的作法如下:

(1)如圖.在平面內(nèi)任取一點0;

(2)以點。為圓心，A0為半徑作圓，交射線ABT?點D,交射線M

于點E：

(3)連接DE,過點0作射線0P垂直于線段DE,交00于點P：

(1)過點P作射線AP.

幺

飛i0

所以射線AP為所求.

老加說：“小孩的作法正確.”

請回答：小骸的作圖依據(jù)是______.

三、解答題(本題共72分)

17.(6分)如圖，在平面直角坐標系在y中,一次函數(shù)產(chǎn)?2x的圖

象與反比例函數(shù)尸《的圖象的一個交點為A(-1,n).求反比例函

數(shù)y=5的在達式.

18.(6分)已知.次函數(shù)yxTx+3.

(1)用配方法將y=x3+4x+3化成y=a(x-h)2+k的形式;

(2)在平面H角坐標系xOy中，畫出這個-次函數(shù)的圖象.

19.(6分)已知：如圖，在△ABC中,D,E分別為AB、AC邊上的點,

11AD-|AE,連接DE.若AC=3,AB=5.求證：ZkADEsZiMB

20.（6分）已知：如圖,在aARC中，AR=AC=8,ZA=120°.求BC

21.(5分)已知：如圖，€)0的r(徑AB的長為5cm,C為00上的一

個點，/ACB的平分線交。0于點D,求RD的長.

22.（5分）在一次社會大課堂的數(shù)學(xué)坡踐活動中,王老師要求同學(xué)

們測盡教室窗戶邊框上的點C到地面的距離即CD的長，小英測量的

步驟及測用的數(shù)據(jù)如F：

（1）在地面上選定點A,B,使點R,B,D在同一條直線上，測量出

A、B兩點間的距離為9米；

（2）在教室窗戶邊悔上的點C點處，分別測得點A,B的俯角/

ECA=35°,ZECB=45°.請你根據(jù)吸上數(shù)據(jù)計算出CD的長.《可能用

到的參考數(shù)據(jù)：sin35°a0.57cos350*0.82tan35'=0.70）

23.（5分）已知：如圖，ABCD是一塊邊長為2米的正方形鐵板，在

邊AB上選取一點M,分別以AM和MB為邊截取兩塊相鄰的正方形板

料.當AM的長為何值時，截取兩塊相鄰的正方形板料的總面積最小？

24.（5分）已知：如圖,AB是半圓0的立徑，D是半圓上的一個動

點（點［）不與點A,R市:合）,ZCAD=ZB

（1）求證?AC是半圓0的切線：

⑵過點。作BD的平行線，交AC于點E,交AD于點F,且EF=4,

25.（5分）如圖，RB=6cm,ZCAB=256.P是線段AB上?動點，過

點P作PM1AB交射線AC于點M,連接MB,過點P作PN1MB于點N.設(shè)

R，P兩點間的距離為xcm,P.A兩點間的距離為ycm.（當點I，與點

A或點B響合時，y的他均為0）

小海根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗，對函數(shù)y隨自變量x的變化而變化的規(guī)律

進行了探究.

下面是小海的探究過程，請補充完整：

（1）通過取點、曲圖,測量，得到了x與y的幾組值，如下表：

x/c0.00.61.01.52.02.73.03.54.04.24.95.56.0

m00005000000

y/c0.00.20.40.71.21.31.31.31.00.40.0

ra097007760090

（說明：補全表格時相關(guān)數(shù)值保留兩位小數(shù)）

（2）建立平面直角坐標系.描出以補全后的表中各對對應(yīng)值為坐標

的點,畫出該函數(shù)的圖象?

（3）結(jié)合畫出的函數(shù)圖象，解決問題：當y=0.5時，，之時應(yīng)的x

值的個數(shù)是

26.（7分）已知一次函數(shù)y尸分-1,二次函數(shù)疔--rix+4（其中D

>4).

（1）求二次函數(shù)圖象的頂點坐標（用含m的代數(shù)式衣示）；

（2）利用函數(shù)圖象解決下列問題：

①若m=5,求當%>0且y/WO時，白變量x的取色范圍：

②如果滿足姓>0且y：W0時門變量x的取值范鬧內(nèi)有且只有一個照

數(shù)，直接寫出m的取值范圍.

27.（8分）已知：如圖，AB為半例0的宜徑，C是半惻0上?點，

過點C作AB的平行線交00于點E,連接AC、BGAE.ER.過點C

作CG_LAB于點G,交EB于點H.

（1）求證：ZBCG=ZEBG：

（2）若sin/CAB」啥.求■的值.

28.（8分）?股地,我們把半徑為1的圓叫做單.位圓，在平面直角

坐標系xoy中.設(shè)單位A的圓心與坐標原點0重合,則單位圓與x軸

的交點分別為（1,0）,（7,0）,Oy軸的交點分別為10,】），（0，

在平面百角坐標系x（）y中，改銳角a的頂點與坐標斷點0束合，a的

一邊與x軸的正半軸重合，另一?邊與雌位例交于點P（xi,y,3,旦點

P在第一象限.

<1）x尸（用含a的式子表示>：y.=（用含a的式子

表示）；

（2）將射線0P繞坐標原點0按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°后與單位圓交

「點Q（X”y：）.

①判斷上與X；的數(shù)量關(guān)系，井證明：

②yjy；的取值范圍是：.

答案

一、選擇題(每題3分，共24分)

1.若反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(3,-2),則該反比例函數(shù)的衣達式

為()

A.y--B.y=--C.y=-[).y=--

XXXX

【分析】函數(shù)經(jīng)過一定點，將此點生標代入函數(shù)解析式y(tǒng)=§(kRO)

即可求得k的值.

【解答】解：設(shè)反比例函數(shù)的解析式為y=§(kfO),函數(shù)的圖象經(jīng)

過點(3,-2),

???-2=4，得k=-6,

??.反比例函數(shù)解析式為y=-1.

故選IB.

【點評】本題考行了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式：設(shè)出含有特定

系數(shù)的反比例函數(shù)解析式y(tǒng)=§(k為常數(shù).k￥0)：把已知條件(自

變度與函數(shù)的而應(yīng)值)代入解析式，得到待定系數(shù)的方程：解方程,

求出待定系數(shù)：寫出解析式.

2.已知一個扇形的半徑是1,圓心角是120°,則這個扇形的弧長是

()

7T

AA.-B.?.n?€公.穴—1【、)?-2j8-

【分析】根據(jù)弧長公式1=嗇進行解答即可.

【解答】就：根據(jù)瓠長的公式1=畸，

故選：b.

【點評】本翹考查了弧長的計算,熟記瓠長公式即可解答該颼.

3.如圖.為了測量某棵樹的高度，小剛用長為2m的竹竿作測域J：具，

移動竹竽，使竹竿、樹的頂端的影子恰好落在地面的同一點，

竹竿與這一點相距6m,與樹即15m,那么這顆樹的高度為()

【分析】先判定△OAB和△OCD相似，再根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比

例列式求解即可.

【解答】解：如圖,

VAB10D,CD1OD,

，AB〃CD.

/.△OAB^AOCD,

VAB=2m.0B=6m,01)=6*15=21m.

.2_6

'*CD"21'

解得CD=7m.

這顆樹的高度為7m,

故選：B.

【點評】木題考杳r相似三角形的應(yīng)用，讀懂超目信息,確定出相似

三角形是解題的關(guān)鍵.

1.如圖，AB是。0的直徑，點C,D在。0上.若NABD=55。，則/

BCD的度數(shù)為（）

A.25,瓦30°C.35°0.40°

【分析】先根據(jù)圓周角定理求出NRDB的度數(shù)，再由立角三角形的性

艇求出NA的度數(shù)，進而可得出結(jié)論.

【解答】解：連接AD,

?；AB是00的直徑,

ZADB=90°.

VZABD=55°,

AZDAB=90°-55°=35°,

AZliCD-ZI)AB=35°.

故選：C.

B

【點評］本題考查的是閩周角定理，熟知“徑所對的楣周角是直角是

解答此題的關(guān)鍵.

5.二次函數(shù)y=ax'+bx+c<a^0)的圖象如圖所示，一元二次方程

ax%x+c=O(a#0)的根的判別式為△=￡?4ac,則下列四個選項正

確的是()

A.b<0,c<0,A>0B.b>0,c>0,△>()

C.b>0,c<0,A>0D.b<0,c>0,△?)

【分析】根據(jù)拋物線的性質(zhì)即可求出答案.

【解答】解：由圖型與y軸的交點位置可知：c<0.

由圖象與x軸的交點個數(shù)可知：△>().

由圖象的開口方向與對稱軸可知：a>0,￡>。?

從而可知；b<0?

故選：A.

【點評】本題考音二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練運用?.次函數(shù)

的圖象與性質(zhì)，木題屬于基礎(chǔ)題型.

6.如圖，00的半徑為4,將0。的一部分沿著AB翻折，劣菰恰好

經(jīng)過圓心0,則折痕AB的長為()

B.2V3C.6D.4V3

【分析】過。作垂直于AB的半徑0C,設(shè)交點為I）,根據(jù)折登的性施

可求出01）的長：連接0R,根據(jù)勾股定理可求出AD的長，由垂徑定

理知AB=2AD,即可求出AB的長度.

【解答】解：過。作OC_LAB于D,交。。于C,連接0M

RtAOAD4,.0D=CD=10C=2.0A=4,

根據(jù)勾股定理，得：AD^OA^D^VS.

由垂徑定理得，AB=2AD=45.

故選：D.

【點評】本題考查的是翻轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)，掌握翻轉(zhuǎn)變換

是一種時稱變換，折性前后圖形的形狀和大小不變,位置變化,對應(yīng)

邊和對應(yīng)角相等是解題的關(guān)健.

7.如圖.在由邊長為1的小止方形組成的網(wǎng)格中，點A,?,C都在

小正方形的頂點上，則cosNA的值為（)

A.羋B.2C.坐0.1

【分析】過B作BD_LAC于D,根據(jù)勾股定理得到AB的長,然后由銳

角三角函數(shù)定義解答即可.

【解答】解：如圖，過B作BD_LACiD,則點D為格點，A&加，

由勾股定理知：AB'=3、1'=1O,

/.AB=VTO.

?,.RtZsADB中.(?”/人二弟=您=坐.

ABV105

故選：C.

【點評】本胭考查了銳角三角函數(shù)的定義，銳角A的鄰邊h與斜邊c

的比叫做/A的余弦，記作cosA.

8.如圖，在RiAutBC中，4=90°，出=AC=4,點E為RtZkABC邊上

一點，點E以每秒1個單位的速度從點C出發(fā)，沿著C-A-B的路徑

運動到點B為止.連接CE,以點C為同心，CE長為半徑作0aOC

與線段BC交于點D,設(shè)扇形DCE面積為S,點E的運動時間為I,則

在以下四個函數(shù)圖象中，最符合扇形面積S關(guān)于運動時間t的變化趨

勢的是(>

B

【分析】根據(jù)RLAARC中，/A=90°,AR=4C=4,點E以雙杪1個單

位的速度從點C出發(fā)，沿著C-A-R的路彳仝運動到點B為止,可得函

數(shù)圖象光上升再下降，根據(jù)當0WIW4時，扇形面積S=

三2,可得前半段函數(shù)圖象為開口向上的拋物線的一部

就3"6。二8

分,故B選項借誤；根據(jù)當4VtW8時，隨著1的增大，扇形的半徑

增大,而扇形的圓心角減小，可得后半段函數(shù)圖象不是拋物線，故C

選項錯誤：再根據(jù)當t=8時，點E、D重合.崩形的面積為0.故D

選項錯誤：運用排除法即可得到結(jié)論.

【解答】解：；RtA>ABC中，NA=90°,AB=AC=4,點E以每秒】個

單位的速度從點C出發(fā)，

當0WtW4時，扇形面積4.;名/,

OOUo

前半段函數(shù)圖象為開口向上的拋物線的一部分，故B選項錯誤：

當4VtW8時，隨著1的增大，國形的半徑增大，而扇形的網(wǎng)心角收

???后半段函數(shù)圖象不是拋物線，故C選項借誤;

?.?當1=8時?點E、D重分.

二扇形的面枳為0.故I）選項錯誤：

故選：A.

【點評】本咫上要考查了動點問鹿的函數(shù)圖象,用圖象解決問出時,

要理清圖象的含義即會識圖.函數(shù)圖象是典型的數(shù)形結(jié)合，圖象應(yīng)用

信息廣泛，通過育圖獲取信息，不僅可以解決生活中的實際問，虺，還

可以提高分析問題、解決問題的能力.

二、填空題（共8小題，每小題3分，滿分24分）

9.請寫出一個頂點在x釉上的一次函數(shù)解析式：y=2?x+l）：（答

案不唯一）.

【分析】頂點在x軸上的函數(shù)是y=a（x-h>'的形式，舉一例即可.

【解答】解：頂點在x軸上時，頂點縱坐標為。?即k=0,例如y=2

（x+1）J（答案不唯一）

【點評】頂點式y(tǒng)=a（x-h）+k,頂點坐標是（h.k）.此題考查了

其中一種函數(shù)，要充分理解各函數(shù)的關(guān)系.

10.已知點（丸，yj,（Xi,y：）在反比例函數(shù)y=Y-t?當y><y.<0

忖，X（.X2的大小關(guān)系是Xi>X?.

【分析】先根據(jù)反比例函數(shù)y=《中k=2可知此函數(shù)的圖象在一、三象

限,再根據(jù)力<力VO,可知A、B兩點均在第三象限，故可判斷出

x,,4的大小關(guān)系.

【解答】解：.：反比例函數(shù)y=9中k=2>0,

???此函數(shù)的圖象在?、三象限，

Vyi<y?<0.

，A、B兩點均在第三象限，

???在第三象限內(nèi)y隨x的增大而減小,

/.X|>X：.

故答案為X|>XS.

【點評】木趣考態(tài)的是反比例函數(shù)圖象I?.點的坐標特點,先根據(jù)題意

判斷出反比例函數(shù)圖象所在的象限是解答此胤的關(guān)鍵.

11.如圖,角a的一邊在X軸上，另一邊為射線明點P12,2V3).

【分析】如圖作PE_Lx軸于E.根據(jù)tana=^計算即可.

【解答】解：如圖作PEl_x軸于E.

.\0E=2.PE=2W，

???tan2景竽=心

故答案為6.

【點評】本題考杳解直角三角形、銳角三角函數(shù)等知識,解題的關(guān)鍵

是熟練掌握三角函數(shù)的定義，屈于中學(xué)常名香型.

12.如圖，點D為△ABC的AB邊上?點，AD=2,DB=3.77ZB=ZACD,

則AC=Vlb.

【分析】由NB=NACD、ZA=ZA.可證出△ACDs/\ABC,根據(jù)相似三

角形的性旗得出告=碧，代入數(shù)據(jù)即可求出AC的值.

【解答】陋：:NB二/MD,ZAZA,

.?.△ACD^AABC,

?ACADu.jAC_2_

,*ABAC'12+3AC，

.\AC=V10j<AC=->/10(不合題意，舍去).

故答案為：V10.

【點評】本題考查了相似三角形的判定與性.質(zhì)，根據(jù)相似三角形的性

質(zhì)找出關(guān)于AC的方程是解題的關(guān)犍.

13.如圖.AC.AD是正六邊形的兩條對角線,在不添加任何其他線

段的情況下，請寫由兩個關(guān)于圖中角度的正確結(jié)論：(1)NBAC

ZBCA；(2)/DA-DE.

【分析】根據(jù)正六邊形的特點可得到：因為圖形是正六邊形,所以

RB=BC,所以三角形ABC是等腰三角形,根據(jù)等腰二角形的性質(zhì)可得

ZBAC=Z(O.因為EF〃AD,AF=EI),所以四邊形ADEF是等腰梯形,

根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)可得ZDAF=ZAI）E.

【解答】解：山分析可知,兩個關(guān)于圖中角度的正確結(jié)論：（1）ZBAC=

ZBCA；（2）ZDAF=ZADIi.

故答案為：ZBAC=ZBCA；NDAF-NADE.

【點評】考杳r多邊形內(nèi)角芍外先，要結(jié)合題目中所提供的已知條件，

特別是該圖形為正六邊形，得出結(jié)論.

14.二次函《fcy=?x'+bx+c的部分圖象如圖所示,由圖象可知,不等

式-x+bx+c<0的解集為xV-1或x>5.

【分析】先利用拋物線的對稱性得到拋物線與K釉的另一個交點坐標

為（-1,0）,然后寫出拋物線在X軸卜’方所對應(yīng)的自變量的范圍

即可.

【解答】解：拋物線的對稱軸為直線-2,

而拋物線與x軸的一個交點坐標為（5,0〉,

所以拋物線與x軸的另一個交點坐標為（-1,0）,

所以不等式?x、bx+cV0的解集為xV7或x>5.

故答案為xV-1或x>5.

【點評】本題考查了二次函數(shù)與不等式（組）：利用兩個函數(shù)圖在宜

角標中的上下位置系自變量的取范,可作圖利用點直觀解也可把個函

數(shù)解析式列成不式求解.

15.己知00的半徑為L其內(nèi)接△ABC的邊AB=?,則/C的度數(shù)為

45°或135°.

【分析】過圓心作A8的垂線，在構(gòu)建的立角三角形中，易求得圓心

用NA0B的度數(shù)，由此可求出NC的度數(shù).（注意NC所對的孤可能是

優(yōu)弧，也可能是劣孤）

【解答】解：如圖，連接OA、0B,過。作OD1AB于D.

在RcZM）AD中，AD=哼,OA=1.

?,.sinNAOD嚕手，

AD2

.\ZA0D=45°，ZA0B=135a.

點C的位理有兩種情況：

①當點C在如圖位置時,ZC=yZAOB=45'；

②當點C在E點位置時，ZC=ZE=1806-45°=135*.

故答案為：45°或135，.

【點評】本題主要考杳/垂徑定理以及解伐角三角形的應(yīng)用.注意點

C的位置有兩種情況，不要漏解.

16.閱讀下面材料：

在數(shù)學(xué)課上，老師提出如卜.問題：

尺規(guī)作圖：作已知角的角平分線.

己知：如圖，/BAC.求作：/BAC的角平分線AP.

小康的作法如下:

（1）如圖.在平面內(nèi)任取一點0：

（2）以點。為惻心,A0為半徑作圓，交射線AB于點I）,交射線RC

于點E；

（3）連接叱，過點。作射線0P垂ft于戰(zhàn)段DE,交O0千點P；

（4）過點P作射線AP.

所以射線AP為所求.

老師說；“小詼的作法正確.”

請回答：小語的作圖依據(jù)是_（據(jù)垂直于弦的直徑平分弦，并且平

分弦所對的兩條弛：（2）同弧或等弧所時的I國周用相等：（3）用

平分線的定義.

【分析】根據(jù)作圖的依據(jù)解答即可.

【解答】解：小鼓的作圖依據(jù)是（1）垂農(nóng)于弦的直徑平分弦，并且

平分弦所對的兩條弧：（2）同弧或等九所對的圓周角相等：（3）

用平分線的定義：

枚答案為：《】）垂直于弦的］1徑平分弦，并且平分弦所對的兩條通：

<2）同弧或等弧所對的圓周珀相等：《3）角平分線的定義

【點評】此題考查作用-復(fù)雜作圖問題，關(guān)鍵是根據(jù)作圖的依據(jù)解答.

三、解答題(本摩共72分)

17.(5分)如圖,在平面直角坐標系xOy中.?次函數(shù)y=-2x的圖

象。反比例函數(shù)y=§的圖象的一個交點為A(-1,n).求反比例由

數(shù)y=k的表達式.

X

【分析】把A的坐標代入廣-2x,求出n,得出A的坐標，再把R的

坐標代入反比例函數(shù)的解析式求出kUIJnf.

【解答】解：???點A(?1,n)在-一次函數(shù)y=-2x的圖象匕

/.n=(-2)X(-1)=2,

???點A的坐標為＜-1.2).

???點A在反比例函數(shù)y=§的圖象上，

.*.k=(-I)X2=-2.

???反比例函數(shù)的解析式為尸

A

【點評】本題考古了?次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題，待定系數(shù)法

求反比例函數(shù)的解析式，一次函數(shù)圖象上點的坐標特征.用特定系數(shù)

法確定函數(shù)的解析式，是常用的一種解題方法.同學(xué)們要熟練掌握這

種方法.

18.(5分)已知二次函數(shù)yxTx+3.

(1)用配方法將y=x2+4x*3化成y=a(x-h)*k的形式：

（2）在平?面直角坐標系xOy中，畫出這個二次函數(shù)的圖軟.

【分析】（1）利用配方法易得y=<xi2）=-1,則拋物線的頂點坐標

為（-2.-D,對稱軸為內(nèi)線x=-2；

（2）利用描點法硒二次函數(shù)圖象：

【解答】解：⑴y=?+4x）+3

=（x.4x+4-4）-<3

=（x=2）x-1：

（2）如圖：

【點評】本題考查/二次函數(shù)的三種形式：?般式：ynx：+bx+c<a,

5

b,c是常數(shù)，aXO）：頂點式：y=a（x-h）+k（a,h,k是常數(shù).H

HO）,大中（h,k）為頂點坐標，該形式的優(yōu)勢是能直接根據(jù)解析式

得到拋物線的頂點坐標為（h,k）：交點式：y=a<x-xj（x-xj（a,

b,c是常數(shù)，aWO）,該形式的優(yōu)勢是能fl按根據(jù)解析式得到拋物線

與x軸的兩個交點坐標（X”0）,（x:,0）.也考查了二次函數(shù)圖象與

性質(zhì).

19.（5分）已知,如圖.在△ABC中,D.E分別為AB、AC邊上的點.

a

fl.AD=-^AIi,連接DE.4AC=3,AB=5.求證:AADE^ZiACB.

3

【分析】根據(jù)已知條件得到，由于/A=NA,于是得到△&DEsZ^RCB：

【解答】證明：；AC=3,AR=5.AD=~AE.

.ACAB

,?礦而‘

VZA=ZA,

/.△ADE^AACB.

【點評】本題考杏了相似三角形的判定和性質(zhì).垂直的定義.熟練掌

握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)犍.

20.15分）已知：如圖，在△ABC中，AB=AC=8,ZA=120°,求BC

【分析】過點A作AD_LBC于D.解『（用三角形求出BD,利用等腰三

角形的性旗即可解決問題.

【解答】解：過點A作ADJ_B€于］）.

VAB=AC,ZBAC=120',

.*.ZB=ZC=30e,

BC=2BD,

在RlZXABD中，NADB：90°,NB=30",AB8,

_BD

cosBn^，

.??BWABccs3(T=8X零=40,

/.BC=8V3.

【點評】本田考查等腰三角形的性鼠、解直角三角形等知識，解題的

關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？荚感?

21.(5分)已知：如圖,O0的直徑M的長為5cm,C為O0上的一

個點，ZACB的平分線交。0『?點D,求BD的長.

【分析】根據(jù)直徑所對的圓冏角是直角可得/RCB=NADB=90°,再根

據(jù)角平分線的定義可得NDAC=NBCD,然后求出AD=BD,再根據(jù)等

腰直角三角形的性偵其解即可：

【解答】解：：鉆為宜徑，

/.ZAI)B=90",

VCD平分NACB.

AZACD=ZBCD.

?"AD=BD-

.*.AD=BD.

在等腰直角三角形ADB中.

BD=ABsin45°=5X^S=572.

i—

2

/.BD=^V2.

2

【點評】本儂考查了直徑所對的例周角等F宜角，等腰直用三角形的

判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)直性所對的腳周角是直角可得/ACB=N

ADB=90°.

22.（5分）在一次社會大課:堂的數(shù)學(xué)實踐活動中,王老師要求同學(xué)

們測量教室窗戶邊框上的點C到地面的距離即CD的長.小英測量的

步驟及測量的數(shù)據(jù)如下：

（I）在地面上選定點R，B.使點R.B,D在同一?條直線上，測量出

A、B兩點間的距離為9米:

（2）在教室窗戶邊框上的點C點處，分別測得點A,B的俯角N

ECA=35a,ZECB=45',請你根據(jù)以上數(shù)據(jù)汁算出CD的長.《可

能用到的參考數(shù)據(jù)：sin350-0.57cos350y0.82tan35°-

0.70）

（分析】設(shè)CD=x.在RiACDB中.CD=BD=x,在RtACDA中tanZCAD=

■，根據(jù)圖中的線段關(guān)系可得；\D=AB+BD,進而可得9+，=信.再

AvUtI

解即可.

【解答】解：山題意可如：CDXADTD.

ZECB=ZCBI)=45",

NECA=NCAD-35°,

AB-9.

設(shè)CD=x,

???在RiZsCDB中，ZCI)B=90a.NCBD=45°,

.'.CD=BD=x,

???在RtZXCDA中，ZCI)A=90a,ZCAI>35",

??.tan/CAD嚼，

??赫高廠，

?：AB=9,AD=AB+BD,

?.?9+x=6，

解得x=21,

答：CD的長為21米.

BA

【點評】此題主要考簧了解直角三角形的應(yīng)用.關(guān)鍵是讀懂題意.把

實際問題劃歸為直角三角形中邊角關(guān)系問題加以解決.

23.（5分）已知：如圖，ABCD是一塊邊長為2米的正方形鐵板,在

邊AB上選取一點M,分別以AM和MB為邊截取兩塊相鄰的正方形板

料.當AM的長為何值時，截IR兩塊相鄰的正方彬板料的總面積最小?

【分析】設(shè)AM的長為x米，則UB的長為（2?x）米,由題意得出

y=x;*（x-2）2=2<x-l）*2,利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解可得.

【解答】解：設(shè)AM的長為x米,則MB的長為（2?x）米，

以AM和UB為邊的兩個正方形面積之和為y平方米.

根據(jù)題意.y與x之間的函數(shù)表達式為y=r+<x-2）?=2（x-1）2+2,

因為2>0

于是,當x=l時，廣仃最小值.

所以，當AM的長為1米時截取兩塊相鄰的正方形板料的總面積最小.

【點評】本題考查了二次函數(shù)的最值，二次項系數(shù)a決定二次因數(shù)圖

軟的開口方向.①當a>0時，二次函數(shù)圖象向上開U,函數(shù)有最小

值：②aVO時，拋物線向下開口，函數(shù)有最大值.

24.（5分）已知：如圖?AB是半圓0的直徑，1）是半圓上的一個動

點（點D不與點A,B重合），ZCAD=ZB

（1）求證：AC是半圓。的切線：

（2）過點0作BD的平行線，交AC于點E.交AD于點F,且EF=4,

AA6,求BD的長.

【分析】(1)經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半輕的H線是圓的切線.欲

證AC是半圓。的切線，只需證明/CAB=90°即可：

(2)由相似三角形的判定定理AA可以判定△AEFsaBAD：然后根據(jù)

相似三角形的對應(yīng)邊成比例,求得BD的長即可.

【解答】解：⑴:AB是半圓直徑.

AZBDA=90'，

,-.ZB+ZDAIJ=90e.

又「/DACNB,

，NDAC+NDAB=90°,

即/CAB=90°,

，AC是半閱0的切繾.

(2)由題意知.OE/7BI),/DK00.

/.ZD=ZAF0=ZAFE=90,,

AOEIAI).

???/AFE=ND=NAF0-90°,AF="AD=3,

又???AD=6

/.AE=3.

kVZB=ZDAE.

/.△AEFcoABAD,

.湍嚙，而EE,

.43

?丁詢’

解得

【點評】本題考傳了切線的判定、相似三角形的判定與性質(zhì).要證某

線是圓的切線,已如此線過圓上某點.連接留心與這點（即為半徑），

再證垂直即可.

25.（5分）如圖,AB=6cm.NCAB=25‘，P是線段AB上一動點,過

點P作PM1AB交射線AC于點M,連接MB,過點P作PNJJ1B于點N.設(shè)

A,P兩點間的距離為xs,P,N兩點間的距離為yen.（當點P與點

R或點B垂合時，y的值均為0）

小海根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗，對函數(shù)y隨向變用x的變化而變化的規(guī)律

進行了探究.

下面是小海的探究過程，請補充完整：

（1）通過取點、畫圖,測量，得到了x與y的幾組值，如下表：

x/c0.00.61.01.52.02.73.03.54.04.24.95.56.0

m0001050009000

y/c0.00.20.40.71.21.21.31.31.31.00.40.0

Ill097007760090

(說明：補全表格時相關(guān)數(shù)值保留兩位小數(shù))

(2)建立平面直角坐標系，描出以補全后的K中各對時應(yīng)值為坐標

的點，畫出該函數(shù)的圖象：

(3)結(jié)合畫出的函數(shù)圖象，解決問題：當y=0.5時，與之時應(yīng)的K

值的個數(shù)是一2個.

【分析】(1)利用取點，測量的方法，即可解決問題:

(2)利用描點法，畫出函數(shù)圖象即可；

(3)作出內(nèi)線廣0.5與圖象的交點，交點的個數(shù)是2個.

［解答］解：＜1)通過取點、畫圖、測量可得x=2.00cm時,y-0.91cm：

(2)利用描點法,圖象如圖所示.

()6

【點評】本題考查了動點向題的函數(shù)圖象,坐標與圖形的關(guān)系等知識,

解題的關(guān)鍵是理解遨意,學(xué)會用測量法、圖象法解決實際問題.

26.（7分）已知一次函數(shù)為=獲-1,二次函數(shù)力=--mx+4（其中u

>4）.

（1）求二次演數(shù)圖象的頂點坐標（用含m的代數(shù)式表示）：

（2）利用函數(shù)圖象解決下列問題：

①若m=5.求當弘>0且y：W0時.自變量x的取值也圍：

②如果滿足％>0且力W0時自變量x的取侑范圍內(nèi)有且只有一個整

數(shù)，直接寫出m的取值范圍.

【分析】（1）利用配方法求：次函數(shù)的頂點坐標；

（2）①把m=5代入力，畫圖象，并求與x軸交點A、B、C三點的坐

標.根據(jù)圖象可得結(jié)論；

②根據(jù)題意結(jié)合圖象可知x=3,把x=3代入為=〈-mxMW0,當x=4

時，y?=x2-mx+4>0即可求得m的取值;

【解答】解：(1)*.*y^=x*-mx+4=(x--片i4?

Z4

，二次函數(shù)圖象的頂點坐標為：(￡,-4-

(2)①當u=5時，y.=1x-1,yE?5x+4.…5分)

如圖,當y產(chǎn)0時，1x-1=0,x=2,

VA(2,0),

當力=0時，x!-5x+4=0.

解得：x=l或4.

???B(I,0),C(4,0),

因為->0,且y?W0.山圖象，得：2VxW4.…(5分)

②當打>0時,自變量x的取值范圍：x>2,

;如果滿足力>0且yWO時的H變量x的取值池用內(nèi)恰有一個整數(shù).

**?x=3,

當x=3時,廳3’?3m+4W0,

解得m2竽，

當x=4時，門>0,即l6?4m+4>0,m<5,

?,.m的取值范圍是：圣WmV5.…(7分)

【點評】本題考式r待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式以及二次函敬和

一次函數(shù)的性質(zhì)，以及利用函數(shù)圖象解不等式，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思

27.（8分）已知：如圖，AB為半圓0的H徑，C虺半圈。上?點，

過點C作AB的平行線交00于點E,連接AC、BCsAE.EB.過點

C作CG_LAB于點G,交EB于點H.

(1)求證：ZIJCG=ZEBG：

(2)若sinNCAB-^,求黑的值.

［分析】（1）根據(jù)自徑所對的圓周角等于直角和平行我的性質(zhì)i正明即

可：

（2）在