新教材2024-2025學年高中數(shù)學模塊綜合訓練北師大版選擇性必修第二冊

模塊綜合訓練一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.[2024新疆伊犁奎屯第一高級中學?？计谥衇已知等比數(shù)列{an}滿意a3=12,a8=38,若{an}的前n項和Sn=93,則n=(A.5 B.6 C.7 D.82.當某鐵球在0℃時,半徑為1dm.當溫度在很小的范圍內(nèi)改變時,由于熱脹冷縮,鐵球的半徑會發(fā)生改變,且當溫度為t℃時鐵球的半徑為(1+at)dm,其中a為常數(shù),則當t=0時,鐵球體積對溫度的瞬時改變率為 ()A.0 B.πa C.43πa D.4π3.已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,S3=2(S2+S1),S5=35,則1a1a2+1a2A.1031 B.1021 C.304.已知拋物線y=-2x2+bx+c在點(2,-1)處與直線y=x-3相切,則b+c的值為()A.20 B.9 C.-2 D.25.已知函數(shù)f(x)的導函數(shù)為f'(x),且滿意f(x)=lnx+x2f'(1)+x,則f'(3)=()A.323 B.-323 C.156.以下四個選項中的函數(shù),其函數(shù)圖象最適合如圖的是 ()A.y=e|2xC.y=ex|27.已知函數(shù)f(x)的定義域為R,且f(2)=1,對隨意x∈R,f(x)+xf'(x)<0,則不等式xf(x+1)>2-f(2)·f(x+1)的解集是()A.(-∞,1) B.(-∞,2)C.(1,+∞) D.(2,+∞)8.[2024廣東佛山一中階段練習]已知數(shù)列{an}的各項均為正數(shù),且a1=1,對于隨意的n∈N+,均有an+1=2an+1,bn=2log2(1+an)-1.若在數(shù)列{bn}中去掉{an}的項,余下的項組成數(shù)列{cn},則c1+c2+…+c20=()A.599 B.569 C.554 D.568二、選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得5分,部分選對的得2分,有選錯的得0分.9.已知{an}為等差數(shù)列,其前n項和為Sn,且2a1+3a3=S6,則以下結論正確的是()A.a10=0 B.S10最小 C.S7=S12 D.S19=010.已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列,則下列結論中正確的是 ()A.數(shù)列{anB.若a3=2,a7=32,則a5=±8C.若數(shù)列{an}的前n項和Sn=3n-1+r,則r=-1D.若a1<a2<a3,則數(shù)列{an}是遞增數(shù)列11.設函數(shù)f(x)=exlnxA.f(x)的定義域是(0,+∞)B.x∈(0,1)時,f(x)圖象位于x軸下方C.f(x)存在單調遞增區(qū)間D.f(x)有且僅有兩個極值點12.關于函數(shù)f(x)=1x+lnx,下列說法正確的是(A.f(1)是f(x)的微小值B.函數(shù)y=f(x)-x有且只有1個零點C.f(x)在(-∞,1)內(nèi)單調遞減D.設g(x)=xf(x),則g1e<g(e)三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.13.函數(shù)f(x)的圖象在P點處的切線方程是y=-x+8,若點P的橫坐標是5,則f(5)+f'(5)=.

14.已知函數(shù)f(x)的圖象是經(jīng)過原點的曲線(非直線),且在原點處的切線方程為y=x,請寫出一個符合條件函數(shù)y=f(x)的解析式:.

15.已知數(shù)列{an}滿意a1=1,an·an+1=3n(n∈N+),那么數(shù)列{an}的前9項和S9=.16.若函數(shù)f(x)=ex(cosx+a)在區(qū)間(0,π)內(nèi)單調遞增,則實數(shù)a的取值范圍是.

四、解答題:本題共6小題,共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.(10分)[2024安徽滁州定遠中學校考二模]設數(shù)列{an}的前n項和Sn=3n+12-32,數(shù)列{bn(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式;(2)若數(shù)列{bn}的前n項和為Tn,cn=an1-Tn,求數(shù)列{cn}的前18.(12分)[2024遼寧錦州高二?？计谥衇已知函數(shù)f(x)=aln(x+1)+lnx(a∈R).(1)若a=2,求函數(shù)g(x)=f(x)-ax的單調區(qū)間;(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,4]上單調遞增,求實數(shù)a的取值范圍.19.(12分)一艘輪船在航行中每小時的燃料費和它的速度的立方成正比.已知當速度為每小時10海里時,燃料費是每小時6元,而其他與速度無關的費用是每小時96元,問輪船的速度是多少時,航行1海里所需的費用總和最小?20.(12分)[2024河北邯鄲統(tǒng)考三模]已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且a1=1,an+1=3Sn+1(n∈N+).(1)求數(shù)列{an}的通項公式.(2)設bn=ann+1,在數(shù)列{bn}中是否存在三項bm,bk,bp(其中221.(12分)已知函數(shù)f(x)=asinx-x+b0≤x≤π2在x=π3處有極值.(1)求a的值,并推斷x=π3是f(x(2)若不等式f(x)>sinx+cosx對于隨意的x∈0,π2恒成立,求22.(12分)已知函數(shù)f(x)=ex-ln(x+m).(1)設x=0是f(x)的極值點,求m的值,并探討f(x)的單調性;(2)證明:ex-ln(x+2)>0.

參考答案模塊綜合訓練1.A設等比數(shù)列{an}的公比為q,因為a3=12,a8=38所以q5=a8a3=所以a1=a3q2因為Sn=93,所以481-12n所以12n=3故選A.2.D已知當溫度為t℃時鐵球的半徑為(1+at)dm,則其體積為V=4π3(1+at)所以V'=4π3×3a(1+at)2=4aπ(1+at)所以V'|t=0=4πa,所以當t=0時,鐵球體積對溫度的瞬時改變率為4πa,故選D.3.A設等差數(shù)列{an}的公差為d,因為S5=35,所以a3=S55=7=a1+2d又S3=2(S2+S1),即3a2=2(2a1+a2),a2=4a1=a1+d,∴d=3a1,代入①,解得a1=1,d=3,則an=a1+(n-1)d=3n-2,∴1a1a2+1a2a3+1a3a4+…+1a10a4.C由題意得y'=-4x+b,∴y'|x=2=-8+b=1,解得b=9,又-1=-2×22+2b+c=-8+18+c,解得c=-11,∴b+c=9-11=-2.故選C.5.B∵f(x)=lnx+x2f'(1)+x,∴f'(x)=1x+2f'(1)x+令x=1,則f'(1)=1+2f'(1)+1,解得f'(1)=-2,∴f'(x)=1x-4x+∴f'(3)=13-12+1=-32故選B.6.C對于選項A,當x<0時,y=e|2x|x對于選項B,當x<0時,y=(x2對于選項D,當x>0時,由y=exx2可得當0<x<2時,y'<0;當x>2時,y'>0,所以y=exx2對于選項C,當x>0時,y=ex2x,則y'=(x-1)ex2x2,故y=e故選C.7.A設g(x)=xf(x),則g(2)=2f(2)=2,因為隨意x∈R,f(x)+xf'(x)<0,所以g'(x)=f(x)+xf'(x)<0恒成立,即g(x)在R上單調遞減,由xf(x+1)>2-f(2)·f(x+1)可得(x+1)f(x+1)>g(2),即g(x+1)>g(2),所以x+1<2,即x<1.8.D因為an+1=2an+1,所以an+1+1=2(an+1),又因為a1+1=2,所以an+1所以數(shù)列{an+1}是首項為2,公比為2的等比數(shù)列,所以an+1=2n,即an=2n-1,所以bn=2log2(1+an)-1=2log2(1+2n-1)-1=2n-1,b1=1,bn+1-bn=2,所以數(shù)列{bn}是首項為1,公差為2的等差數(shù)列,即bn=2n-1,所以b1=a1=1,b16=31,b25=49.由an=2n-1得a5=31,a6=63,所以b16=a5=31,a5<b25<a6,所以c1+c2+…+c20=(b1+b2+…+b25)-(a1+a2+…+a5)=25×(1+49)2-[(21+22+…+25)-5]=625-2×(9.ACD因為2a1+3a3=S6,所以2a1+3a1+6d=6a1+15d,所以a1+9d=0,即a10=0,故A正確;當d<0時,Sn=na1+n(n-1)2d=-9dn+n(n-因為S12-S7=a8+a9+a10+a11+a12=5a10=0,所以S12=S7,故C正確;因為S19=(a1+a19)×故選ACD.10.AD由數(shù)列{an}是等比數(shù)列,設公比為q,則an+12由a3=2,a7=32,則a7a3=q4=16,即q所以a5=a3q2=2×4=8,故B錯誤;數(shù)列{an}的前n項和Sn=3n-1+r,則a1=S1=1+r,a2=S2-S1=(3+r)-(1+r)=2,a3=S3-S2=(9+r)-(3+r)=6,因為a1,a2,a3成等比數(shù)列,所以a22=a1a即4=6(1+r),解得r=-13若0<a1<a2<a3,則q>1,數(shù)列{an}是遞增數(shù)列;若a1<a2<a3<0,則0<q<1,數(shù)列{an}是遞增數(shù)列,故D正確.故選AD.11.BC由題意知,要使函數(shù)f(x)=ex則x>0,lnx所以函數(shù)f(x)=exlnx的定義域為(0,1)∪由f(x)=exlnx,當x∈(0,1)時,lnx<0,e所以f(x)<0,f(x)在(0,1)內(nèi)的圖象都在軸的下方,所以B正確;因為f'(x)=ex設g(x)=lnx-1x,g'(x)=1所以g'(x)>0,函數(shù)g(x)單調遞增.又因為g(e)=1-1e>0,g(e2)=2-1e所以f'(x)>0在定義域上有解,所以函數(shù)f(x)存在單調遞增區(qū)間,所以C正確;又因為g(e)=12-則函數(shù)f'(x)=0只有一個根x0∈(e,e),使得f'(x0)=0,當x∈(0,1)∪(1,x0)時,f'(x)<0,f(x)單調遞減,當x∈(x0,+∞)時,f'(x)>0,f(x)單調遞增,所以函數(shù)只有一個微小值,所以D不正確.故選BC.12.ABD①函數(shù)f(x)的定義域為{x|x>0},故C錯誤.f'(x)=-1x在(0,1)內(nèi)f'(x)<0,f(x)單調遞減,在(1,+∞)內(nèi),f'(x)>0,f(x)單調遞增,所以f(x)微小值=f(1)=1,故A正確.②y=f(x)-x=1x+lnx-xy'=-1x2+1x-所以函數(shù)y=f(x)-x=1x+lnx-x,在(0,+∞)內(nèi)單調遞減,當x=1時y=所以y=f(x)-x有且只有一個零點,故B正確.③g(x)=xf(x)=1+xlnx,g'(x)=x·1x+lnx=1+lnx所以在(e-1,+∞)內(nèi),g'(x)>0,g(x)單調遞增,在(0,e-1)內(nèi),g'(x)<0,g(x)單調遞減,所以g(x)最小值=g(e-1)=g1e,所以g1e<g(e),故D正確.13.2∵函數(shù)f(x)的圖象在點x=5處的切線方程是y=-x+8,∴f'(5)=-1,f(5)=-5+8=3,∴f(5)+f'(5)=3-1=2.14.y=ex-1(答案不唯一)由題意可知f(0)=0,f'(0)=1,取f(x)=ex-1,此時f(0)=e0-1=0,f'(x)=ex,f'(0)=1,符合題意,故答案為y=ex-1或y=ln(x+1),y=sinx,y=12(x+1)2-12等.15.241∵an·an+1=3n(n∈N+),∴an+1=3n則a2=3a1=3,a3=32a2=3,a4=33a3=32,a5=34a4=32,a6=35a5=33,a7=36a6=33因此,S9=1+2×(3+32+33+34)=1+2×3×(116.[2,+∞)由題意f'(x)=ex(cosx-sinx+a)=ex2cos∵f(x)在區(qū)間(0,π)內(nèi)單調遞增,∴f'(x)=ex2cos當x∈(0,π)時,x+π4∈π4,5π4,-即-2≤2cosx∵2cosx+π4+a≥0,-a≤2∴-a≤-2,即a≥2.故a的取值范圍是[2,+∞).17.解(1)當n=1時,a1=S1=3;由Sn=3n+12-32得Sn-∴an=Sn-Sn-1=3n(n≥2),又a1=S1=3也符合,∴an=3n(n∈N+),bn=1((2)Tn=11×2+12×3+…+1n(n+1)=1∴cn=an1-Tn=∴Rn=2×31+3×32+4×33+…+(n+1)·3n,①∴3Rn=2×32+3×33+4×34+…+(n+1)·3n+1,②①-②得,-2Rn=2×31+32+33+…+3n-(n+1)·3n+1=6+9(1-3n-1)1-3-∴Rn=2n+14·3n+118.解(1)要使函數(shù)有意義,則x解得x>0,即函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞).當a=2時,f(x)=2ln(x+1)+lnx,有g(x)=2ln(x+1)+lnx-2x,x∈(0,+∞),所以g'(x)=2x+1+1x當0<x<1時,g'(x)>0,當x>1時,g'(x)<0,所以函數(shù)g(x)在(0,1)內(nèi)單調遞增,在(1,+∞)內(nèi)單調遞減,即函數(shù)g(x)的單調遞增區(qū)間是(0,1),單調遞減區(qū)間是(1,+∞).(2)因為函數(shù)f(x)=aln(x+1)+lnx(a∈R)在區(qū)間[1,4]上單調遞增,所以f'(x)=ax所以a≥-x+1x=-所以a≥-1+因為x∈[1,4],所以1+1x即-1+1所以-1+1x所以a≥-54即實數(shù)a的取值范圍為-519.解設速度為每小時v海里的燃料費是每小時p元,那么由題設可得p=kv3,其中k為比例系數(shù),當v=10時,p=6,∴k=6103=0.006,則p=0.006設當船的速度為每小時v海里時,航行1海里所需的總費用為q元,那么每小時所需的總費用是(0.006v3+96)元,而航行1海里所需時間為1v小時,所以航行1海里的總費用為q=1v(0.006v3+96)=0.006v2+則q'=0.012v-96v2=0.令q'=0,解得v=20,因為當0<v<20時,q'<0,當v>20時,q'>0,所以當v=20時,q取得最小值,即速度為每小時20海里時,航行1海里所需費用總和最小.20.解(1)由題意,在數(shù)列{an}中,an+1=3Sn+1(n∈N+),an=3Sn-1+1(n∈N+,n≥2),兩式相減可得,an+1-an=3an,an+1=4an,n≥2,∵a2=3a1+1=4a1,故an+1=4an(n∈N+),∴{an}是以1為首項,4為公比的等比數(shù)列,∴an=4n-1(n∈N+).(2)不存在,理由如下:由題意及(1)得,在數(shù)列{an}中,an=4n-1(n∈N+),在數(shù)列{bn}中,bn=4n假如滿意條件的bm,bk,bp存在,則bk2=bmbp,其中2∴(4∵2k=m+p,∴(k+1)2=(m+1)(p+1),解得k2=mp.∵2k=m+p,∴k=m=p,與已知沖突,所以不存在滿意條件的三項.21.解(1)由f(x)=asinx-x+b0≤x≤π2,得f'(x又f'π3=0,即acosπ3-1=0,解得當a=2時,f'(x)=2c