22年高考數(shù)學(xué)技能：二級(jí)結(jié)論速解

專題01子集、交集、并集、補(bǔ)集之間的關(guān)系式

一、結(jié)論

1、子集、交集、并集、補(bǔ)集之間的關(guān)系式：

/q604nB=Zo4U8=8o/nC/8=0oC/U6=/（其中/為全集）

（1）當(dāng)N=8時(shí)，顯然成立

2、子集個(gè)數(shù)問題：若一個(gè)集合/含有〃（〃eND個(gè)元素，則集合/的子集有2”個(gè)，非

空子集有2"-1個(gè).

真子集有?個(gè)，非空真子集有2“一2個(gè)

理解：〃的子集有2"個(gè)，從每個(gè)元素的取舍來理解，例如每個(gè)元素都有兩種選擇，則〃個(gè)

元素共有2"種選擇，該結(jié)論需要掌握并會(huì)靈活應(yīng)用.

二、典型例題（高考真題+高考模擬）

1.（2022?湖北?高考（文））已知|集合/=1|/一3苫+2=0/€尺},8={刈0<》<5/€%},

則滿足條件/uCa8的集合c的個(gè)數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【解析】求解一元二次方程，得

4={x|x?-3x+2=0,xeR}={x|（x-l）（x-2）=0,xeR}

={1,2},易知8={X|0<X<5,XCN}={1,2,3,4}.

因?yàn)?=所以根據(jù)子集的定義，

集合C必須含有元素1,2,且可能含有元素3,4,

原題即求集合{3,4}的子集個(gè)數(shù)，即有2?=4個(gè)，故選D.

【反思】本題考查子集的概念，不等式，解一元二次方程.本題在求集合個(gè)數(shù)時(shí)，由于集合

元素個(gè)數(shù)少，也可采用列舉法，列出集合C的所有可能情況，再數(shù)個(gè)數(shù)即可.

2.（2021.全國(guó).模擬預(yù)測(cè)）已知集合4={x|2<x<4},5={x||2x-2a-l|<l）,若4nB=B,

則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

A.（1,3）B.（2,3）C.[1,3]D.[2,3]

【答案】B

【解析】解不等式|2x-2a-l區(qū)1,得aWxWa+1,所以8={x|a4x4a+1}.

由4n8=8,得5g/,畫出數(shù)軸:

24

...,彳，解得2<"3?

[a+l<4

故選：B

【反思】在利用數(shù)軸求5=4包含關(guān)系時(shí)，特別注意最后答案區(qū)間的開閉細(xì)節(jié)問題；解此類

題目時(shí)可以遵循兩步法原則：

①先確定大方向：由8=4,結(jié)合數(shù)軸

\a>2

可以得到：,,注意此時(shí)不要把等號(hào)寫上去，所謂先確定大方向，就是只確定。與2的

大小，。+1與4的大?。?/p>

②再確定個(gè)別點(diǎn)：經(jīng)過上述步驟再確定卜'>；，不等式組中等號(hào)是否可以取到等號(hào)；假設(shè)

[a+l<4

0=2；則由數(shù)軸可以觀察出幾何力={x|2<x<4}中左端是開區(qū)間；而集合

8={*4x4。+1}左端是閉區(qū)間，結(jié)合數(shù)軸假設(shè)。=2不成立；同理假設(shè)。+1=4,也不

成立；故本題最后得到的關(guān)系式為卜

三、針對(duì)訓(xùn)練舉一反三

1.（2013?福建?高考真題（文））若集合上{1,2,3}，5=（1,3,4）,則/仆8的子集個(gè)數(shù)為

A.2B.3C.4D.16

2.（2011?安徽?高考真題（理））設(shè)集合/={1,2,3,4,5,6},8={4,5,6,7},則滿足吃4且

的集合s的個(gè)數(shù)為

A.57B.56C.49D.8

3.（2022?安徽黃山?一模（文））已知集合5=卜卜=2"+1,〃€2},7={x||x|<3）,則5口7

的真子集的個(gè)數(shù)是（)

A.1B.2C.3D.4

4.（2022?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知/={-2,-1,0,1,3,4},8=*|2一＞[},則4ng蹲）的子集的

個(gè)數(shù)為（）

A.3B.4C.15D.16

5.（2022?重慶實(shí)驗(yàn)外國(guó)語學(xué)校一模）已知集合/=卜€(wěn)%三6"卜則集合A的所有非

空子集的個(gè)數(shù)為（）

A.5個(gè)B.6個(gè)C.7個(gè)D.8個(gè)

6.（2021?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知集合忖=卜卜212-1）=。},N={〃?,病},若A/UN=M,

則w=（）

A.-1B.-1或0C.±1D.0或±1

7.（2021?江西?新余市第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））已知集合4卜2+3X-4=。},集合

B={X|A-2+（?+1）A-?-2=0},且/U8=N,則實(shí)數(shù)a的取值集合為（）

A.{-3,2}B.{-3,0,2}

C.{斗士-3}D.{布＜-3或0=2}

8.（2021?全國(guó)全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知集合。=N2x2-7xW0,xeN},且P=Q,則滿足條

件的集合尸的個(gè)數(shù)是（）

A.8B.9C.15D.16

9.（2021?遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)二模）已知非空集合A、B、C滿足：AHB^C,AC]C^B.則

（）.

A.B=CB.Ac（BuC）

C.（BnC）cAD.AcB=AcC

10.（2021?湖南?雅禮中學(xué)高一期中）定義/@8=卜2=孫+：4《4,八"，設(shè)集合/={0,2},

8={1,2},C={]},則集合（4③8）＜8＞C的所有子集中的所有元素之和為.

11.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）集合S={0,1,2,3,4,5},A是S的一個(gè)子集，當(dāng)xe/時(shí)，若

有X-I任/且》+1任/,則稱X為A的一個(gè)"孤立元素”，那么S的4元子集中無"孤立元素"的

子集個(gè)數(shù)是.

12.（2022?天津西青?高三期末）若集合/={0,1,2,3},8=1卜=--1r€/},則集合B的

所有子集的個(gè)數(shù)是.

13.（2021?江西?模擬預(yù)測(cè)）設(shè)全集U=R,集合/={x|2x?-9x+440},B={x\2-a<x<a].

（1）當(dāng)a=2時(shí)，求C/NuB）；

⑵若/n8=N,求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

14.（2021?江西?模擬預(yù)測(cè)）設(shè)全集U=R,集合4={x|2a4x4a+l},8=卜［<4'<64

⑴當(dāng)a=_l時(shí)，求

（2）若4nB=4,求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

15.（2021?陜西?高新一中高一期中）已知集合/={Rf+2》-3<0},8={;0<-1或

>3},C={x|-2<x<w+1},其中機(jī)>-3.

⑴求

（2）若（/U8）nc=c,求實(shí)數(shù)，"的取值范圍.

16.（2021?安徽?蕪湖一中高一階段練習(xí)）已知集合/=%|-2VxV5},B={x[m+lVxV2m-l}.

⑴當(dāng)/={xeZ|-24x45}時(shí)，求A的非空真子集的個(gè)數(shù)；

（2）若=求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍；

（3）若4（18=0,求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

專題02交、并、補(bǔ)（且、或、非）之間的關(guān)系（德?摩根定律）

一、結(jié)論

交、并、補(bǔ)（且、或、非）之間的關(guān)系（德?摩根定律）

⑴集合形式cQn8）=（。/）u（C,B），c,（，u6）=cmn（C,B）

（2）命題形式:TPM）=1P）v（f）'Tpvq）=（F?）A（［q）

二、典型例題

1.（2017?四川?三模（理））已知全集U,集合Af,N滿足M=N=U,則下列結(jié)論正確

的是（）

A.M\JN=UB.（瘠必）（"|（膽）=0

C.A/n&N）=0D.（板）U（°N）=U

【解析】

全集U,集合"，N滿足M=N=U,

繪制Venn圖，如下：

對(duì)于A：M2N=N,A錯(cuò)誤；

對(duì)于B：（極）n（uN）=藜（MUN）=於，B錯(cuò)誤；

對(duì)于C：Mc&%=0,C正確；

對(duì)于D：（您M）U（心）=覆/「"）=u/；D錯(cuò)誤；

故選：C

【反思】本題主要借助ve〃〃圖，對(duì)于B,D選項(xiàng)，充分利用德摩根律

C,nB）=（C,A）u（C,B）,C,（JuB）=（C,A）f］（C,5）,再結(jié)合ve〃〃圖,可以快速，準(zhǔn)

確判斷正誤.

2.（2011?廣東汕頭?一模（理））設(shè)工、$2、$3是全集。的三個(gè)非空子集，且HUS2US3=。，

則下面論斷正確的是

A.v3n（s2U53）=0B.$=（鍛2nos3）

C.y網(wǎng)0心2口心3=0D.5|￡（^2U0邑）

【解析】

根據(jù)公式賴4c刃=（°/）5a），賴4。5）=（?）外4）,即可推出正確的結(jié)論.

??,S\2S29s3=U,

tc2c=J5,u52kJS3）=uUR-

故選：C.

【反思】本題考查交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算，熟練運(yùn)用公式形（ZC8）=（G/）U（/）,

旗/口8）=（"）門（心）是解題的關(guān)鍵。

三、針對(duì)訓(xùn)練舉一反三

1.（2021?上海市進(jìn)才中學(xué)高一期中）已知U為全集，集合A、B非空，且4uB,則下

列式子中一定是空集的為（）

A.（L（）C8B.4儀務(wù)8）

C.（枷）c（〃）D.（凝）U（4）

2.（2021?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí)）己知U為全集，則下列說法錯(cuò)誤的是（）

A.若4口8=0,則（板）U（u8）=UB.若408=0,則/=0或8=0

C.若力U8=U，則（解）A（u8）=0D.若ZU8=0,則/=8=0

3.（2021?全國(guó)?高一單元測(cè)試）已知集合A中有10個(gè)元素，B中有6個(gè)元素，全集U有

18個(gè)元素，/I8*0.設(shè)集合（瘠/）n（〃）中有x個(gè)元素，則x的取值范圍是（）

A.1x|3<x<8,xeN|B.{X\2<x<8,x€N|

C.{x|8<x<12,xeN}D.1.r|10<x<15,xeN|

4.（2020?浙江?）已知全集。中有“個(gè)元素，（即）U（4）中有"個(gè)元素，若NA8

非空，則/CIB的元素個(gè)數(shù)為（）.

A.mB.nC.陽+〃D.加一〃

5.（2021?全國(guó)?高一單元測(cè)試）己知全集U=R,則（瘤M）U（（jN）=（）

A.Aj（MriN）B.M[}NC.MUND.R

6.（2017?上海市育才中學(xué)）集合z中有10個(gè)元素，8中有6個(gè)元素，全集0有18個(gè)元

素，設(shè)集合CM/U8）有x個(gè)元素，則》的所有取值組成的集合為.

7.（2019?河南?高一階段練習(xí)）已知函數(shù)/（x）=JT二7的定義域?yàn)樾『瘮?shù)

g（x）=ln（l-x）+ln（x+l）的定義域?yàn)?,設(shè)全集U=R,則（?。︰（㈤=

8.（2021?寧夏?吳忠中學(xué)高一期中）下列命題之中，U為全集時(shí)，下列說法正確的是

（1）若Nn8=0,貝lJ（Cu/）U（QB）=U；（2）若/（18=0,則/=0或8=0;

⑶若ZU8=U,貝iJ（G/）n（C°8）=0;⑷若41）8=0,則1=5=0.

9.（2021?天津市濱海新區(qū)大港實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一階段練習(xí)）全集U=R,已知集合

/={x|(x-3)(x+2)>0},S={x|-3<2x-3<5},C={x\a+2<x<2a+\].

⑴求zriB/UB,(潁4)r3B)；

(2)若81C=C,求。的范圍.

10.(2020?江蘇省板浦高級(jí)中學(xué)高一階段練習(xí))設(shè)全集U=[0,8],集合

力=卜|24x45},8={卻4xV6},

(1)求8nq力).

(2)求(Q/)U(Q8)

專題03奇函數(shù)的最值性質(zhì)

一、結(jié)論

①已知函數(shù)/(x)是定義在區(qū)間。上的奇函數(shù)，則對(duì)任意的xe。，都有

/(x)+/(-x)=0.

②特別地，若奇函數(shù)/(X)在。上有最值,則/(X)1mx+/(X)min=0；

③若OeOOeZ),則有/(0)=0.(若/(x)是奇函數(shù)，且0eZ)n/(0)=0,特別提醒

反之不成立)

二、典型例題

1.(2012?全國(guó)?高考真題(文))設(shè)函數(shù)/(x)=(工+1：；in「的最大值為M,最小值為〃?，

則m+M=.

【解析】/(x)=^X+1f+Sinx=1+2xtSinX*令g(x)=2x；si：,則g(x)為奇函數(shù)，

所以g(x)的最大值和最小值和為0,又g(x)=/(x)-l.

有M-l+m-l=0,即m+〃=2.

答案為：2.

【反思】本題中/(x)不是奇函數(shù)，無法直接使用結(jié)論，但是通過構(gòu)造g(x)=〃x)-1,使得

g(x)是奇函數(shù)，從而有800,皿+g(x)mm=0=>〃-1+加一1=0=>〃+加=2

2.(2022?江蘇鹽城?一模)若/(X)=(X+3)5+(X+/M)5是奇函數(shù)，貝|〃?=.

【解析】因?yàn)?x)=(x+3)5+(x+〃?)5是奇函數(shù)，并且/(X)定義域?yàn)镽

所以有即3、+"/=0=>機(jī)=—3.

【反思】在本例中，由于/(x)是奇函數(shù)，并且0屬于定義域，所以可以直接利用奇函數(shù)性

質(zhì)/(0)=0求解

三、針對(duì)訓(xùn)練舉一反三

1.(2022?河南?高三階段練習(xí)(文))己知/(x)為奇函數(shù)，當(dāng)xNO時(shí)，/(x)=f-4'+凡

則當(dāng)x<0時(shí)，/(x)=()

A.X2-4-'+1B.-X2-4-X-1

2X2

C.-X+4--］D.-X+4^+1

2.(2022?湖北?十堰市教育科學(xué)研究院高三期末)已知y=/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，

且當(dāng)x20時(shí)，/(x)=x2+ax+a+l,則/(-2)=()

A.-2B.2C.-6D.6

3.(2022?四川遂寧?高一期末)若函數(shù)〃x)=ax3+6(e，-eT)+3在(-8,0)上有最小值一6,

(a,b為常數(shù))，則函數(shù)“X)在(0,+8)上()

A.有最大值5B.有最小值5

C.有最大值9D.有最大值12

4.(2017?山西?(理))若對(duì)VxjeR,有/(x+y)=/(x)+/(y)-3,則函數(shù)

8口)=合+〃力在卜2017,2017］上的最大值與最小值的和為

A.4B.6C.9D.12

5.(2021?甘肅省民樂縣第一中學(xué)(文))設(shè)函數(shù)/(x)=o?+6sinx+cln(x+J71T)+3的

最大值為5,則/(x)的最小值為()

A.-5B.1C.2D.3

6.(2022?湖北?高一期末)已知函數(shù)/。)=3/+/+5》+2,若/(a)+/(2a-l)>4,則實(shí)

數(shù)。的取值范圍是()

A.(:，+00)B.18,；)C.(-<?,3)D.(3,+oo)

7.(2021?江西?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)人》)=二超在「2021,2021］上的最大值與最小值分別

3“+1

為M,m,則A/+m.

8.（2。22?全國(guó)?高三專題練習(xí)）定義在R上的奇函數(shù)g（x）,設(shè)函數(shù)/口）=史笠警的最

大值為〃，最小值為“，則"+機(jī)

I

9.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)/（》）="亡區(qū)的最大值為〃，最小值為機(jī)，則

X2+1

M+m=_.

10.（2021?江西?貴溪市實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二階段練習(xí)）己知定義域?yàn)槲业暮瘮?shù)/（x）=年詈是

奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)。的值_____.

11.（2021?山東省萊西市第一中學(xué)高一階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)/（司=（-?2）2cos3x的最

大值為最小值為加.則A/+m=.

&N+2IIQ

12.（2021?陜西?高新一中高一期中）已知函數(shù)=~三v三的最大值為〃，最小值為

3固+1

m,求A/+機(jī)的值.

專題04指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)

一、結(jié)論

若函數(shù)y=/（x）是定義在非空數(shù)集。上的單調(diào)函數(shù)，則存在反函數(shù)y=/T（x）.特別地,

y=優(yōu)與

y=logax（a>0且a片1）互為反函數(shù).

在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)，兩函數(shù)互為反函數(shù)圖象關(guān)于y=x對(duì)稱，即（XoJ（X。））與

（/（x。）,/）分別在函數(shù)_y=/（x）與反函數(shù)了=/T（X）的圖象上.

若方程》+/（幻=后的根為否，方程x+/T（x）=k的根為々，那么西+々=人

二、典型例題

L若實(shí)數(shù)。滿足e'+x—2=0,實(shí)數(shù)6滿足lnx+x—2=0,則a+b=

解析：同底數(shù)的指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，圖像關(guān)于y=x對(duì)稱，可知x=a是函數(shù)

y=e*和y=-x+2交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，同理x=b是函數(shù)y=lnx與夕=-x+2交點(diǎn)的橫坐標(biāo),

且y=—x+2與y=x垂直，作出圖像如下

(nx=l,所以x=a,x=b關(guān)于x=l對(duì)稱，所以a+b=2

[y——x+2

【反思】對(duì)于利用反函數(shù)解題問題，首先要判斷題目中兩個(gè)函數(shù)互為反函數(shù)，然后再重復(fù)

利用結(jié)論：若方程X+/(X)=k的根為不方程X+(X)=k的根為％，那么%+々=左.

可快速解題.

2.設(shè)點(diǎn)尸為曲線G上的動(dòng)點(diǎn)，。為曲線。2上的動(dòng)點(diǎn)，則稱1尸。1的最小值為曲線￡，G之

間的距離，記為：火。1,。2).若G：e、-2y=0,C2:lnx+ln2=y,則

d(GC)=d(G，G)=

解析：_y=q■和y=ln2x互為反函數(shù)，關(guān)于y=x對(duì)稱，設(shè)與y=x平行的直線4，4分

別與y=^,y=\n2x相切于點(diǎn)/,N,則d(CvC2)^MN\,由y=^得

ex1

/=—=l=>x=ln2,即M(ln2,l),由y=山2[得了=±=l=x=1,即N(l,ln2),

2x

所以d(C],C2)=|MN|=J(1—ln2產(chǎn)+(127)2=2)

【反思】反函數(shù)問題的重點(diǎn)就是圖象關(guān)于〉=x對(duì)稱，這也是解題的關(guān)鍵，在利用反函數(shù)解

題時(shí)，注意配圖，在圖象中尋找解題突破口，數(shù)形結(jié)合.

三、針對(duì)訓(xùn)練舉一反三

L已知百是方程x+2"=4的根，%是方程*+log2》=4的根，則$+%=

2.已知芭是方程x+lgx=3的一個(gè)根，々方程x+10'=3的一個(gè)根，則%+々=

3.已知函數(shù)/'(》)=丘，g(x)=(3：若/(x),g(x)圖象上分別存在點(diǎn)",N

ee

關(guān)于直線V=x對(duì)稱，則實(shí)數(shù)左的取值范圍為()

1232

A.[一一9e]B.[——,2e]C.[一一,3句D.(——,2e)

eeee

4.若西是方程xeP的解，/是方程xlnx二的解，貝!JMW=()

234

A.eB.eC.eD.e

5.已知實(shí)數(shù)滿足a=107-。，lg/>=104-'sA-3,則必=.

6.已知實(shí)數(shù)。應(yīng)滿足20+p=5,10g2jR+q=l，則p+2q=()

A.1B.2C.3D.4

3專題05函數(shù)周期性問題

一、結(jié)論

已知定義在及上的函數(shù)/(X)，若對(duì)任意xeR,總存在非零常數(shù)T,使得

f(x+T)=f(x),則稱/(x)是周期函數(shù)，T為其一個(gè)周期.除周期函數(shù)的定義外,還有一些

常見的與周期函數(shù)有關(guān)的結(jié)論如下：

⑴如果f(x+a)=-T(x)(“#0),那么/(x)是周期函數(shù),其中的一個(gè)周期T=2a

⑵如果/(x+。)=工(aH0),那么/(%)是周期函數(shù),其中的一個(gè)周期T=2a.

/(x)

⑶如果/(》+。)=一工(。工0),那么/。)是周期函數(shù),其中的一個(gè)周期7=2。.

/(x)

(4)如果f(x+a)+/(x)=c(aw0),那么f(x)是周期函數(shù),其中的一個(gè)周期T=2a.

⑸如果/(x+a)=/(x+b)(。工0力工0),那么f(x)是周期函數(shù)，其中的一個(gè)周期

T=\a-b\.

(6)如果/(x)=/(x+a)+/(x—。)(awO),那么/(x)是周期函數(shù)，其中的一個(gè)周期

T=6a.

二、典型例題

1.(2021?全國(guó)?高考真題)已知函數(shù)〃x)的定義域?yàn)镽,/(x+2)為偶函數(shù)，/(2x+l)為

奇函數(shù)，則()

A./［一￡|=°B./(-1)=0C./(2)=0D./(4)=0

【答案】B

【解析】

因?yàn)楹瘮?shù)/(x+2)為偶函數(shù)，則/(2+x)=/(2-x),可得/(x+3)=/(l-x),

因?yàn)楹瘮?shù)/(2x+l)為奇函數(shù)，則〃>2x)f(2x+l),所以，/(l-x)=-/(x+l),

所以，/(x+3)=-/(x+l)=/(x-l),即/(x)=/(x+4),

故函數(shù)/(x)是以4為周期的周期函數(shù)，

因?yàn)楹瘮?shù)F(x)=〃2x+1)為奇函數(shù)，則F(O)=〃1)=O,

故/(T)=-/(1)=O,其它三個(gè)選項(xiàng)未知.

故選：B.

解法二：因?yàn)楹瘮?shù)/(x+2)為偶函數(shù)，所以其圖象關(guān)于x=0對(duì)稱，則函數(shù)/(x)的圖象關(guān)

于直線x=2對(duì)稱；所以/(—x)=/(x+4)-(1)；

又函數(shù)/(2x+l)為奇函數(shù)，所以其關(guān)于(0,0)對(duì)稱；

橫坐標(biāo)向右平移!個(gè)單位.1、橫4“三桃生出底景c.

f(2x+1)-----------2------>/(2(x--)+l)^f(2x)—戊生標(biāo)伸長(zhǎng)為原來2倍>/(x)

通過圖象平移伸縮變換，可以得到/(2x)關(guān)于(；,0)對(duì)稱，進(jìn)而/(x)關(guān)于(1,0)對(duì)稱；

可得：/(—x)=—/(x+2)…(2)；綜合(D(2)可得

/(x+4)=-r(x+2)n/(x+2)=-/(x)；利用結(jié)論/(x+a)=-/(幻的周期為T=2a,

故本題中/(x)的周期為7=4

利用/(-x)=-/(x+2)…⑵可得

/(-1)=-/(3)=-/(3-4)=-/(-1)=>2/(-1)=01)=0

【反思】本例中涉及周期性，奇偶性，對(duì)稱性的綜合問題，其中求解周期的常用結(jié)論需直

接記憶，可直接使用，本文中的6個(gè)周期結(jié)論直接記憶，可快速求周期.

對(duì)稱性問題：

f(a+x)=f(a-x)

①軸對(duì)稱問題：/(x)關(guān)于x=a對(duì)稱，可得到如下結(jié)論中任意一個(gè)：，f(x)=f(2a-x)；

—(2a+x)

f(a+x)=-f(a-x)

②點(diǎn)對(duì)稱問題：/(x)關(guān)于5,0)對(duì)稱,可得到如下結(jié)論中任意一個(gè)：/(幻=-/(2。-%)；

f(-x)=~f(2a+x)

2.(2021?全國(guó)?高考真題(理))設(shè)函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽,/(x+1)為奇函數(shù)，〃x+2)

為偶函數(shù)，當(dāng)xe[l,2]時(shí),f(x)=ax2+b.若〃0)+〃3)=6,則/圖=()

【答案】D

【解析】

令x=l,由①得：/(O)=—/(2)=-(4。+6),由②得：/(3)=/(1)=?+6,

因?yàn)椤?)+/(3)=6,所以-(4“+/>)+a+b=6na=-2,

令x=0,由①得：/⑴=_/(l)n/Q=0nb=2,所以〃力=-2/+2.

因?yàn)?(x+1)是奇函數(shù)，所以/(x+1)圖象關(guān)于(0,0)對(duì)稱，

+/(X)所以/(X)關(guān)于(1,0)對(duì)稱，得：

/(T)=—/(2+X)…⑴

因?yàn)?(x+2)是偶函數(shù)，所以/(x+2)圖象關(guān)于》=0對(duì)稱；

/(X+2)橫怖向右平移2個(gè)單位>/1),所以/(x)關(guān)于X=2對(duì)稱，得：

/(—x)=/(4+x)…(2)：綜合(1)(2)得到：

f(x+4)=—/(x+2)=/(x+2)=-f(x)得到7=4

所以/(2=/(；)，再利用/(T)=—/(2+X)…⑴令x=-g代入：/(^)=-/(|)=|

故選：D.

【反思】本例中涉及周期性，奇偶性，對(duì)稱性的綜合問題，其中求解周期的常用結(jié)論需直

接記憶，可直接使用，本文中的6個(gè)周期結(jié)論直接記憶，可快速求周期.

三、針對(duì)訓(xùn)練舉一反三

1.(2008?湖北?高考真題(文))已知/(x)在R上是奇函數(shù)，且/(x+4)=/(x),當(dāng)xe(0,2)

時(shí)，f(x)=2x2,則/(7)=

A.-2B.2C.-98D.98

2.(2021?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)(文))已知定義在R上的偶函數(shù)/(x),對(duì)VxeR,有

/(x+6)=/(x)+/(3)成立，當(dāng)0VxV3時(shí)，/(x)=2x-6,則〃2021)=()

A.0B.-2C.-4D.2

3.(2021?江西,三模(理))已知函數(shù)/。)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且滿足/(?1)+/(37)=0,

且當(dāng)xe(2,4)時(shí)，/(x)=-k)gjx-l)+m,若“2021)-1=〃_]),則加=()

22

4.(2021?四川?石室中學(xué)模擬預(yù)測(cè)(理))己知定義域?yàn)镽的奇函數(shù)/(》)滿足

/(x+4)-/(x)=/(2),當(dāng)xe(0,2)時(shí)，/(x)=2xz-3x+l,則函數(shù)y=/(x)在［T,4］上零點(diǎn)的

個(gè)數(shù)為()

5.(2021?廣西玉林?模擬預(yù)測(cè)(文))已知定義在R上的偶函數(shù)/(幻滿足/(x+3)=/(3-x),

且當(dāng)xe(0,3),/(x)=xe‘，則下面結(jié)論正確的是()

19

A./(In3)</</(e)B./(e)</(ln3)</

19

</(e)</(In3)D./(In3)</(e)</

6.(2021?黑龍江?佳木斯一中三模(理))已知》=/(x)為奇函數(shù)且對(duì)任意xeR,

/(x+2)=/(-%),若當(dāng)xe[0,l]時(shí)，/(x)=k>g2(x+“)，則”2021)=()

7.(2021?浙江?瑞安中學(xué)模擬預(yù)測(cè))己知函數(shù)/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，滿足

/(x+2)=/(-x),且當(dāng)xe[0,l]時(shí)，/(x)=log2(x+l),則函數(shù)y=的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是

8.(2021?陜西?模擬預(yù)測(cè)(文))已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足/(x)=/(2-x).當(dāng)

14x42時(shí),/(x)=Iog2(x+7),則/(2021)=()

B.-3

9.(2021?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知〃x)是定義在R上的偶函數(shù)，且VxeR,

/(4-x)+/(x)=0.若/⑴-/(3)=6,則/⑵)=.

10.(2021?陜西?二模(理))已知定義在R上的奇函數(shù)y=/(x)滿足/(x+8)+/(x)=0,

且/(5)=5,貝I1/(2019)+/(2024)=.

專題06函數(shù)圖象的對(duì)稱性

一、結(jié)論

已知函數(shù)/(x)是定義在R上的函數(shù).

⑴若f(x+a)=f(b-x)恒成立,則y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=-對(duì)稱,特別地,

若f(a+x)=/(a-x)恒成立,則y=/(%)的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱；

最常逆應(yīng)用：若歹=/(x)關(guān)于x=。對(duì)稱：可得到如下結(jié)論中任意一個(gè):

〃a+x)=/("x)

</(x)=/(2"x)；

/(-x)=/(2a+x)

周期性與對(duì)稱性記憶口訣：同號(hào)周期，異號(hào)對(duì)稱.

(2)若/(a+x)=—/。―x)+c,則y=/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(一,今對(duì)稱.

特別地,若/(?+x)=-x)+2b恒成立,則y=/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,b)對(duì)稱.

特別地，若八a+x)=-f{a-x)恒成立,則y=/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,0)對(duì)稱.

最常逆應(yīng)用：若y=/(x)關(guān)于x=a對(duì)稱：可得到如下結(jié)論中任意一個(gè)：

f(a+x)=-f(a-x)

<〃x)=-/(2"x)

f(-x)=-f(2a+x)

二、典型例題

1.(2021?四川雅安?模擬預(yù)測(cè)(文))已知函數(shù)/(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，且/(x+1)是

偶函數(shù).當(dāng)0<xWl時(shí)，/(X)=X2-8X+15,則/⑺=()

A.-16B.-8C.8D.16

【答案】B

【解析】

由/(x+1)是偶函數(shù)可知"X)對(duì)稱軸為x=l,故〃-x)=〃2+x)…(1),

又函數(shù)/(x)為奇函數(shù)，故/(-x)=-/(x)…(2),綜合(1)(2)得:

/(x+2)=—/(x)可得到函數(shù)最小正周期為7=4,所以〃7)=/(-1)=-/(1)=-(1-8+15)=-8.

故選：B

【反思】函數(shù)的對(duì)稱性和周期性，奇偶性，往往是緊密結(jié)合在一起的，其綜合性更豐富考

查函數(shù)的性質(zhì)，如本例中“X)對(duì)稱軸為工=1，可以得到很多結(jié)論，比如：/(I-x)=/(I+x),

/(x)=/(2—x),/(-x)=/(2+x)等，那么在解題時(shí)如何取舍呢，選哪個(gè)結(jié)論能更快的

解題？對(duì)于這個(gè)疑問，需同時(shí)兼顧本例中/(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，可得到

/(-x)=-/W，縱觀整體，可以看出對(duì)于/(x)對(duì)稱軸為x=l得到的結(jié)論中選取

〃-x)=/(2+x)從而進(jìn)行快速求出周期.

2.(2021?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)(文))已知定義在R上的奇函數(shù)“X)滿足/(x+l)=-/(-l+x),

且在區(qū)間［1,2］上/(x)是增函數(shù)，令a=s吟/>=siny,c=s吟，則〃a),f(h),/(c)

的大小關(guān)系為.

【答案】/(?)>/(c)>/(/?)

【解析】

/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，可得到：/(-x)=-/(x)①

“X+1)=-/(-I+x)=f(x+2)=-/'?(2)

聯(lián)立①@得f(x+2)=/(-x)所以/(x)關(guān)于x=1對(duì)稱.

由于〃力在［1,2］上遞增,所以f(x)在［0,1］遞減.

.5兀.(2兀、.2兀

c=sin—=sin兀---=sin—,

7I7J7

八sinx在(0,胃上遞增，所以a<c<6,

所以f(a)>f(c)>f(6).

故答案為：/(a)>/(c)>/(6)

【反思】函數(shù)的對(duì)稱性和周期性，奇偶性，往往是緊密結(jié)合在一起的，其綜合性更豐富考

查函數(shù)的性質(zhì)，本例中，用數(shù)學(xué)符號(hào)/(-x)=-/(x)表示出/(X)是定義在R上的奇函數(shù)，

通過化簡(jiǎn)〃工+1)=-/(-1+%)=/0+2)=_/(》)再聯(lián)立，可得到：/(x+2)=/(—x)這樣

就得到了：/(x)關(guān)于*=1對(duì)稱.這也是周期性，奇偶性，對(duì)稱性?？嫉男问?解題時(shí)注意利

用已知條件，尤其是對(duì)稱性的逆應(yīng)用.

三、針對(duì)訓(xùn)練舉一反三

1.(2021?黑龍江?哈爾濱市第六中學(xué)校二模(理))已知定義域?yàn)镽的函數(shù)/(x)在［2,+8)

單調(diào)遞減，且〃4-x)+/(x)=0,則使得不等式/(x2+x)+〃2x)<0成立的實(shí)數(shù)x的取值

范圍是()

A.-4<x<1B.或x>3

C.%<-3或%>1D.或x>1

2.(2021?寧夏六盤山高級(jí)中學(xué)一模(理))已知函數(shù)/⑴是R上的滿足/(1+工)=/(-1-x),

且/(X)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱，當(dāng)xe［0,1］時(shí)，/(%)=2-2\則

〃0)+/⑴+〃2)+…+”2021)的值為()

A.-2B.-1C.0D.1

3.(2021?全國(guó)?二模(理))已知/(X)是定義域?yàn)榛鸬钠婧瘮?shù)，/(1+工)=/。7),當(dāng)0d

時(shí)，f(x)="-l,則24x43時(shí)，"X)的解析式為()

A.f(x)=l-ex-2B./(x)=^-2-l

C.f(x)=l-ex-'D.〃x)=e'T-l

4.(2021?山東濱州?一模)定義在R上的偶函數(shù)/(x)滿足〃2+x)=/(2-x),當(dāng)xe［-2,0］時(shí),

f(x)=x+2,設(shè)函數(shù)Mx)=e+T(-2<x<6)(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),則〃x)與九⑺的圖

象所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為()

A.5B.6C.7D.8

5.(2021?河南?二模(文))已知定義域?yàn)镽的函數(shù)/(X)在［2,物)單調(diào)遞減，且

/(4-x)+/(x)=0,則使得不等式/卜2+"+/。+1)<0成立的實(shí)數(shù)x的取值范圍是

()

A.-3<x<1B.x<-l或x>3C.x<-3或x>lD.x#-l

6.(2021?黑龍江肇州?模擬預(yù)測(cè)(文))已知/(x)是定義在R上的函數(shù)，且對(duì)任意xeR都

有/(x+2)=/(2—x)+4/(2),若函數(shù)y=/(x+l)的圖象關(guān)于點(diǎn)(-1,0)對(duì)稱，且/⑴=3,則

/(2021)=()

A.6B.3C.0D.-3

7.(2021?廣西?模擬預(yù)測(cè)(文))已知/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，滿足/(l+x)=/(l-x),

/⑴=2,則〃2)+/(3)+〃4)=()

A.0B.-2C.2D.6

8.(2021?全國(guó)全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))請(qǐng)寫出一個(gè)同時(shí)滿足條件①②③的函數(shù)/卜)=.

①VxeR,/(l-x)=/(l+x);②函數(shù)/(x)的最小值為1；③函數(shù)/(x)不是二次函數(shù).

9.(2021?江西?新余市第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)(文))已知定義在R上的奇函數(shù)/(x),滿足

f(x+2)=-F(x),且當(dāng)xw［0,1］時(shí)，="2+*+sinx,若方程f(x)=〃?(〃?>0)在區(qū)間［T,4］

上有四個(gè)不同的根玉,》2，毛戶4,則玉+占+與+鼻的值為.

10.(2021?江西上饒?三模(理))己知函數(shù)/(X)定義域?yàn)??,滿足/(x)=/(2-x),且對(duì)任

意;1V占＜%,,則不等式〃2》-1)-/(3-》)20解集為

均有扃泉T。

專題07經(jīng)典超越不等式

一、結(jié)論

(1)對(duì)數(shù)形式：x21+Inx(x〉0),當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí),等號(hào)成立.

⑵指數(shù)形式：ev>x+l(xeR),當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí),等號(hào)成立.

進(jìn)一步可得到一組不等式鏈：，>x+l>x>l+lnx(x>0且XH1)

上述兩個(gè)經(jīng)典不等式的原型是來自于泰勒級(jí)數(shù)：

X2x"eOx,

ex=l+x+—+-■-+—+——xn+,；

2!n\(〃+l)!

r2p+1,

ln(l+x)=x-----1-----,?+(—1)"------o(x"+l)；

23M+1

截取片段：

ex>x+l(xe7?)

ln(l+x)<x(x>-l),當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)，等號(hào)成立；

進(jìn)而：lnx4x—l(x〉0)當(dāng)且僅當(dāng)x=l時(shí)，等號(hào)成立

二、典型例題

1.(2022?江蘇蘇州?高三期末)己知a>b+l>l則下列不等式一定成立的是()

A.a|>bB.<7H—>b-\—

ab

h

b+le,LL,

C.----<----D.a+\nb<b+\na

a-\Ina

【答案】C

【解析】

取a=10,6=8,貝"6〈6,故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

取a=3,b=-,a+,=b+1,則B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

3ab

取a=3,b=l,貝ija+lnb=3,b+lna=1+ln3<1+ln?=3，即a+ln6>6+lna,

故D選項(xiàng)錯(cuò)誤；

關(guān)于C選項(xiàng)，先證明一個(gè)不等式：eA>x+1>令y=e'-x-l,y=e'—1，

于是x>0時(shí)y'>0,y遞增；x<0時(shí)y'<0,了遞減；

所以x=0時(shí)，y有極小值，也是最小值e°-0-l=0,

于是y=e*-x-120,當(dāng)且僅當(dāng)x=0取得等號(hào)，

由e'2x+l,當(dāng)x>-lH寸，同時(shí)取對(duì)數(shù)可得，x>ln(x+1),

再用x-1替換x,得到x-lNlnx,當(dāng)且僅當(dāng)x=l取得等號(hào)，

由于a>b+l>l,得到e〃>b+l，\翌〉1>里,即

Inaea-\上。

C選項(xiàng)正確.

故選：C.

【反思】對(duì)于指數(shù)形式：/2x+l(xeR),當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí),等號(hào)成立，該不等式是可以變

形使用的：

，Nx+l(xeR)—^^~>0-2一x+1,即々21—1—x

e'生一、一_L

.1-x

注意使用時(shí)X的取值范圍；

同樣的還可以如下處理：e'2x+l(xw&)兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)：X>ln(x+1)(x>-l),同樣