第五章　培優(yōu)點7　極化恒等式-2025高中數(shù)學大一輪復(fù)習講義人教A版

培優(yōu)點7極化恒等式1．極化恒等式在平面向量中：(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b，(a－b)2＝a2＋b2－2a·b，兩式相減可得極化恒等式：a·b＝eq\f(1,4)[(a＋b)2－(a－b)2]．2．幾何解釋(1)平行四邊形模型：向量的數(shù)量積等于“和對角線長”與“差對角線長”平方差的eq\f(1,4)，即a·b＝eq\f(1,4)[(a＋b)2－(a－b)2](如圖)．(2)三角形模型：向量的數(shù)量積等于第三邊的中線長與第三邊長的一半的平方差，即eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AM,\s\up6(→))2－eq\o(MB,\s\up6(→))2(M為BC的中點)(如圖)．極化恒等式表明，向量的數(shù)量積可以由向量的模來表示，可以建立起向量與幾何長度之間的等量關(guān)系．題型一利用極化恒等式求值例1(1)設(shè)向量a，b滿足|a＋b|＝eq\r(10)，|a－b|＝eq\r(6)，則a·b等于()A．1B．2C．3D．5答案A解析因為|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝10，|a－b|2＝(a－b)2＝a2＋b2－2a·b＝6，兩式相減得a·b＝eq\f(1,4)[(a＋b)2－(a－b)2]＝1.(2)如圖，在△ABC中，D是BC的中點，E，F(xiàn)是AD上的兩個三等分點，eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＝4，eq\o(BF,\s\up6(→))·eq\o(CF,\s\up6(→))＝－1，則eq\o(BE,\s\up6(→))·eq\o(CE,\s\up6(→))的值是________．答案eq\f(7,8)解析方法一(極化恒等式法)設(shè)BD＝DC＝m，AE＝EF＝FD＝n，則AD＝3n.由向量的極化恒等式，知eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝|eq\o(AD,\s\up6(→))|2－|eq\o(DB,\s\up6(→))|2＝9n2－m2＝4，eq\o(FB,\s\up6(→))·eq\o(FC,\s\up6(→))＝|eq\o(FD,\s\up6(→))|2－|eq\o(DB,\s\up6(→))|2＝n2－m2＝－1，聯(lián)立解得n2＝eq\f(5,8)，m2＝eq\f(13,8)，因此eq\o(EB,\s\up6(→))·eq\o(EC,\s\up6(→))＝|eq\o(ED,\s\up6(→))|2－|eq\o(DB,\s\up6(→))|2＝4n2－m2＝eq\f(7,8)，即eq\o(BE,\s\up6(→))·eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\f(7,8).方法二(坐標法)以直線BC為x軸，過點D且垂直于BC的直線為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標系．設(shè)A(3a,3b)，B(－c,0)，C(c,0)，則E(2a,2b)，F(xiàn)(a，b)，所以eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＝(3a＋c,3b)·(3a－c,3b)＝9a2－c2＋9b2＝4，eq\o(BF,\s\up6(→))·eq\o(CF,\s\up6(→))＝(a＋c，b)·(a－c，b)＝a2－c2＋b2＝－1，則a2＋b2＝eq\f(5,8)，c2＝eq\f(13,8)，所以eq\o(BE,\s\up6(→))·eq\o(CE,\s\up6(→))＝(2a＋c,2b)·(2a－c,2b)＝4a2－c2＋4b2＝eq\f(7,8).方法三(基向量法)eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＝(eq\o(DA,\s\up6(→))－eq\o(DB,\s\up6(→)))·(eq\o(DA,\s\up6(→))－eq\o(DC,\s\up6(→)))＝eq\f(4|\o(AD,\s\up6(→))|2－|\o(BC,\s\up6(→))|2,4)＝eq\f(36|\o(FD,\s\up6(→))|2－|\o(BC,\s\up6(→))|2,4)＝4，eq\o(BF,\s\up6(→))·eq\o(CF,\s\up6(→))＝(eq\o(DF,\s\up6(→))－eq\o(DB,\s\up6(→)))·(eq\o(DF,\s\up6(→))－eq\o(DC,\s\up6(→)))＝eq\f(4|\o(FD,\s\up6(→))|2－|\o(BC,\s\up6(→))|2,4)＝－1，因此|eq\o(FD,\s\up6(→))|2＝eq\f(5,8)，|eq\o(BC,\s\up6(→))|2＝eq\f(13,2)，所以eq\o(BE,\s\up6(→))·eq\o(CE,\s\up6(→))＝(eq\o(DE,\s\up6(→))－eq\o(DB,\s\up6(→)))·(eq\o(DE,\s\up6(→))－eq\o(DC,\s\up6(→)))＝eq\f(4|\o(ED,\s\up6(→))|2－|\o(BC,\s\up6(→))|2,4)＝eq\f(16|\o(FD,\s\up6(→))|2－|\o(BC,\s\up6(→))|2,4)＝eq\f(7,8).思維升華利用向量的極化恒等式可以快速對共起點(終點)的兩向量的數(shù)量積問題進行轉(zhuǎn)化，建立了向量的數(shù)量積與幾何長度(數(shù)量)之間的橋梁，實現(xiàn)向量與幾何、代數(shù)的巧妙結(jié)合，對于不共起點和不共終點的問題可通過平移等價轉(zhuǎn)化為共起點(終點)的兩向量的數(shù)量積問題，從而利用極化恒等式解決．跟蹤訓(xùn)練1(1)如圖所示，在矩形ABCD中，AB＝4eq\r(5)，AD＝8，E，O，F(xiàn)為線段BD的四等分點，則eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))＝________.答案27解析BD＝eq\r(AB2＋AD2)＝12，∴AO＝6，OE＝3，∴由極化恒等式知eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(AO,\s\up6(→))2－eq\o(OE,\s\up6(→))2＝36－9＝27.(2)如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝1，AD＝2，點E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，AD邊上的中點，則eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(FG,\s\up6(→))＋eq\o(GH,\s\up6(→))·eq\o(HE,\s\up6(→))＝________.答案eq\f(3,2)解析連接HF，EG，交于點O，則O為HF，GE的中點，則eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(FG,\s\up6(→))＝eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(EH,\s\up6(→))＝eq\o(EO,\s\up6(→))2－eq\o(OF,\s\up6(→))2＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＝eq\f(3,4)，eq\o(GH,\s\up6(→))·eq\o(HE,\s\up6(→))＝eq\o(GH,\s\up6(→))·eq\o(GF,\s\up6(→))＝eq\o(GO,\s\up6(→))2－eq\o(OH,\s\up6(→))2＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＝eq\f(3,4)，因此eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(FG,\s\up6(→))＋eq\o(GH,\s\up6(→))·eq\o(HE,\s\up6(→))＝eq\f(3,2).題型二利用極化恒等式求最值(范圍)例2(1)已知△OAB的面積為1，AB＝2，動點P，Q在線段AB上滑動，且PQ＝1，則eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(OQ,\s\up6(→))的最小值為________．答案eq\f(3,4)解析記線段PQ的中點為H(圖略)，點O到直線AB的距離為d，則有S△OAB＝eq\f(1,2)AB·d＝1，解得d＝1，由極化恒等式可得eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(OQ,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)[(eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\o(OQ,\s\up6(→)))2－(eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OQ,\s\up6(→)))2]＝eq\f(1,4)(4OH2－QP2)＝OH2－PH2＝OH2－eq\f(1,4)≥d2－eq\f(1,4)＝eq\f(3,4).(2)已知直線ax＋by＋c＝0與圓O：x2＋y2＝16相交于M，N兩點，若c2＝a2＋b2，P為圓O上的任意一點，則eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(PN,\s\up6(→))的取值范圍為________．答案[－6,10]解析方法一(基底法)圓心O到直線ax＋by＋c＝0的距離d＝eq\f(|c|,\r(a2＋b2))＝1，如圖②，設(shè)MN的中點為A，連接OA，則OA⊥MN，cos∠MOA＝eq\f(d,OM)＝eq\f(1,4)，則eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(PN,\s\up6(→))＝(eq\o(OM,\s\up6(→))－eq\o(OP,\s\up6(→)))·(eq\o(ON,\s\up6(→))－eq\o(OP,\s\up6(→)))＝eq\o(OM,\s\up6(→))·eq\o(ON,\s\up6(→))－eq\o(OP,\s\up6(→))·(eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\o(ON,\s\up6(→)))＋|eq\o(OP,\s\up6(→))|2＝4×4×cos2∠MOA－2eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(OA,\s\up6(→))＋16＝16×(2cos2∠MOA－1)－2×4×1×cos〈eq\o(OP,\s\up6(→))，eq\o(OA,\s\up6(→))〉＋16＝2－8cos〈eq\o(OP,\s\up6(→))，eq\o(OA,\s\up6(→))〉∈[－6,10]，故eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(PN,\s\up6(→))的取值范圍為[－6,10]．方法二(極化恒等式法)圓心O到直線ax＋by＋c＝0的距離d＝eq\f(|c|,\r(a2＋b2))＝1，如圖③，設(shè)MN的中點為A，eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(PN,\s\up6(→))＝|eq\o(PA,\s\up6(→))|2－|eq\o(AM,\s\up6(→))|2＝|eq\o(PA,\s\up6(→))|2－15.因為|eq\o(OP,\s\up6(→))|－|eq\o(OA,\s\up6(→))|≤|eq\o(PA,\s\up6(→))|≤|eq\o(OP,\s\up6(→))|＋|eq\o(OA,\s\up6(→))|，所以3≤|eq\o(PA,\s\up6(→))|≤5，則eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(PN,\s\up6(→))＝|eq\o(PA,\s\up6(→))|2－15∈[－6,10]，故eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(PN,\s\up6(→))的取值范圍為[－6,10]．思維升華(1)利用極化恒等式求數(shù)量積的最值(范圍)時，關(guān)鍵在于取第三邊的中點，找到三角形的中線，再寫出極化恒等式．(2)難點在于求中線長的最值(范圍)，可通過觀察圖形或用點到直線的距離等求解．跟蹤訓(xùn)練2(1)已知正方形ABCD的邊長為2，MN是它的內(nèi)切圓的一條弦，點P為正方形四條邊上的動點，當弦MN的長度最大時，eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(PN,\s\up6(→))的取值范圍是()A．[0,1] B．[0，eq\r(2)]C．[1,2] D．[－1,1]答案A解析如圖所示，設(shè)P是線段AB上的任意一點，eq\o(PM,\s\up6(→))＝eq\o(PO,\s\up6(→))＋eq\o(OM,\s\up6(→))，eq\o(PN,\s\up6(→))＝eq\o(PO,\s\up6(→))＋eq\o(ON,\s\up6(→))＝eq\o(PO,\s\up6(→))－eq\o(OM,\s\up6(→))，圓O的半徑長為1，由于P是線段AB上的任意一點，則|eq\o(PO,\s\up6(→))|∈[1，eq\r(2)]，所以eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(PN,\s\up6(→))＝(eq\o(PO,\s\up6(→))＋eq\o(OM,\s\up6(→)))·(eq\o(PO,\s\up6(→))－eq\o(OM,\s\up6(→)))＝eq\o(PO,\s\up6(→))2－eq\o(OM,\s\up6(→))2＝|eq\o(PO,\s\up6(→))|2－1∈[0,1]．(2)在面積為2的平行四邊形ABCD中，點P為直線AD上的動點，則eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))2的最小值是________．答案2eq\r(3)解析如圖所示，取BC的中點O，過點O作OH⊥BC交AD于點H，則eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))2＝eq\o(PO,\s\up6(→))2－eq\f(1,4)eq\o(BC,\s\up6(→))2＋eq\o(BC,\s\up6(→))2＝eq\o(PO,\s\up6(→))2＋eq\f(3,4)eq\o(BC,\s\up6(→))2≥eq\o(HO,\s\up6(→))2＋eq\f(3,4)eq\o(BC,\s\up6(→))2≥eq\r(3)|eq\o(HO,\s\up6(→))|·|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝2eq\r(3).當點P運動到點H且使HO⊥BC，|eq\o(HO,\s\up6(→))|＝eq\f(\r(3),2)|eq\o(BC,\s\up6(→))|時，等號成立，故eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))2的最小值是2eq\r(3).1.如圖，BC，DE是半徑為1的圓O的兩條直徑，eq\o(BF,\s\up6(→))＝2eq\o(FO,\s\up6(→))，則eq\o(FD,\s\up6(→))·eq\o(FE,\s\up6(→))等于()A．－eq\f(3,4) B．－eq\f(8,9)C．－eq\f(1,4) D．－eq\f(4,9)答案B解析∵eq\o(BF,\s\up6(→))＝2eq\o(FO,\s\up6(→))，圓O的半徑為1，∴|eq\o(FO,\s\up6(→))|＝eq\f(1,3).由極化恒等式得eq\o(FD,\s\up6(→))·eq\o(FE,\s\up6(→))＝eq\o(FO,\s\up6(→))2－eq\f(1,4)eq\o(DE,\s\up6(→))2＝eq\f(1,9)－1＝－eq\f(8,9).2．已知△ABC是邊長為2的等邊三角形，P為平面ABC內(nèi)一點，則eq\o(PA,\s\up6(→))·(eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→)))的最小值是()A．－2B．－eq\f(3,2)C．－eq\f(4,3)D．－1答案B解析如圖，設(shè)BC的中點為D，AD的中點為M，連接DP，PM，則eq\o(PA,\s\up6(→))·(eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→)))＝2eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PD,\s\up6(→))＝2|eq\o(PM,\s\up6(→))|2－eq\f(1,2)|eq\o(AD,\s\up6(→))|2＝2|eq\o(PM,\s\up6(→))|2－eq\f(3,2)≥－eq\f(3,2)，當且僅當M與P重合時取等號．3．已知Rt△ABC的斜邊AB的長為4，設(shè)P是以C為圓心，1為半徑的圓上的任意一點，則eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))的取值范圍是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(5,2))) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)，\f(5,2)))C．[－3,5] D．[1－2eq\r(3)，1＋2eq\r(3)]答案C解析如圖所示，在Rt△ABC上，不妨取AB的中點M，則eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝eq\o(PM,\s\up6(→))2－eq\o(AM,\s\up6(→))2＝eq\o(PM,\s\up6(→))2－4.設(shè)圓C的半徑為r，則r＝1，而(PM)max＝CM＋r＝2＋1＝3，則(eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→)))max＝32－4＝5；(PM)min＝CM－r＝2－1＝1，(eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→)))min＝12－4＝－3.因此eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))的取值范圍是[－3,5]．4．已知直線l：x＋y－1＝0與圓C：(x－a)2＋(y＋a－1)2＝1交于A，B兩點，O為坐標原點，則eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))的最小值為()A．－eq\f(1,2)B.eq\f(\r(2),2)C.eq\r(2)D.eq\f(1,2)答案A解析如圖，圓C：(x－a)2＋(y＋a－1)2＝1的圓心C的坐標為(a,1－a)，則點C在直線l：x＋y－1＝0上，由極化恒等式知eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝|eq\o(OC,\s\up6(→))|2－eq\f(1,4)|eq\o(BA,\s\up6(→))|2，而|eq\o(BA,\s\up6(→))|2＝4，所以eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝|eq\o(OC,\s\up6(→))|2－eq\f(1,4)|eq\o(BA,\s\up6(→))|2＝|eq\o(OC,\s\up6(→))|2－1.因為點C是直線l：x＋y－1＝0上的動點，所以|eq\o(OC,\s\up6(→))|的最小值即為點O到直線l的距離d＝OE＝eq\f(|－1|,\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，所以(eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→)))min＝d2－1＝－eq\f(1,2).5．已知a，b是平面內(nèi)兩個互相垂直的單位向量，若c滿足(a－c)·(b－c)＝0，則|c|的最大值是()A．1B．2C.eq\r(2)D.eq\f(\r(2),2)答案C解析由極化恒等式得(a－c)·(b－c)＝eq\f(1,4)[(a＋b－2c)2－(a－b)2]，∵(a－c)·(b－c)＝0，∴(a＋b－2c)2＝(a－b)2，故c2＝(a＋b)·c，又|a|＝|b|＝1，a⊥b，∴|a＋b|＝eq\r(2)，于是|c|2≤|a＋b||c|＝eq\r(2)|c|，∴|c|≤eq\r(2).6．已知半徑為2的圓O上有三點A，B，C，滿足eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝0，點P是圓O內(nèi)一點，則eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PO,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))的取值范圍是()A．[－4,14) B．(－4,14]C．[－4,4) D．(－4,4]答案A解析如圖，由eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝0，得eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AO,\s\up6(→)).在平行四邊形ABOC中，因為OB＝OC，所以平行四邊形ABOC是菱形，且BC＝2eq\r(3).設(shè)菱形ABOC對角線的交點為E，則由極化恒等式得eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PO,\s\up6(→))＝|eq\o(PE,\s\up6(→))|2－eq\f(1,4)|eq\o(AO,\s\up6(→))|2＝|eq\o(PE,\s\up6(→))|2－1，eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))＝|eq\o(PE,\s\up6(→))|2－eq\f(1,4)|eq\o(BC,\s\up6(→))|2＝|eq\o(PE,\s\up6(→))|2－3，所以eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PO,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))＝2|eq\o(PE,\s\up6(→))|2－4.因為P是圓O內(nèi)一點，所以0≤|eq\o(PE,\s\up6(→))|<3，所以－4≤2|eq\o(PE,\s\up6(→))|2－4<14，即－4≤eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PO,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))<14.7．已知正方形ABCD的邊長為1，點E是AB邊上的動點，則eq\o(DE,\s\up6(→))·eq\o(DA,\s\up6(→))的值為________．答案1解析取AE的中點O(圖略)，則eq\o(DE,\s\up6(→))·eq\o(DA,\s\up6(→))＝eq\o(DO,\s\up6(→))2－eq\o(AO,\s\up6(→))2＝1.8.如圖，在平面四邊形ABCD中，O為BD的中點，且OA＝3，OC＝5.若eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝－7，則eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))＝________.答案9解析由eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AO,\s\up6(→))2－eq\f(1,4)eq\o(BD,\s\up6(→))2＝9－eq\f(1,4)eq\o(BD,\s\up6(→))2＝－7，得|eq\o(BD,\s\up6(→))|＝8，則eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(CO,\s\up6(→))2－eq\f(1,4)eq\o(BD,\s\up6(→))2＝25－eq\f(1,4)×64＝9.9．在平行四邊形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，eq\o(CP,\s\up6(→))＝3eq\o(PD,\s\up6(→))，eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BP,\s\up6(→))＝2，則eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))的值是