第十章　§10.3　隨機(jī)事件與概率-2025高中數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)講義人教A版

§10.3隨機(jī)事件與概率課標(biāo)要求1.了解隨機(jī)事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性，了解概率的意義以及頻率與概率的區(qū)別.2.理解事件間的關(guān)系與運(yùn)算.3.掌握古典概型及其計(jì)算公式，能計(jì)算古典概型中簡單隨機(jī)事件的概率．知識(shí)梳理1．樣本空間和隨機(jī)事件(1)樣本點(diǎn)和有限樣本空間①樣本點(diǎn)：隨機(jī)試驗(yàn)E的每個(gè)可能的基本結(jié)果稱為樣本點(diǎn)，常用ω表示．全體樣本點(diǎn)的集合稱為試驗(yàn)E的樣本空間，常用Ω表示．②有限樣本空間：如果一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)有n個(gè)可能結(jié)果ω1，ω2，…，ωn，則稱樣本空間Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}為有限樣本空間．(2)隨機(jī)事件①定義：將樣本空間Ω的子集稱為隨機(jī)事件，簡稱事件．②表示：一般用大寫字母A，B，C，…表示．③隨機(jī)事件的極端情形：必然事件、不可能事件．2．兩個(gè)事件的關(guān)系和運(yùn)算含義符號(hào)表示包含關(guān)系若事件A發(fā)生，則事件B一定發(fā)生A?B相等關(guān)系B?A且A?BA＝B并事件(和事件)事件A與事件B至少有一個(gè)發(fā)生A∪B或A＋B交事件(積事件)事件A與事件B同時(shí)發(fā)生A∩B或AB互斥(互不相容)事件A與事件B不能同時(shí)發(fā)生A∩B＝?互為對立事件A與事件B有且僅有一個(gè)發(fā)生A∩B＝?，且A∪B＝Ω3.古典概型的特征(1)有限性：樣本空間的樣本點(diǎn)只有有限個(gè)；(2)等可能性：每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性相等．4．古典概型的概率公式一般地，設(shè)試驗(yàn)E是古典概型，樣本空間Ω包含n個(gè)樣本點(diǎn)，事件A包含其中的k個(gè)樣本點(diǎn)，則定義事件A的概率P(A)＝eq\f(k,n)＝eq\f(nA,nΩ).其中，n(A)和n(Ω)分別表示事件A和樣本空間Ω包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)．5．概率的性質(zhì)性質(zhì)1：對任意的事件A，都有P(A)≥0；性質(zhì)2：必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0，即P(Ω)＝1，P(?)＝0；性質(zhì)3：如果事件A與事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；性質(zhì)4：如果事件A與事件B互為對立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)；性質(zhì)5：如果A?B，那么P(A)≤P(B)，由該性質(zhì)可得，對于任意事件A，因?yàn)??A?Ω，所以0≤P(A)≤1；性質(zhì)6：設(shè)A，B是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．6．頻率與概率(1)頻率的穩(wěn)定性一般地，隨著試驗(yàn)次數(shù)n的增大，頻率偏離概率的幅度會(huì)縮小，即事件A發(fā)生的頻率fn(A)會(huì)逐漸穩(wěn)定于事件A發(fā)生的概率P(A)，我們稱頻率的這個(gè)性質(zhì)為頻率的穩(wěn)定性．(2)頻率穩(wěn)定性的作用可以用頻率fn(A)估計(jì)概率P(A)．常用結(jié)論1．當(dāng)隨機(jī)事件A，B互斥時(shí)，不一定對立；當(dāng)隨機(jī)事件A，B對立時(shí)，一定互斥，即兩事件互斥是對立的必要不充分條件．2．若事件A1，A2，…，An兩兩互斥，則P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．自主診斷1．判斷下列結(jié)論是否正確．(請?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)事件發(fā)生的頻率與概率是相同的．(×)(2)兩個(gè)事件的和事件發(fā)生是指這兩個(gè)事件至少有一個(gè)發(fā)生．(√)(3)從－3，－2，－1,0,1,2中任取一個(gè)數(shù)，取到的數(shù)小于0與不小于0的可能性相同．(√)(4)若A∪B是必然事件，則A與B是對立事件．(×)2．(必修第二冊P235T1改編)一個(gè)人打靶時(shí)連續(xù)射擊兩次，與事件“至多有一次中靶”互斥的事件是()A．至少有一次中靶B．兩次都中靶C．只有一次中靶D．兩次都不中靶答案B解析射擊兩次中“至多有一次中靶”即“有一次中靶或兩次都不中靶”，與該事件不能同時(shí)發(fā)生的是“兩次都中靶”．3．從某班學(xué)生中任意找出一人，如果該同學(xué)的身高小于160cm的概率為0.2，該同學(xué)的身高在[160,175](單位：cm)內(nèi)的概率為0.5，那么該同學(xué)的身高超過175cm的概率為()A．0.2B．0.3C．0.7D．0.8答案B解析由題意知該同學(xué)的身高小于160cm的概率、該同學(xué)的身高在[160,175](單位：cm)內(nèi)的概率和該同學(xué)的身高超過175cm的概率和為1，故所求概率為1－0.2－0.5＝0.3.4．(2022·全國乙卷)從甲、乙等5名同學(xué)中隨機(jī)選3名參加社區(qū)服務(wù)工作，則甲、乙都入選的概率為________．答案eq\f(3,10)解析從甲、乙等5名同學(xué)中隨機(jī)選3名，有Ceq\o\al(3,5)種情況，其中甲、乙都入選有Ceq\o\al(1,3)種情況，所以甲、乙都入選的概率P＝eq\f(C\o\al(1,3),C\o\al(3,5))＝eq\f(3,10).題型一隨機(jī)事件的關(guān)系命題點(diǎn)1隨機(jī)事件間關(guān)系的判斷例1(1)(多選)(2023·大連模擬)有甲、乙兩種報(bào)紙供市民訂閱，記事件E為“只訂甲報(bào)紙”，事件F為“至少訂一種報(bào)紙”，事件G為“至多訂一種報(bào)紙”，事件I為“一種報(bào)紙也不訂”，下列命題正確的是()A．E與G是互斥事件B．F與I互為對立事件C．F與G不是互斥事件D．G與I是互斥事件答案BC解析對于A，E與G有可能同時(shí)發(fā)生，不是互斥事件，故A錯(cuò)誤；對于B，F(xiàn)與I不可能同時(shí)發(fā)生，且發(fā)生的概率之和為1，所以F與I互為對立事件，故B正確；對于C，F(xiàn)與G可以同時(shí)發(fā)生，不是互斥事件，故C正確；對于D，G與I可以同時(shí)發(fā)生，不是互斥事件，故D錯(cuò)誤．(2)(多選)某人打靶時(shí)連續(xù)射擊兩次，設(shè)事件A＝“只有一次中靶”，B＝“兩次都中靶”，則下列結(jié)論正確的是()A．A?BB．A∩B＝?C．A∪B＝“至少一次中靶”D．A與B互為對立事件答案BC解析事件A＝“只有一次中靶”，B＝“兩次都中靶”，所以A，B是互斥事件但不是對立事件，所以A，D錯(cuò)誤，B正確；A∪B＝“至少一次中靶”，C正確．命題點(diǎn)2利用互斥、對立事件求概率例2某商場的有獎(jiǎng)銷售活動(dòng)中，購滿100元商品得1張獎(jiǎng)券，多購多得.1000張獎(jiǎng)券為一個(gè)開獎(jiǎng)單位，設(shè)特等獎(jiǎng)1個(gè)，一等獎(jiǎng)10個(gè)，二等獎(jiǎng)50個(gè)．設(shè)1張獎(jiǎng)券中特等獎(jiǎng)、一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)的事件分別為A，B，C，求：(1)1張獎(jiǎng)券的中獎(jiǎng)概率；(2)1張獎(jiǎng)券不中特等獎(jiǎng)且不中一等獎(jiǎng)的概率．解(1)設(shè)“1張獎(jiǎng)券中獎(jiǎng)”為事件M，則M＝A∪B∪C.∵A，B，C兩兩互斥，∴P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝eq\f(1,1000)＋eq\f(10,1000)＋eq\f(50,1000)＝eq\f(61,1000).故1張獎(jiǎng)券中獎(jiǎng)的概率為eq\f(61,1000).(2)設(shè)“1張獎(jiǎng)券不中特等獎(jiǎng)且不中一等獎(jiǎng)”為事件N，則事件N與事件“1張獎(jiǎng)券中特等獎(jiǎng)或中一等獎(jiǎng)”互為對立事件，∴P(N)＝1－P(A∪B)＝1－[P(A)＋P(B)]＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,1000)＋\f(1,100)))＝eq\f(989,1000).故1張獎(jiǎng)券不中特等獎(jiǎng)且不中一等獎(jiǎng)的概率為eq\f(989,1000).命題點(diǎn)3用頻率估計(jì)概率例3(多選)某校為了解學(xué)校餐廳中午的用餐情況，分別統(tǒng)計(jì)了食用大米套餐和面食的人數(shù)，剩下的為食用米線、漢堡等其他食品(每人只選一種)，結(jié)果如表所示：總?cè)藬?shù)食用大米套餐人數(shù)食用面食人數(shù)1000550260假設(shè)隨機(jī)抽取一位同學(xué)，記“中午吃大米套餐”為事件M，“吃面食”為事件N，“吃米線、漢堡等其他食品”為事件H，若用頻率估計(jì)事件發(fā)生的概率，則下列結(jié)論正確的是()A．P(M)＝0.55 B．P(N)＝0.26C．P(H)＝0.19 D．P(N∪H)＝0.65答案ABC解析用頻率估計(jì)概率得P(M)＝eq\f(550,1000)＝0.55，P(N)＝eq\f(260,1000)＝0.26，P(H)＝eq\f(1000－550－260,1000)＝0.19，故A，B，C正確；P(N∪H)表示事件N發(fā)生或事件H發(fā)生，且N與H互斥，故P(N∪H)＝P(N)＋P(H)＝0.26＋0.19＝0.45，故D錯(cuò)誤．思維升華事件關(guān)系的運(yùn)算策略進(jìn)行事件的運(yùn)算時(shí)，一是要緊扣運(yùn)算的定義，二是要全面考慮同一條件下的試驗(yàn)可能出現(xiàn)的全部結(jié)果，必要時(shí)可列出全部的試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析．當(dāng)事件是由互斥事件組成時(shí)，運(yùn)用互斥事件的概率加法公式．跟蹤訓(xùn)練1(1)從裝有10個(gè)紅球和10個(gè)白球的罐子里任取兩球，下列情況中互斥而不對立的兩個(gè)事件的是()A．至少有一個(gè)紅球；至少有一個(gè)白球B．恰有一個(gè)紅球；都是白球C．至少有一個(gè)紅球；都是白球D．至多有一個(gè)紅球；都是紅球答案B解析對于A，“至少有一個(gè)紅球”可能為一個(gè)紅球、一個(gè)白球，“至少有一個(gè)白球”也可能為一個(gè)白球、一個(gè)紅球，故兩事件可能同時(shí)發(fā)生，所以不是互斥事件；對于B，“恰有一個(gè)紅球”，則另一個(gè)必是白球，與“都是白球”是互斥事件，而任取兩球還可能都是紅球，故兩事件不是對立事件；對于C，“至少有一個(gè)紅球”為都是紅球或一紅一白，與“都是白球”顯然是對立事件；對于D，“至多有一個(gè)紅球”為都是白球或一紅一白，與“都是紅球”是對立事件．(2)某工廠有四條流水線生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，這四條流水線的產(chǎn)量分別占總產(chǎn)量的0.20,0.25,0.3,0.25，這四條流水線的合格率依次為0.95,0.96,0.97,0.98，現(xiàn)在從出廠產(chǎn)品中任取一件，則恰好抽到不合格產(chǎn)品的概率是________．答案0.034解析由題意可知，恰好抽到不合格產(chǎn)品的概率為P＝0.2×(1－0.95)＋0.25×(1－0.96)＋0.3×(1－0.97)＋0.25×(1－0.98)＝0.034.題型二古典概型例4(1)(2023·湖北省十一校聯(lián)考)在“2,3,5,7,11,13,17,19”這8個(gè)素?cái)?shù)中，任取2個(gè)不同的數(shù)，則這兩個(gè)數(shù)之和仍為素?cái)?shù)的概率是()A.eq\f(3,28)B.eq\f(5,28)C.eq\f(1,7)D.eq\f(3,14)答案C解析這8個(gè)素?cái)?shù)中，任取2個(gè)不同的數(shù)，有(2,3)，(2,5)，(2,7)，(2,11)，(2,13)，(2,17)，(2,19)，(3,5)，(3,7)，(3,11)，(3,13)，(3,17)，(3,19)，(5,7)，(5,11)，(5,13)，(5,17)，(5,19)，(7,11)，(7,13)，(7,17)，(7,19)，(11,13)，(11,17)，(11,19)，(13,17)，(13,19)，(17,19)，共28個(gè)樣本點(diǎn)，這兩個(gè)數(shù)之和仍為素?cái)?shù)的樣本點(diǎn)有(2,3)，(2,5)，(2,11)，(2,17)，共4個(gè)，所以這兩個(gè)數(shù)之和仍為素?cái)?shù)的概率是eq\f(4,28)＝eq\f(1,7).(2)(2023·秦皇島模擬)某學(xué)校為了搞好課后服務(wù)工作，教務(wù)科組建了一批社團(tuán)，學(xué)生們都能自主選擇自己喜歡的社團(tuán)．目前話劇社團(tuán)、書法社團(tuán)、攝影社團(tuán)、街舞社團(tuán)分別還可以再接收1名學(xué)生，恰好含甲、乙的4名同學(xué)前來教務(wù)科申請加入，按學(xué)校規(guī)定每人只能加入一個(gè)社團(tuán)，則甲進(jìn)街舞社團(tuán)，乙進(jìn)書法社團(tuán)或攝影社團(tuán)的概率為()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,5)C.eq\f(1,6)D.eq\f(1,8)答案C解析4名同學(xué)分別進(jìn)入話劇社團(tuán)、書法社團(tuán)、攝影社團(tuán)、街舞社團(tuán)共有Aeq\o\al(4,4)＝24(種)選法，其中甲進(jìn)街舞社團(tuán)，乙進(jìn)書法社團(tuán)或攝影社團(tuán)有Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)＝4(種)選法，按學(xué)校規(guī)定每人只能加入一個(gè)社團(tuán)，由古典概型的概率計(jì)算公式可得，甲進(jìn)街舞社團(tuán)，乙進(jìn)書法社團(tuán)或攝影社團(tuán)的概率P＝eq\f(4,24)＝eq\f(1,6).思維升華利用公式法求解古典概型問題的步驟跟蹤訓(xùn)練2(1)(2023·濟(jì)南模擬)從正六邊形的6個(gè)頂點(diǎn)中任取3個(gè)構(gòu)成三角形，則所得三角形是直角三角形的概率為()A.eq\f(3,10)B.eq\f(1,2)C.eq\f(3,5)D.eq\f(9,10)答案C解析從正六邊形的6個(gè)頂點(diǎn)中任取3個(gè)，有Ceq\o\al(3,6)＝20(個(gè))三角形，其中直角三角形，每邊對應(yīng)2個(gè)，如圖，例如Rt△BDE和Rt△ADE，共有2×6＝12(個(gè))，所以所求概率為eq\f(12,20)＝eq\f(3,5).(2)(2024·茂名模擬)從1,2,3,4,5中任選3個(gè)不同數(shù)字組成一個(gè)三位數(shù)，則該三位數(shù)能被3整除的概率為()A.eq\f(1,10)B.eq\f(1,5)C.eq\f(3,10)D.eq\f(2,5)答案D解析從1,2,3,4,5中任選3個(gè)不同數(shù)字組成一個(gè)三位數(shù)，有Aeq\o\al(3,5)＝5×4×3＝60(種)可能；要使該三位數(shù)能被3整除，只需數(shù)字和能被3整除，所以數(shù)字為1,2,3時(shí)，有Aeq\o\al(3,3)＝3×2×1＝6(種)可能；數(shù)字為1,3,5時(shí)，有Aeq\o\al(3,3)＝3×2×1＝6(種)可能；數(shù)字為2,3,4時(shí)，有Aeq\o\al(3,3)＝3×2×1＝6(種)可能；數(shù)字為3,4,5時(shí)，有Aeq\o\al(3,3)＝3×2×1＝6(種)可能，共24種可能．所以該三位數(shù)能被3整除的概率為eq\f(24,60)＝eq\f(2,5).題型三概率的綜合問題例5某省高考目前實(shí)行“3＋1＋2”模式，其中“3”指的是語文、數(shù)學(xué)、外語這3門必選科目，“1”指的是考生需要在物理、歷史這2門首選科目中選擇1門，“2”指的是考生需要在思想政治、地理、化學(xué)、生物這4門再選科目中選擇2門，已知某大學(xué)醫(yī)學(xué)院臨床醫(yī)學(xué)類招生選科要求是首選科目為物理，再選科目為化學(xué)、生物至少1門．(1)從所有選科組合中任意選取1個(gè)，求該選科組合符合該大學(xué)醫(yī)學(xué)院臨床醫(yī)學(xué)類招生選科要求的概率；(2)假設(shè)甲、乙、丙三人每人選擇任意1個(gè)選科組合是等可能的，且三人的選擇互不影響，求這三人中恰有兩人的選科組合符合該大學(xué)醫(yī)學(xué)院臨床醫(yī)學(xué)類招生選科要求的概率．解(1)用a，b分別表示事件“選擇物理”“選擇歷史”，用c，d，e，f分別表示事件“選擇化學(xué)”“選擇生物”“選擇思想政治”“選擇地理”，則所有選科組合的樣本空間Ω＝{acd，ace，acf，ade，adf，aef，bcd，bce，bcf，bde，bdf，bef}，共含12個(gè)樣本點(diǎn)，設(shè)M＝“從所有選科組合中任意選取1個(gè)，該選科組合符合該大學(xué)醫(yī)學(xué)院臨床醫(yī)學(xué)類招生選科要求”，則M＝{acd，ace，acf，ade，adf}，共含5個(gè)樣本點(diǎn)，∴P(M)＝eq\f(nM,nΩ)＝eq\f(5,12).(2)設(shè)“甲、乙、丙三人每人的選科組合符合該大學(xué)醫(yī)學(xué)院臨床醫(yī)學(xué)類招生選科要求”的事件分別是N1，N2，N3，由題意知事件N1，N2，N3相互獨(dú)立．由(1)知P(N1)＝P(N2)＝P(N3)＝eq\f(5,12).記N＝“甲、乙、丙三人中恰有兩人的選科組合符合該大學(xué)醫(yī)學(xué)院臨床醫(yī)學(xué)類招生選科要求”，則N＝N1N2eq\x\to(N3)∪N1eq\x\to(N2)N3∪eq\x\to(N1)N2N3，則P(N)＝P(N1N2eq\x\to(N3))＋P(N1eq\x\to(N2)N3)＋P(eq\x\to(N1)N2N3)＝eq\f(5,12)×eq\f(5,12)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(5,12)))×3＝eq\f(175,576).思維升華求解概率的綜合問題時(shí)，一要注意概率模型的應(yīng)用，明確所求問題所屬的事件類型，二要根據(jù)公式準(zhǔn)確計(jì)算．跟蹤訓(xùn)練3為了備戰(zhàn)2024年法國巴黎奧運(yùn)會(huì)(第33屆夏季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì))，中國射擊隊(duì)的甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員展開隊(duì)內(nèi)對抗賽．甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員對同一目標(biāo)各射擊一次，且兩人命中目標(biāo)與否互不影響．已知甲命中目標(biāo)的概率為eq\f(2,3)，乙命中目標(biāo)的概率為eq\f(3,4).(1)求甲沒有命中目標(biāo)的概率；(2)在兩次射擊中，求恰好有一人命中目標(biāo)的概率．解(1)記“甲命中目標(biāo)”為事件A，則P(A)＝eq\f(2,3)，所以甲沒有命中目標(biāo)的概率P(eq\x\to(A))＝1－P(A)＝eq\f(1,3).(2)記“乙命中目標(biāo)”為事件B，則P(B)＝eq\f(3,4)，P(eq\x\to(B))＝eq\f(1,4)，兩次射擊中，恰好有一人命中目標(biāo)的事件為Aeq\x\to(B)∪eq\x\to(A)B，由題意知事件A，B相互獨(dú)立，所以所求概率P(Aeq\x\to(B)∪eq\x\to(A)B)＝P(Aeq\x\to(B))＋P(eq\x\to(A)B)＝P(A)P(eq\x\to(B))＋P(eq\x\to(A))P(B)＝eq\f(2,3)×eq\f(1,4)＋eq\f(1,3)×eq\f(3,4)＝eq\f(5,12).課時(shí)精練一、單項(xiàng)選擇題1．從編號(hào)為1,2,3,4的4個(gè)球中，任取2個(gè)球，則這2個(gè)球的編號(hào)之和為偶數(shù)的概率是()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,2)D.eq\f(2,3)答案A解析從編號(hào)為1,2,3,4的4個(gè)球中，任取2個(gè)球，有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共6種情況，其中這2個(gè)球的編號(hào)之和為偶數(shù)的情況有(1,3)，(2,4)，共2種情況，故這2個(gè)球的編號(hào)之和為偶數(shù)的概率為eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).2．江南的周莊、同里、用直、西塘、烏鎮(zhèn)、南潯古鎮(zhèn)，并稱為“江南六大古鎮(zhèn)”，是中國江南水鄉(xiāng)風(fēng)貌最具代表的城鎮(zhèn)，它們以其深邃的歷史文化底蘊(yùn)、清麗婉約的水鄉(xiāng)古鎮(zhèn)風(fēng)貌、古樸的民俗風(fēng)情，在世界上獨(dú)樹一幟，馳名中外．這六大古鎮(zhèn)中，其中在蘇州的有3處．某家庭計(jì)劃今年暑假從這6個(gè)古鎮(zhèn)中挑選2個(gè)去旅游，則至少選一個(gè)蘇州古鎮(zhèn)的概率為()A.eq\f(2,5)B.eq\f(1,2)C.eq\f(4,5)D.eq\f(3,5)答案C解析從這6個(gè)古鎮(zhèn)中挑選2個(gè)去旅游有Ceq\o\al(2,6)＝15(種)選法，至少選一個(gè)蘇州古鎮(zhèn)的概率為P＝1－eq\f(C\o\al(2,3),15)＝eq\f(4,5).3．在拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子的試驗(yàn)中，事件A表示“小于5的偶數(shù)點(diǎn)出現(xiàn)”，事件B表示“小于5的點(diǎn)數(shù)出現(xiàn)”，則在一次試驗(yàn)中，事件A∪eq\x\to(B)發(fā)生的概率為()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3)D.eq\f(5,6)答案C解析擲一枚骰子的試驗(yàn)有6種等可能的結(jié)果，依題意知P(A)＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3)，P(B)＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3)，所以P(eq\x\to(B))＝1－P(B)＝1－eq\f(2,3)＝eq\f(1,3)，因?yàn)閑q\x\to(B)表示“出現(xiàn)5點(diǎn)或6點(diǎn)”的事件，所以事件A與eq\x\to(B)互斥，從而P(A∪eq\x\to(B))＝P(A)＋P(eq\x\to(B))＝eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)＝eq\f(2,3).4．某小組有3名男生和2名女生，從中任選2名參加演講比賽，設(shè)A＝“2名全是男生”，B＝“2名全是女生”，C＝“恰有一名男生”，D＝“至少有一名男生”，則下列關(guān)系不正確的是()A．A?D B．B∩D＝?C．A∪C＝D D．A∪B＝B∪D答案D解析“至少有1名男生”包含“2名全是男生”“1名男生1名女生”2種情況，故A?D，A∪C＝D，故A，C正確；事件B與D是互斥事件，故B∩D＝?，故B正確，A∪B表示的是“2名全是男生或2名全是女生”，B∪D表示“2名全是女生或至少有一名男生”，故A∪B≠B∪D，故D錯(cuò)誤．5．(2024·杭州模擬)四位爸爸A，B，C，D相約各帶一名自己的小孩進(jìn)行交際能力訓(xùn)練，其中每位爸爸都與一個(gè)別人家的小孩進(jìn)行交談，則A的小孩與D交談的概率是()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,2)C.eq\f(5,9)D.eq\f(2,3)答案A解析方法一A的小孩等可能地與B，C，D其中一位爸爸交談，所以A的小孩與D交談的概率P＝eq\f(1,3).方法二設(shè)A，B，C，D四位爸爸的小孩分別是a，b，c，d，則交談組合有9種情況，分別為(Ab，Ba，Cd，Dc)，(Ab，Bd，Ca，Dc)，(Ab，Bc，Cd，Da)，(Ac，Ba，Cd，Db)，(Ac，Bd，Ca，Db)，(Ac，Bd，Cb，Da)，(Ad，Ba，Cb，Dc)，(Ad，Bc，Ca，Db)，(Ad，Bc，Cb，Da)，A的小孩與D交談包含的不同組合有3種，分別為(Ab，Bc，Cd，Da)，(Ac，Bd，Cb，Da)，(Ad，Bc，Cb，Da)，∴A的小孩與D交談的概率P＝eq\f(3,9)＝eq\f(1,3).6．(2023·南通調(diào)研)將一個(gè)骰子連續(xù)拋擲三次，它落地時(shí)向上的點(diǎn)數(shù)能組成等差數(shù)列的概率為()A.eq\f(7,36)B.eq\f(1,12)C.eq\f(1,15)D.eq\f(1,18)答案A解析根據(jù)題意，將一個(gè)骰子連續(xù)拋擲三次，每次都有6種情況，則共有63＝216(種)情況，它落地時(shí)向上的點(diǎn)數(shù)能組成等差數(shù)列，分兩種情況討論：①若落地時(shí)向上的點(diǎn)數(shù)不同，則為1,2,3或1,3,5或2,3,4或2,4,6或3,4,5或4,5,6，共有6種可能，每種可能的點(diǎn)數(shù)順序可以顛倒，即有Aeq\o\al(3,3)＝6(種)情況，共有6×6＝36(種)情況；②若落地時(shí)向上的點(diǎn)數(shù)全相同，有6種情況，所以共有36＋6＝42(種)情況，則落地時(shí)向上的點(diǎn)數(shù)能組成等差數(shù)列的概率為eq\f(42,216)＝eq\f(7,36).二、多項(xiàng)選擇題7．某飲料廠商開發(fā)了一種新的飲料，為了促銷，每箱裝的6瓶飲料中有2瓶瓶蓋上分別印有“一等獎(jiǎng)”“二等獎(jiǎng)”，其余4瓶印有“謝謝惠顧”．甲從新開的一箱中任選2瓶購買，設(shè)事件A表示“甲沒有中獎(jiǎng)”，事件B表示“甲獲得一等獎(jiǎng)”，事件C表示“甲中獎(jiǎng)”，則()A．事件A和事件B是對立事件B．事件A和事件C是對立事件C．P(B∪C)＝P(C)D．P(BC)＝P(C)答案BC解析因?yàn)锳∪B表示“甲沒有中獎(jiǎng)或甲獲得一等獎(jiǎng)”，但甲可能獲得二等獎(jiǎng)，即事件A和事件B不是對立事件，故A錯(cuò)誤；事件A表示“甲沒有中獎(jiǎng)”，事件C表示“甲中獎(jiǎng)”，則事件A和事件C是互斥事件且和事件為必然事件，則事件A和事件C是對立事件，故B正確；又因?yàn)锽?C，所以P(B∪C)＝P(C)，故C正確；P(BC)＝P(B)，故D錯(cuò)誤．8．小張上班從家到公司開車有兩條線路，所需時(shí)間(單位：分鐘)隨交通堵塞狀況有所變化，其概率分布如表所示：所需時(shí)間/分鐘30405060線路一0.50.20.20.1線路二0.30.50.10.1則下列說法正確的是()A．任選一條線路，“所需時(shí)間小于50分鐘”與“所需時(shí)間為60分鐘”是對立事件B．線路一所需的平均時(shí)間比線路二少C．如果要求用不超過40分鐘的時(shí)間從家趕到公司，小張應(yīng)該走線路一D．若小張上、下班走不同線路，則所需時(shí)間之和大于100分鐘的概率為0.04答案BD解析“所需時(shí)間小于50分鐘”與“所需時(shí)間為60分鐘”是互斥而不對立事件，所以A錯(cuò)誤；線路一所需的平均時(shí)間為30×0.5＋40×0.2＋50×0.2＋60×0.1＝39(分鐘)，線路二所需的平均時(shí)間為30×0.3＋40×0.5＋50×0.1＋60×0.1＝40(分鐘)，所以線路一所需的平均時(shí)間比線路二少，所以B正確；線路一所需時(shí)間不超過40分鐘的概率為0.7，線路二所需時(shí)間不超過40分鐘的概率為0.8，小張應(yīng)該選線路二，所以C錯(cuò)誤；所需時(shí)間之和大于100分鐘，則線路一、線路二的時(shí)間可以為(50,60)，(60,50)和(60,60)三種情況，概率為0.2×0.1＋0.1×0.1＋0.1×0.1＝0.04，所以D正確．三、填空題9．(2023·景德鎮(zhèn)質(zhì)檢)由于夏季炎熱，某小區(qū)用電量過大，據(jù)統(tǒng)計(jì)，一天停電的概率為0.3，現(xiàn)在用數(shù)據(jù)0,1,2表示當(dāng)天停電；用3,4,5,6,7,8,9表示當(dāng)天不停電，現(xiàn)以兩個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，表示連續(xù)兩天停電情況，經(jīng)隨機(jī)模擬得到以下30組數(shù)據(jù)．282179145674068953901457623093786344712867035382472310940243根據(jù)以上模擬數(shù)據(jù)估計(jì)連續(xù)兩天中恰好有一天停電的概率為________．答案0.4解析由題意可知連續(xù)兩天中恰有一天停電的情況有28,14,06,90,14,62,30,71,28,03,82,23，共12種，所以連續(xù)兩天中恰好有一天停電的概率為eq\f(12,30)＝0.4.10．(2023·益陽質(zhì)檢)甲、乙兩人要在一排六個(gè)空座上就坐，求甲、乙中間有空位的概率為________．答案eq\f(2,3)解析甲、乙兩人要在一排六個(gè)空座上就坐，則有Aeq\o\al(2,6)＝30(種)坐法，而甲、乙相鄰的坐法有5Aeq\o\al(2,2)＝10(種)坐法，則甲、乙中間有空位的概率P＝eq\f(30－10,30)＝eq\f(2,3).11．通過手機(jī)驗(yàn)證碼注冊某APP時(shí)，收到的驗(yàn)證碼由四位數(shù)字隨機(jī)組成，如果某人收到的驗(yàn)證碼a1a2a3a4滿足a1<a2<a3<a4，則稱該驗(yàn)證碼為遞增型驗(yàn)證碼，某人收到一個(gè)驗(yàn)證碼，則它是首位為2的遞增型驗(yàn)證碼的概率為________．答案eq\f(7,2000)解析由題意設(shè)該驗(yàn)證碼為a1a2a3a4，則a1＝2,2<a2<a3<a4，∴a2，a3，a4從3,4,5,6,7,8,9中選，選出3個(gè)數(shù)，讓其按照從小到大的順序有Ceq\o\al(3,7)＝35(種)排法，又四位驗(yàn)證碼共有10×10×10×10＝10000(種)排法，∴它是首位為2的遞增型驗(yàn)證碼的概率為eq\f(35,10000)＝eq\f(7,2000).12．男生3人、女生3人任意排列，則他們站成一圈，且甲、乙之間恰好有1個(gè)人的概率為________．答案eq\f(2,5)解析將6人排成一圈，共有eq\f(1,6)Aeq\o\al(6,6)＝120(種)排法，選1人放在甲、乙中間，有Aeq\o\al(1,4)種排法，然后將3人看成一個(gè)整體進(jìn)行全排列有eq\f(1,4)Aeq\o\al(4,4)Aeq\o\al(2,2)種排法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得甲、乙之間恰好有1個(gè)人共有Aeq\o\al(1,4)·eq\f(1,4)Aeq\o\al(4,4)Aeq\o\al(2,2)＝48(種)排法，所以甲、乙之間恰好有1個(gè)人的概率為eq\f(48,120)＝eq\f(2,5).四、解答題13．(2023·深圳模擬)某食品公司在中秋節(jié)來臨之際開發(fā)了一種月餅禮盒，禮盒中共有7個(gè)月餅，其中有4個(gè)五仁月餅和3個(gè)棗泥月餅．(1)一次取出兩個(gè)月餅，求兩個(gè)月餅為同一種口味的概率；(2)依次不放回地從禮盒中取2個(gè)月餅，求第1次、第2次取到的都是五仁月餅的概率；(3)依次不放回地從禮盒中取2個(gè)月餅，求第2次取到棗泥月餅的概率．解(1)一次取出2個(gè)月餅，共有Ceq\o\al(2,7)＝21(種)方法，其中兩個(gè)都是五仁的有Ceq\o\al(2,4)＝6(種)方法，兩個(gè)都是棗泥的有Ceq\o\al(2,3)＝3(種)方法，則兩個(gè)月餅為同一種口味的概率為eq\f(6＋3,21)＝eq\f(3,7).(2)依次不放回地從禮盒中取2個(gè)月餅，共有Aeq\o\al(2,7)＝42(種)方法，其中第1次、第2次取到的都是五仁月餅有4×3＝12(種)方法，所以第1次、第2次取到的都是五仁月餅的概率是eq\f(12,42)＝eq\f(2,7).(3)依次不放回地從禮盒中取2個(gè)月餅，共有Aeq\o\al(2,7)＝42(種)方法，第1次取到五仁、第2次取到棗泥月餅的方法有4×3＝12(種)，第1次取到棗泥、第2次也取到棗泥月餅的方法有3×2＝6(種)，所以第2次取到棗泥月餅的概率為eq\f(12＋6,42)＝eq\f(3,7).14．某種產(chǎn)品的質(zhì)量以其質(zhì)量指標(biāo)值衡量，質(zhì)量指標(biāo)值越大表明質(zhì)量越好，且質(zhì)量指標(biāo)值大于或等于102的產(chǎn)品為優(yōu)質(zhì)品．現(xiàn)用兩種新配方(分別稱為A配方和B配方)做試驗(yàn)，各生產(chǎn)了100件這種產(chǎn)品，并測量了每件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值，得到如下試驗(yàn)結(jié)果：A配方的頻數(shù)分布表質(zhì)量指標(biāo)值分組[90，94)[94，98)[98，102)[102，106)[106，110]頻數(shù)82042228B配方的頻數(shù)分布表質(zhì)量指標(biāo)值分組[90，94)[94，98)[98，102)[102，106)[106，110]頻數(shù)412423210(1)分別估計(jì)用A配方，B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率；(2)已知用B配方生產(chǎn)的一件產(chǎn)品的利潤y(單位：元)與其質(zhì)量指標(biāo)值t的關(guān)系